Giao an BD Toan 8 T1 T30

Bài 1: Gọi VT của bất đẳng thức là A và VP của bất đẳng thức là B (Nếu không nói gì thêm qui ước này được dùng cho các bài tập khác).Với các BĐT có dấu   ; thì cần tìm điều kiện của [r]

Phòng GD-ĐT Gio Linh Trường THCS Gio Mai

PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH BD HSG TỐN 8 Năm học 2009 – 2010

(Từ tuần 13 đến tuần 31)

-o0o -Chuyên đề Tiết Nội dung

1.Phân tích đa thức 1-2-3 Các ví dụ - Phương pháp giải thành nhân tử.(9 tiết) 4-5-6 Luyện tập

7-8-9 Luyện tập

2.Tính chất chia hết trong N.(11 tiết)

10-11-12 Một số dấu hiệu chia hết – Một ví dụ minh hoạ

13-14 Một số định lí phép chia hết - Ví dụ minh hoạ

15-16 Đồng dư thức - Một số ví dụ minh hoạ 17-18 Phương pháp chứng minh quy nạp - Một

số ví dụ minh hoạ

19-20 Luyện tập

3.Bất đẳng thức -Cực 21-22 Bất đẳng thức Cô si Hệ quả

trị .(10 tiết) 23-24 Phương pháp xét hiệu hai vế

25-26 Phương pháp xét hiệu hai vế (tiếp theo) 27-28 Tìm GTLN – GTNN đa thức dạng 29-30 Tìm GTLN – GTNN đa thức dạng 4.Một số Bất đẳng

thức thường dùng

31-32 Phương pháp chứng minh dựa vào số BĐT cho sẳn

.(6 tiết) 33-34 Luyện tập

35-36 Luyện tập ( tiếp theo) 5.Tứ giác - Một số tứ

giác đặc biệt.(12 tiết)

37-38-39 Các tứ giác đặc biệt: Tính chất – Dấu hiệu nhận biết

40-41-42 Luyện tập

43-44-45 Luyện tập

46-47-48 Luyện tập

6.Phương pháp diện 49-50-51 Một số ví dụ tích - Cực trị hình

học .(6 tiết)

52-53-54 Luyện tập

7.Phân thức Đại số .

(15 tiết)

55-56-57 Biến đổi đồng Biểu thức hữu tỉ-Một số ví dụ

58-59-60 Luyện tập

61-62-63 Tính giá trị biểu thức-Một số ví dụ

64-65-66 Luyện tập

67-68-69 GTLN – GTNN biểu thức dạng

m P

ax bx c 

8.Tam giác đồng dạng - Định lí Ta-lét

70-71 Định lí Ta-lét-Một số ví dụ

.(13 tiết) 72-73-74 Luyện tập

75-76 Các trường hợp đông dạng

77-78-79 Luyện tập

80-81-82 Luyện tập

9.Ôn tập-Thi thử 83-84-85 Ôn tập

.(13 tiết) 86-87-88 Ôn tập

89-90-91 Thi thử

92-93-94 Thi thử

95 Một số kinh nghiệm làm thi Danh sách Đội tuyển HSG Toán – Năm học 2009 – 2010

STT Họ tên Lớp

1. Lê thị Ngọc Trâm 8C

2. Trương Khắc Tài 8C

3. Hà Ngọc Tiến 8C

4. Trương Khắc Quốc 8B

Chuyên đề 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Tiết  3 :

Các ví dụ phương pháp giải

Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a ax21 xa2 1

b x xn xn

 

 3

Giải:

a Dùng phương pháp đặt nhân tử chung x2 1 xa2 1

a = ax2a a2x x

        1 ax x a x a x a ax

b Dùng phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng đẳng thức n

n x

x

x 1 3  xnx3 1x1

           1 1

1 1 1 1 2                 

 n n

n n n x x x x x x x x x x x x x

Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử : a x8 + 3x4 + 4.

b x6 - x4 - 2x3 + 2x2

Giải:

a.Dùng phương pháp tách hạng tử sử dụng đẳng thức x8 + 3x4 + = (x8 + 4x4 + 4)- x4

= (x4 + 2)2 - (x2)2

= (x4 - x2 + 2)(x4 + x2 + 2)

b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ,tách hạng tử ,nhóm thích hợp để sử dụng đẳng thức

x6 - x4 - 2x3 + 2x2 = x2(x4 - x2 - 2x +2)

   

 

   

      

 1  2

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2                   x x x x x x x x x x x x x x x

Ví dụ 3:

Phân tích đa thức thành nhân tử :

a 2a2b 4ab2 a2c ac2 4b2c 2bc2 4abc

     

b 2007 2006 2007

 

 x x

x

Giải:

a.Dùng phương pháp tách hạng tử nhóm thích hợp:

abc bc c b ac c a ab b

a 4

2 2 2 2

                      

a b b ca c

c b c c b a b a bc c ac ab b a b a bc b a c b a ac b a ab abc bc c b ac abc c a ab b a abc bc c b ac c a ab b a                                      2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2

b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng đẳng thức 2007

206 2007

4  x  x

x

 

