TÝnh thÓ tÝch cña tø diÖn LMNK.. Edited by Foxit Reader[r]
(1)Sở Giáo dục đào tạo
thanh hố
Đ
Ề
CHÍNH TH
Ứ
C
Kú thi chän HäC SINH GIáI TØNH
Năm h
ọ
c: 2008-2009
Mơn thi:
To¸n
L
Ớ
P : 12 THPT
Ngày thi: 28/03/2009
Th
ờ
i gian: 180 phút (khụng k
th
i gian giao
)
Bài 1
(5,0 điểm)
Cho hµm sè
3
2
+
−
=
x
x
y
có đồ thị (C)
1.
Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
2.
Biện luận theo m số nghiệm ph−ơng trình:
3
2
3
2
+
−
=
+
−
x
m
m
x
3.
Với điểm M thuộc (C) kẻ đợc tiếp tuyến với (C)?
Bài 2
(4,0 điểm)
TÝnh tÝch ph©n: I =
dx
x
x
x
e
∫
1+
+
0
2
4
4
Có số tự nhiên có chữ số đơi khác mà có
một chữ số lẻ ?
Bài
(5,0 điểm)
Giải phơng trình:
) sin( sin )sin( x−
π
= x x+π
Tìm giá trị
m
để bất ph−ơng trình sau nghiệm với
x
)
0
1
log
1
(
2
)
1
log
1
(
2
)
1
log
2
(
2 22
<
+
+
−
+
+
−
+
−
m
m
x
m
m
x
m
m
Với giá trị x, y số
u
1=
8
x
+
log
2y
,
u
2=
2
x
−
log
2y
,
u
3=
5
y
theo thứ
tự đó, đồng thời lập thành cấp số cộng cấp số nhân
Bài 4
(5,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đ−ờng tròn (C) có ph−ơng trình:
(
1
)
21
=
−
+
y
x
Chứng minh với điểm M(
m
; 3) đờng thẳng
y
= ta tìm
đ−ợc hai điểm T
1, T
2trục hoành, cho đ−ờng thẳng MT
1`, MT
2tiếp
tuyến (C) Khi hWy viết ph−ơng trình đ−ờng trịn ngoại tiếp tam giác MT
1T
2Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cõn (AB = BC =1)
và cạnh bªn SA = SB = SC = Gäi K, L lần lợt trung điểm AC BC
Trên cạnh SA, SB lần lợt lấy điểm M, N cho SM = BN = TÝnh thĨ tÝch
cđa tø diƯn LMNK
Bµi 5
(1,0 điểm)
Cho n số nguyên lẻ n >2 Chứng minh với
a
khác có:
(
1
2
!
3
!
!
)(
1
2
!
3
!
(
1
)!
!
)
1
3
2
<
−
−
+
+
−
+
−
+
+
+
+
+
−
n
a
n
a
a
a
a
n
a
a
a
a
n n
n
HÕt
Số báo danh………
Edited by Foxit Reader
(2)Sở Giáo dục đào tạo
hố
Đáp án đề thức
Kú thi chän HäC SINH GIáI TØNH
Năm h
ọ
c: 2008-2009
Mơn thi:
To¸n
L
Ớ
P : 12 THPT
Ngy thi: 28/03/2009
Đáp án gồm có trang
Bài Đáp án hớng dẫn chấm Điểm
Bài1 5®
1(3®)
1 Tập xác định: R
2 Sù biÕn thiªn
1
2 0
6 ;
6
,, ,
,,
,
= ⇔ =
= = ⇔ =
− = −
=
x y
x x y
x y x x y
Bảng biến thiên
x −∞ +∞
,
y
+ - + y,, - +y U(1;0) +∞ ∞
− - §å thÞ :
y −1
1+ O 1+ 3 x
−2
0,5
0,5
1,0
1,0
2 (1đ)
Đặt
(
)
3
2
+
−
=
m
m
m
f
Số nghiệm phơng trình
x
3−
3
x
2+
2
=
m
3−
3
m
2+
2
là số giao điểm đờng thẳng y =f
(
m
)
=
m
3−
3
m
2+
2
với đồ thị (C)Từ đồ thị (C) ta có -1 < m < 0; < m <2; < m < -2 <
f
(
m
)
<2 m = -1 m =f
(
m
)
= -2m = hc m = th×
f
(
m
)
= m < -1 th×f
