Toán 11 Chương 1 Bài tập lượng giác co loi giai

Ñaïi hoïc Quoác Gia Haø Noäi khoái D naêm 1999... Ñaïi Hoïc Y Döôïc TP..[r]

(1)

1. 2 sin x 1 1

4 sin x cosx



   

 

 

2 sin x

sin x cosx

2 sin(x ) 2 sin x

4 sin x cosx sin x cosx

                    

sin(x ) x k

4

1

2 sin x sin x cosx 0 sin 2x 0

4 sin x cosx

2sin x cosx sin 2x

                                          

x k sin 2x sin

4 x k (k Z)

4

sin 2x 2x k2 x k

2                                     

2 C1.sin3 xcos3 x  2(sin5 xcos5 x) x

x x

x 5

3 sin cos cos

sin   

 x x x x x x x

x 3

3 ( sin ) cos ( cos ) sin cos cos cos

sin     



3 3

cos2x cos2x cos2x

x m x k x m (m Z)

tgx 4

sin x cos x tg x

                               

C2.sin3 xcos3 x 2(sin5 xcos5 x)

) cos (sin ) cos )(sin cos

(sin3x 3x 2x 2x 2 x 5x  ) sin (cos cos ) sin (cos sin cos sin sin cos cos

sin3x 2x 3x 2x  x 5x  x 2x x  3x 2x x                  x x x x x x x x x x x x 2 3 2 3 2 sin cos sin cos sin cos sin cos ) sin )(cos sin (cos Z) (k cos sin cos sin cos sin

cos          

     k x x x x x x x

x 2

2

3. sin2 x  cos2 2xcos2 3x cos 2x cos 4x cos 6x

(cos 4x cos 2x) (1 cos 6x)

2 2

           x x x x x x x x x

2       

 cos cos cos cos (cos cos ) cos cos cos

Z) (k cos

cos

cos                  

 k x k x k x x x x

4. sin6 xcos6 x  2(sin8 xcos8 x) x x

2 x

x 8

6 sin cos cos

sin   

 x x x x x x x

x 6

6 ( sin ) cos ( cos ) sin cos cos cos

sin     

(2)

Z) (m cos cos cos sin

cos  

                                 m x k x m x tgx x x tg x x x x 6

5. sinxcosx  sinxcosx 2

 x x  x x 2 4

 sin cos sin cos

2 k x x x 2 x 2 x x x x

1              

 sin sin sin cos cos cos sin

6 2x

8 13 x

x

6 sin cos

cos  

x

13 x

x 3

2 ) (sin ) cos

(cos  

 x 13 x x x x x

x 4 2

2 sin )(cos sin sin cos ) cos

(cos    

 x 13 x 2 x x 13 x x 2 1 x

2 ( sin2 sin2 ) cos2 cos ( sin2 ) cos2

cos      

                     x 13 x 2 x x 13 x 2 x x 13 x 2 x 2

2 cos cos

cos cos ) cos ( cos cos sin cos (loại) cos cos

cos 2x

2 x x

2     

      k (kZ)

6 x k x

7.13tgx  2sin2x(*) Đặt t tgx

                          k x tgx t t t t t t t t t t

1 2 ( )( )

(*)

8. 3sinx2cosx 23tgx

2 tgx tgx x tgx x x tgx

3       

 cos cos cos ( )

3 k x k x tg tgx x                      

 cos (k Z) tg

8. sin x3  4 2 sin x (*) C1.Ta coù : sin x sin x cosx



   

 

 

3 3

2 sin x (sin x cosx) sin x (sin x cosx)

4 2

                    x x x x x x 2

1 (sin cos )3 sin (sin cos )3 sin

(*)     

Vì cosx 0 khôngthỏamãn phươngtrình.Chia haivế phươngtrìnhchocos3x0tacó: Z) (k ) )( ( ) ( )

(           k 

4 x tgx x tg tgx x tg tgx

tgx 2

C2. (*)(sinxcosx)3 4sinx(sinxcosx)(sinxcosx)2 4sinx

0 x x x x x x x x x x

x       

(3)

0 x x

x x

3 x x

x

x          

cos ( sin ) sin ( cos ) cos (cos ) sin (cos ) Z) (k (loại)

cos )

sin )(cos

(cos    

 

   

 



 k

4 x

tgx

2 x

x x x

9. 4(sin4 xcos4 x) 3sin4x 2 2x 4x 2

1

4   

 ( sin ) sin

3

x

x x

4 x 2 x

3         

 sin sin sin cos cos( ) cos

Z) (k           

2 k 12 x k x

10. 2(sin x cos x) sin x cos x8    2cos x cos x sin x 2sin x8   

6 6

cos x(2 cos x 1) sin x(1 2sin x) cos x cos2x sin x cos2x

     

6 6

x m

cos2x cos2x cos2x 4 2

x m (m Z)

tgx

sin x cos x tg x x k

4

 

   

  

    

              

 

     



11.s in x cos x 2(sin x cos x)8 10 10 5cos2x

4

   

10 8

2 cos x cos x 2sin x sin x cos2x

     

8 8

cos x(2 cos x 1) sin x(1 2sin x) cos2x cos x cos2x sin x cos2x cos2x

4

         

8

cos2x

5 k

cos2x cos x sin x 5 x

4 sin x cos x vo ânghieäm

4



  

  

       

   

 



12. 0

4 3 x 2

x

2

2  cos  

sin 4(1cos22x)4(1cos2x)30

0 x x x 4 x

4        

 cos cos cos cos

1

cos2x cos cos2x (loại) 2x k2 x k (k Z)

2 3

  

                  

13.tg4x4tg2x30

2

tg x tg x tgx tg tgx tg x k x k (k Z)

4

   

   

                         

   

14. cos4 2x  2cos2 2x

4 2

cos 2x cos 2x cos 2x cos 2x (loại)

        

Z) (k

sin       



2 k x k x x

15. cos22x4sin4x30 (12sin2x)2 4sin4x30

3 x x x

1    

 sin sin sin sin  cos    k (kZ)

2 x x

x

(4)

16.cos x cos 2x 12   1 x x x 1 x

x 2

2          

cos ( cos ) cos cos cos

4 2

4 cos x 5cos x cos x cos x (loại) cosx x k (k Z)

4



             

17. 2cos x 1  3cos 2x

) cos cos ( cos ) cos (

cos x x x 34 x x

2        

                           x x x x x x x x

5 2

2 cos sin cos sin cos cos cos cos 3

sin x cos2x cos x k x k2 (k Z) với cos

5



                  

18. 2sin2 xtg2x 2 (1) Điều kiện : cosx0

C1. 2 x x x x

x x x

2

1 2 2 2

2

2 sin cos sin cos

cos sin sin ) (       x x x x x x x x

2( cos2 )cos2  cos2  cos2  cos2  cos4  cos2  cos2 

4 2 2

2 cos x cos x cos x (loại) cos x cos x cos x

             

