khao sat ham so

Tìm m để đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.. Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ nó đến hai đường tiệm cận[r]

(1)

CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

Dạng 1: ĐỒ THỊ CH ỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

y = f(x) có đồ thị (C) y f x  có đồ thị (C’) yf x  có đồ thị (C “)

  0,

y f x   x D Do ta phải giữ ngun phần phía trục Ox lấy đối xứng phần phía trục Ox lên trên.

 

yf x có f xf x ,

x D

  nên hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung

Oy.

f(x)=x^3-2x^2-0.5

x y

(C)

f(x)=abs(x^3-2x^2-0.5) f(x)=x^3-2x^2-0.5

x y

(C')

f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5 f(x)=x^3-2x^2-0.5

x y

(C'')

Chú ý: Đối với hàm hữu tỷ

1 Cho hàm số  :

2

x x

C y

x

 



a Khảo sát hàm số

b.Định k để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt

2

x x

k x

 



f(x)=(x^2+x)/(2x-2) x(t)=1 , y(t)=t f(x)=x/2+1

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

-8 -6 -4 -2

x y

2

2 x x y

x  



f(x)=(x^2+x)/(2x-2) x(t)=1 , y(t)=t f(x)=x/2+1 f(x)=(x^2+abs(x))/(2abs(x)-2) f(x)=-x/2+1

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

-8 -6 -4 -2

x y

2

2 x x y

x  



2 Cho hàm số  : 3

1

x x

C y

x

 





a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

b.Biện luận theo m số nghiệm phương trình:

2 3 3

1

x x

m x

 



(2)

f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1) x(t)=-1 , y(t)=t f(x)=x+2

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

-10 -8 -6 -4 -2

x y

23 3

1

x x y

x

  



f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1) x(t)=-1 , y(t)=t f(x)=x+2 f(x)=(x^2+3x+3)/abs(x+1) f(x)=-x-2

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

-10 -8 -6 -4 -2

x y

23 3

1

x x y

x

  



1

x x C y

x

 



a Khảo sát hàm số

b.Định m để phương trình x2 m 4 x  m0có bốn nghiệm phân biệt.

f(x)=(4x-x^2)/(x-1) x(t)=1 , y(t)=t f(x)=-x+3

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

-10 -8 -6 -4 -2

x y

2

4

x x y

x

 



f(x)=(4x-x^2)/(x-1) x(t)=1 , y(t)=t f(x)=(4abs(x)-x^2)/(abs(x)-1) f(x)=-x+3

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

-10 -8 -6 -4 -2

x y

2

4

x x y

x

 



2

x x

C y

x

  



1 Khảo sát hàm số

2 Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x2 1 m x  2m 0 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y2x3  9x2 12x 4.

b Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: 2 x3 9x2 12 x m

   (ĐH Khối A2006)

f(x)=2x^3-9x^2+12x

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

-8 -6 -4 -2

x y

3

2 12

yx x x

f(x)=2abs(x)^3-9x^2+12abs(x)

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

-8 -6 -4 -2

x y

3

2 12

y x x x

a ĐS: b 4<m<5.

Dạng2: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC

Cho hàm số y f x ,đồ thị (C) Có ba loại phương trình tiếp tuyến sau:

Loại 1: Tiếp tuyến hàm số điểm M x y 0; 0 C

(3)

 Phương trình tiếp tuyến có dạng: yf x'  0 x x 0y0

Chú ý: Tiếp tuyến điểm M x y 0; 0 C có hệ số góc k f x' 0

Loại 2: Biết hệ số góc tiếp tuyến k

 Giải phương trình: f x' k , tìm nghiệm x0  y0

 Phương trình tiếp tuyến dạng: y k x x   0y0 Chú ý: Cho đường thẳng : Ax By C  0, đó:

