Chuyên đề Các bài toán về định lí Ta-lét Toán 8

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn[r]

(1)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Chuyên đề

CÁC BÀI TỐN VỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT 1 Kiến thức cần nhớ

* Định lí Ta - lét: ABC

MN // BC

 

  

AM AN = AB AC

* Hệ quả: MN // BC  AM = AN MN AB AC = BC

2 Bài tập áp dụng Bài

Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC G

a) chứng minh: EG // CD

b) Giả sử AB // CD, chứng minh AB2 = CD EG Giải

Gọi O giao điểm AC BD a) Vì AE // BC  OE = OA

OB OC (1)

BG // AC  OB = OG OD OA (2)

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: OE = OG

OD OC  EG // CD

b) Khi AB // CD EG // AB // CD, BG // AD nên

AB OA OD CD AB CD

= = AB CD EG

EG OG = OB ABEG = AB =

Bài

Cho ABC vuông A, Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD vuông cân B, ACF vuông cân C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm Ac BF

O

G E

D C

(2)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

Chứng minh rằng: a) AH = AK b) AH2 = BH CK Giải

Đặt AB = c, AC = b

BD // AC (cùng vng góc với AB)

nên AH AC b AH b AH b

HB =BD= c HB = c HB + AH = b + c

Hay AH b AH b AH b.c

AB =b + c  c =b + c = b + c (1)

AB // CF (cùng vng góc với AC) nên AK AB c AK c AK c

KC = CF = b KC = b KC + AK =b + c

Hay AK b AK c AK b.c

AC = b + c b =b + c =b + c (2)

Từ (1) (2) suy ra: AH = AK b) Từ AH AC b

HB = BD = c

AK AB c

KC = CF =b suy

AH KC AH KC

HB =AK  HB =AH(Vì AH = AK)

 AH2 = BH KC Bài

Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a qua A cắt BD, BC, DC theo thứ tự E, K, G Chứng minh rằng:

a) AE2 = EK EG b) 1

AE= AK+AG

c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí qua A tích BK DG có giá trị khơng đổi

Giải

a) Vì ABCD hình bình hành K  BC nên AD // BK, theo hệ định lí Ta-lét ta có:

2

EK EB AE EK AE

= = AE EK.EG AE ED EG AE = EG =

H

F K

D

C B

A

G b

a

E K

D C

(3)

b) Ta có: AE = DE AK DB ;

AE BE =

AG BD nên

AE AE BE DE BD 1

= AE

AK AG BD DB BD AK AG

 

+ + = =   + =

  

1 1

AE =AK+AG (đpcm)

c) Ta có: BK = AB BK = a KC CG KC CG (1);

KC CG KC CG = =

AD DG b DG (2)

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: BK = a BK DG = ab

b DG  khơng đổi (Vì a = AB; b = AD độ dài

hai cạnh hình bình hành ABCD không đổi) Bài 4:

Cho tứ giác ABCD, điểm E, F, G, H theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1:2 Chứng minh rằng:

a) EG = FH

b) EG vng góc với FH Giải

Gọi M, N theo thứ tự trung điểm CF, DG Ta có CM =

2 CF =

3BC 

BM = BC 

BE BM = = BA BC

EM // AC  EM BM = EM = 2AC AC = BE  (1)

Tương tự, ta có: NF // BD  NF CF = NF = 2BD BD =CB  (2)

mà AC = BD (3)

Từ (1), (2), (3) suy : EM = NF (a)

Tương tự ta có: MG // BD, NH // AC MG = NH =

3AC (b)

Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC ⊥ BD EM ⊥ MG  EMG = 90 (4) Q

P O

N M

H F

G E

D

(4)

Tương tự, ta có: FNH = 90 (5)

Từ (4) (5) suy EMG = FNH = 90 (c)