Z) (k

cos         

 k x k x x

C2. tg x 2tg x tg x tg x 2tg x x tg x tg

1 2 2

2          ) (

4 2

tg x tg x tg x tg x (loại) tgx tg x k (k Z)

4

 

 

                   

 

19. 8sin4 x13cos2x 7  0

0 x 26 x x 13 x

8        

 sin ( sin ) sin sin

4 2 2 1

4sin x 13sin x sin x sin x (loại) 2sin x cos2x

4 2

             

Z) (k cos

cos         

 k x k x x

20.33sin4x5cos4 x 0

0 x x x 3 x x

3  2        

 ( cos ) cos ( cos cos ) cos

                  x 2 x x 2 x x x x x 2 2 cos cos ) cos ( cos cos cos cos cos

cosx cos2x cos x k 2x k2 x k x k (k Z)

2 3

    

                       

21. tg2xcotg2x 2 x tg

1 x

tg2  2 

(5)

(1) tg4x2tg2x10(tg2x1)2 0

tg x tgx tg x k (k Z)

4

 

 

              

22. (1)

cos x 2

1 x

tg

4  2  Điều kiện :cosx0

4 2

(1) 4tg x tg x 4tg x tg x tg x tg x (loại)

            

tgx tg x k (k Z)

4

 

 

            

23.

8 1 x

x

8 cos 

sin

8 x x x x

8 x

x 4 4

4      

(sin ) (cos ) (sin cos ) sin cos

4

2 4

1 1 1

(1 sin 2x) 2(sin x cosx) sin 2x sin 2x sin 2x

2 8

 

          

 

1 x x

2 x 8 x x x

1        

 sin sin sin sin sin sin

4 2

sin 2x 8sin 2x sin 2x sin 2x (loại)

        

0 x 

 cos        (k Z)

2 k x k x

24. 2(1sin2x)5(sinx cosx)3 0 2(sinxcosx)2 5(sinxcosx)30

3

sin x cosx sin x cosx (loại) sin x sin

2 4

 

 

           

 

3

x k2 x k2 x k2 x k2 (k Z)

4 4

    

                   

25. 5(1sin2x)12(sin x  cos x)7  0 x x

12 x x

5     

 (sin cos ) (sin cos )

7

sin x cosx sin x cosx sin x sin sin x sin

5 4

  

   

                

   

3

x k2 x k2 x k2 x k2 (k Z

2 4

  

                   

26. 3cos4 x4cos2 xsin2 xsin4 x 0

27. 2 cos x2 42 5 cosx2 cosx 15 0

cos x

      

   

   

28. cos x2 12 2 1 cosx 2 0

cosx cos x

      

   

(6)

2

1 cosx 2 2 cosx 2 cosx 2 cosx

cosx cosx cosx cosx

       

              

       

1 cosx (1) cosx (2)

cosx cosx

      .Điều kiện :cosx0

nghiệm) (vô

cos cos

)

(1 1 2x0 2x1

Z) (k cos

) (cos cos

cos )

(2  2x2 x10 x1 0 x 1x k2 

29.

x 1 x x

1

x 2

2

cos cos

cos

cos   

2

1 1

cosx cosx cosx cosx

     

            

     

1

cosx (1) cosx (2)

cosx cosx

       .Điều kiện :cosx 0

nghiệm) (vô

cos cos

)

(1  x x10

Z) (k cos

) (cos cos

cos )

(2  2x2 x10 x1 0 x 1xk2 

30. cos x2 12 2 cosx 1 1

cosx cos x

 

    

 

2

1

cosx 2 cosx

cosx cosx

   

       

   

2

1

cosx cosx

   

       

    x

1 x

x      



cos cos

] cos [cos

0 x x

2   

cos cos

1 5

cosx (loại) cosx cos x k2 (k Z)

2

 

             

31. 2 cos x2 12 7 cosx 1 2 0

cosx cos x

      

   

   

2

1 1

2 cosx cosx 2 cosx cosx

cosx cosx cosx cosx

        

                  

       

 

 

1

cosx (1) cosx (2)

cosx cosx

        Điều kiện :cosx 0

Z) (k (loại)

cos cos

cos )

(      

 

   

    

   

 x k2

1 x

2 x

1 x x

1

2

(2) cos x 3cosx cosx cos cosx (loại) x k2 (k Z)

2 3

 

               

Vậy nghiệm phương trình : x k2 v k2 (kZ)

x

32. sin x2 12 sin x 1 0

sin x sin x

     

   

   

2

1

sin x sin x

   

      

(7)

1

sin x (1) sin x (2)

sin x sin x

       Điều kiện :sinx0

nghiệm) (vô

sin sin

)

(1  2x x10

Z) (k sin ) (sin sin sin )

(            k2 

2 x x x x x

2 2

33. 4 sin x2 12 4 sin x 1 7 0

sin x sin x                2

1 1

4 sin x sin x sin x sin x 15

sin x sin x sin x sin x

        

                  

       

 

 

1

sin x (1) sin x (2)

sin x sin x

       Điều kiện :sinx 0

nghiệm) (vô

sin sin

)

(1 2 x3 x20

2

(2) 2sin x 5sin x sin x 2(loại) sin x sin

2                  

x k2 x k2 (k Z)

6

 

         

34 C1 :tg2xcotg2x2(tgxcotgx)6 (*)

Điều kiện : sin cos  sin     (kZ)

2 k x x x x gx tgx 2 gx

tgx    

( cot ) ( cot )

(*) (tgxcotgx)2 2(tgxcotgx)80

tgx cot gx (1) tgx cot gx (2)

       Z) (k ) ( )

(                 k 

4 x tg tgx tgx tgx x tg tgx tgx

1 2

) sin( sin sin cos sin cos sin sin cos cos sin ) ( x x 2 x x x x x x x x

2            

7

2x k2 2x k2 x k x k (k Z)

6 12 12

   

                  

Vậy nghiệm phương trình laø :  k

x        k (kZ) 12 x k 12 x

C2 :Đặt

gx tgx x g x tg gx tgx t gx tgx

t cot  ( cot )2  cot  cot

2 x g x

tg2  

 cot x g x tg

2 2  

 cot           t t t t2

 Khi t2 tgxcotgx2 tg x 2tgx tgx

tgx

tgx        

 ( ) Z) (k          k x tg tgx  Khi cot

4  



 tgx gx

t x x x x

x x x

x sin2 cos2 sin cos

sin cos cos

sin     

(8)

1 2sin 2x sin 2x sin

2

  

        

 

7

6 12 12

   

                  

Vậy nghiệm phương trình cho :  k

x        k (kZ) 12

7 x k 12 x

35. tg2xcotg2x5(tgxcotgx)60 (*)

2 k x x

x x

0 gx tgx

5 gx

tgx     

( cot ) ( cot )