 Nếu d//   d :y ax b   hệ số góc k = a  Nếu d     d :y ax b   hệ số góc k

a



Loại 3: Tiếp tuyến (C) qua điểm A x y A; A   C

 Gọi d đường thẳng qua A có hệ số góc k,  d :y k x x  A yA

 Điều kiện tiếp xúc  d và  C hệ phương trình sau phải có nghiệm:    

 

'

A A

f x k x x y

f x k

   

 

 



Tổng quát: Cho hai đường cong  C :yf x  C' : y g x   Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với hệ sau có nghiệm    

   

' '

f x g x

 

 

 



1. Cho hàm số y x  2x2

a khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số. b Viết phương trình tiếp tuyến  (C):

i. Tại điểm có hồnh độ x 

ii. Tại điểm có tung độ y = 3.

iii.Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1: 24x y2009 0

iv.Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng: d2:x24y2009 0

2. Cho hàm số

2 3

1

x x

y x

  



 có đồ thị (C). a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số trên. b Viết phương trình tiếp tuyến (C):

i Tại giao điểm (C) với trục tung. ii Tại giao điểm (C) với trụng hoành iii Biết tiếp tuyến qua điểm A(1;1). iv Biết hệ số góc tiếp tuyến k = 13.

3. Cho hàm số

1

x x

y x

 



 có đồ thị (C). a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số trên.

b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm x = 0.

c Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ y = 0.

d Tìm tất điểm trục tung mà từ kẻ hai tiếp tuyến đến (C).

4. Cho hàm số

2 3 3

1

x x

y x

 



 có đồ thị (C). a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C).

(4)

5 Cho hàm số:

1

x y

x



 có đồ thị (C). a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

b Tìm M (C) cho tiếp tuyến (C) M vng góc với đường thẳng qua M tâm đối xứng (C).

6. Cho hàm số y = x3 + mx2 + có đồ thị (C

m) Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + ba điểm phân biệt A(0;1),

B, C cho tiếp tuyến (Cm) B C vng góc với nhau.

Lời giải:

Phương trình hồnh độ giao điểm d (Cm) là: x3 + mx2 + = – x + 1  x(x2 + mx + 1) = (*)

Đặt g(x) = x2 + mx + d cắt (C

m) ba điểm phân biệt g(x) = có hai nghiệm phân biệt khác 0.

 

2 4 0 2

2

0

g m m

m g

     



   

 

  

 

Vì xB , xC nghiệm g(x) = 0

1

B C

B C

S x x m

P x x

  

  

 



Tiếp tuyến (Cm) B C vng góc với nên ta có: f x C f x B1

3 3 

B C B C

x x x m x m

     x xB C9x xB C6m x B xC4m2 1

 

1 6 m m 4m 

        2m2 10  m 5 (nhận so với điều kiện)

7. Cho hàm số

2 1

x y

x



 Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ để từ kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vng góc

Lời giải:

Gọi M(x0;y0) Phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k y = k(x – x0) + y0

Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d: x2 k x x 0 y0,kx 0

x



   

1 k x y0 kx x0 * 

     

d tiếp xúc với (C):

 02  

1

4

k

y kx k

    

     

 

   

2 2

0 0

0

1

2 I

k

x k x y k y

y kx

  

      

 



Từ M vẽ hai tiếp tuyến đến (C) vng góc với (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:

1

,

1

k k k k

 

  

 

0 2

2

0

1

x y

x

y x

 



 



  

 

 

 

0

2

0

x

x y

y x

  

   

 



Vậy tập hợp điểm thỏa mãn yêu cầu toán đường tròn: x2 y2 4

  loại bỏ bốn giao điểm đường tròn với hai đường tiệm cận

8. Cho hàm số

1

x y

x



 (ĐH KhốiD 2007)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho

b Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt Ox, Oy A, B diện tích tam giác

OAB 1

(5)

ĐS: 1; 2

M  

  M1;1

9. Cho hàm số

2 1

2

x x

y x

 



 (ĐH KhốiB 2006)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho.

b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vng góc với tiệm cận xiên. ĐS: b yx2 5

10. Gọi (Cm) đồ thị hàm số:

1

3

m

y x  x  (*) (m tham số). (ĐH KhốiD 2005)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (*) m=2.

b Gọi M điểm thuộc (Cm) có hồnh độ 1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) M song song với

đường thẳng 5x y 0 ĐS: m=4.

