M là điểm chính giữa cung AB của đường tròn (O) Kết luận: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD đạt giá trị nhỏ nhất bằng. khi và chỉ khi M là điểm chính giữa cung AB của đường tr[r]
(1)ĐỀ SỐ 9.
SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT MÔN: TỐN
Thời gian làm 120 phút ( khơng kể giao đề )
Bài 1: ( 1,5 điểm )
Xét dãy số với: Chứng minh rằng: Bài 2: ( 1,5 điểm )
Tìm k, m, n đôi khác nhau, khác để đa thức:
phân tích thành tích đa thức với hệ số nguyên
Bài 3: ( 1,5 điểm )
Chứng minh rằng: với m, n
Bài 4: ( điểm )
Cho tứ giác lồi có diện tích S = 1, tìm giá trị nhỏ tổng cạnh hai đường chéo
Bài 5: ( 3,5 điểm )
Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB, M điểm chuyển động nửa đường tròn Tiếp tuyến M cắt tiếp tuyến A B C D Đường thẳng OC cắt MA E, đường thẳng OD cắt MB F Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp xác định vị trí M để bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác CEFD nhỏ
(2)Bài 1:
Xét dãy số với: Chứng minh rằng:
Lời giải:
Với , ta có: (1)
Bằng quy nạp, dễ dàng suy ra:
Suy
Hay là:
Suy ra: (2)
Với n=145, ta có: (3)
Từ (2), kết hợp với suy (4)
Từ (1) (4) suy ra:
Và quy nạp, ta dễ dàng suy ra: Hay là:
Suy
Và đó, với n=145, ta có: (5)
Từ (3) (5) suy điều phải chứng minh Bài 2:
Tìm k, m, n đơi khác nhau, khác để đa thức
phân tích thành tích đa thức với hệ số nguyên Lời giải:
(3)Bây giờ, nhận thấy k, m, n có vai trị đa thức ban đầu, từ điều kiện tốn, ta giả sử (*)
Trong trường hợp (I) (II) ta có: (7) Mặt khác:
Dễ dàng nhận thấy dấu đẳng thức xảy ra, dẫn đến Trái với điều kiện ban đầu k, m, n khác toán
Vậy (8)
Thay (8) vào (7) ta được: Suy ra:
Vì nên xảy trường hợp: hoặc
a) Với Suy Ta tìm giá trị k hệ cho:
(loại)
Vì Nên ta có bộ nghiệm khơng lặp hốn vị thỏa
mãn tốn là:
Thử lại, ta có:
Và:
b)
(4)Vì nên , có nghiệm khơng lặp
hoán vị trường hợp này:
Thử lại, ta có:
Và
Ta có, với hệ:
Đẳng thức (9) xảy trường hợp với
c)
Ta có, với hệ:
Đẳng thức (10) xảy trường hợp với Ta có, với hệ:
Vì nên , và xảy
(5)Vậy , , nghiệm khơng lặp hốn vị thỏa mãn tốn
Bài 3:
Chứng minh rằng: với m, n
Lời giải:
Dễ dàng nhận thấy số hữu tỷ số vô tỷ Suy Xét trường hợp sau:
a)
Suy ,
Từ suy
Mặt khác:
Suy .ĐPCM
b)
Suy ,
Từ suy
Mặt khác:
Suy .ĐPCM
Bài 4:
Cho tứ giác lồi có diện tích S=1, tìm giá trị nhỏ tổng cạnh hai đường chéo
Lời giải:
(6)Ta có:
(1) Và :
(2) (1)+(2) vế theo vế, ta được:
(3)
Mặt khác: (4)
Từ (3) (4) suy (5)
Lại có:
Suy
Hay : (6)
Mặt khác (7)
Từ (6) (7) suy (8)
Từ (5) (8) suy ra: (9)
Dấu đẳng thức (9) xảy xảy dấu đẳng thức (1), (2), (4), (6) Khi tứ giác ABCD hình vng, có cạnh đơn vị
Vậy giá trị nhỏ tổng cần tìm Bài 5:
Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB, M điểm chuyển động nửa đường tròn Tiếp tuyến M cắt tiếp tuyến A B C D Đường thẳng OC cắt MA E, đường thẳng OD cắt MB F Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp xác định vị trí M để bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD nhỏ
Lời giải:
Dễ dàng nhận thấy E trung điểm MA, F trung điểm MB Từ suy OE, OF, EF đường trung bình tam giác MAB
Vì nên tứ giác OMDB tứ giác nội tiếp
(1)
Lại có ( đồng vị) (2)
(7)(4) Từ (1), (2), (3), (4) suy
Suy tứ giác CEFD nội tiếp ĐPCM
Gọi I, K trung điểm CE, DF, J giao điểm hai đường trung trực CE DF
Dễ dàng nhận thấy J tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD , JI CE , JK DF tứ giác JKOI hình chữ nhật
Vì J tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác CEFD nên JF bán kính đường trịn Ta cần tìm giá trị nhỏ JF
Ta có:
Mặt khác:
Do đó: Vì
Do Suy
Dấu đẳng thức xảy khi:
M điểm cung AB đường trịn (O) Kết luận: Bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác CEFD đạt giá trị nhỏ