(*) (tgxcotgx)2 5(tgxcotgx)40

tgx cot gx (1) tgx cot gx (2)

       

nghiệm) (vô

)

( tg x tgx

tgx tgx

1       

) sin( sin

sin cos

sin sin

cos cos

sin )

(

6

1 x

x 2 x

x x x

4 x

x x

x

2            

7

6 12 12

   

                  

Vậy nghiệm phương trình cho :       k (kZ)

12 x k 12 x

36. cot ( cot ) (1)

cos x 3 g x 4 tgx gx 1 0

3

2     

2 k x x

x x

0 gx tgx

4 x g x tg gx tgx

4 x g x

1  2  cot  ( cot )   (  ) cot  ( cot ) 

cos )

(

0 gx tgx

4 gx tgx

3 gx tgx

4 x g x

tg

3            

 ( cot ) ( cot ) [( cot ) ] ( cot )

0 gx tgx

4 gx tgx

3     

 ( cot ) ( cot ) (*)

Đặt : ttgxcotgxt2 (tgxcotgx)2 tg2xcotg2x2tgxcotgx tg2xcotg2x2

2 x g x tg

2 2  

 cot       t

2 t t t2

2

(*) 3t 4t t t (loại)

        

Khi : x x x x 2x

x x x

x

t   2sin2 cos2  sin cos sin 

sin cos cos

sin

2x k2 x k (k Z)

2

 

          

37. ( cot ) (1)

sin x 2tg x 5 tgx gx 4 0

2

(9)

2 k x x

x x

0 gx tgx

5 x tg x g

1) ( cot )  ( cot ) 

(

0 gx tgx

5 gx tgx

2 gx tgx

5 x g x

tg

2            

 ( cot ) ( cot ) [( cot ) ] ( cot )

0 gx tgx

5 gx tgx

2  2  

 ( cot ) ( cot ) (*)

Đặt :t tgxcotgxt2 (tgxcotgx)2 tg2xcotg2x2tgxcotgx

x g x

tg2  

 cot

4 x g x tg

2 2  

 cot        t

2 t t

t2

2

(*) 2t 5t t t (loại)

2

       

Khi      (sin cos ) sin cos sin  sin

sin cos cos

sin

5 x x

x x x

2 x x x

x

5

t 2

2x k2

x k x k (k Z)

2x k2 2

   

   

          

      

38.(sin x cos x)  2(1 sin 2x) sin x cos x    2 0

3

(sin x cosx) 2(sin x cosx) sin x cosx

       

đặt t sin x cosx cos x



 

     

  điều kiện: t 

Phương trình trở thành :t3  2t2  t 2 0  (t 2)(t +1) = 02 t = 2

39. 2(sin x cos x) tgx cot gx  

sin x cosx 2(sin x cosx)

cosx sinx

     2(sin x cosx)sin x cosx 1 

đặt t sin x cosx cos x



 

     

Phương trình trở thành :t3  t 2 0  (t 2)(t + 2t +1) = 02 t = 2

40.sin x cos x sin 2x sin x cos x3    

(sin x cosx)(1 sin x cosx) 2sin x cosx sin x cosx

     

2

t

đặt t sin x cosx cos x sin x cosx

4

 

 

      

Phương trình trở thành :

3 2

t 2t     t (t 1)(t + 2t 5) = 0 t = t = (loại)  t =

41.cosx 1 sin x 1 10

cosx sin x 3

   

1 10

(sin x cosx)

sin x cosx

 

    

 

2

t

đặt t sin x cosx cos x sin x cosx

4

 

 

      

 

(10)

3 2 19 19

3t 10t 3t 10 (t 2)(3t 4t 5) = t = t = t = (loại)

3

 

          

42.(cos4x cos2x)  5 sin3x

2 2

VT (cos4x cos2x)  (2sin3xsin x) sin 3xsin x 4 . VP sin3x 4  

Vậy phương trình tương đương với hệ :

2 2 cosx 0

sin 3xsin x sin x x k2

sin3x

sin3x sin3x



     

     

    

    

 

43.(cos4x cos2x)  5 sin3x

2 2

VT (cos4x cos2x)  (2sin3xsin x) sin 3xsin x 4 . VP sin3x 4  

2 2 cosx 0

sin 3xsin x sin x x k2

sin3x

sin3x sin3x



        

    

    

 

44.sin x cos x  2(2 sin 3x)

VT sin x cosx sin x

4



 

     

  . VP  2(2 sin3x) 

x k2

sin x x k2 4

vo ânghieäm

4 m2

sin3x x

2 sin3x 6 3

 

               

    

       

 

Vậy phương trình cho vô nghiệm

45.sin x sin x 113  14 

13 14 2

sin x sin x sin x sin x

    .Vì cosx 1 cos x cos x13  ; sin x 1 sin x sin x14 

Vậysin x sin x 113  14  Dấu đẳng thức xảy khi:

13 2 11

14 2 12

cos x cos x cos x(cos x 1) cosx cosx x k x m

2

sin x sin x

sin x sin x sin x(sin x 1) x k2

 

            

       

       

  

   

    

46.sinxcosx  2(2sin3x) (1)

VT sin x cosx cos x

4



 

     

 

2 2 x 2

VP ( sin ) (  )

Vaäy (1) cos x cos x cos x (1)

2 sin3x sin3x (2) 2(2 sin3x)

        

 

      

        

       



        

 k2

4 x k x 1)

( ( k Z)

thế vào (2) ta có : sin3x sin k6 sin3

4

 

 

      

(11)

Vậy phương trình vô nghieäm

47.(cos4x cos2x)2 5sin3x

4 x x

3 4

x x 3 2

VT  ( sin sin )2  sin sin  VP5sin3x514

Vaäy

  

  

 

  

  

  



 

 

 



 

 sinsin sin sinsin sin sinsin sinsin sin x 1 (1)(2)

)

(

2

4 x

1 x

x

1 x

x

1 x x

x

4 x x

Khi sin    k2 (kZ)

2 x x

thế vào (2) ta có : sin3x341 thỏa mãn

Khi sin   k2 (kZ)

2 x x

thế vào (2) ta có : sin3x3411 không thỏa

Vậy nghiệm phương trình : k2 (kZ)

2 x

48 . 5sin22x sinx2cosx (1)

5 x

VT sin2  Dấu xảy ra sin2x = 0   (kZ)

2 k

x (*)

5 x x

4 x x

VPsin  cos   sin2 cos2  Dấu xảy ra

2 tgx

x

x  cos  

sin (**)

Thế (*) vào (**) không thỏa nên phương trình vô nghiệm

49. 3sin2xcos2x 3sinxcosx 4 (1) x x

3 x 2 x 2

3

1) sin  cos  sin  cos 

(

cos sin 2x sin cos2x sin sin x cos cosx sin 2x cos x

6 3

       

           

    (*)

Vì sin 2x

6

   

 

  vaø cos x

   

 

  neân (*)