11. Cho hàm số yx3  3mx2 x3m C m Định m để Cm tiếp xúc với trục hoành

12. Cho hàm số y x4 x3 m 1x2  x m C  m Định m để Cmtiếp xúc với trục hoành

13. Cho đồ thị hàm số  :

x

C y

x

 

 Tìm tập hợp điểm trục hồnh cho từ kẻ tiếp tuyến đến (C).

14. Cho đồ thị hàm số  C :y x3  3x2 4 Tìm tập hợp điểm trục hồnh cho từ kẻ được tiếp tuyến với (C).

15. Cho đồ thị hàm số  C :yx4 2x2 1 Tìm điểm M nằm Oy cho từ M kẻ tiếp tuyến đến (C).

16. Cho đồ thị hàm số  C :yx3  3x2 Tìm điểm đường thẳng y = cho từ kẻ được tiếp tuyến với (C).

17. Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + (1) (ĐH KhốiB 2008)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)

b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến qua điểm M(–1;–9). Lời giải:

a D=R, y’ = 12x2 – 12x; y’ =  x = hay x = 1.

BBT :

b Tiếp tuyến qua M(1;9) có dạng y = k(x + 1) – Phương trình hồnh độ tiếp điểm qua M có dạng :

4x3 – 6x2 + = (12x2 – 12x)(x + 1) – 9.

 4x3 – 6x2 + 10 = (12x2 – 12x)(x + 1)  2x3 – 3x2 + = 6(x2 – x)(x + 1).

 x = –1 hay 2x2 – 5x + = 6x2 – 6x  x = –1 hay 4x2 – x – = 0.

 x = –1 hay x =

4; y’(1) = 24;

5 15

'

4

y  

 

Vậy phương trình tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y = 15 x

21



x  +

y' +  +

(6)

Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ

Cho hàm sô y f x ,đồ thị (C) Các vấn đề cực trị cần nhớ:  Nghiệm phương trình f x  hoành độ điểm cực trị.'   Nếu  

 

0

'

''

f x

f x

 

 

 



hàm số đạt cực đại x x

 Nếu  

 

0

'

''

f x

f x

 

 

 



hàm số đạt cực tiểu x x 0

Một số dạng tập cực trị thường gặp

 Để hàm số yf x  có cực trị

'

0

y

a 

 

  

 

 Để hàm số yf x có hai cực trị nằm phía trục hồnh  yCĐ.yCT 0  Để hàm số yf x có hai cực trị nằm phía trục tung  xCĐ.xCT 0  Để hàm số yf x có hai cực trị nằm phía trục hồnh

CĐ CT

y y

 

  

 

 Để hàm số yf x có hai cực trị nằm phía trục hồnh

CĐ CT

y y

 

  





 Để hàm số yf x có cực trị tiếp xúc với trục hồnh  yCĐ.yCT 0

Cách viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị.

Dạng 1: hàm số y ax3 bx2 cx d

   

Lấy y chia cho y’, thương q(x) dư r(x) Khi y = r(x) đường thẳng qua điểm cực trị.

Dạng 2: Hàm số y ax2 bx c dx e

 





Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng  

 

2 '

ax bx c a b

y x

dx e d d

 

  



1 Chứng minh hàm số y =  

2 1 1

x m m x m

x m

   



ln có có cực trị với m Tìm m cho hai cực trị nằm đường thẳng y=2x.

2 Cho hàm số  2

3

y x  mx  m x Định m để: a Hàm số ln có cực trị

b.Có cực trị khoảng 0;  

c Có hai cực trị khoảng 0;  

3 Định m để hàm số y x  3mx2 m2 1x2 b2  4ac đạt cực đại x = 2.