    

 1 2007

1 2007 1 2007 2007 2007 2 2                  x x x x x x x x x x x x x x

Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : a.a3 b3 c3 3abc

b a b c3 a3 b3 c3     

Giải: Sử dụng đẳng thức

a ba b ab b

a3 3  2 2 ab  ab2 3ab



ab  abab

 3 Do đó:

 



b c abc

a3 3 a b3 c3 3aba b 3abc

               a b ca b c ab bc ca

c b a ab c c b a b a c b a                   2 2

b  3 3  3 3  3

c b a c b a c b a c b

a          

         

b c a ab bc ca b ca ca b

c bc b c b a c b a a c b a c b                      3 3 2 2

Ví dụ 5: Cho a + b + c =

Chứng minh :a3 + b3 + c3 = 3abc.

Giải: Vì a + b + c =    

abc c b a abc c b a c b a ab b a c b a 3 3 3 3 3 3 3                   

Ví dụ 6: Cho 4a2 + b2 = 5ab, 2a > b > Tính

2

4a b ab P

 

Giải: Biến đổi 4a2 + b2 = 5ab  4a2 + b2 - 5ab = 0

 ( 4a - b)(a - b) =  a = b Do 3 2

2  

  a a b a ab P

Ví dụ 7:Cho a,b,c x,y,z khác khác Chứng minh nếu:

1 ;

0   

   c z b y a x z c y b x a

; 2

2 2 2    c z b y a x

Giải:   0   0 ayzbxzcxy0 xyz cxy bxz ayz z c y b x a 1 2 2 2 2 2 2 2                        c z b y a x abc cxy bxz ayz c z b y a x c z b y a x c z b y a x

Tiết -9

Bài tập vận dụng - Tự luyện

1 Phân tích đa thức thành nhân tử : a 12

  x

x

b x2 8x15 c 16

  x

x

d 3

   x x

x

2 Phân tích đa thức thành nhân tử :

 2 2  15   

 x x x

x

3 Phân tích đa thức thành nhân tử 1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x - y)a3.

2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc 3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz.

4 Tìm x,y thỏa mãn: x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14.

5 Cho a +| b + c + d =

Chứng minh a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd).

2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2).

7 Chứng minh với x,y nguyên :

A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)

số phương

8 Biết a - b = Tính giá trị biểu thức sau:

 1 2 1  1

2      

 b b ab aba b

a a

9 Cho x,y,z số thỏa mãn đồng thời:

              1 1 1 3 2 z y x z y x z y x

Hãy tính giá trị biếu

thức

P =  117  19  11997

   

 y z

x

10

a.Tính 12 22 32 42 992 1002 1012

      

b.Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 53.

Tính ab + bc + ca

11 Cho số x,y,z thỏa mãn điều kiện

x + y + z = xy + yz + zx =

Hãy tính giá trị Biếu thức : S = (x-1)2005 + (y - 1)2006 + (z+1)2007

12 Cho số a,b,c thỏa điều kiện :

c b a c b

a    

1

1

Tính Q = (a25 + b25)(b3 + c3)(c2008 - a2008).

==========o0o========== HƯỚNG DẪN:

1 Phân tích đa thức thành nhân tử : a 12  4 3

   

 x x x

x

b 15  3 5    

 x x x

x

c 16  2 8    

 x x x

x

d 3  1 2 3

     

 x x x x x

x

2 Phân tích đa thức thành nhân tử :

 2 2  15  5 3

       

 x x x x x x x

x

3 Phân tích đa thức thành nhân tử 1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x-y)a3

x yx ay axya 

2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc

abbcca 

3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz xyyzzx

4 x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14

 12 2 32 |  22

    

 x y z

5 Từ a + b + c + d =  3  3

d c b

a  

 Biến đổi tiếp ta :a3 + b3 + c3 +

d 3= 3(c + d)( ab + cd).

6 Nếu x + y + z = :

    

   

       

   2 2

2 2 5 2 5 2 2 2 3 3 3 * ; 2 3 z y x xyz zx yz xy xyz z y x xyz zx yz xy xyz z y x z y x xyz zx yz xy xyz z y x z y x xyz z y x z y x xyz z y x                                   

Nhưng:  2   2

2

0 xyz xy yz zx x y z

z y

x          (**)

Thay (**) vào (*) ta được:

2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2).

