Chuyen de Ve duong phu chung minh DT hinh hoc

Trong quá trình giảng dậy , việc hình thành và phát triển một số kĩ năng cơ bản cần thiết cho HS là vấn ñề mà người giáo viên luôn phải duy trì, ñồng thời phải ñưa ra ñư[r]

PHN MT ĐặT VấN Đề

Trong trình giảng dậy , việc hình thành phát triển số kĩ cần thiết cho HS vấn ñề mà người giáo viên ln phải trì, đồng thời phải đưa giải pháp để hình thành phát triển kĩ Với tơi, kĩ “vẽ hình phụ” Trong thực tế, tơi nhận thấy học sinh cịn lúng túng đứng trước tốn chứng minh hình học, với cần phải kẻ thêm ñường Các em chưa định hướng vấn đề, đơi cịn chưa biết phải đâu, vẽ hình phụ nào? Có sở giúp em tìm hướng cho việc kẻ thêm hình chưa tìm lời giải tốn? Thiết nghĩ ñây vấn ñề trăn trở với người giáo viên dạy tốn Khơng định hướng rèn kĩ cho em,mà thực ñây cịn cách để rèn luyện phát triển tư cho HS, nâng cao khả suy luận lôgic khả vận dụng tri thức vào thực tiễn Với mục đích vậy, tơi viết áp dụng kinh nghiệm “ v hình ph đ chng minh đng thc hình hc”

Phạm vi áp dụng kinh nghiệm xin giành cho em HS lớp Nội dung xin ñề cập ñến kĩ nhỏ kĩ vẽ hình phụ HS , nên mong đóng góp bổ sung ý kiến đồng nghiệp để kinh nghiệm hồn chỉnh đầy đủ

PHẦN HAI

GIảI QUYếT VấN Đề

Khi gii cỏc bi tốn hình học , việc vẽ hình phụ tạo điều kiện thuận lợi cho ta tìm lời giải tốn, biết tạo hình phụ cách thích hợp khơng phải tốn dễ Trong viết tơi đưa cách phân tích có chủ ý để tìm cách vẽ thêm hình phụ thích hợp giải số tốn chứng minh đẳng thức hình học dạng:

xy = ab + cd, x2 = ab + cd, x2 = a2 + cd, x2 = a2 + b2 Ta xuất phát từ tốn đơn giản sau:

“ðể chứng minh ñoạn thẳng tổng hai ñoạn thẳng khác : AB = CD + EF, ta tìm cách phân chia ñoạn AB thành hai ñoạn ñiểm M cho AM = CD, cơng việc cịn lại chứng minh MB = EF ”

Ý tưởng ñược sử dụng ñể chứng minh ñẳng thức xy = ab + cd trường hợp riêng sau:

Bước 1:

Chia ñoạn thẳng ñộ dài x thành hai ñoạn ñiểm M cho x = x1 + x2 x1y = ab

Bước 2:

Chứng minh hệ thức x2y = cd

Bước 3:

Cộng vế ñẳng thức ta ñược ñpcm

Vídụ

ðịnh lí Pytago: Tamgiác ABC có góc A vng CMR BC2 = AB2 + AC2

Phân tích : Lấy ñiểm M thuộc cạnh BC cho

BM.BC = AB2 ⇔ = ⇒

BC AB AB BM

tamgiác BMA ñồng dạng với tam giác BAC nên góc BMA 900

Suy M chân ñường cao hạ từ A xuống BC Lời giải:

Hạ AM vng góc với BC Ta thấy M thuộc cạnh BC

Ta có tam giác BMA ñồng dạng với tam giác

BAC AB BM.BC

BC AB AB

BM= ⇒ =

⇒

Tam giác CMA ñồng dạng với tam giác CAB BC

CM AC

BC AC AC

CM= ⇒ =

⇒

Ta suy AB2 + AC2 = BC2

M C

B

A

Ví dụ 2:

Cho tứ giác ABCD có góc DAB = 900 góc DBC = 900 CMR : DC2 = DI.DB + CI.CA

Phân tích:

Lấy điểm M thuộc cạnh CD cho

DM.DC = DI.DB ⇒ = ⇒

DC DB DI DM

tam giác DMI ñồng dạng với tam giác DBC , góc DMI = góc DBC = 900 hay IM vng góc với DM (DC)

Vậy ta xác ñịnh ñược ñiểm M Lời giải :

Kẻ IM vng góc với DC

Ta có tam giác DBC đồng dạng với tam

giác DMI DCDM DIDB

DI DM DC DB = ⇒ = ⇒ (1)

Lại thấy tam giác ACD ñồng dạng với

tam giác MCI DCMC CACI

CI MC CD AC = ⇒ = ⇒ (2)

Từ (1) (2) ta có:

DC.(DM+MC) = DI.DB + CI.CA Hay DC2 = DI.DB + CI.CA

M I D C A B M I D C A

Ví dụ 3:

Cho tam giác ABC có AD phân giác góc A CMR: AD2 = AB.AC – BD.CD

Phân tích :

Lấy ñiểm E AD cho

AD.AE = AB.AC ⇒ = ⇒

AC AD AE AB

Như ta xác ñịnh ñược ñiểm E Lời giải:

Trên AD lấy E cho AD góc ABE = góc ADC Dễ thấy AD = AE – DE Do AD phân giác góc A nên tam giác ABE đồng dạng với

tam giác ADC ADAE ABAC

AC AD AE AB

= ⇒

=

⇒ (1)

Lại thấy tam giác BDE ñồng dạng với tam giác

ADC nên ADDE BDCD

DE DC BD AD

= ⇒

= (2)

Từ (1) (2) ta có:

AD.( AE – DE ) = AB.AC – BD.CD

Hay AD2 = AB.AC – BD.CD

E D B

C A

E D B

C A

Ví dụ 4:

Cho hình thang cân ABCD ( AD//BC) CMR: AB2 + AD BC = AC2

Phân tích:

Giả sử điểm M thuộc cạnh AC cho

dạng với tam giác ACB góc ABM góc ACB Vậy ta xác định điểm M

Lời giải:

Dựng góc ABM góc ACB ( M thuộc AC)

Ta thấy tam giác ABM tam giác ACB

ñồng dạng AB AM.AC

AB AM AC

AB= ⇒ =

⇒ (1)

Mặt khác ta thấy : góc BCM = góc CAD góc CBM = góc ACD Do tam giác CBM ñồng dạng với tamgiác ACD

AC CM BC AD AD AC CM CB

= ⇒

=

⇒ (2)

Từ (1) (2) suy

AB2 + AD BC = AM.AC + CM.AC ,

AB2 + AD.BC = AC2

A

M

D C B

A

M

D C B

Ví dụ 5:

Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn Gọi E F đường vng góc hạ từ C xuống ñường thẳng AB AD

Phân tích:

Lấy M thuộc đoạn AC cho

AM.AC = AB.AE ⇒ = ⇒

AC AE AB AM

tam Giác ABM ñồng dạng với tam giác ACE nên BM vng góc với AC

Vậy điểm M cần tìm chân đường vng góc hạ từ B xuống AC

Lời giải:

Gọi M chân đường vng góc hạ từ B xuống AC, ta thấy M thuộc ñoạn AC góc A nhọn nên AC = AM + MC

Lại thấy tam giác ABM ñồng dạng với tam giác ACE (g.g) suy AM AC = AB AE

Và tam giác ACF ñồng dạng với CBM(g.g)

suy CM AC = BC AF Do BC =AD ta có :

AB AE + AD AF = AM AC + CM AC = AC2

B

M

A D F

C E

B

M

A D F

C E

Ví dụ 6:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn tâm O CMR: AC BD = AB CD + AD BC