4 Cho hàm số y = x33x2+3mx+3m+4.

a Khảo sát hàm số m = 0.

(7)

5 Cho hàm số y x3 3mx2 9x 3m 5

     Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị

6 Cho hàm số  

2 1 1

x m x m

y

x m

   



 Chứng minh đồ thị hàm số ln có cực đại, cực tiểu với

m Hãy định m để hai cực trị nằm hai phía trục hoành.

7 Cho hàm số y x 31 2 m x 2 m x m  2 Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ

8 Cho hàm số y x2 2mx 3m2 x m

  



 Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm hai phía trục tung

9 Cho hàm số 2 1 2 

3 m

y x  mx  m x m  C Định m để hàm số có hai điểm cực trị dương.

2 2 1 4

2

x m x m m

y

x

   



 (1) (ĐH KhốiA năm 2007)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm (1) số m=1.

b Tìm m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực trị đồ thị với gốc tọa độ

O tạo thành tam giác vuông O.

ĐS: m  4

11 Cho hàm số yx3  3x2 3m2 1x 3m2 1 (1), m tham số. (ĐH KhốiB năm 2007) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm (1) số m=1.

b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ

ĐS : b

2

m 

12 Cho hàm số y mx m2  9x2 10 (1) (m tham số). a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1.

b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị. (ĐH KhốiB năm 2002)

a

f(x)=x^4-8x^2+10

-30 -25 -20 -15 -10 -5

-20 -15 -10 -5 10

x y

b ĐS :

3

0

m m

  

  



13 Gọi (Cm) đồ thị hàm số  

2 1 1

1

x m x m

y

x

   



 (*) (m tham số)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1.

b Chứng minh với m bất kỳ, đồ thị (Cm) ln có hai điểm cực đại, cực tiểu khoảng cách

(8)

a

f(x)=x+1+1/(x+1) f(x)=x+1 x(t)=-1 , y(t)=t

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

-10 -8 -6 -4 -2

x y

b CĐ(2;m3), CT(0;m+1)

20

MN  

Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN  NGHỊCH BIẾN

Cho hàm sơ y f x có tập xác định miền D.  f(x) đồng biến D  f' x 0,xD

 f(x) nghịch biến D  f' x 0,xD

(chỉ xét trường hợp f(x) = số hữu hạn điểm miền D)

Thường dùng kiến thức xét dấu tam thức bậc hai: f x  ax2 bx c .

1 Nếu  0thì f(x) ln dấu với a. Nếu  0thì f(x) có nghiệm

2

b x

a

 f(x) dấu với a

b x

a



3 Nếu  0thì f(x) có hai nghiệm, khoảng nghiệm f(x) trái dấu với a, khoảng nghiệm f(x) cùng dấu với a.

So sánh nghiệm tam thức với số 0

*

0

x x P

S

   

    

  

*

0

x x P

S

   

    

  

* x1 0 x2  P0

1 Cho hàm số y x  3m1x2 3m1x1 Định m để: a Hàm số đồng biến R.

b Hàm số đồng biến khoảng 2;  

2 Xác định m để hàm số 2

3

x mx

y   x

a Đồng biến R. b Đồng biến 1;  

3 Cho hàm số y x  2 m1x2 12m5x2 a Định m để hàm số đồng biến khoảng 2;  

b Định m để hàm số nghịch biến khoảng   ; 1

4 Cho hàm số

2

mx x

y

x

 



 Định m để hàm số nghịch biến  

 ;

(9)

Dạng 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG CONG

Quan hệ số nghiệm số giao điểm

Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) y=g(x) có đồ thị (C2) Khảo sát tương giao hai đồ thị

(C1) (C2) tương đơưng với khảo sát số nghiệm phương trình: f(x) = g(x) (1) Số giao điểm (C1)

(C2) số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm (1)

(1) vơ nghiệm  (C1) (C2) khơng có điểm chung

(1) có n nghiệm  (C1) (C2) có n điểm chung.