(
m
)
< -2m > th×
f
(
m
)
>VËy *
− < >
1
m m
phơng trình có nghiệm
* m=
{
1;0;2;3}
phơng trình có nghiệm (3)* −1<m<0; 0<m<3 phơng trình có nghiệm
0,5
3.(1đ)
M thuộc đồ thị (C) suy M
(
a
;
a
3−
3
a
2+
2
)
.đờng thẳng (d) tiếp xúc với (C) T(x0;y0) (d) có phơng trình:2 )
)(
(
0 0
2
0 − − + − +
= x x x x x x
y
[
]
−
=
=
⇔
=
−
−
−
⇔
=
−
+
+
−
−
⇔
−
−
−
−
−
−
⇔
+
−
+
−
−
=
+
−
⇒
∈
2
3
0
)
2
3
)(
(
0
3
)
3
(
2
)
(
)
)(
6
3
(
)
(
3
)
(
2
3
)
)(
6
3
(
2
3
)
(
0 0
0
2
2 0
0
2
0
0
2 0
2
3
a
x
a
x
a
x
x
a
a
a
x
a
x
x
a
x
a
x
x
x
a
x
a
x
x
x
a
x
x
a
a
d
M
TH1 (1;0)
2
I M a
a
a= − ⇔ = ⇒ ≡ cã tiÕp tuyÕn nhÊt
TH2 (1;0)
2
I M a
a
a≠ − ⇔ ≠ ⇒ ≠ cã tiÕp tuyÕn
0,25
0,25 0,25 0,25
Bài2
4đ 1.(2đ)
I =
+ +0
2
4 4x dx x
x e
TÝnh J =
∫
+ +
0
2 4x dx x
x
§Ỉt
+ − =
= ⇒
+ = =
2 )
2
(
2
x v
xdx du x
dx dv
x u
∫
∫
∫
=
−
+
−
+
+
+
+
−
=
⇒
1
0
1
0
0
0
2
4
2
3
1
2
2
2
x
dx
dx
dx
x
x
x
x
J
2 ln
2 ln ) ln (ln
ln
2
1
0
e e I
x x
− = ⇒
− = − −
+ − = + −
+ −
0,25 0,5
0,5 0,5 0,25
2.(2®)
Ta kí hiệu số A a1a2a3a4a5a6
ã Có khả chọn chữ số lẻ
ã Mỗi cách chọn chữ số lẻ chữ số chẵn có P6=6! Cách xếp chữ sè
đW cho vào vị trí từ a1đến a6
Nh có 5.P6 =5.6! cách xếp 10 chữ số từ đến vào vị trớ t a1 n a6
mà cách có chữ số lẻ
*Trong tt c cỏc cách xếp cách xếp có chữ số đứng vị trí a1 khơng phải số có chữ số
* Do tính bình đẳng chữ số đW chọn có
6
1
số cách xếp số có chữ số
5
.
5
!
6
!
6
.
5
=
VËy sè c¸c số có chữ số mà có số lẻ 5.6! - 5.5! = 5!(30 - 5) = 25.5! = 3000 sè
0,5
0,5
0,5 0,5
Bài3
5đ 1.(2đ) Đặt
4
+
=
x
(4)t
t
t
t
t
t
)
sin
sin
3
cos
2
sin
2
2
sin(
)
3
sin(
−
π
=
+
π
⇔
−
=
(*)Đặt z = sin t ĐK z phơng trình (*) trở thành
= = ⇔ = − ⇔ = −
+ −
3 0
4 ) (
3 3 2
z z z
z z
z z
x
*
z= ⇒ t = ⇔ t =k ⇒ x =− +k ; k∈Z0 sin
0
π
π
π
*
= ⇒ = ⇔3 sin
2
2
t
z
cos
α
3
1
2
cos
3
2
2
2
cos
1
=
−
=
⇔
=
−
t
t
l Z
l x
l x
l t
l t
l t
l t
∈
+ − − =
+ + − = ⇒
+ − =
+ = ⇔
+ − =
+ =
⇔ ,
2
2
2
2
2
π
α
π
π
α
π
π
α
π
α
π
α
π
α
VËy PT cã nghiƯm lµ x=− +k x=− ± +l k,l∈Z
2 ,
4 π
α π π
π
0,5
0,5 0,25
0,5 0,25
2.(2đ) Đặt
1 log
1 2
+ +
=
m m
a , bất phơng trình đW cho trở thành:
(
3
a
)
x
22
ax
2
a
<
0
(1)Vế trái (1) tam thức bâc hai ẩn x có hƯ sè cđa x2 lµ
3
−
a
TH1: -
a
=
0
⇔
a
=
3
Khi (1)
6
x
−
6
<
0
⇔
x
<
1
suy (1) không nghiệm xTH2
< ∆
< −
0
, a
6
3
) (
2 ⇔ >
> < > ⇔
< − + >
⇔ a
a a a a
a a a
Víi a > ta cã 32
1
1 log
1 2 >
+ ⇔ > + +
m m m
m
32 31
1 32 31
− < < − ⇔ < +
+
⇔ m
m m