A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)

 2 22

5 5xy y x   

8 Biến đổi 2 1 2 1  1   2 1   

   

  

 b b ab aba b a b a b

a a

9 Từ

  

  

  

1 1

3 3 y z x

z y x

xyz  x  y  z  xyyzzx

 3 3

    

 

 

 

0 0

x z

z y

y x

2

   P

10

a Sử dụng đẳng thức a2 - b2 ; S -=5151

b Sử dụng đẳng thức (a + b + c)2; P = 14

11 Từ giả thiết suy ra: x2 + y2 + z2 = suy : x = y = z = 0;S = 0

12 Từ:

c b a c b

a     

1

1

: (a + b)(b + c)(c + a) = Tính Q =

Chuyên đề 2 : TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG N

Ti

t 10-12:ế

Một số dấu hiệu chia hết – Ví dụ

I.Một số dấu hiệu chia hết

1 Chia hÕt cho 2, 5, 4, 25 vµ 8; 125. a an n1 a a1 02 a02 a0 0; 2; 4;6;8

a an n1 a a1 05 a0 0;5

1 n n

a a  a a  ( hc 25)  a a1 04 ( hc 25)

a an n1 a a1 08 ( hc 125)  a a a2 08 ( hc 125)

2. Chia hÕt cho 3; 9.

a an n1 a a1 03 (hc 9)  a0a1 an3 ( hc 9)

NhËn xÐt: D phÐp chia N cho ( hc 9) cịng d phép chia tổng chữ sè cđa N cho ( hc 9).

3 DÊu hiÖu chia hÕt cho 11:

Cho A a a a a a a5 A11 a0a2a4   a1a3a5 11

4.DÊu hiÖu chia hÕt cho 101

A a a a a a a5 A101 a a1 0a a5 4   a a3 2a a7 6 101

II.Ví dụ

Ví dụ 1: Tìm chữ số x, y để: a) 134 45x y

b) 1234xy72

Giải:

a) Để 134 45x y ta ph¶i cã 134 4x y chia hÕt cho y = y = 5

Víi y = th× tõ 134 40 9x  ta ph¶i cã 1+3+5+x+4 9  x4 9  x5

ta có số 13554

víi x = th× tõ : 134 9x y ta ph¶i cã 1+3+5+x+4 +59

9 0;

x x x

     lúc đóta có số: 135045; 135945.

b) Ta cã 1234xy123400xy72.1713 64 xy72 64xy72

Vì 64 64 xy163 nên 64xy 72 144.

+ Víi 64xy=72 th× xy=08, ta cã sè: 123408.

+ Víi 64xy=14 th× xy=80, ta cã sè 123480

Ví dụ Tìm chữ số x, y để N 7 36 1375x y 

Gi¶i:

Ta cã: 1375 = 11.125.

   

125 125

7 3625 11 12 11

N y y

N x x x x

  

          

Vậy số cần tìm lµ 713625

VÝ dơ 3 a) Hái sè 1991

1991 1991

1991 1991

so

A      cã chia hÕt cho 101 kh«ng?

b) Tìm n để An101

Gi¶i:

a) GhÐp chữ số liên tiếp A1991 có cặp sè lµ 91;19

Ta cã: 1991.91-1991.19 = 1991 72  101 nªn A1991101

TIẾT 13– 14:

II MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ PHÉP CHIA HẾT

A.Tãm t¾t lý thuyÕt

1 Định lý phép chia hết:

a) Định lý

Cho a, b số nguyên tuỳ ý, b0, có số nguyên q, r cho :

a bq r  víi 0 r b , a só bị chia, b số chia, q thơng số r số d.

Đặc biệt với r = a = b.q Khi ta nói a chia hết cho b hay b ớc a, ký

hiÖu a b .

VËy

b) TÝnh chÊt

a) NÕu a b vµ b c th× a c 

b) NÕu a b và b a a = b

c) NÕu a b , a c vµ (b,c) = th× a bc

d) NÕu ab c (c,b) = a c

2 TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng, mét hiƯu, mét tÝch.

- NÕu   

m b

m a

 

m b a  

- NÕu   

m b

m a

 

m b a  

- NÕu   

m b

m a

 

a

 .b m

- Nếu am an m (n số tự nhiên)

3.Một số tính chất khác:

 Trong n số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho n  Tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n!

 A a A bvà (a;b) =  Aa.b

B.Ví dụ:

1. Chứng minh với số nguyên dương n ta có: 12 24    n n Giải:

 12 1  1  1  2 4! 24

A n  n  n n    n n   

Bài tập tự luyện: 2. Chứng minh

a. 48



n n

n   với n chẳn

b 10 384

   n

n với n lẻ

3. Chứng minh : 2 72



n n

n   với n nguyên

4. CMR với số nguyên a biểu thức sau: a) a(a – 1) – (a +3)(a + 2) chia hết cho 6. b) a(a + 2) – (a – 7)(a -5) chia hết cho 7. c) (a2 + a + 1)2 – chia hết cho 24

d) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 (mọi n chẵn)

5. CMR với số tự nhiên n biểu thức: a) n(n + 1)(n +2) chia hết cho 6

Tiết 15– 16:

3 §ång d thøc I.Lí thuyết đồng dư:

a) Định nghĩa : Cho số nguyên m > Nếu số nguyên a, b cho số d chia cho m ta nói a đồng d với b theo môđun m

KÝ hiÖu : a b (mod )m

b) TÝnh chÊt

a) a b (mod )m  a c b c   (mod )m

b)a b(mod )m  na nb (mod )m

c) a b(mod )m an bn(mod )m

  

d) a b (mod )m  ac bc (mod )m c) Một số đẳng thức:

 am b a bm 

 an b a bn

   (n lẻ)

 a b n B a( )b

II.Ví dụ:

1. Chứng minh:29 299 200  

Giải:

2 + = = 512  112(mod 200) (1)  =  112 (mod 200)

112 = 12544  12 (mod 200)  112  12 (mod 200) 12 = 61917364224  24(mod 200)

112  24.112(mod 200)  2688(mod 200)  88(mod 200)   88(mod 200) (2)

Từ (1) (2)  + = 200(mod 200) hay 29299200

III,Bài tập tự luyện:

Sử dụng đẳng thức đồng dư

1. 19611962 19631964 19651966 2

  



2. 241917 14191719

3. 29 299200

4. 13123456789  1183

5. 19791979  1981198119821980

6. 33233  3100120

7. 22225555555522227

-Tiết 17– 18:

QUY NẠP TOÁN HỌC I.PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH

B1: Kiểm tra mệnh đề với n = 1?

B2: Giả sử Mệnh đề với n = k  Chứng minh mệnh đề với n = k + 1

II.VÍ DỤ:

1. Chứng minh với số nguyên dương n thì: 7n2 82n1 57

 

Giải: -Với n = 1:A1 = + = 855  57

- Giả sử Ak 57 nghĩa 7n282n157

 Ak+1 = + =7 + 64.8 = 7(7 + ) + 57.8

Vì + ( giả thiết qui nạp) 57.8  57

 Ak+1  57

Vậy theo nguyên lí qui nạp A = +  57

*Chú í: Trong trường hợp tổng quát với n số nguyên n  n0 Thì ta

kiểm tra mệnh đề n = n0?

III.BÀI TẬP:

Chứng minh : Với n số tự nhiên thì:

1. 52 1 23

   



 n n

n

2. 11 + 12  133

3. 5n2 26.5n 82n159

4. 22n1 33n15

5. 22n2 24n1418

-Tiêt 19-20

LUYỆN TẬP

1. A1ab2c1025

2. 5 12

  abca c B

3. E ab cho ab2 ab3

4. A = ab a b2

 

HD: ab a b2 

  abab19a92  (a + b)  (a + b) = 9k  k =  a + b =  9a = 9.8 = 72  a = b =

5. B = abcd ab cd2  

HD: Đặt xab ; ycd  99x = (x + y)(x + y - 1)  992

Xét khả :  

 

) ( 99

) ( 99 x x

(1)  B = 9801

(2) 

    

 

  

  

    

  

 

l y x

k y x

l y

x

k y x

9 1

11 11 1

9

 

 

 

3025 2025

B B

ĐS: B = 9801;2025;3025

6. Cabcdef =abcdef2

7. H abcd cho 

3

1



  

  

 

   

     

n n

n n

d dd c

cc b bb a aa 8. Tìm xyy1 4z z2

 

9. Tính giá trị biểu thức:

1/ Cho x +y = 3, tính giá trị A = x2 + 2xy + y2 – 4x – 4y + 3.

2/ Cho x +y = 1.Tính giá trị B = x3 + y3 + 3xy

3/ Cho x – y =1.Tính giá trị C = x3 – y3 – 3xy.

4/ Cho x + y = m x.y = n.Tính giá trị biểu thức sau theo m,n.

a) x2 + y2 b) x3 + y3 c) x4 + y4

5/ Cho x + y = m x2 + y2 = n.Tính giá trị biểu thức x3 + y3 theo m n.

6/ a) Cho a +b +c = a2 + b2 + c2 = 2.Tính giá trị bt: a4 + b4 + c4.

Tiết 21-22

I.BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI VÀ CÁC HỆ QUẢ 1. Chứnh minh : (Với a , b  0) (BĐT Cô-si)

Giải:

( a – b ) = a - 2ab + b   a + b  2ab Đẳng thức xảy a = b

2. Chứng minh: (Với a , b  0)

Giải:

( a+b ) = (a - 2ab + b )+ 4ab = (a-b) + 4ab  + 4ab  ( a + b )  4ab Đẳng thức xảy a = b

3. Chứng minh: (Với a , b  0)

Giải:

2(a + b) – ( a+b ) = a-2ab+b = (a-b)   2(a + b)  ( a+b ) Đẳng thức xảy a = b

4. Chứng minh: (Với a.b > 0)

Giải:

+ = Do ab    Hay +  Đẳng thức xảy a = b

5. Chứng minh: .(Với a.b < 0)

Giải:

+ = - .Do   -  -2 Hay +  - Đẳng thức xảy a = -b

6. Chứng minh: (Với a , b > 0)

Giải:

+ - = =   +  Đẳng thức xảy a = b

7. Chứng minh rằng:

Giải:

2(a +b +c) – 2(ab+bc+ca) =(a-b) +(b-c) +(c-a) 

Tiết 23-26

 A B  A B 0

 Cần lưu ý tính chất:A2 0

 Đẳng thức xảy A =

 Có thể nhân hai vế bất đẳng thức với số khác thích hợp

B.Bài tập vận dụng:

Chứng minh bất đẳng thức sau 1. a2 + 4b2 + 4c2

 4ab - 4ac + 8bc

2. a2 b2c2 d2e2 abcde 3. x 1x 3x 4x 6101 4. a2 + 4b2 + 3c2 > 2a + 12b + 6c – 14

5. 10a2 + 5b2 +12ab + 4a - 6b + 13



6. a2 + 9b2 + c2 +

2 19

> 2a + 12b + 4c

7. a2 – 4ab + 5b2 – 2b +



8. x2 – xy + y2



9. x2 + xy + y2 -3x – 3y + 3 0

10. x2 + xy + y2 -5x - 4y +



11. x4 + x3y + xy3 +y4  0

12. x5 + x4y + xy4 +y5

 với x + y 

13. a4 + b4 +c4

 a2b2 + b2c2 + c2a2

14. (a2 + b2).(a2 + 1)  4a2b

15. ac +bd  bc + ad với ( a  b ; c  d )

16.

2

2

2

2 

      b a b a

17.

2

2

3

3 

 

    



b c a b c a

18. babcac ab ac cb (với a  b  c > 0)

19.

ab ab b

a

  

9 12

( Với a,b > 0)

20. bca cab abc a1b11c (Với a,b,c > 0)

HƯỚNG DẪN:

Bài 1: Gọi VT bất đẳng thức A VP bất đẳng thức B (Nếu khơng nói thêm qui ước dùng cho tập khác).Với BĐT có dấu  ; cần tìm điều kiện biến để đẳng thức xảy A – B = a 2c 2b2

 

Bài 2: 4A – 4B = a 2b2 a 2c2 a 2d2 a 2e2

  

   

Bài 3: A – =x1x 3x 4x 69=  32  Y Bài 4: A – B =  12 2 32 3 12

    

 b c

a

Bài 5: A = ( a – 1)2 + (3a – 2b)2 + (b + 3)2

Bài 6: A–B = ( a – 1)2 +(3b – 2)2 + (c - 2)2 +

2

Bài 7: A – B =  2 2  12

 

 b b

a Bài 8:

x2 – xy + y2 =

4

2

y y

x       



Bài 9: x2 – xy + y2 -3x – 3y + =  12  1 1  12

    

 x y y

x .

Biến đổi tiếp

Bài 10: Tương tự

Bài 11: x4 + x3y + xy3 +y4 = x2 xy y2x y2

 



Bài 12: Tương tự 11

Bài 13: Xem ví dụ

Bài 14: A – B = (a2 + b2).(a2 + 1) - 4a2b

Bài 15: A - B = ac + bd - bc - ad với ( a  b ; c  d ) = c da b

Bài 16:

A - B =    

4

2a2 b2 a b

  

Bài 17: Xem tập 16

Bài 18: A - B = (a-c)(b-a)(

(Với a  b c  0)

Bài 19:

A - B =    

ab b a a

b

   

9

3

32

( Với a,b > 0)

Bài 20:

A - B =      

abc

ab ac ac bc bc

ab 2  2 

(Với a,b,c > 0)

Tiết 27-30

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I: DẠNG

- Nếu a > :

2

2 4ac-b

ax + bx +c =

4a

b

P a x

a

 

    

  Suy

2

4ac-b =

4a

MinP Khi x=- b

2a

 Nếu a < :

2

2 a c+b

ax + bx +c =

4 a

b

P a x

a

 

    

 

Suy

2

4 a c+b ax

4 a

M P Khi x= b a Một số ví dụ:

1. Tìm GTNN A = 2x2 + 5x + 7

Giải:A = 2x2 + 5x + = 2( 2.5 25 25) 7

4 16 16

x  x   =

25 56 25 31

2( ) 2( ) 2( )

4 8

x  x x

         

Suy 31

8

MinA Khi x

2. Tìm GTLN A = -2x2 + 5x + 7

Giải: A = -2x2 + 5x + = -2( 2.5 25 25) 7

4 16 16

x  x   =

2( 5)2 25 56 25 2( 5)2 81 2( 5)2

4 8

x  x x

          

Suy 81

8

MinA Khi x

3. Tìm GTNN B = 3x + y - 8x + 2xy + 16.

Giải: B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) +   MinB = : 

4. Tìm GTLN C = -3x - y + 8x - 2xy + 2.

Giải: C = -3x - y + 8x - 2xy + = 10 -  10  GTLNC = 10 khi: 

BÀI TẬP: 5. Tìm GTNN A x 2 2008x

6. Tìm GTLN B = + 3x - x2

7. Tìm GTLN D = 2007x25x

8. Tìm GTNN F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1.

9. Tìm GTNN G = x410x325x212

10.Tìm GTNN M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y

11.Tìm GTNN C = 3 12 43

  

 x

x

12. Tìm GTNN N = (x +1) + ( x - 3)

HƯỚNG DẪN

5. A = x - 5x + 2008 = (x - 2,5)2 + 2001,75

 MinA = 2001,75 x = 2,5

6. B = + 3x - x2 = -1,25 - ( x - 1,5)2

7. D = 2007 - x - 5x = 2004,5 - ( x + 2,5)2

8. F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + = (x +x+1) =

9. G = x - 10x +25x + 12 = x(x - 5) + 12

10. M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y = (x - y + 1) + (y - 4) -16

11.C = 3 12 43

  

 x

x

* Nếu x  C = (3x - 3) +

* Nếu x < C = (3x + 1) +

12. N = (x +1) + ( x - 3) = 2(x- 1) +

13. K = x + y - xy +x + y = ( x - y) + (x + 1) + (y + 1) -

Tiết 31-36

* Một phương pháp thường dùng sử dụng bất đẳng thức biết để chứng minh bất đẳng thức khác.Tuy nhiên sử dụng ,ngồi hai bất đẳng thức Cơ-si bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski

Các bất đẳng thức khác sử dụng làm thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện theo dõi, liệt kê bất đẳng thức vào

1 a2 b2 2ab (a,b>0) (BĐT Cô-si)

2 ab2 4ab

3 2a2 b2 a b2

  

4  2;a,b0 a

b b a

5 1 ; , 0

 

 a b

b a b a

6 a2b2c2 abbcca

7  2  2 2

y x b a by

ax    ( Bu nhi a cop xki)

8 ax by ax by

    2

9 ax by cz ax by cz

       2 2

Ví dụ 9:Chứng minh a b c

b ca a bc c ab    

 (Với a,b,c > 0)

Giải:2A - 2B = a b c b ca a bc c ab 2 2

2     

=                         

 2

b a a b c a c c a b b c c b a

Áp dụng bất đẳng thức  2;a,b0 a

b b a

.Ta có:2A - 2B a2 2b2 2c2 20.Vậy A 

B.Đẳng thức xảy a = b = c >

Ví dụ 10: Cho số dương x , y thoả mãn x + y = Chứng minh : 2 2 8  

y x

xy

Giải: 2 2 2 2

4 2 2 2 y xy x y x xy y x xy y x

xy   

           

 

8

2 

 

y

x Đẳng thức xảy

 y

x

Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức :

a b b c c a a c c b b a      2 2 2 Giải: c a c b b a c b b a 2 2    ; a b a c c b a c c b 2 2    ; b c b a a c b a a c 2 2   

Cộng vế ba bất đẳng thức ta có:

a b b c c a a c c b b a a b b c c a a c c b b a                        2 2 2 2 2 2 2

Bài tập:

1. Cho a,b,c số dương.Chứng minh rằng  1 19

  

 

   

c b a c b a

2. Cho số dương a,b,c biết a.b.c = Chứng minh rằng: (a + 1)(b + 1)(c + 1)

3. Cho số a,b biết a + b = Chứng minh

a) a + b  b) a + b 

4. Cho số dương a,b,c a + b + c = Chứng minh: + + 

5. Cho x , y , z  0và x + y + z  Chứng minh rằng: + +   + +

6. Cho số dương a , b có tổng Chứng minh a + 

b +  14

7. Cho số dương a , b có tổng Chứng minh (a + ) + (b + ) 

8. Chứng minh bất đẳng thức sau với a,b,c>0

,

1

1

1

1 3

b a c a c b c b a a c c b b

a             

9. Cho a,b,c số dương

Chứng minh : bca acb abc a1b11c

10. Cho a,b,c số dương Chứng minh :

2

2

2 a b c

a b

c c a

b c b

a  

    



11. Chứng minh: a + b  với a + b 

12. Chứng minh: 23    

 a b

c a c

b c b

a

Với a,b,c >

13. Chứng minh: a4b4c4 abcabc 14. Bài 28: Cho x0;y 0;z 0;

Chứng minh :(x + y).(y + z).(z + x)  8xyz

15. Cho A = 3 1

2

1

1 1

         

 n n n n

HƯỚNG DẪN:

1. A = 32229

    

       

       

