TÝnh thÓ tÝch cña tø diÖn LMNK.. Edited by Foxit Reader[r]
(1)Sở Giáo dục đào tạo thanh hố
ĐỀ CHÍNH THỨC
Kú thi chän HäC SINH GIáI TØNH Năm học: 2008-2009
Mơn thi: To¸n LỚP : 12 THPT Ngày thi: 28/03/2009
Thời gian: 180 phút (khụng k thi gian giao ) Bài 1(5,0 điểm)
Cho hµm sè 3 2
+ −
= x x
y có đồ thị (C)
1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2. Biện luận theo m số nghiệm ph−ơng trình: 3 2 3 2
+ −
= +
− x m m
x
3. Với điểm M thuộc (C) kẻ đợc tiếp tuyến với (C)? Bài 2(4,0 điểm)
TÝnh tÝch ph©n: I = dx x x
x e
∫1 + +
0
2
4 4
Có số tự nhiên có chữ số đơi khác mà có một chữ số lẻ ?
Bài (5,0 điểm)
Giải phơng trình: ) sin( sin )
sin( x−π = x x+π
Tìm giá trị m để bất ph−ơng trình sau nghiệm với x
) 0
1 log
1 ( 2 ) 1 log
1 ( 2 ) 1 log
2
( 2 2
2 <
+ +
− + +
− + −
m m x
m m x
m m
Với giá trị x, y số u1=8x+log2y, u2=2x−log2y, u3=5y theo thứ tự đó, đồng thời lập thành cấp số cộng cấp số nhân
Bài 4 (5,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đ−ờng tròn (C) có ph−ơng trình: ( 1)2 1
= − + y x
Chứng minh với điểm M(m; 3) đờng thẳng y = ta tìm
đ−ợc hai điểm T1 , T2 trục hoành, cho đ−ờng thẳng MT1`, MT2 tiếp tuyến (C) Khi hWy viết ph−ơng trình đ−ờng trịn ngoại tiếp tam giác MT1T2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cõn (AB = BC =1)
và cạnh bªn SA = SB = SC = Gäi K, L lần lợt trung điểm AC BC Trên cạnh SA, SB lần lợt lấy điểm M, N cho SM = BN = TÝnh thĨ tÝch cđa tø diƯn LMNK
Bµi 5 (1,0 điểm)
Cho n số nguyên lẻ n >2 Chứng minh với a khác có:
(1 2! 3! !)(1 2! 3! ( 1)! !) 1
3
2
< −
− + + − + − +
+ + + +
−
n a n
a a
a a n
a a
a a
n n
n
HÕt Số báo danh
………
Edited by Foxit Reader
(2)Sở Giáo dục đào tạo hố
Đáp án đề thức
Kú thi chän HäC SINH GIáI TØNH Năm học: 2008-2009
Mơn thi: To¸n LỚP : 12 THPT Ngy thi: 28/03/2009
Đáp án gồm có trang
Bài Đáp án hớng dẫn chấm Điểm
Bài1 5®
1(3®)
1 Tập xác định: R
2 Sù biÕn thiªn
1
2 0
6 ;
6
,, ,
,,
,
= ⇔ =
= = ⇔ =
− = −
=
x y
x x y
x y x x y
Bảng biến thiên
x −∞ +∞
,
y + - + y,, - +
y U(1;0) +∞ ∞
− - §å thÞ :
y −1
1+ O 1+ 3 x
−2
0,5
0,5
1,0
1,0
2 (1đ) Đặt ( ) 3 2
+ −
=m m
m f
Số nghiệm phơng trình x3 −3x2 +2= m3 −3m2 +2là số giao điểm đờng thẳng y = f(m)=m3−3m2+2 với đồ thị (C)
Từ đồ thị (C) ta có -1 < m < 0; < m <2; < m < -2 < f (m) <2 m = -1 m = f(m) = -2
m = hc m = th× f(m) = m < -1 th× f (m) < -2
m > th× f(m)>
VËy *
− < >
1
m m
phơng trình có nghiệm
* m={1;0;2;3} phơng trình có nghiệm
(3)* −1<m<0; 0<m<3 phơng trình có nghiệm
0,5
3.(1đ)
M thuộc đồ thị (C) suy M(a;a3 −3a2 +2).đờng thẳng (d) tiếp xúc với (C) T(x0;y0) (d) có phơng trình:
2 )
)(
(
0 0
2
0 − − + − +
= x x x x x x
y
[ ]
− = = ⇔ = − − −
⇔
= − + + − −
⇔
− −
− − − − ⇔
+ − + − −
= + −
⇒
∈
2 3 0
) 2
3 )(
(
0 3
) 3 ( 2 ) (
) )( 6 3 ( ) (
3 ) (
2 3 )
)( 6 3 ( 2 3 )
(
0 0
0
2
2 0
0
2
0
0
2 0
2
3
a x
a x a
x x a
a a x a x x a
x a x x x
a x
a
x x x a x x a
a d M
TH1 (1;0)
2
I M a
a
a= − ⇔ = ⇒ ≡ cã tiÕp tuyÕn nhÊt
TH2 (1;0)
2
I M a
a
a≠ − ⇔ ≠ ⇒ ≠ cã tiÕp tuyÕn
0,25
0,25 0,25 0,25
Bài2
4đ 1.(2đ) I = + +
0
2
4 4x dx x
x e
TÝnh J = ∫
+ +
0
2 4x dx x
x
§Ỉt
+ − =
= ⇒
+ = =
2 )
2
(
2
x v
xdx du x
dx dv
x u
∫ ∫
∫ =− + − +
+ + + − =
⇒
1
0
1
0
0
0
2 4 2
3 1 2
2
2 x
dx dx
dx x
x x
x J
2 ln
2 ln ) ln (ln
ln
2
1
0
e e I
x x
− = ⇒
− = − −
+ − = + −
+ −
0,25 0,5
0,5 0,5 0,25
2.(2®)
Ta kí hiệu số A a1a2a3a4a5a6
ã Có khả chọn chữ số lẻ
ã Mỗi cách chọn chữ số lẻ chữ số chẵn có P6=6! Cách xếp chữ sè
đW cho vào vị trí từ a1đến a6
Nh có 5.P6 =5.6! cách xếp 10 chữ số từ đến vào vị trớ t a1 n a6
mà cách có chữ số lẻ
*Trong tt c cỏc cách xếp cách xếp có chữ số đứng vị trí a1 khơng phải số có chữ số
* Do tính bình đẳng chữ số đW chọn có
6 1
số cách xếp số có chữ số 5.5!
6 ! 6 . 5
=
VËy sè c¸c số có chữ số mà có số lẻ 5.6! - 5.5! = 5!(30 - 5) = 25.5! = 3000 sè
0,5
0,5
0,5 0,5
Bài3
5đ 1.(2đ) Đặt
4
+ = x
(4)t t t
t t
t )sin sin3 cos2 sin
2 2 sin( ) 3
sin( −π = +π ⇔− = (*)
Đặt z = sin t ĐK z phơng trình (*) trở thành
= = ⇔ = − ⇔ = −
+ −
3 0
4 ) (
3 3 2
z z z
z z
z z
x
* z= ⇒ t = ⇔ t =k ⇒ x =− +k ; k∈Z
0 sin
0 π π π
* = ⇒ = ⇔
3 sin
2
2
t
z cosα
3 1 2 cos 3
2 2
2 cos 1
= − = ⇔
= −
t t
l Z
l x
l x
l t
l t
l t
l t
∈
+ − − =
+ + − = ⇒
+ − =
+ = ⇔
+ − =
+ =
⇔ ,
2
2
2
2
2
π α π
π α π
π α
π α π
α π α
VËy PT cã nghiƯm lµ x=− +k x=− ± +l k,l∈Z
2 ,
4 π
α π π
π
0,5
0,5 0,25
0,5 0,25
2.(2đ) Đặt
1 log
1 2
+ +
=
m m
a , bất phơng trình đW cho trở thành:
(3a)x22ax2a<0 (1)
Vế trái (1) tam thức bâc hai ẩn x có hƯ sè cđa x2 lµ 3−a
TH1: -a=0⇔a=3
Khi (1) 6x−6<0 ⇔ x<1 suy (1) không nghiệm x
TH2
< ∆
< −
0
, a
6
3
) (
2 ⇔ >
> < > ⇔
< − + >
⇔ a
a a a a
a a a
Víi a > ta cã 32
1
1 log
1 2 >
+ ⇔ > + +
m m m
m
32 31
1 32 31
− < < − ⇔ < +
+
⇔ m
m m
0,5
0,5
0,5
(5)3.(1®)
Nếu số a, b, c đồng thời cấp số cộng cấp số nhân
= = +
2
2
b ac
b c a
suy a, c nghiệm pt: x2 −2bx+b2 =0⇔x=b từ a = b = c Theo ta có hệ:
= −
− = +
) (
2 log
) ( log 2 log
y y x
y x y x
Tõ (1) 3x+3log2 y=x−log2 y⇔x=−2log2 y, thay vµo (2) ta ®−ỵc:
log log
1 5
2 2
2
4 log
3 = ⇔ = ⇔ = ⇔ = =
−
x y
y y y
0,25 0,25
0,5
Bài4 5đ
1.(3đ) Đờng tròn (C) có tâm I ( ; ) bán kính R = Điểm T thuộc trục hoành T( t ; 0)
Điểm M( m; 3) thuộc đờng thẳng y = , ta có: Phơng trình đờng thẳng MT:
( )
3
= − − + ⇔ −
− = −
−
t y m t x y
m t
m x
Do MT tiếp tuyến (C) nên khoảng cách từ tâm I (C) đến MT 1, hay
(*)
) ( ) ( ) (
3
2
2
2
= − + ⇔
− + = + ⇔ = − +
− −
mt t
m t t
m m
t t m t
Do phơng trình (*) cã hai nghiƯm t1 , t2 víi mäi m nªn tồn hai điểm
T1(t1;0) v T2(t2;0) MT1và MT2 tiếp tuyến (C)
* Theo định lý Vi ét có t1 + t2 = -2m Ph−ơng trình đ−ờng trịn (C1) ngoại tiếp tam
gi¸c MT1T2 cã d¹ng:
2 2 2 0
= + + +
+y ax by c
x
Vì M, T1, T2 thuộc đờng tròn (C1) nên có hệ
= + +
= + +
= + + + +
) (
) (
) (
2
2 2
1
2
c at t
c at t
c b ma m
Tõ (2) vµ (3) suy
. 0
2 2
0 2 )
( 0 ) (
2 1 2 1 2 1 2
2 2
m a a
m
a t t t t do t
t a t
t
= ⇔ = + − ⇔
= + + ⇔ ≠ =
− +
−
Thay vµo (2) ta cã t12 +2mt1 +c = 0
Do t1 nghiệm của(*) nên 2 3 0 3
2
1 + mt − = ⇒c=− t
Thay c = -3 vµo (1) ta đợc:
2
3
2
2 +
− = ⇔ = − + +
+ m b b m
m
Vậy phơng trình (C1) lµ:
2 2
2
2+ + − + − = y m mx y
x
0,5 0,5
0,5
0,5
0,5
(6)2.(2®) LÊy ®iÓm E thuéc SA cho AN=1 suy NE// AB // KL MEKL
MNKL EKL
NKL S V V
S = ⇒ =
⇒ ∆ ∆ ;
SKC EKM S S
6
=
Mặt khác khoảng cách từ L đén mặt phẳng (MKE)
2
BK
VËy VKLME VSABC
12
= mµ
144 34
17 12
1
6 17 17
3
= =
⇒ =
=
= ABC KLMN
SABC SKS V
V (®vtt)
E M
K C
S
L N
B A
0,5 0,5
0,5 0,5
Bµi5 1đ
Coi a ẩn , điều kiện a khác Đặt
)! ( !
! ! !
1
,
2
− + + + + = ⇒ + + + + + =
−
n a a
a u
n a a
a a u
n n
)! ( )! ( ! ! !
! )! ( ! !
1
4 ,
1
2
− − − + + − + − + − = ⇒
− − + + − + − =
− −
−
n a n
a a
a a a v
n a n
a a
a a v
n n
n n
Khi
! ,
!
, ,
n a v v n a u u
n n
− − = +
=
) 0
)! 1 ( ! 4 ! 2 1 ( 2
1
2
> − + + + + = +
−
n a a
a v
u
n
với a n lẻ n > Đặt vế trái bất đẳng thức cần chứng minh f(a)
Ta cã ( )
! )
! ( ) ! (
)
( , ,
,
v u n a n
a u v n a v u vu uv a f
n n
n
+ −
= − + − − = + =
Do
> <
< >
⇒ ≠ > +
0
) (
0
) (
,
0 ,
,
a khi a
f
a khi a
f a
v u
Ta có bảng biến thiên
a +
) (
, a
f + -
) (a
f
do a khác nên f(a) <1 ( ®iỊu ph¶i chøng minh)
0,25
0,25
0,25