2

sin 2x 6 sin 2x sin k4 sin

6 x k2

3

x k2

cos x x k2 x k2 3

3 3

               

        

         

       



  

 

               



     



Vậy nghiệm phương trình :  k2

x (k Z)

50.cos2xcosx 1

2 x x

3

x x

3

 

  

(12)

Vì cos3x 1 cosx1 nên (*)                      

 x x k2

1 x x x x x x

3 cos cos cos

cos cos cos

cos (k Z)

51.cos2x  x2 1 (*)

Vì cos2x1 x2 11 nên (*) x

1 0 x x 1

x2  

          

 cos cos

Vậy nghiệm phương trình : x =

52.cos3xcosx  2 (*)

Vì cos3x1 cosx1 nên (*)

                             

 x x k2

1 x x x x x x

3 cos cos cos

cos cos cos

cos (k

Z)

53.cos x cosx tg x 02    

2 cosx

(cosx 1) tg x

tgx            Z) (k cos

sincos      

 



 x x k2

0 x

1 x

54.4sin x 3tgx 3tg x 4sin x 02     

2

4sin x 4sin x 3tg x 3tgx

      

2 sin x 1/ (1)

(2sin x 1) ( 3tgx 1)

tgx / (2)

          

(1) x k2 x k2 (k Z)

6

 

         vào (2) ta có nghiệm  k2

x , (k Z)

55.x2 2x sin x cos x 0  

2 2

x 2xsin x sin x cos x cosx

       x k x 0 k k k x x x x x x x x

x 2  

                     

( sin ) (cos ) cossin sin sin sin

Vậy nghiệm phương trình :x =

56. x cos2x 1 2   2

2 x

x (1 cos2x) 0 x 2sin x 0 x 0

sin x

2               

57.Đại học An Giang khối D năm 2000

2 2 3

sin x sin 2x sin 3x 2

  

cos2x cos4x cos6x cos4x(2 cos2x 1)

      

1 k

cos4x cos2x x x k

2

  

            

(13)

1 1 2 sin x

4 sin x cosx



   

 

 

2 sin x

sin x cosx

2 sin x 2 sin x

   

 

  

     

       

   

sin x sin x

2 sin x 4 4

4

sin x cosx sin 2x

2

2sin x cosx sin 2x sin x cosx

                

 

      

 



  

   

 

 

  

  

x k sin 2x sin

4

x k

sin 2x 4

sin 2x 2x 2k x k

2

           

  

 

      



  

          



59.Học Viện Quan Hệ Quốc Tế khối D năm 1999 cosx cos2x cos3x cos4x 0   

5x x 5x x

4 cosx.cos cos cosx cos cos

2 2

       

2k

x k x x 2k

2 5

  

           

60 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1998

3 5

sin x cos x 2(sin x cos x)  

3 2 5

(sin x cos x)(sin x cos x) 2(sin x cos x)

    

3 2 5 2 2

sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x(cos x sin x) cos x(cos x sin x)

       

3

cos2x cos2x cos2x k

co2xsin x cos2x cos x x

sin x cosx tgx

sin x cos x

  

    

       

 

  



2 2

sin x cos 2x cos 3x 

1 cos2x cos4x cos6x (cos2x cos4x) (1 cos6x) 0

2 2

  

       

2

2 cos3x cosx cos 3x cos3x(cosx cos3x) cos3x.cos2x.cosx

       

k k

cos3x cos2x cosx x x x k

6 2

    

               

62 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 1999

6 8

sin x cos x 2(sin x cos x)  

6

sin x(1 2sin x) cos x(2 cos x 1)

    

6 k

cos2x(sin x cos x) cos2x x

4

 

(14)

sin x cosx sin x cosx 2   

Bình phương vế ta cos2x sin 2x x k



    

64 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 2000

6 13

cos x sin x 8

 

2

cos2x(2 cos 2x 13cos2x 6)

   

1 k

cos2x cos2x (loại) cos2x x x k

2

  

             

65 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 2000 1 3tgx sin 2x (*) 

Đặt : t tgx

2

4t

(*) 3t (1 3t)(1 t ) 4t 3t t t

1 t

           



(t 1)(3t 2t 1)

     t x k

4

        

66 Học Viện Quân Y khối B năm 2001 3sin x cos x 3tgx  

3tgx cosx cosx 3tgx cosx(3tgx 2) 3tgx

        Đặt : t tgx

3tgx tgx / tg x k

cosx cosx x 2k

         

  

  

   

  

67 Đại Học Sư Phạm Hà Nội khối B năm 2000

3

4cos x sin2x 8cosx 

3

4 cos x sin x cosx 8cosx cosx(2 cos x sin x 4)

      

2

2 cosx(2sin x sin x 2) cosx sin x (loại) sin x

         

3

x k x 2k x 2k

2 4

  

           

68 Đại Học Sư Phạm Hà Nội khối B năm 2001

tgx cot g2x sin 2x (*)  Điều kiện : sin 2x 0 Đặt : t tgx

2

2 2

2

1 t 2t 2t

(*) t t tg x sin x cos x

2t t t t



          

 

k cos2x (thoûa mãn điều kiện) x

4

 

    

69 Đại Học Sư Phạm Hải Phòng khối B năm 2001

sin x 2 sin x (*) 4

   

 

 

Đặt : t x x t

4

 

(15)

3

(*) sin t sin t sin t sin t cost sin t(1 cot t) sin t cost



 

          

 

cost cost

cost(1 sin t cot t) t k x k

sin t cost sin 2t (vônghiệm)

 

   

             

 

 

70 Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh khối D năm 2000

4

4(sin x cos x)  3 sin 4x 2

2

1

4 sin 2x sin 4x 2sin 2x sin 4x 2

 

         

 

1

cos4x sin 4x cos4x sin 4x cos 4x cos

2 2 3

 

 

           

 

2 k k

4x 2k x x

3 12

     

            

71 Đại Học Thái Nguyên khối D năm 1997

4 cos x cos3x cosx 2(1 cos2x)   

2

4 cos x (4 cos x 3cosx) cosx cos x

    

3

4 cos x 3cosx cosx(4 cos x 3) cosx x k

2



           

72 Đại Học Thái Nguyên khối D năm 2000 s in2x 4(cos x sin x) m  

a) Giải phương trình m 4

b) Với giá trị m phương trình có nghiệm?

