PHÒNG GD&ĐT ANH SƠN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 2 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015-2016 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,5điểm). Cho biểu thức 1 1 x 1 P : x x x 1 x 2 x 1 + = + ÷ − − − + a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn P. b) Tính P khi x = 4 9 . c) Tìm x để biểu thức P > -1. Câu 2 (2,5điểm). Cho phương trình: x 2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1) với x là ẩn số. a) Giải phương trình (1) khi m = 0. b) Tìm giá trị của tham số m để x = - 2 là một nghiệm của phương trình. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A= x 1 2 + x 2 2 . Câu 3 (1,5 điểm). Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng. Trước khi làm việc đội xe đó được bổ sung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lượng bằng nhau. Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH, đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại E và F. a) Chứng minh rằng: Tứ giác AEHF là hình chữ nhật. b) Chứng minh rằng: BEFC là tứ giác nội tiếp. c) Gọi K là trung điểm của HC. Đường vuông góc với EC tại C cắt KF tại P. Chứng minh rằng BP song song với AC. Câu 5 (0,5điểm). Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện : 1 1 1 1+ + = a b c . Chứng minh rằng: 2 2 2 4 + + + + ≥ + + + a b c a b c a bc b ca c ab HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GD&ĐT ANH SƠN KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM 2015-2016 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Câu Ý Nội dung cần đạt Biểu điểm 1 (2,5đ ) Cho biểu thức 1 1 1 : 1 2 1 x P x x x x x + = + ÷ − − − + a 1,0đ ĐKXĐ : x > 0; x ≠ 1 Ta có 2 1 1 x 1 P : x( x 1) x 1 ( x 1) + = + ÷ − − − = 2 x 1 ( x 1) x( x 1) x 1 + − × − + = x 1 x − 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b 0,75đ Ta có x = 4 9 ∈ ĐKXĐ Nên thay x = 4 9 vào P ta có P = 4 2 1 1 1 1 9 3 3 2 2 2 4 3 3 9 − − − = = = − 0,25đ 0,5đ c 0,75đ Với x ∈ ĐKXĐ ta có P > -1 ⇔ x 1 x − >-1 ⇔ x 1− >- x ⇔ 2 x >1 ⇔ x > 1 2 ⇔ x > 1 4 và x 1≠ 0,5đ 0,25đ 2 (2,5đ ) Cho phương trình: x 2 – 2(m-1)x + m – 3 = 0 (1) với x là ẩn số a 1,0 đ Thay m = 0 vào phương trình (1) ta có x 2 – 2(0-1)x + 0 – 3 = 0 ⇔ x 2 + 2x – 3 = 0 Vì a+ b + c = 1 + 2 + (-3) = 0 Nên áp dụng hệ thức Vi- ét ta có x 1 = 1; x 2 = - 3 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ B 0,75đ Thay x = - 2 vào phương trình (1) ta có (-2) 2 + 4(m-1) + m – 3 = 0 ⇔ 4 + 4m – 4 + m - 3=0 ⇔ 5m =3 ⇔ m = 3 5 0,25đ 0,25đ 0,25đ c 0,75đ Ta có ' ∆ = (m-1) 2 – (m – 3) = m 2 – 2m + 1 – m + 3 = m 2 – 3m + 4 ĐK để phương trình có nghiệm là m 2 – 3m + 4 0 ≥ Theo hệ thức Vi- ét ta có x 1 + x 2 = 2(m-1) ; x 1 . x 2 = m - 3 Ta có: A= x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 - 2 x 1 . x 2 = 4(m-1) 2 – 2(m- 3) = 4m 2 – 10m + 10 = (2m – 5 2 ) 2 + 15 4 Do (2m – 5 2 ) 2 ≥ 0 với mọi m nên A ≥ 15 4 với mọi m Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m = 5 4 Vậy min A = 15 4 khi m = 5 4 0,25đ 0,25đ 0,25đ 3 (1,5đ ) 1,5đ Gọi số xe lúc đầu của đội là x (xe). ĐK: x Z + ∈ Thì số xe lúc sau của đội là: x + 3 (xe) Mỗi xe lúc đầu dự định chở là: 360 x (tấn) Mỗi xe lúc sau phải chở là: 360 x 3+ ( tấn) Theo bài ra ta có phương trình 36 x - 36 x 3 + = 1 ⇔ 36.x + 108 – 36x = x 2 + 3x ⇔ x 2 + 3x -108 = 0 Giải phương trình ta được x 1 = 9 ( Thỏa mãn) ; x 2 = -12 ( Loại) Vậy lúc đầu đội có 9xe 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ A K F E B C H P 4 3,0đ a 1,0đ Xét tứ giác AEHF ta có · 0 EAF 90= ( Vì tam giác ABC vuông tại A) · 0 AEH 90= ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) · 0 AFH 90= ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ Tứ giác AEHF là hình chữ nhật 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b 1,0đ Ta có: · · AEF AHF= ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AF) · AHF = · HCF ( Vì cùng phụ với góc · CHF ) Nên · AEF = · HCF Do đó Tứ giác BEFC nội tiếp 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ c 1,0đ Ta có · · EFP ECP= ( = 90 0 ) Nên tứ giác EFCP nội tiếp mà Tứ giác BEFC nội tiếp nên 5 điểm B, E, F, C, P cùng nằm trên 1 đường tròn Do đó Tứ giác BECP nội tiếp Nên · · 0 EBP ECP 180+ = mà · ECP = 90 0 Do đó · EBP = 90 0 nên BP ⊥ AB mà AC ⊥ AB Vì vậy AC //BP 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 5 0,5đ 0,5đ Từ giả thiết suy ra ab + bc + ca = abc. Ta có 2 3 3 3 2 2 a a a a a bc a abc a ab bc ca (a b)(a c) = = = + + + + + + + Do đó bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại: 3 a (a b)(a c)+ + + 3 b (b c)(b a)+ + + 3 c (c a)(c b)+ + a b c 4 + + ≥ Sử dụng BĐT Cauchy, ta được 3 a (a b)(a c)+ + + a b 8 + + a c 3 a 8 4 + ≥ 3 a 4a b c (a b)(a c) 8 − − ⇒ ≥ + + Cộng bất đẳng thức này với hai bất đẳng thức tương tự, ta thu được ngay kết quả cần chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3 0,25đ 0,25 đ . có x 1 + x 2 = 2( m-1) ; x 1 . x 2 = m - 3 Ta có: A= x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 - 2 x 1 . x 2 = 4(m-1) 2 – 2( m- 3) = 4m 2 – 10m + 10 = (2m – 5 2 ) 2 + 15 4 Do (2m – 5 2 ) 2 ≥ 0 với. GD&ĐT ANH SƠN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 2 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 20 15- 20 16 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2, 5điểm). Cho biểu. rằng: 2 2 2 4 + + + + ≥ + + + a b c a b c a bc b ca c ab HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GD&ĐT ANH SƠN KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM 20 15- 20 16 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG