Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng.. Trước khi làm việc đội xe đó được bổ sung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định.. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe?. Biết rằn
Trang 1PHÒNG GD&ĐT ANH SƠN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 2 TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015-2016
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,5điểm) Cho biểu thức P 1 1 : x 1
x x x 1 x 2 x 1
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn P
b) Tính P khi x = 4
9 . c) Tìm x để biểu thức P > -1
Câu 2 (2,5điểm) Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1) với x là ẩn số a) Giải phương trình (1) khi m = 0
b) Tìm giá trị của tham số m để x = - 2 là một nghiệm của phương trình c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A= x12 + x22
Câu 3 (1,5 điểm) Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng Trước khi làm việc đội
xe đó được bổ sung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lượng bằng nhau
Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, Vẽ đường tròn
tâm O đường kính AH, đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại E và F
a) Chứng minh rằng: Tứ giác AEHF là hình chữ nhật
b) Chứng minh rằng: BEFC là tứ giác nội tiếp
c) Gọi K là trung điểm của HC Đường vuông góc với EC tại C cắt KF tại
P Chứng minh rằng BP song song với AC
Câu 5 (0,5điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện : 1 1 1 1
Chứng minh rằng:
4
a bc b ca c ab
-HẾT -Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 2PHÒNG GD&ĐT ANH SƠN KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG TUYỂN SINH
VÀO 10 THPT NĂM 2015-2016
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
1
(2,5đ
)
x P
a
1,0đ
ĐKXĐ : x > 0; x 1
x ( x 1) x 1 ( x 1)
=
2
x 1 ( x 1)
x ( x 1) x 1
= x 1
x
0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
b
0,75đ
Ta có x = 4
9 ĐKXĐ Nên thay x = 4
9 vào P ta có
P =
1
4
3 3 9
0,25đ
0,5đ c
0,75đ
Với x ĐKXĐ ta có P > -1
x 1 x
>-1 x 1 >- x 2 x >1 x >1
2
x > 1
4và x 1
0,5đ 0,25đ 2
(2,5đ
)
Cho phương trình: x2 – 2(m-1)x + m – 3 = 0 (1) với
x là ẩn số a
1,0 đ
Thay m = 0 vào phương trình (1) ta có
x2 – 2(0-1)x + 0 – 3 = 0
x2 + 2x – 3 = 0
Vì a+ b + c = 1 + 2 + (-3) = 0 Nên áp dụng hệ thức Vi- ét ta có x1 = 1; x2 = - 3
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ B
0,75đ
Thay x = - 2 vào phương trình (1) ta có (-2)2 + 4(m-1) + m – 3 = 0
4 + 4m – 4 + m - 3=0 5m =3 m =3
5
0,25đ 0,25đ 0,25đ
Trang 30,75đ
Ta có '
= (m-1)2 – (m – 3) = m2 – 2m + 1 – m + 3
= m2 – 3m + 4
ĐK để phương trình có nghiệm là m2 – 3m + 4 0 Theo hệ thức Vi- ét ta có
x1+ x2 = 2(m-1) ; x1.x2 = m - 3
Ta có: A= x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2 x1.x2
= 4(m-1)2 – 2(m- 3) = 4m2 – 10m + 10
= (2m – 5
2)2 + 15
4
Do (2m – 5
2)2 0 với mọi m nên A 15
4 với mọi m Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m = 5
4
Vậy min A = 15
4 khi m = 5
4
0,25đ
0,25đ
0,25đ
3
(1,5đ
)
1,5đ
Gọi số xe lúc đầu của đội là x (xe) ĐK: x Z
Thì số xe lúc sau của đội là: x + 3 (xe) Mỗi xe lúc đầu dự định chở là: 360
x (tấn) Mỗi xe lúc sau phải chở là: 360
x 3 ( tấn) Theo bài ra ta có phương trình
36
x - 36
x 3 = 1 36.x + 108 – 36x = x2 + 3x
x2 + 3x -108 = 0 Giải phương trình ta được
x1 = 9 ( Thỏa mãn) ; x2 = -12 ( Loại) Vậy lúc đầu đội có 9xe
0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ A
K
F
E
H
P
Trang 43,0đ
a
1,0đ
Xét tứ giác AEHF ta có
EAF 90 ( Vì tam giác ABC vuông tại A)
AEH 90 ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
AFH 90 ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Tứ giác AEHF là hình chữ nhật
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b
1,0đ
Ta có:
AEF AHF ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AF)
AHF =HCF( Vì cùng phụ với góc CHF) Nên AEF =HCF
Do đó Tứ giác BEFC nội tiếp
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ c
1,0đ
Ta có
EFP ECP ( = 900) Nên tứ giác EFCP nội tiếp mà Tứ giác BEFC nội tiếp nên 5 điểm B, E, F, C, P cùng nằm trên 1 đường tròn
Do đó Tứ giác BECP nội tiếp Nên EBP ECP 180 0 mà ECP = 900
Do đó EBP = 900 nên BP AB mà AC AB
Vì vậy AC //BP
0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ 5
0,5đ 0,5đ
Từ giả thiết suy ra ab + bc + ca = abc Ta có
a bc a abc a ab bc ca (a b)(a c)
Do đó bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại:
3
a (a b)(a c) +
3
b (b c)(b a) +
3
c (c a)(c b)
a b c 4
Sử dụng BĐT Cauchy, ta được
3
a (a b)(a c) +a b
8
+a c 3a
8 4
3
a 4a b c (a b)(a c) 8
Cộng bất đẳng thức này với hai bất đẳng thức tương
tự, ta thu được ngay kết quả cần chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3
0,25đ
0,25 đ