Giải a) Khi m 4 , phương trình có dạng :

sin2x 4(cosx sin x) 4    (1 sin 2x) 4(cosx sin x) 0   

(cosx sin x) 4(cosx sin x)

     

cosx sin x

2 cos x x 2k x 2k

cosx sin x (vônghiệm)

 

   

            

   



b) sin2x 4(cosx sin x) m   (cosx sin x) 4(cosx sin x) m (*)   

Đặt : t cosx sin x cos x t



 

      

 

2

(*)t 4t m 0  

Neáu   / 5 m 0  m 5 phương trình vô nghiệm

Nếu   / 5 m 0  m 5  phương trình có hai nghiệm

/ /

1

t    2 t    2 (loại) Vậy phương trình có nghiệm

/ / /

1

2 t 2 2 2 6

                 

6 m 4 m

             

72 Đại Học Văn Hóa Hà Nội khối D năm 2001

sinx 2cosx cos2x 2sin x cosx 0   

2

sinx 2sin x cosx(1 sin x)

(16)

sinx sinx

(1 sinx)(2sin x cosx 1) 1

sin x sin

2(sin x cosx)

4 2

  

 

               

   



3

x 2k x 2k x 2k

2 4

  

                 Trong  góc có sin 2

  

73 Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1997

4

cos x sin x cos2x 

4 4

cos x sin x cos x sin x sin x sin x

      

4

2

sinx

sin x(sin x 1) x k

1 sin x (vo ânghieäm)

 

        





x 3x x 3x 1

cosx.cos cos sin x.sin sin

2 2  2 2  2

1cosx(cosx cos2x) 1sin x(cosx cos2x)

2 2

    

2

cos x cosx cos2x sin x cosx sin x cos2x cosx cos2x sin x cos2x sin x sin x cosx

        

cos2x(cosx sin x) sin x(sin x cosx) (cosx sin x)(cos2x sin x)

       

2

(cosx sin x)(1 2sin x sin x) (cosx sin x)(2sin x sin x 1)

         

1

tgx sin x sin x x k x 2k x 2k x 2k

2 6

   

                        

2 2

sin 3x sin 2x s in x 0  

2

1 cos6x cos2x sin 2x 0 1(cos2x cos6x) sin 2x 0

2 2

 

       

2 2

sin 4xsin 2x sin 2x 2sin 2x cos2x sin 2x sin 2x(2 cos2x 1)

        

1 k

sin 2x cos2x x x 2k

2

 

          

2(cot g2x cot g3x) tg2x cot g3x  

Điều kiện :sin 2x ; sin3x ; cos2x 0  

cos2x cos3x sin 2x cos3x 2(cot g2x cot g3x) tg2x cot g3x

sin 2x sin3x cos2x sin3x

 

       

 

2

3

2sin x cosx 2sin x(cos2x cos x) sin x (loại) sin 2xsin3x sin3x cos2x sin 2xsin3x cos2x



      ñk

sin 2x 0

Vậy phương trình vô nghiệm

77 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh khối B năm 1997

3 sin x sin 2x sin 3x cos x 

2 3

2sin x cosx 3sin x 4sin x cos x

(17)

3 2

tg x 2tg x 3tgx (tgx 2)(tg x 3) tgx tg tgx

               

x k x k

3

          

Xác định a để hai phương trình sau tương đương

2 cosx cos2x cos2x cos3x  

2

4cos x cos3x acosx (4 a)(1 cos2x)    

Giaûi

 2 cosx cos2x cos2x cos3x   cos3x cosx 2cos x cos3x   cosx 2cos x

cosx cosx 1/

   

 4 cos x cos3x acosx (4 a)(1 cos2x)2     

2

4 cos x (4 cos x 3cosx) acosx 2(4 a)cos x

     

3

4 cos x (4 2a)cos x (a 3)cosx cosx(2 cosx 1)(2 cos x a 3)

          

1 a

cosx cosx cosx

2



     

Hai phương trình sau tương đương

a 1 a 1 a 0 a a a a a 4

2 2 2

   

                

Xác định a để phương trình sau có nghiệm : sin x cos x a sin2x6  

Giaûi

6 2

sin x cos x a sin 2x sin 2x a sin 2x 3sin 2x 4a sin 2x (*)

       

Đặt : t sin 2x   0 t (*)3t2 4at 0 

Với t ta co ùf(0)    4 phương trình (1) ln có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện

1

t  0 t

Như , phương trình cho có hai nghiệm phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn

1

t  0 t  1 f(1) 0 4a 0   a 1/

80 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối B

2 2

sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x  

1 cos6x cos6x cos10x cos12x

2 2

   

   

(cos12x cos10x) (cos8x cos6x) cosx(cos11x cos7x) cosxsin 9xsin 2x

         

k k

sin 2x cos9x x x

2

 

       

81 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối D

Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm phương trình :cos3x 4cos2x 3cosx 0    Giải

3

(18)

3 2

4cos x 8cos x cos x(cos x 2) cosx cosx (loại) x k



             

Vì x0;14       k k k k

Vậy nghiệm phương trình là:x x x x

2 2

   

      

82 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối A

Tìm x thuộc đoạn x0;2nghiệm phương trình :

cos3x sin 3x

5 sin x cos2x (*)

1 2sin 2x



    

  

 

Giải

Điều kiện : 2sin 2x 0  sin 2x 1/ (a)

 

(*)5 sin x 2sin xsin 2x cos3x sin3x   (cos2x 3)(1 2sin 2x) 

 

5 sin x cosx cos3x cos3x sin3x (cos2x 3)(1 2sin 2x)

       

 

5 sin x sin3x cosx (cos2x 3)(1 2sin 2x)

     

 

5cosx 2sin 2x (cos2x 3)(1 2sin 2x) 5cosx cos2x 5cosx cos x

          

2

2 cos x 5cosx cosx (loại) cosx 1/ (thỏa đk (a))

       

x 2k

3



     Vì x0;2  nghiệm phương trình là:x x

3

 

  

2 x 2 x

sin tg x cos 0 (*)

2 4 2



    

 

 

Điều kieän : cosx x k

     

2

1 cos x cos x

1 cosx sin x cosx

2

(*) tg x 0

2 2 cos x

 

   

       

 

   

       

2

1 sin x sin x. cosx 0 sin x cosx 0 sin x (1 cosx)(1 sin x) 0

2 sin x 2(1 sin x)

  

          

 

(1 cosx)(1 cosx) (1 cosx)(1 sin x) (1 cosx)(sin x cosx)

          

cosx tgx x 2k x k

4

                

84 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2003 khối B 2

cotgx tgx 4sin 2x (*) sin 2x

  

Điều kiện : sin 2x x k

   

cosx sin x 2 cos2x

(*) 4sin 2x 4sin 2x

sin x cosx sin 2x sin 2x sin 2x

      

2 2

2 cos2x 4sin 2x cos2x 2(1 cos 2x) cos 2x cos2x

(19)

cos2x (loại) sin 2x sin2x

x k

cos2x 1/

   

 

     

  

84 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2004 khối B

5sin x 3(1 sin x)tg x (*)  

Điều kiện : cosx x k

     

2

sin x sin x

(*) 5sin x 3(1 sin x) 5sin x 3(1 sin x)

cos x sin x

       



2

3sin x

5sin x (5sin x 2)(1 sin x) 3sin x 2sin x 3sin x sin x

          



1

sin x (loại) sinx x 2k x 2k (thỏa mãn đk)

2 6

 

            

(2 cos x 1)(2sin x cos x) sin 2x sin x   

(2 cosx 1)(2sin x cosx) 2sin x cosx sin x

    

2 cosx cosx 1/ (2 cosx 1)(2sin x cosx) sin x(2 cosx 1)

sin x cosx tgx

  

 

      

   

 

x 2k x k

3

 

         

86 Đại Học Dân Lập Văn Lang năm 1997 khối B & D 3cosx cos2x cos3x 2sin xsin2x   

2

3t 2t 4t 3t 4(4 t )t (t cosx)

        

2 t cosx

2t 2t x k x 2k

t cosx

 

  

              

   

 

87 Đại Học Thủy Sản năm 1997 khối A

4 x x

cos sin sin 2x

2  2 

2 x x

cos sin sin 2x cosx 2sin x cosx

2

    

cosx x k x 2k x 2k

sinx 1/ 2 6



   

             



88 Trung Học Kỹ Thuật Y Tế naêm 1997

2

(2sin x 1)(2sin 2x 1) cos x   

2

2sin xsin 2x 2sin x 2sin 2x 4(1 sin x)

      

2

8sin x cosx 2sin x 4sin x cosx 4sin x sin x 4sin x cosx cosx 2sin x

         

x k sin x

5

4sin x cosx 2(sin x cosx) x 2k x 2k x 2k x 2k

6

   

 

     



                  

 

5

x k x 2k x 2k x 2k x 2k

6

   

                  

(20)

Cho phương trình :4cos xsinx sin xcosx sin 4x m (*)5    Biết x  nghiệm (*) Hãy giải phương trình (*) trường hợp

Giải

4 2

4sin x cosx(cos x sin x) sin 4x m   2sin 2x cos2x sin 4x m  sin 4x sin 4x m (1)  

Vì x   nghiệm phương trình (*) nên x  nghiệm phương trình (1) Nghĩa :sin 4x sin 4  0 từ (1)m 0

Vậy phương trình trở thành : sin 4x sin 4x 02 sin 4x x k x k

sin 4x



   

        

 

90 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối D

Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm

Cho phương trình :4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m4     

Giaûi

4 6 2 2

4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m sin 2x sin 2x sin 2x m

2

   

            

   

2

4t 3t m (t sin 2x t 1)

       Đặt :

2 / /

f(t) 4t  3t f (t) 8t 3;f (t) 0    t 3/ 8f(3/ 8) 9 /16 Lập bảng xét dấu đạo hàm đoạn  0;1 ta có : f(0) ; f(1) 1 

Vậy phương trình có nghiệm : m 16

  

91 Đại Học Luật TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối A

Cho phương trình :cos 4x cos 3x asin x  a) Giải phương trình a 1

b) Xác định tham số a để phương trình cho có nghiệm x khoảng 0; 12



 

 

 

Giaûi

a) cos4x cos 3x asin x2 2 cos 2x 12 cos6x a cos2x

2

   

       

 

2

4 cos 2x cos 2x 3cos2x a(1 cos2x)

      

3 2

a(t 1) 4t 4t 3t (t cos2x) a(t 1) (t 1)(4t 3)

           

Khi a 1 phương trình trở thành :

2 k

(t 1) (t 1)(4t 3) t cos2x 2x k x

2



              

b) cos4x cos 3x asin x  a(t 1) (t 1)(4t   3) (*) (t cos2x)

3

x 0; x 2x cos2x t

12 12 2

  

 

            

 

 

2 / 3

(*) a 4t f(t) f (t) 8t với t ;1 f ; f 1

2

   

            

(21)

Lập bảng xét dấu đạo hàm khoảng ;1

 

 

  ta thấy phương trình có nghiệm a 1 

92 Đại Học Ngoại Thương năm 1997 khối D 2

2tgx cot gx 3

sin 2x

  

2sin x cosx 3 (1)

cosx sin x sin x cosx

   

Điều kiện : sin x cosx sin x cosx

 

    

2 2

2sin x cos x sin x cosx 1 sin x sin x cosx sin x sin x cosx

         

sin x (loại)

tgx x k

3 sin x cosx



 

      

 

93 Đại Học Bách Khoa Hà Nội năm 1994

2

4sin 2x 6sin x 3cos2x (*) cosx

   

Điều kieän : cosx 0

2

(*)4(1 cos 2x) 3(1 cos2x) 3cos2x 0      2 cos 2x 3cos2x 0  

cos2x 1 cos2x cos x cosx (loại) x k

cos2x 1/ cos2x 1/ cos2x 1/ cos2x 1/

      

   

         

       

   

94 Đại Học Bách Khoa Hà Nội năm 1996

Tìm nghiệm phương trình :sin x cos x cos2x (1)4   thỏa mãn bất phương trình :

2

1 log (2 x x ) (2)    Giaûi

 sin x cos x cos2x4 1 1sin 2x cos2x2 cos 2x cos2x 02

2

        

cos2x x k

    



2

1 2

1

2

1 x

2 x x 2 x x 0 1 x 2

1 log (2 x x ) log (2 x x ) 1 x

1 x

x x x 0

   

          

  

                  

  



  

 

 Nghiệm (1) thỏa (2) k k

1 k

  

  

   

 Vaäy x 0

95 Đại Học Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh năm 1994

cos3x 1  3 sin3x

2 2

1 sin3x sin3x /

cos 3x sin3x 3sin 3x 4sin 3x sin3x

    

 

 

    

 

(22)

k

sin3x 3x k x

3



      

3 1

sin x cosx cos xsin x 4

 

2 1 1

sin x cosx(sin x cos x) sin 2x cos2x sin 4x

4 4

        

k

sin 4x 4x 2k x

2

  

           

4 2

3cos x cos x sin x sin x 0  

4 2

tg x 4tg x tg x tg x

       

tgx tgx x k x k

4

 

               

3

sin x 2 sin x

4 

  

 

 

3

1 (sinx cosx) sin x (sin x cosx) 4sin x

 

      

 

3

3 3

3

sin x cosx 4sin x (tgx 1) 4tgx(1 tg x) tg x 3tg x 3tgx 4tgx 4tg x

cosx cos x



 

            

 

3 3

3tg x 3tg x tgx tg x 3tg x 3tgx 4tgx 4tg x

          

tgx tgx x k x k

4

 

               

99 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh năm 1998

1tg x 2 5 0 2  cos x 2 

2

1 1 0 4 0

2 cos x cosx cos x cosx

 

         

 

2

1 2 0 cosx x 2k

cosx



 

          

 

100 Đại Học Y Dược Hà Nội năm 1996

0,25

x x

log sin sin x log sin cos2x 0

2 2

     

   

   

4

x x

log sin sin x log sin cos2x

2

   

      

(23)

2

cos2x sin x 2sin x sin x sin x sin x 1/ sin x 1(loại) sin x 1/

x x x x

sin sin x sin sin x sin sin x sin sin x

2 2

             

  

   

   

       

   

   

1

sinx x 2k x 2k

2 6

 

           

101 Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1995

2

tg2x cot gx 8cos x 

2

sin 2x cosx 8cos x (*) cos2x sin x

   Điều kiện : cos2x

sin x

 

 



2 cosx

sin 2xsin x cos2x cosx

(*) 8cos x cosx 8cos x cos2xsin x

8cosx cos2xsin x cos2xsin x

 



     

 

cosx cosx cosx

(thỏa mãn điều kiện ) cos2xsin 2x 2sin 4x sin 4x 1/

  

  

   

  

  

k k

x k x x

2 24 24

    

         

2

(sin 2x 3 cos2x) 5 cos 2x 2



 

     

 

2

1

4( sin 2x cos2x) cos 2x

2 2



 

      

  Điều kiện

2

4 cos 2x cos 2x cos 2x 5/ (loại) cos 2x

2 2

   

       

                

       

7

2x 2k x k

6 12

 

         

103 Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1996 a)3(cot gx cos x) 2(tgx sin x)    5 b)3(cot gx cos x) 5(tgx sin x) (*)   

Điều kieän cosx sin x

 

 



cosx sin x

(*) 3(cot gx cosx 1) 5(tgx sin x 1) cosx sin x

sin x cosx

   

               

   

cosx sin x cosx sin x sin x sin x cosx cosx

3

sin x sin x

   

   

    

   

cosx sin x cosx sin x (1)

3

(cosx sin x cosx sin x) 3 5

sin x cosx (2)

sin x cosx

  



  

      

 

 



2 t

(1) t 2t (t sin x cosx sin x t 2)

4 t (loại)

    

            

 

(24)

1

sin x sin x 2k x 2k

4 4

   

 

                  

 

3

(2) tgx tg x k

sin x cosx

          

tgx cot gx 2(sin 2x cos2x)  

Điều kiện : cosx sin 2x sin x

 

 

 



sin x cosx

tgx cot gx 2(sin 2x cos2x) 2(sin 2x cos2x) 2(sin 2x cos2x)

cosx sin x sin x cosx

         

2

2 2(sin 2x cos2x) 1 sin 2x(sin 2x cos2x) 1 sin 2x sin 2x cos2x sin 2x

        

2 cos2x k k

cos 2x sin 2x cos2x (thỏa mãn điều kiện) x x

tg2x



    

        

 

105 Học Viện Quan Hệ Quốc Tế năm 1995 khối D

sin x sin x sin x cos x (*)   

Điều kiện :sin x 0

2

(*) sin x sin x cos x cosx sin x sin x cos x cosx

4

         

1 2

sin x cosx

1

2 sin x cosx cosx sin x 1

2

   

  

   

        

           



2

cosx cosx 0

cosx cosx

sin x sin x 1 5

sin x cos x sin x sin x sin x (vìsin x 0)

sin x

cosx sin x cosx sin x cosx 1 x 2k

   

     

  

        

      



 



       

         



x 2k x 2k

         

106 Đại Học Kiến Trúc Hà Nội năm 1995 khối A

1 1 1

cos x sin 2x sin 4x 

Điều kiện :sin 4x 0

1 1 1

cosx sin 2x sin 4x   cosx 2sin x cosx 2sin x cosx cos2x 

2

2sin x cos2x cos2x 2sin x cos2x cos2x 2sin x cos2x 2sin x

        

sin x (loại)

2k

x x 2k

cos2x sin x cos x

2

 

  



         

    

  



(25)

1 cos x cos2x cos 4x cos8x

16

 (*)

Xét sinx = phương trình không thỏa

Vậy (*)  sin x cos x cos2x cos 4x cos8x sin x 16



2k 2k

sin16x sin x x x

15 17 17

  

      

108 Đại Học Kinh Tế năm 1994

Cho phương trình :

6

2

cos x sin x 2mtg2x cos x sin x



 

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Giải phương trình m



Giaûi

6 6

2

cos x sin x 2mtg2x cos x sin x 2m sin 2x (*)

cos2x cos2x

cos x sin x

 

  

 Điều kiện : cos2x 0

6 2

cos x sin x 2m sin 2x sin 2x 2m sin 2x sin 2x 8m sin 2x (1)

         

Đặt

2

2 /

2

3t 3t

t sin 2x ( t 1) (1) 3t 8mt 8m f(t) f (t)

t t

   

              

Lập bảng xét dấu khoảng (–1;1) ta có : f(–1)= –1 ; f(1) = ; f(0) = 

Vậy phương trình có nghiệm : 8m m 1/

8m m 1/

   

 



   

 

b) Vaäy m

 phương trình vô nghiệm

108 Đại Học Kinh Tế năm 1995

2

cosx(2sin x 2) cos x 1 (*) 1 sin 2x

   

 Điều kiện :sin 2x x k

       

2

(*)sin 2x cosx cos x 1 sin 2x     2 cos x cosx 0  

cosx (loại)

x k x 2k (loại) x k

4 4

cosx /

    

             

 

109 Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1995 4sin 2x 3cos2x 3(4sin x 1)  

2

8sin x cosx 3(1 2sin x) 12sin x

    

2 2

sin x sin x(4 cosx 3sin x 6)

4 cosx 3sin x (vô ngghiệm a b 25 c 36)

 

     

     



x k

  

110 Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1996

2

(26)

Điều kiện : cosx cos3x

 

 



2

2 sin xsin 2x 2sin x cosx

tg x tgx.tg3x tgx(tgx tg3x) 2

cosx cosx cos3x cosx cosx cos3x

 

        

2 4

sin x cosx cos3x cos x cos x 3cos x cos x cos x

          

2 k

(2 cos x 1) cos2x 2x k x (thỏa mãn điều kieän)

2

  

           

3

tgx cot gx 2cot g 2x 

Điều kiện : cosx sin x sin 2x x k

sin 2x

  

     

 



3 sin x cosx cos2x 3

tgx cot gx cot g 2x cot g 2x cot g 2x cot g2x cot g 2x

cosx sin x sin 2x

          

2 k

cot g2x cot g 2x (loại) 2x k x (thỏa mãn điều kiện)

2

  

           

112 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 1997

Tìm m để phương trình sau có

nghiệm:4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m4     

Giaûi

Ta coù : sin x cos x4 1(3 cos4x) ; sin x cos x6 1(5 3cos4x)

4

     

Khi phương trình có dạng :

2

1

3 cos4x (5 3cos4x) sin 4x m cos 4x cos4x 2m Đặt : t cos4x t

           

Phương trình có daïng : f(t) 2t2 t 2m f (t) 4t 0/ t

4

         

Lập bảng xét dấu đạo hàm đoạn t 1 ta có : f( 1) ; f(1) ; f

4

       

 

Dựa vào ta suy phương trình có nghiệm 2m 2m

8 16

       

1 1

2 sin x (*)

4 sin x cos x



   

 

 

Điều kiện : cosx sin 2x x k

sin x



     

 



sin x cosx tgx

sin x cosx (*) 2(sin x cosx)

sin 2x sin 2x

sin x cosx

   

 



    

 

 

n

x k 2x 2m x k x m x

4 4

     

(27)

1 2tgx cot g2x 2sin 2x

sin 2x

  

Điều kiện : cosx sin 2x sin 2x

 

 

 



2

sin x cos2x sin xsin 2x

2 2sin 2x cos2x 2sin 2x

cosx sin 2x  sin 2x  cosx    

2 2

4sin x cos2x 2(1 cos 2x) 2(1 cos2x) cos2x cos 2x

           

2 cos2x (loại) (vìsin 2x 0)

2 cos 2x cos2x cos2x

cos2x 1/ 2

 



       

  

2

2x 2k x k

3

 

         

115 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 1998

cos4x 6sinxcosx 1 

2 sin 2x

1 2sin 2x 3sin 2x sin 2x x k

sin 2x 3/ (loại)



 

         

 

2 2

sin x cos 2x cos 3x 

1 cos2x cos4x cos6x cos2x cos4x cos6x 0

2 2

  

       

2

2 cos3x cosx cos 3x cos3x(cosx cos3x) cos3x cos2x cosx

       

x k x k x k

6 2

    

         

117 Đại Học Luật Hà Nội năm 1995

4

cos x sin x 1

4



 

   

 

2 cos 2x

1 cos2x 1

2

    

 



    

   

 

 

 

 

2

(1 cos2x) (1 sin 2x) cos2x sin 2x cos 2x

2



 

             

 

1

cos 2x x k x k

2 2

  

 

             

 

118 Đại Học Mỏ Địa Chất năm 1995

3

3sin3x 3 cos9x 4sin 3x 

3

3sin3x 4sin 3x cos9x sin 9x cos9x

      

1sin 9x 3cos9x sin 9x x k2 x k2

2 2 18 54

    

 

            

(28)

119 Đại Học Mỏ Địa Chất năm 1995: 5sin xsin 5x 1

sin 5x 5sin x (sinx 0) sin 5x 5sin x

    

sin 5x sin x 4sin x cos3xsin 2x 4sin x cos3xsin x cosx 4sin x cos3x cosx

        

2

cos4x cos2x 2 cos 2x cos2x cosx 3/ (loại) cos2x

           

2

1 cos2x 2sin x sin x (loại)

      

Vậy phương trình cho vơ nghiệm

120 Đại Học Ngoại Thương Hà Nội năm 1995 4cosx 2cos2x cos4x 1  

2

4 cosx cos2x cos4x cosx cos2x cos 2x

      

2 cosx

4 cosx cos2x(1 cos2x) cosx cos2x cos x

cos2x cosx

 

      

 

 cosx x k

2

     



2

cosx cosx

cos2x cos x 1

cos2x cosx cosx x 2k

cosx cosx

(vo ânghieäm)

cos2x cos2x

 

  



 

   

 



        

   

 

     

 

 

121 Đại Học Ngoại Thương năm 1995

8 17

sin x cos x cos 2x

16

 

4 4 17

(sin x cos x) 2sin x cos x cos 2x 16

   

2

2 2

1 17

1 sin 2x sin 2x cos 2x (*) Đặt : t sin 2x t

2 16 16

 

        

 

2

2 t (loại)

t 17

(*) t (1 t) 2t t sin 2x

t 1/

2 16 16

  

 

              

  

2

1 2sin 2x cos4x 4x k x k

2

  

           

122 Đại Học Ngoại Thương Hà Nội năm 1995

2 cos x cos2x sin x 0  

3 2

2 cos x cos x sin x cos x(1 cosx) (1 sin x)

         

(1 sin x)(cosx sin x)(cosx sin x 2) (1 sin x)(cos x sin x)

         

sin x

x k2 x k

tgx



  

           



123 Đại Học Ngoại Thương TP Hồ Chí Minh năm 1997

9sinx 6cosx 3sin2x cos2x 8   

2

9sin x cosx 6sin x cosx 2sin x

     

2

2sin x 9sin x cosx(sin x 1) (sin x 1)(2sin x 7) cosx(sin x 1)

(29)

sin x

(sin x 1)(2sin x cosx 7) x 2k

2sin x cosx (voâ nghieäm)



 

         

 



124 Đại Học Sư Phạm Hà Nội năm 1997

5cosx cos2x 2sin x 0  

2

sin x 5cosx cos2x 2sin x

5cosx (2 cos 1) 4sin x

 

     

  



2 2

sin x sin x sin x

cosx (loại) cosx 1/ 5cosx (2 cos 1) 4(1 cos x) cos x 5cosx

  

  

  

   

       

 

sin x sin x / tgx 3 x k

cosx 1/ cosx 1/

 

   

         

 

 

125 Đại Học Tổng Hợp TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối D

2

(3 2sin x)cosx (1 cos x) 1 1 sin 2x

  



 (*)

Điều kiện :sin 2x  1

2

(*)3cosx sin 2x cos x sin 2x     cos x 3cosx 0    cosx cosx (loại)  

cosx (thỏa đk) x 2k

    

126 Đại Học Tổng Hợp TP Hồ Chí Minh năm 1994

6

16(sin x cos x 1) 3sin6x

   

2

3

16 sin 2x 3(3sin 2x 4sin 2x)

 

      

 

3 2

4sin 2x 4sin 2x 3sin 2x sin 2x(4sin 2x 4sin 2x 3)

       

2

sin 2x(4sin 2x 4sin 2x 3) sin 2x sin 2x 1/ sin 2x 3/ (loại)

          

k

x x k x k

2 12 12

  

         

127 Đại Học Tài Chính – Kế tốn năm 1997

(1 tgx)(1 sin 2x) tgx (*).   

Điều kiện :cosx 0

2

(cosx sin x)(cosx sin x) cosx sin x

(*) (cosx sin x)(cosx sin x) cosx sin x

cosx cosx

  

      

2

cosx sin x tgx

x k x k

cos2x

cos x sin x

   

  

         



  



128 Đại Học Xây Dựng Hà Nội năm 1994

6

sin x cos x sin 2x 

2

3

1 sin 2x sin 2x 3sin 2x 4sin 2x 4

      

sin 2x (loại)

x 2k x 2k

sin 2x / sin

  

            

  



(30)

cos4x sin x sin 7x cos2x  

cos4x cos2x sin 7x sin x cos3x cosx 2sin 4x cos3x

     

cos3x sin 4x cosx sin x



 

       

 

130.2 2(sin x cos x) cos x cos2x  

2

2 sin 2x 2cos x cos2x

   

2 2

2 sin 2x ( 1)cos2x phương trình vô nhgiệm a b c