Từ (a), (b), (c) suy EMG = FNH (c.g.c)  EG = FH

b) Gọi giao điểm EG FH O; EM FH P; EM FN Q

PQF = 90  QPF + QFP = 90 mà QPF = OPE (đối đỉnh), OEP = QFP (0 EMG = FNH) Suy EOP = PQF = 90  EO ⊥ OP  EG ⊥ FH

Bài

Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD Từ D vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AC M AB K, Từ C vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AB F, qua F ta lại vẽ đường thẳng song song với AC, cắt BC P Chứng minh

a) MP // AB

b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy Giải

a) EP // AC  CP = AF PB FB (1)

AK // CD  CM = DC AM AK (2)

tứ giác AFCD, DCBK la hình bình hành nên AF = DC, FB = AK (3)

Kết hợp (1), (2) (3) ta có CP CM

PB= AM  MP // AB (Định lí

Ta-lét đảo) (4)

b) Gọi I giao điểm BD CF, ta có: CP CM

PB= AM = DC DC

AK = FB

Mà DC DI

FB = IB (Do FB // DC) 

CP DI

PB = IB IP // DC // AB (5)

Từ (4) (5) suy : qua P có hai đường thẳng IP, PM song song với AB // DC nên theo tiên đề Ơclít ba điểm P, I, M thẳng hang hay MP qua giao điểm CF DB hay ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy

Bài

Cho ABC có BC < BA Qua C kẻ đường thẳng vng gốc với tia phân giác BE ABC ; đường thẳng cắt BE F cắt trung tuyến BD G Chứng minh đoạn thẳng EG bị đoạn thẳng DF chia làm hai phần

I P

F K M

D C

(5)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Giải

Gọi K giao điểm CF AB; M giao điểm DF BC

KBC có BF vừa phân giác vừa đường cao nên KBC cân B  BK = BC FC = FK

Mặt khác D trung điểm AC nên DF đường trung bình  AKC  DF // AK hay DM // AB

Suy M trung điểm BC DF =

2 AK (DF đường trung bình AKC), ta có BG BK

=

GD DF ( DF // BK) 

BG BK 2BK =

GD DF = AK (1)

Mổt khác CE DC - DE DC AD

DE = DE = DE− = DE− (Vì AD = DC) 

CE AE - DE DC AD

1

DE = DE = DE− = DE −

Hay CE AE - DE AE AB DE= DE − = DE− = DF− (vì

AE DE =

AB

DF : Do DF // AB)

Suy CE AK + BK 2(AK + BK)

DE = DE − = AK − (Do DF =

2AK) 

CE 2(AK + BK) 2BK

DE = AK − = AK (2)

Từ (1) (2) suy BG

GD = CE

DE  EG // BC

Gọi giao điểm EG DF O ta có OG = OE = FO MC MB FM

 

 

   OG = OE 3 Bài tập tự luyện

Bài 1:

Cho tứ giác ABCD, AC BD cắt O Đường thẳng qua O song song với BC cắt AB E; đường thẳng song song với CD qua O cắt AD F

a) Chứng minh FE // BD

b) Từ O kẻ đường thẳng song song với AB, AD cắt BD, CD G H Chứng minh: CG DH = BG CH

Bài 2:

Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia đối tia BC cho BN = CM; đường thẳng DN, DM cắt AB theo thứ tự E, F

Chứng minh: a) AE2 = EB FE b) EB =

2

AN DF

 

 

  EF

Bài 3: Viết tỉ số cặp đoạn thẳng sau a AB = 125cm, CD = 625cm

M

G K

F

D E C

B

(6)

b EF = 45cm, E'F' = 13,5dm c MN =555cm, M'N'=999cm d PQ =10101cm, P'Q' = 303,03m

Bài 4: Cho hình thang ABCD có AB // CD AB < CD Đường thẳng song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N

Chứng minh rằng:

D

MA NB

(7)

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I.Luyện Thi Online

-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây

dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học -Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao HSG

-Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

-Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành

cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	399,5 KB