(1) có nghiệm đơn x1  (C1) (C2) cắt N(x1;y1)

(1) có nghiệm kép x0  (C1) tiếp xúc (C2) M(x0;y0)

2

1

x y

x

 



có đồ thị (C). a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

b.Biện luận theo m số nghiệm phương trình x2  m2x m  1 Cho hàm số yx1 2 x 12 có đồ thị (C).

b Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x2  12  2m  1 0

3 Cho hàm số y x 3kx2  4.

a Khảo sát hàm số k = 3.

b Tìm giá trị k để phương trình x3 kx2 4 0

   có nghiệm Cho hàm số y x3 3x 2

   (ĐH KhốiD 2006)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho.

b Gọi d đường thẳng qua điểm A(3;20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt

ĐS: b 15, 24

4

m m

5 Cho hàm số

 

2 3 3

2

x x

y

x

  



 (1) (ĐH KhốiA 2004)

a Khảo sát hàm số (1)

b Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A, B cho AB=1.

ĐS: b

2

m 

6 Cho hàm số

1

mx x m

y

x

 



 (*) (m tham số) (ĐH KhốiA 2003)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1.

b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt hai điểm có hồnh độ dương.

ĐS: b

2 m

  

7 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2

x x

y x

 



 (1) (ĐH KhốiD 2003)

b Tìm m để đường thẳng dm:y mx 2 2 m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt ĐS: m>1.

(10)

b Tìm k để phương trình  x3 + 3x2 + k3  3k2 = có nghiệm phân biệt.

c Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1)

ĐS: b

0

k

k k

  

 

  



, c y 2x m2 m

  

Dạng 6: CÁC BÀI TỐN VỀ KHOẢNG CÁCH

Các cơng thức khoảng cách:

Khoảng cách hai điểm (độ dài đoạn thẳng): AB xB  xA2 yB  yA2

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho đường thẳng : Ax By C  0 điểm

M(x0;y0)  

0

2

, Ax By C

d M

A B

 

 



1 Cho hàm số y x 3 3mx2  3x3m2 Cm Định m để Cm có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng

cách chúng bé

1

x

C y

x

 

 Tìm tọa độ điểm M nằm (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ

1

x x

C y

x

 



 Tìm điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến tiệm cận nhỏ

1

x

C y

x

 

 Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho đoạn MN nhỏ

1

x x

C y

x

  

 Tìm hai điểm M, N thuộc nhánh khác (C) cho đoạn MN nhỏ

1

x x

C y

x

 





a Tìm điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ nhỏ nhất. b.Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho đoạn MN nhỏ nhất. 7 Gọi (Cm) đồ thị hàm số:

1

y mx x

  (*) (m tham số) (ĐH KhốiA 2005)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (*) m = 1

b Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm) đến tiệm cận xiên

bằng

2 ĐS: m=1.

Dạng 7: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH

Phương pháp:

Từ hàm số yf x m ,  ta đưa dạng F x y , mG x y ,  Khi tọa độ điểm cố định có nghiệm hệ phương trình  

 

,

F x y G x y

 

 

 



1 Cho hàm số 3 1 3 2  

m

yx  m x  mx C Chứng minh Cm qua hai điểm cố định

(11)

2 Cho hàm số    

2

:

2

m

x m x

C y

mx

  



 Chứng minh đồ thị  m

C qua điểm cố định khi m thay đổi.

3 Cho hàm số Cm:y1 2 m x 3mx2  m1 Tìm điểm cố định họ đồ thị

4 Chứng minh đồ thị hàm số  3 3 3 6 1 1 

m

y  m x  m x  m x m  C qua ba

điểm cố định

Dạng 8: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG

Điểm I x y tâm đối xứng đồ thị  0; 0  C :yf x   Tồn hai điểm M(x;y) M’(x’;y’)

thuộc (C) thỏa:

   

0

'

x x x

f x f x y

 

  

 



    

0

'

2

x x x

f x f x x y

 

   

  

 

Vậy I x y tâm đối xứng (C)  0; 0 f x 2y0  f 2x0  x

1 Cho hàm số 2 2

2

x x m

y

x

  



 có đồ thị Cm

Tìm giá trị m để Cmcó hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ O.

2 Cho hàm số  : 2 2

1

m

x m x m

C y

x

 





Định m để Cmcó hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ O.

3 Cho hàm số y x  3x2 m  1 (m tham số).

a Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với qua gốc tọa độ.

b Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) m=2. (ĐH Khối B2003)

ĐS: a f x 0  f x0,x0   … m>0.0

4 Cho hàm số 3 11

3

x

y x  x có đồ thị  C Tìm (C) hai điểm M, N đối xứng qua trục tung

5 Cho hàm số y x3 ax2bx c  1 Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng I(0;1) đi

qua điểm M(1;1).

6 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + (1) (ĐH Khối D2008)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)

b Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) cắt đồ thị của hàm số (1) ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I trung điểm đoạn thẳng AB.

Lời giải: a D = R.

y' = 3x2  6x = 3x(x  2), y' =  x = 0, x = 2.

y" = 6x  6, y" =  x = 1.

x   +

y' +  |  + y"   + +

y + 

CĐ CT

  U

2 d : y  = k(x  1)  y = kx  k + 2.

Phương trình hồnh độ giao điểm: x3  3x2 + = kx  k +  x3  3x2  kx + k + = 0.

 (x  1)(x2  2x  k  2) =  x =  g(x) = x2  2x  k  = 0.

(12)

1. Định nghĩa:

(d) tiệm cận (C)

    0 lim      C M M MH

2. Cách xác định tiệm cận

a Tiệm cận đứng: lim    : 0 x x d x f x x     

b Tiệm cận ngang: limf x y0  d :y y0

x     

c Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=x+ đó:

   

f x x

x x f

x

x  

   

  

 ; lim

lim

Các trường hợp đặc biệt:

*Hàm số bậc bậc (hàm biến)

n mx b ax y   

+TXĐ: D= R\

       m n

+TCĐ: y  d x mn

m n x        : lim

+TCN:  

m a y d m a y x      : lim f(x)=x/(x-1) f(x)=1 x(t)=1 , y(t )=t T ?p h?p

-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y m a y  m n x

I

* Hàm số bậc hai bậc (hàm hữu tỷ)

  n mx A x n mx c bx ax y          

+TXĐ: D= R\

       m n

+TCĐ:   m

n x d y m n x        : lim

+TCX: lim 0





 mx n

A

x  TCX: y=x+

f(x)=x^2/(2(x-1)) f(x)=x/2+1/2 x(t)=1 , y(t )=t T ?p h?p

-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y    x y m n x

I

2 3 2 2

mx m x

y

x m

  





, với m tham số thực. a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =1.

b Tìm giá trị m để góc hai đường tiệm cận đồ thị hàm số (1) 450.

(ĐH Khối A2008) Lời giải:

a Khi m =1: 2

3 x x y x x x        

TXĐ: D R 3

  2 x x y x    

 y 0

   

1 1

5

x y x y            

Tiệm cận: xlim 3y  tiệm cận đứng: x = 3 lim

x x   tiệm cận xiên: y = x – 2.

(13)

f(x)=(2x+1)/(1-x) y=3x+1 x(t)=1 , y(t)=t f(x)=-2 Series f(x)=-(1/3)x-13/3

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

-8 -6 -4 -2

x y

N(2;-5) M

H

lim , lim

x  y  x y ,xlim 3 y , limx 3y

Bảng biến thiên Đồ thị:

b  

2 3 2 2

6

2

3

mx m x m

y mx

x m x m

   

   

 

Gọi (Cm) đồ thị hàm số (Cm) có tiệm cận đứng d x1: 3m0và tiệm cận xiên d 2: mx y  0

1

0

m m

 

  

 

 

Theo giả thuyết ta có:

2

cos 45

1

m m





2

2 1

m m

 



2 1

m

   m1 (nhận)

2 1 1

mx m x m

y f x

x

   

  Tìm m cho đồ thị hàm số f có tiệm cận xiên đi

qua gốc tọa độ

2 (2 1). 3

1,

2

ax a x a

y a a

x

   

  

 có đồ thị (C) Chứng minh đồ thị hàm số

này có tiệm cận xiên qua điểm cố định Cho hàm số

2

( )

1

x x

y f x

x

 

 

 có đồ thị (C).

a Chứng minh tích khoảng cách từ điểm M (C) đến hai đường đường tiệm cận một số khơng đổi

b Tìm tọa độ điểm N thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ N đến hại tiệm cận nhỏ nhất. Cho hàm số

2

( )

1

x mx

y f x

x

 

 

 có đồ thị (Cm) Tìm m để đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích

6 Tìm m để đồ thị hamd số 2

1

x y

x mx

 

  có hai tiệm cận đứng x=x1 x=x2 thỏa mãn

1

3

1

5 35

x x

 

  

 

 

7 Cho hàm số

1

x y

x

 

 có đồ thị (C).

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số.

b Tìm điểm M thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ nó đến hai đường tiệm cận nhỏ

8 Cho hàm số

2

x y

x

 

 có đồ thị (H).

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số.

b Viết phương trình tiếp tuyến  (H) giao điểm với trục tung

c Tìm điểm N (xN >1) thuộc (H) cho khoảng cách từ

N đến tiếp tuyến  ngắn nhất.

HD câu b, c

f(x)=(x^2+x-2)/(x+3) f(x)=x-2 x(t)=-3 , y(t)=t

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

-12 -10 -8 -6 -4 -2

(14)

* Gọi M klà giao điểm (C) với trục tungM0;1 Phương trình tiếp tuyến y3x1 hay 3x y 1 0 

* Lấy  0    

0

3

; ; ,

1

N x y H N x x

x

 

      



 

Khi

 

0

3

1 ,

10

x

x d N

  



  Đặt

 0

0

3

1

g x x

x

  

 d N ,min  g x min

* Khảo sát hàm  0

0

3

1

g x x

x

  

 khoảng 0; ,  0  02

3

'

1

g x

x

 

 ,  

0

'

2

x g x

x

    

 

, (lập bảng biến thiên …)

* Do x 0 nên ta nhận nghiệm x 0 2 thay vào N ta N2; 5  Vậy N2; 5   min

6 10 ,

5

d N  



Dạng 10: DIỆN TÍCH  THỂ TÍCH

Ứng dụng tích phân (Dạng thường xuất nhiều đề thi tốt nghiệp) a Diện tích

Cho hai hàm số y=f(x) y=g(x) có đồ thị (C1), (C2) Diện tích hình phẳng giới hạn (C1), (C2) hai đường thẳng x=a, x=b

tính công thức:

   

b

a

Sf x  g x dx

Chú ý:

Nếu diện tích thiếu đường thẳng x=a, x=b ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b.

b Thể tích

Thể tích hình phẳng giới hạn {(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox

được tính cơng thức:    

b

a

dx x f

V 

Thể tích hình phẳng giới hạn {(C): x=(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy tính cơng thức:     d

c

dy y

V

 

Thể tích trịn xoay hình phẳng giới hạn hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox (f(x)g(x), x[a;b]) tính cơng

thức:         

b

a

dx x g x

f

V 2



* * *

2

1

m x m

y

x

 



 (1) (m tham số). (ĐH KhốiD 2002)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) ứng với m=1. b Tính diện tích hình phẳng giới hạm đường cong (C) hai trục tọa độ. c Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y=x.

ĐS: b ln4

3

S   , c m 1

2 Cho hàm số

2 2

3

x x

y x

 





b Tính phần diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục hoành 

x y

O

f(x) g(x)

b a

x y

O

f(x)

(x)

b a

y

x c

d