 

a c c b a c c a a b b a

2. Áp dụng (a + 1)  2a

3. a) A - B = a + b - =2( a + b) - (a + b)  b) Áp dụng câu a

4. Xem

5. + +  + + = + + = + +   =

6. A = + = ( + ) +  + = ( vì 2ab  (a+b) )

B = + = 3( +) +

7. (a + ) + + (b + ) + = +  5(a + ) + 5(b + )

= 5( a + b) + 5( + )  5( a + b) + = 25 Suy ra: (a + ) + (b + ) 

8. +  ; +  ; + 

Cộng theo vế BĐT ta Đpcm

9. Ta có: + = ( + ) 

a b

c c b a ab

c ac

b

    

 

 



b c

a a c b bc

a ab

c

    

 

 



Cộng vế bất đẳng thức ta đpcm Đẳng thức xáy a = b = c.(Hãy kiểm tra lại)

10.Áp dụng BĐT ax by cz ax by cz

 

    

2

2

11. a + b  ( a + b )  

12. ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = + +

= (a+b+c) ( + + )  (a+b+c) = Suy ra:

2

    

 a b

c a c

b c b

a

13.Áp dụng BĐT ví dụ cho số a4 b4 c4



 tiếp tục áp dụng lần nửa cho số

a2b2 + b2c2 + c2a2 ta có đpcm.

14.Áp dụng BĐT x y2 4xy 

 Nhân thừa số BĐT suy ĐPCM

15.A có 2n + số hạng (Kiểm tra lại !).Áp dụng BĐT 1 ; , 0

 

 a b

b a b

a Với cặp số

 Ví dụ 8:

a Rút gọn Biếu thức

6 12 2      a a a a

B Với a  23

b Thực phép tính:  

a a a a a a a        2 : , ,

0

(a 2.) Giải: a 12 2      a a a a

B  

  

3 2 3 2        a a a a a b

  a a a

a a a a a a a a a a a                 2 2 2 2 : , , 3

     aa  a a a a a a a a a 2 2 2 2            

 Ví dụ 9: Thực phép tính:

xy y x y x y x xy y x A : 2 2

3 2 2      

 ( Với x   y)

Giải:

  

      2

2 2 2 2 3 2 2 : y x y x xy y x y x y x y x y x xy y x xy y x y x y x xy y x A                    

 Ví dụ 10: Cho biểu thức :

1 2 4         x x x x x x x A

a Rút gọn biểu thức A

b Chứng minh A không âm với giá trị x Giải: 1 2 4 4                  x x x x x x x x x x x x x x x A                       

 1

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2                          x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

b   ; 1 0; 0

1 2

2        

 x x A

x x A

 Ví dụ 11: Tính giá trị biếu thức : 5 6 7 8

8           a a a a a a a a

với a = 2007

Giải:

 

  13 13

2 3 13 8 8 8 8 2007 1 1 1 1                                           B a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B

Biết x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - x 3 .

Giải:

x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - x 3  3 2 3 0

   

 x y x

            1 3 3 3 y x x yx         2 5 2 : 25 10 25 2                y y y x x x x y y y x x x x C   

    5         x x y x Bài tập:

13 Chứng minh Biếu thức

P = 11  2 11 2         x a a a x x a a a x

không phụ thuộc vào x

14 Cho biểu thức M =

8 2 2        x x x x x x x a Tìm tập xác định M

b Tính giá trị x để M = c Rút gọn M

15 Cho a,b,c số đôi khác Chứng minh :

      c ac b a b b c c a

b a c b a b a c c a b a c b                

 2

16 Cho biểu thức : B =

10 9 10      x x x x x

a Rút gọn B

b Chứng minh : n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4

 16 với n  Z

a Rút gọn biểu thức : 22 33 6 26 3 6 99              x x y x xy xy y x xy y x

A với x  -3; x  3; y

 -2

b Cho Biếu thức : A = 2 2 : 2 4 2 x x x x x x x x x x                a Tìm điều kiện có nghĩa Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị x để A >

19 a.Thực phép tính:

a.A = 1 16

16 1 1 x x x x x

x          



b Rút gọn C = 2 2 2 9 9 9 a a a a a a         .

20 Cho a,b,c số  đơi

Tính S = b cabc a a bbcc a b caca b 

  



21 Tính giá trị biểu thức : 3       b a a b b a b a biết: &

10a2  b2  ab a2  b2 

22 Cho a + b + c = 2

  b c

a

a Nếu ax by cz Chứng minh xy + yz + zx =

b.Nếu a3 + b3 + c3 = Tính giá trị a,b,c

23 Bài 11: Cho Biếu thức : 32 11 35 1

      a a a a A .

a Tính giá trị A a = -0,5

b Tính giá trị A : 10a2 + 5a = 3.

24 Chứng minh xyz = thì: 1 1 1        

x xy y yz z zx

25 Chứng minh đẳng thức sau:

ab an a bn ab bn an a b a ab b ab a b a ab a 3 9 2 2 2 2              

26 Thực phép tính: 

                         

 2 2 2 2

2008 1 1 1 1 .

