1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

hoäi nghò chaát löôïng laàn iv “naêng suaát chaát löôïng chìa khoaù ñeå caïnh tranh vaø hoäi nhaäp” 211101 boä moân toaùn öùng duïng ñhbk toaùn 1 hk1 0708 baøi 3 giôùi haïn haøm soá sinh vieân ts

19 9 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 19
Dung lượng 294,5 KB

Nội dung

KHOÂNG GIÔÙI HAÏN.[r]

(1)

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-TỐN HK1 0708

BÀI 3: GIỚI HẠN HAØM SỐ (SINH VIÊN)

(2)

NOÄI DUNG

1- Ý TƯỞNG GIỚI HẠN HAØM SỐ

2- ĐỊNH NGHĨA “ĐƠN GIẢN” GIỚI HẠN HAØM SỐ 3- ĐỊNH NGHĨA CHẶT CHẼ GIỚI HẠN HÀM SỐ 4- TÍNH CHẤT GIỚI HẠN

5- GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT 6- QUY TẮC LÔPITAN 7- GIỚI HẠN KẸP

(3)

Ý TƯỞNG GIỚI HẠN

-Hàm y = f(x), MXĐ D x0 Giá trị f(x0)?

 0 : xácđịnh

0 D f x

x  

  : không xácđịnh & 0

0 D f x

x

VD: f(x) = lnx & x0 = –1

  :"gần như"xácđịnh

, 0

0 D f x

x

VD: f(x) = sinx/x & x0 = D

Gtrò  

x x x

f sin quanh 0:

           

           

0.1000 0.8415

0.01000 0.9588

0.001000 0.9816 0.0001000 0.9896

0.00001000 0.9935  

 

 

0

0

, , 1

0 ,

1 1

x e

x x

x x

x

x

(4)

MINH HỌA HÌNH HỌC

-Đồ thị hàm:  

x x x

f sin

Chú ý lân cận x0 = 0: f(0) không xác định, nhưng giá trị f(x) lại “rất gần” x “rất gần” Đồ thị

liên tục Có thể xem “f(0)” = ???

Cần công cụ xác định giá trị hữu hạn “f(x0)” x0 D: f  x

(5)

L x

f

x

xlim 0 ( ) 

Cho hàm y = f(x) xác định lân cận điểm x0 (có thể khơng xác định x0!) Hàm f(x) có giới hạn = L x x0 Giá trị

f(x) “rất gần” L x “đủ gần” x0 Ký hiệu:

VD: Đốn (khơng chứng minh) giới hạn    

1 1 ,

lim 2

1 

 

x

x x

f x

f

x với

Giải: Chú ý hàm f(x) không xác định x = 1

x<1 f(x)

0.5 0.666667

0.9 0.526316

0.99 0.502513

0.999 0.500250

0.9999 0.500025

x>1 f(x)

1.5 0.400000

1.1 0.476190

1.01 0.497512

1.001 0.499750

1.0001 0.499975

Từ bảng giá trị, phỏng đốn:

5 . 0 1

1 lim 2

1  

x

x

x

GIỚI HẠN HAØM SỐ – ĐỊNH NGHĨA ĐƠN GIẢN

(6)

-Hàm g(x) sau (xác định x = 1) có giới hạn f(x) x 1

   

    

 

  

1 khi

2

1 khi

1 1

2

x

x x

x x

f x

g

y=f(x)

y=g(x)

Giá trị f x0 (có hay khơng có) khơng ảnh hưởng đến f  x

x xlim 0

GIÁ TRỊ TẠI ĐIỂM KHÔNG ẢNH HƯỞNG GIỚI HẠN

(7)

-Ví dụ:

x

x

sin lim

0

Gợi ý: Tính   , 0.1, 0.01

3 1 ,

2 1 ,

1 f f f f

f

     

    

  0.1 0.01 0 limsin 0:

3 1 2

1 1

0 

 

 

             

x

f f

f f

f

x

SAI!

Tuy nhiên từ đồ thị hàm

x

y sin  cũng giá trị hàm tại

Z k

k x

k

x    

 2 ,

2 1

4 2

 

! 1 sin  

x

Có vơ số giá trị x gần tùy ý, tại f = lẫn f = KL: Giới hạn xét khơng !

ĐỐN – KHƠNG CHẮC CHẮN 100%!

