Để chứng minh điều này, ta chỉ cần chứng minh 3 điểm E, D, H’ thẳng hàng. Vậy H’ trùng với H[r]
(1)ĐỀ SỐ 7.
SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT MÔN: TỐN
Thời gian làm 120 phút ( khơng kể giao đề )
Bài 1: ( điểm )
a) Tìm tất cặp số nguyên dương m; n cho 2m + chia hết cho n 2n +1 chia hết cho m
b) Có số có chữ số cấu tạo chữ số 2, 3, chia hết cho
c) Có tồn hay không cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn phương trình sau:
Bài 2: ( điểm )
Cho x, y, z số dương Chứng minh rằng: Bài 3: ( 1,5 điểm )
Tìm x, y, z thỏa mãn: Bài 4: ( điểm )
a)Với số nguyên duơng n, đặt , Chứng minh với n, chia hết cho không chia hết cho
b)Tìm ba số nguyên dương đơi khác cho tích chúng tổng chúng
Bài 5: ( 1,5 điểm )
Cho tam giác ABC, D E tiếp điểm đường tròn nội tiếp (I) với cạnh AC, AB Gọi H giao điểm BI với DE Chứng minh tam giác BHC tam giác vuông
(2)ĐỀ SỐ 7.
Bài 1: a) Tìm tất cặp số nguyên dương (m; n) cho 2m + chia hết cho n 2n +1 chia hết cho m
b) Có số có chữ số cấu tạo chữ số 2, 3, chia hết cho
c) Có tồn hay không cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn phương trình sau:
Lời giải: a)
–Xét trường hợp m n
Ta có 0< 2n + 2m +1 3m
Mặt khác 2n + chia hết cho m nên xảy trường hợp: *) 2n + = 3m Vì m n nên xảy trường hợp m = n = *) 2n + = 2m Loại chẳn lẻ
*) 2n + = m Khi 2m + = 4n + 2m + chia hết cho n n = n = Và ta cặp nghiệm (m; n) = (3; 1), (7; 3)
–Xét trường hợp m < n
Giải tương tự ta (m; n) = (1; 3), (3; 7) Kết luận:
Các cặp số nguyên dương (m; n) thỏa mãn toán là: (1; 1), (1; 3), (3; 1), (3; 7), (7; 3)
b) Gọi số có chữ số A Gọi x số chữ số 2, y số chữ số z số chữ số A Ta có: x + y + z =
Mặt khác A chia hết cho tổng chữ số A chia hết cho Hay nói cách khác 2x + 3y + 5z chia hết cho
(3)Hệ (1) có nghiệm là: (x; y; z) = (0; 6; 0), (2; 3;1), (4;0;2) Hệ (2) có nghiệm (1;0;5)
Với (x; y; z) = (0; 6; 0) có số A thỏa mãn toán
Với (x; y; z) = (2; 3; 1) có số A thỏa mãn toán Với (x; y; z) = (4; 0; 2) có số A thỏa mãn tốn Với (x; y; z) = (1; 0; 5) có số A thỏa mãn tốn Vậy có tất + 60 + 15 + = 82 số thỏa mãn toán
c) Ta giả sử tồn cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn phương trình
Ta có: (1)
Vì p, q số nguyên tố nên p>0, q>0
Suy có chữ số tận 5. Suy vế trái (1) chia hết cho 10 (2)
Mặt khác q2 số phương nên q2 khơng thể tận 7,
vế phải (1) chia hết cho 10 (3) (2) (3) suy điều vô lý
Vậy không tồn cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn toán Bài 2:
Cho x, y, z số dương Chứng minh rằng: (1)
Lời giải:
(4)Điều theo áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski Dấu đẳng thức xảy hay nói cách khác: Trở tốn cho,áp dụng bổ đề, ta có:
ĐPCM Dấu đẳng thức xảy khi:
Bài 3:
Tìm x, y, z thỏa mãn: (*)
Lời giải:
Dễ thấy (x; y; z)=(0; 0; 0) nghiệm phương trình cho
Ta chứng minh (x; y; z)=(0; 0; 0) nghiệm phương trình (*) Thật vậy:
Giả sử tồn nghiệm thỏa mãn phương trình (*), ta có: (1)
Gọi k lớn nhất, cho: và (2)
Đặt ; ; ( , , ) (3)
Thay (3) vào phương trình (1) rút gọn, ta được: (4)
(5)Thay (5) vào (4) rút gọn ta được: (6)
Từ (6) suy , ta đặt (7) Thay (7) vào (6) rút gọn, ta được:
(8)
Từ (8) suy , ta đặt (9)
Từ (3), (5), (7), (9) ta có: ; ;
Và ; ; (10)
So sánh (2) (10) ta thấy vơ lý, từ suy (0;0;0) nghiệm phương trình cho
Bài 4:
a)Với số nguyên duơng n, đặt , Chứng minh với n, chia hết cho không chia hết cho
b)Tìm ba số ngun dương đơi khác cho tích chúng tổng chúng
Lời giải:
a)Ta có:
ĐPCM
b) Gọi số nguyên dương cho m, n, p Khơng tính tổng quát ta giả sử m<n<p Khi
Theo giả thiết, ta có
Vì nên: Suy Hay Suy
Mặt khác nên Dấu đẳng thức xảy Khi
(6)Cho tam giác ABC, D E tiếp điểm đường tròn nội tiếp (I) với cạnh AC, AB Gọi H giao điểm BI với DE Chứng minh tam giác BHC tam giác vuông
Lời giải:
Gọi H’ hình chiếu C đường thẳng BI Ta chứng minh H trùng với H’ Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh điểm E, D, H’ thẳng hàng Gọi số đo góc tam giác ABC
Ta có:
Vì
nên tứ giác CIH’D tứ giác nội tiếp
Mặt khác:
tứ giác ADIE tứ giác nội tiếp
Từ đó, ta có:
Suy E, D, H’ điểm thẳng hàng Vậy H’ trùng với H