Phân tích:

Giả sử M thuộc đoạn AC cho

DBC Như ta xác ñịnh ñiểm M sau

Lời giải:

Do góc ABC > góc DBC nên tồn điểm M đoạn AC cho góc ABM = góc CBD Suy tam giác ABM đồng dạng với tam giác DBC (g.g) nên AM BD = AB CD (1)

Dễ thấy tam giác BMC ñồng dạng với tam giác BAD (g.g) nên MC BD = AD BC(2)

Từ (1) (2)⇒ AC BD =AB CD + AD BC

A B

D C

M

Ví dụ 7:

Cho tam giác ABC biết 3A + 2B = 1800 Chứng minh rằng: AB2 = BC2 +AB AC

Phân tích :

Giả sử điểm M thuộc cạnh AB cho BM AB =BC2 suy tam giác BMC ñồng dạng với tam giác BCA nên

góc BCM = góc BAC = góc A Kết hợp giả thiết ta có

góc ACM = góc AMC hay tam giác ACM cân A Vậy ta xác ñịnh ñược

ñiểm M sau M C

B

A

Lời giải:

Từ giả thiết suy AB > AC

Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM = AC, tam giác ACM cân A nên góc ACM =

2

Do góc BCM = C – ACM = A

Suy tam giác BCM ñồng dạng với tam giác BAC suy BM BA = BC2

nên ( AB – AC ).AB = BC2, AB2= BC2 + AB AC

Ví dụ 8:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn D điểm cung BC khơng chứa đỉnh A Gọi I, K H lầnlượtlà hình chiếu D trên ñường thẳng BC,AB AC.CMR:

DH AC DK AB DI BC + =

Phân tích :

Giả sửđiểm M thuộc cạnh BC cho

⇒ = DK AB DI BM

tam giác DKI ñồng dạng với tamgiác BAM suy góc BAM = góc DKI mà góc DKI = góc DBI nên sđ CD = sđ BN

( N giao điểm AM với đường trịn) Do DN // BC Vậy ta xác định ñiểm M N sau

D C B A N H K I M

Lời giải:

Qua D kẻ ñường thẳng song song với BC cắt ñường tròn N( khác D) AN cắt BC M

Ta thấy tam giác DKI ñồng ñạng với tamgiác BAM (g.g)

DK AB DI BM = ⇒

Lại thấy tam giác ACM ñồng dạng với tam giác HDI (g.g)

DH AC DI CM = ⇒

Cộng vế đẳng thức ta có ðPCM

Các hệ thức hình học đa dạng Việc tìm chúng tuỳ thuộc vào ñiều kiện cụ thể toán sáng tạo, linh hoạt người giải

Xin giới thiệu toán tương tự Bài 1:

Cho tam giác ABC có đường cao BE, CF cắt H CMR:

BE BH + CF CH = BC2

Bài 2:

Cho tam giác ABC vng C Lấy điểm E đường cao CH Kẻ BD vng góc với AE D CMR:

a) AE.AD + BA.BH = AB2

b) AE AD – HA.HB = AH2

Bài 3:

Cho tam giác ABC vng A với đường cao AH Gọi HD, HE lần

PHN BA

KếT LUậN Và KIếN NGHị

Trên ñây nội dung nhỏ việc rèn kĩ vẽ hình phụ cho HS.Qua thực tế áp dụng tơi thấy thu kết khá khả quan Các em bớt ñi lúng túng phải kẻ đường phụ tốn chứng minh hình học Và em giải tốn có nội dung tương tự cách chính xác, logic, nhanh chóng Với HS giỏi tốn,các em cịn giải tốn khó hơn,phức tạp

năng vẽ hình phụ mà thực cịn tốn khó cho việc định hướng cho HS.Vì mong chờ viết kinh nghiệm quý báu đồng nghiệp để tơi học tập trau dồi bổ sung kiến thức cho thân