(8)

-L

Minh họa hình học:

Ngơn ngữ Giải tích: Đại lượng biến thiên f “rất gần” đlượng g

| f – g |     > x “đủ gần” x0:   > xét | x – x0 | <

             

x f x L x x f x L

xlim0 0, 0: ( )

ĐN:

Chú ý: Trong thực tế, định nghĩa thường áp dụng để chứng minh lý thuyết khơng sử dụng để tìm giới hạn!

 x f L

L L 

x

0

x

0

x x0 

x0

 

x f f(x)

ĐỊNH NGHĨA CHẶT CHẼ

(9)

-VD: Cho 4  *

1 2 2

lim

2

1  

x

x

x

Tìm đnghĩa = 0.01

Giải:   , 1, 4

1 2 2

0

 

 

x L

x x x

f   x 1: f  xL 2 x  1

= 0.01: f  xL   x  1  0.005  Choïn  0.005

VD: Giải đồ thị câu hỏi tương tự: lim 2 4, 0.1

2    

x x

x

Giải: | f(x) – | < 0.1 3.9 < f(x) < 4.1 Vẽ y = f(x) & y = 3.9, 4.1

03 . 2 97

.

1  x

03 . 0 2  

x Vaäy

03 . 0

  

VÍ DỤ

(10)

-Khi f(x)    (tức L =  ) x    (tức x0 =  ):

Không thể xét hiệu | f(x) – L| hay |x – x0| Cần điều chỉnh!

Chú ý: Đại lượng A    A > M M & B   B < m m

       

  

f x L M x x M f x L

x ( ) 0 : ( )

lim Neáu

M x

f x

x x

M x

f

x

xlim 0 ( )      0  :Neáu    ( ) 

Tương tự cho trường hợp f(x) : Chỉ cần viết lại f(x) < m!

 x M

f A

x x

A M

x f

x ( )      :Neáu    lim

lim f(x) = L x & lim f(x) =   x   : tương tự

GIỚI HẠN VÔ CÙNG – GIỚI HẠN TẠI VÔ CÙNG

(11)

-G hạn trái: x x0  x x0 & x < x0 (tức x x0 từ bên trái)

  : lim ( )

) ( lim

0

0 &

x f x

f x

f

x x x x x

x     

0

x

x0

x

0 & x x

x

x  

Minh họa:

VD: Giới hạn trái x 0  x < 0: lim lim 1

0

0 

 

  

x

x x

x

x x

G hạn phải: x x0+ x x0 & x > x0 (tức x x0 từ bên phải)

  : lim ( )

) ( lim

0

0 &

x f x

f x

f

x x x x x

x     

Minh họa: x0 x0  x

0 & x x

x

x  

          

   

 lim ( ) 0 , 0 & 0 0

0

x f x

f x

f x

f x

f

x x

Mệnh đề:

VD: Không tồn tại

x x

x

lim 

lim 1 lim 1

0

0     

x

x x

x

x x

GIỚI HẠN MỘT PHÍA

(12)

-Giới hạn tổng (hiệu, tích, thương) = Tổng (hiệu, tích, thương) giới hạn: Cho c số f(x), g(x): hàm số có giới hạn khi x a Khi đó

0 ) ( lim ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim . 5 ) ( lim ) ( lim )] ( ) ( [ lim . 4 ) ( lim )] ( [ lim . 3 ) ( lim ) ( lim )] ( ) ( [ lim . 2 ) ( lim ) ( lim )] ( ) ( [ lim . 1                          x g if x g x f x g x f x g x f x g x f x f c x cf x g x f x g x f x g x f x g x f a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x

GIỚI HẠN TỔNG – HIỆU – TÍCH – THƯƠNG

(13)

-Cho đồ thị hàm số y = f(x) y = g(x)

 x g x f

x xlim2 , lim1

b/ Tính giá trị giới hạn sau chúng tồn tại

y=f(x)

y=g(x)

   

        

 x g

x f x

g x f x

g x

f

x x

xlim2 5 2/ lim1 3/ lim2

/ 1

 

 

a/ Các giới hạn sau liệu có tồn hay không:

Giải: a/ f  x g x

x xlim2 1; Khoâng lim1

b/ 1/ –4 2/ – 3/: Khơng

VÍ DỤ

(14)

-Cho n N số a, c Nếu hàm f(x) có giới hạn a:

 

    

    (neáu n :chẵn,   phải 0)

11.

0) phải

a chẵn, :

n (nếu và

 

 

 

 

  

 

 

x f x

f x

f

a x

a x

a x

c c

x f x

f

a x n

a x n

a x

n n

a x

n n

a x

a x a

x

n a

x n

a x

lim lim

lim lim .

10 lim .

9

lim .

8 lim

. 7

lim lim

. 6

Nguyên tắc thay vào trực tiếp: Nếu f(x) – hàm biểu diễn công thức chứa hàm & a Dff  x f  a

a

x  lim

Tính chất tính liên tục f(x) (được xét riêng 3)

GIỚI HẠN HAØM SƠ CẤP CƠ BẢN

(15)

-VD: Tìm giới hạn 2 3 2 3 lim / 2 1 2 lim / 2

1  

 

 

x x

x x b x x a x x : 2 2 2 1 lim : VD x x x                

 0 0

0 lim    x x

Giới hạn hàm mũ, luỹ thừa x  :

            x x a a x

x 0 ,

, lim : 1              x x a a x x , , 0 lim : 1 0

Giải: a/ Thay vào trực tiếp (biểu thức sơ cấp, xác định):

3 1

b/ K0 thể thay vào trực tiếp (b/thức sơ cấp k0 x/định!):

  

   2 3

2 2 lim 2 1 2 2 1 lim 2 3 2 3 lim 2 2

1  

                x x x x x x x x x x x x x x x  

1 2 1 1

(16)

-GIỚI HẠN HÀM SỐ – NGƠN NGỮ DÃY (PHỔ THƠNG)

-Ngôn ngữ “dãy”:  tt x f  t a

n n

n   

 : 0

VD: Chứng minh khơng có giới hạn:

x b

x a

x x

sin lim /

sin lim

/

0

 

Nhận xét: Tương tự dùng dãy chứng minh dãy phân kỳ

a/ daõy:        

z n

n

yn n 2

2

& b/ daõy ???

Đừng nhầm lẫn với ví dụ sau Chứng minh khơng n

n sin

lim  

   n

n n

n

n t x f t

t

  

  

 : lim 0 & lim

       n

n n

n n

n n

n z y z x f y f z

y

  

 

 , : , 0 & lim lim

(17)

GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT: KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH

-Muõ, ln: 1 1

lim 0    x ex x

1  1

ln lim 0    x x x a x ax x ln 1 lim   

Lượng giác sin 1

lim 0   x x x 2 1 cos 1 lim 2 0    x x x 1 tg lim 0   x x x

Dạng 1 : Sử dụng số e

xe

x

x x

x

x    

        1 0 1 lim 1 1 lim

Cách 1: Dùng số e Cách 2: Lấy ln veá

VD:

2 2 2 2 lim           x x x x

Kỹ thuật:      lim lim  1

1 0 0

0 1 lim 1 lim           u v v v x x v x x x x x x e e

u   

(18)

QUY TẮC LOPITAN: KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH

-Dạng vô định: 0/0, /, , 0., 1 , 00 Biến đổi x/định Phương pháp: Nguyên tắc Lôpitan, vô bé tương đương Ngun tắc Lơpitan: Tính giới hạn (tồn tại) dạng 0/0, /

 

  ( )

) ( lim

" " lim

) ( '

) ( ' lim )

( ) (

lim (( ))

0

0

0 g x

x f

x g

x f

x g

x f

x g

x f

n n

x x x

x x

x x

x      

 1, 0

lim c/

sin

lim b/

1

1

lim 3

0

0  

 

  

xa

a x

x x

x x

x x

x x

x

a/ : VD

Chú ý : Đơn giản hoá biểu thức

  

0 2

1 sin

1 lim

x x

x

VD: Tính Không dùng Lôpitan giới hạn không .

x x

x x

x sin

sin lim

: VD

 

(19)

GIỚI HẠN KẸP

-Giới hạn kẹp      

 x h x a g x a

f x x x h x g x f x x x x x x                  ) ( lim lim lim 0 0 

Hệ quả:    

  0 lim ( ) 0

lim 0 0                x f x h x x x h x f x x x x

VD: Tìm giới hạn:

x x

x x

x x x

x    sin lim c/ sin lim b/ sin lim a/

0  

Giải: a/ Không b/ Kẹp c/ Đặc biệt:

               t t x x x x x t x sin lim 1 sin lim c/ 0 sin 0 b/

VD: Chứng minh e

x

x x  

Ngày đăng: 20/04/2021, 21:03

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w