Khai trieån e x : taùch muõ chaün, leû & ñan daáu.[r]
(1)BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK
-TỐN 1
GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN
• BÀI 6: KHAI TRIỂN TAYLOR
(2)CÁC ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH
-Cực trị x0: > : x (x0 – , x0 + ) f(x) f(x0)
Fermat: f đạt cực trị x0 (a,b) & khả vi x0 f’(x0) =
(3)ĐỊNH LÝ ROLL
-Hàm f(x) liên tục [a,b], khaû vi (a, b), f(a) = f(b)
x0(a, b): f’(x0) =
Minh hoạ hình học:
Giải: Xét hàm phụ
VD: Chứng minh phương trình 4ax3 +
3bx2 + 2cx – (a + b +
(4)ĐỊNH LÝ (SỐ GIA) LAGRANGE
-Hàm f(x) liên tục [a,b], khả vi (a,b)
c (a, b): f(b) – f(a) = f’(c)(b – a)
VD: CMinh BĐThức
y x
y
x arctg
arctg
(5)KHAI TRIEÅN TAYLOR
-CT Taylor (phần dư Peano): f có đhàm đến cấp n (a,b)
0 0
0
0 ,
! )
( x x o x x x x
k x f
x
f n n
k k k
Hàm y = f(x) có đạo hàm x0 f(x) f(x0) + f’(x0)(x – x0)
Cơng thức Taylor: f có đạo hàm cấp n+1 (a,b); x0 , x(a, b)
? ! ! ''
' 0
0
0
0
n n x x n x f x x x f x x x f x f f
x x
c x x n c f x x k x f x f x R n n n k k k n , , )! ( ! ) ( 0
0
(6)KHAI TRIEÅN MAC – LAURINT
-x0 = 0: Khai triển Mac – Laurint (phổ biến)
) ( ! ! 0 ' ) ( x R x k f x R x n f x f f x
f n n
k k k n n n
Phần dư Lagrange:
x x
c c x n c f x
Rn n n , 0,
)! (
)
( ( 1)
Phần dư Peano: ( ) 1 , 0 o x x
x
Rn n
VD: Khai triển Mac – Laurint haøm a/ ex b/ cosx
,
! ! 1
o x x
n x x x e n n x
2 ! ,
1 ! !
cos
2
o x x
(7)MINH HOẠ KHAI TRIỂN MAC – LAURINT
-Minh hoạ hình học khai triển Mac - Laurint hàm f(x) = sinx
x x
p1( )
6 )
(
2 x x x
p
120
)
(
3 x x x x
p
(8)KHAI TRIỂN MAC – LAURINT HÀM CƠ BẢN
-Khai triển ex: tách mũ chẵn, lẻ & đan dấu cos chẵn mũ
chẵn; sin lẻ mũ lẻ; tg lẻ mũ lẻ K0 đan dấu shx, chx
Hàm lượng giác: sinx, cosx Hàm tgx (chỉ đến cấp ba)
, 0
)! ( ! !
sin 2
1 x x o n x x x x
x n n
n , )! ( ! !
cos
2
o x x
n x x x x n n n
,
3