27 Tính tổng : S(n) = 3 113 2 5      n n

28 Rút gọn tính giá trị biểu thức : A =

2

2 17 12

2

    a a a a Biết a nghiệm Phương trình : 1

 

 a

a .

29 Gọi a,b,c độ dài cạnh tam giác biết rằng: 1 8

                    c a b c a b

Chứng minh tam giác tam giác

30 Chứng minh a,b số dương thỏa điều kiện: a + b = :  

3

1 2

3     

 a b

a b a b b a

31 Thực phép tính:

A = x xyxyz z x yyyxz z y zzxxy z

         

 2

2

32 Rút gọn biểu thức : A =

c b a abc c b     

a3 3

33 Chứng minh biểu thức sau dương TXĐ:

B =   

                         x x x x x x x x 1 1 :

1 3

2 2

34 Rút gọn Tính giá trị biếu thức với x + y = 2007 A = x(xx(x5)6)y(yy(y5)6)2(xy2xy3)

         35 Cho số a,b,c  thỏa mãn đẳng thức:

a a c b b b c a c c b

a  

Tính giá trị biểu thức P = abbabccca

36 Cho biểu thức :

2 2 2 y xz y zx x yz x yz z xy z xy A      

 Chứng minh :

x + y + z = A =

HƯỚNG DẪN: 13 P =  

 

2 2 2 2 1 1 1 a a a a x a a a x x a a a x             

14 M =

8 2 2        x x x x x x x     32     x x x

15 a bbac c a b c a

     

 1

=b caba c b c a b

     

 1

= c aacb b b cc a 

  

 1

16

a.Rút gọn B =

 1 10 1

10 10 9 10 2           x x x x x x x x x                                 10 ; 10 10 10 ; 1 2 x x x x x lx x x x

b n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4   4

1

 n n

17 22 33 6 26 3 6 99              x x y x xy xy y x xy y x A

 3 3 2

0 9 6 3 2                  y x x x x y x xy xy y x xy y x 18

a.A = :2 3

2 4 2 2 2                  x x x x x x x x x x x x b.A > 0

3      x x x c         3 11 4 7 x x x

 x = 11  A1212

 x =  A không xác định 19

a.A = 16 1 32

32 16 1 1 x x x x x x

x           



b Rút gọn C = 9 9 2 2 2           a a a a a a .

20 S = b cabc a a bbcc ab caca b 

         

           1

              a c c b b a a c c b b a a c c b b a a c ac c b bc b a ab

21 Từ:10a2  3b2 5ab0&9a2  b2 0 5ab3b210a2(1)

Biến đổi A = 2 2

9 15 3 b a b ab a b a a b b a b a           (2) Thế (1) vào (2) ; A = -

22 Từ a + b + c = 2

  b c

a suy ra:

ab + bc + ca = (1) a Nếu c z b y a x  

suy : x y z

c b a z y x c z b y a x          

 2 2

z y x z y

x    

 Suy xy + yz + zx =

b Áp dụngabc3 a3b3c33abbcca

Từ a3 + b3 + c3 = Suy ra: 3abbcca0 Từ tính a , b , c.

23 Xem 21

24 Từ xyz = Biến đổi

yz y yz yz y y yz y zx z yz y xy x                  1 1 1 1 1

25 Chứng minh :

a b b a ab an a bn ab bn an a b a ab b ab a b a ab a                  3 9 2 2 2 2 26                           

 2 2 2 2

2008 1 1 1 1 . 3996 1999 1999 1998 1998 1999 1998 1997    27   

3 2

2 1 5 3 5                      n n n n n n

28

2

2 17 12

2   



  

 a a

a

a a

a

A

                  5 2 ;1 5 ;1 3 ;0 1 1 3 A a a A A a a a a

29 1      

2 2                              ca a c bc c b ab b a c a b c a b

30 Rút gọn

       1

1 2

2 2 3             

 abb b a a

b a b a b a a b a b b a

31 x xyxyz z xx z x y y

      

=x yyyxz z x y y yz z

      

   x z

x z y z z y z x xy z       

Cộng vế A = 32 A =

c b a abc c b     

a3 3

a b ca b c ab bc ca

abc c

b          

 3 2

3 3

33 TXĐ: x 1 ;B = 2

1

x 

34 A = x xx x y yy y xyxy xx yy xx yy 

  

     

  

    

6

1

2 ) ( ) (

) ( ) ( ) (

35 Từ: acb c abc b bca a

Suy ra:   2   2   2 a

a c b b

b c a c

c b a

Suy ra: acbc abcbbcaa

Suy ra: a + b + c = a = b = c P = -1 P =

36 Từ: x + y + z = suy ra: x3 y3 z3 3xyz    N

M

A M 63x2y2z2 16xyzx3 y3z34x3y3y3z3 z3x3

 3 3  3 3 3

2

2 2 4

9x y z xyz x y z x y y z z x

N      