0,5
0,5
0,5
(5)3.(1®)
Nếu số a, b, c đồng thời cấp số cộng cấp số nhân
= = +
2
2
b ac
b c a
suy a, c nghiệm pt: x2 −2bx+b2 =0⇔x=b từ a = b = c Theo ta có hệ:
= −
− = +
) (
2 log
) ( log 2 log
y y x
y x y x
Tõ (1) 3x+3log2 y=x−log2 y⇔x=−2log2 y, thay vµo (2) ta ®−ỵc:
log log
1 5
2 2
2
4 log
3 = ⇔ = ⇔ = ⇔ = =
−
x y
y y y
0,25 0,25
0,5
Bài4 5đ
1.(3đ) Đờng tròn (C) có tâm I ( ; ) bán kính R = Điểm T thuộc trục hoành T( t ; 0)
Điểm M( m; 3) thuộc đờng thẳng y = , ta có: Phơng trình đờng thẳng MT:
( )
3
= − − + ⇔ −
− = −
−
t y m t x y
m t
m x
Do MT tiếp tuyến (C) nên khoảng cách từ tâm I (C) đến MT 1, hay
(*)
) ( ) ( ) (
3
2
2
2
= − + ⇔
− + = + ⇔ = − +
− −
mt t
m t t
m m
t t m t
Do phơng trình (*) cã hai nghiƯm t1 , t2 víi mäi m nªn tồn hai điểm
T1(t1;0) v T2(t2;0) MT1và MT2 tiếp tuyến (C)
* Theo định lý Vi ét có t1 + t2 = -2m Ph−ơng trình đ−ờng trịn (C1) ngoại tiếp tam
gi¸c MT1T2 cã d¹ng:
2
2
2
0
=
+
+
+
+
y
ax
by
c
x
Vì M, T1, T2 thuộc đờng tròn (C1) nên có hệ
= + +
= + +
= + + + +
) (
) (
) (
2
2 2
1
2
c at t
c at t
c b ma m
Tõ (2) vµ (3) suy
.
0
2
2
0
2
)
(
0
)
(
2
1 2 1 2 1 22 2
m
a
a
m
a
t
t
t
t
do
t
t
a
t
t
=
⇔
=
+
−
⇔
=
+
+
⇔
≠
=
−
+
−
Thay vµo (2) ta cã
t
12+
2
mt
1+
c
=
0
Do t1 nghiệm của(*) nên
2
3
0
3
2
1
+
mt
−
=
⇒
c
=
−
t
Thay c = -3 vµo (1) ta đợc:
2
3
2
2 +
− = ⇔ = − + +
+ m b b m
m
Vậy phơng trình (C1) lµ:
2 2
2
2+ + − + − = y m mx y
x
0,5 0,5
0,5
0,5
0,5
(6)2.(2®) LÊy ®iÓm E thuéc SA cho AN=1 suy NE// AB // KL MEKL
MNKL EKL
NKL
S
V
V
S
=
⇒
=
⇒
∆ ∆ ;SKC EKM S S
6
=
Mặt khác khoảng cách từ L đén mặt phẳng (MKE)
2
BK
VËy VKLME VSABC
12
= mµ
144 34
17 12
1
6 17 17
3
= =
⇒ =
=
= ABC KLMN
SABC SKS V
V (®vtt)
E M
K C
S
L N
B A
0,5 0,5
0,5 0,5
Bµi5 1đ
Coi a ẩn , điều kiện a khác Đặt
)! ( !
! ! !
1
,
2
− + + + + = ⇒ + + + + + =
−
n a a
a u
n a a
a a u
n n
)! ( )! ( ! ! !
! )! ( ! !
1
4 ,
1
2
− − − + + − + − + − = ⇒
− − + + − + − =
− −
−
n a n
a a
a a a v
n a n
a a
a a v
n n
n n
Khi
!
,
!
, ,
n
a
v
v
n
a
u
u
n n
−
−
=
+
=
)
0
)!
1
(
!
4
!
2
1
(
2
1
2
>
−
+
+
+
+
=
+
−
n
a
a
a
v
u
n
với a n lẻ n > Đặt vế trái bất đẳng thức cần chứng minh f(a)
Ta cã
(
)
!
)
!
(
)
!
(
)
(
, ,,
v
u
n
a
n
a
u
v
n
a
v
u
vu
uv
a
f
n n
n
+
−
=
−
+
−
−
=
+
=
Do
> <
< >
⇒ ≠ > +
0
) (
0
) (
,
0 ,
,
a khi a
f
a khi a
f a
v u
Ta có bảng biến thiên
a +
) (
, a
f + -
) (a
f
do a khác nên f(a) <1 ( ®iỊu ph¶i chøng minh)
0,25
0,25
0,25