Chuyên đề Hình học : khoảng cách trong không gian có lời giải

Chuyên đề Hình học : khoảng cách trong không gian có lời giải. Bài tập khoảng cách trong không gian có lời giải. Ôn thi tốt nghiệp THPT, ôn thi đại học môn toán, ôn tập hình học, chuyên đề hình học Chuyên đề Hình học : khoảng cách trong không gian có lời giải. Bài tập khoảng cách trong không gian có lời giải. Ôn thi tốt nghiệp THPT, ôn thi đại học môn toán, ôn tập hình học, chuyên đề hình học Chuyên đề Hình học : khoảng cách trong không gian có lời giải. Bài tập khoảng cách trong không gian có lời giải. Ôn thi tốt nghiệp THPT, ôn thi đại học môn toán, ôn tập hình học, chuyên đề hình học Chuyên đề Hình học : khoảng cách trong không gian có lời giải. Bài tập khoảng cách trong không gian có lời giải. Ôn thi tốt nghiệp THPT, ôn thi đại học môn toán, ôn tập hình học, chuyên đề hình học Chuyên đề Hình học : khoảng cách trong không gian có lời giải. Bài tập khoảng cách trong không gian có lời giải. Ôn thi tốt nghiệp THPT, ôn thi đại học môn toán, ôn tập hình học, chuyên đề hình học Chuyên đề Hình học : khoảng cách trong không gian có lời giải. Bài tập khoảng cách trong không gian có lời giải. Ôn thi tốt nghiệp THPT, ôn thi đại học môn toán, ôn tập hình học, chuyên đề hình học Chuyên đề Hình học : khoảng cách trong không gian có lời giải. Bài tập khoảng cách trong không gian có lời giải. Ôn thi tốt nghiệp THPT, ôn thi đại học môn toán, ôn tập hình học, chuyên đề hình học Chuyên đề Hình học : khoảng cách trong không gian có lời giải. Bài tập khoảng cách trong không gian có lời giải. Ôn thi tốt nghiệp THPT, ôn thi đại học môn toán, ôn tập hình học, chuyên đề hình học

♥♥ KHOẢNG CÁCH TRONG KHƠNG GIAN Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B có AD = 2a, AB = BC = a SA ⊥ (ABCD), √ SA = a Khoảng cách hai đường phẳng SB DC √ a 10 A √5 a C √ a B √ a 11 D Lời giải Gọi M trung điểm AD ⇒ M D = BC ⇒ BCDM hình bình hành ⇒ DC ∥ BM ⇒ DC ∥ (SBM ) Do d (DC, SB) = d (DC, (SBM )) = d (D, (SBM )) = d (A, (SBM )) (vì DM = AM ) Ta thấy ABCM hình vng cạnh a √ a Gọi I = AC ∩ BM nên AI = AC = 2 Kẻ AH ⊥ SI  BM ⊥ AI  AH ⊥ BM ⇒ BM ⊥ (SAI) ⇒ BM ⊥ AH Mà ⇒ AH ⊥ (SBM ) ⇒ AH ⊥ SI BM ⊥ SA d (A, (SBM )) = AH √ 2 SA AI 2a a 10 Xét tam giác SAI vuông A, ta có AH = = ⇒ AH = 2 5 √SA + AI a 10 Vậy d (CD, SB) = d (A, (SBM )) = AH = Chọn phương án A Ta có Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông đỉnh A, cạnh huyền √ BC = a Gọi I trung điểm BC SA = SB = SC = a Góc tạo SI mặt phẳng (SAC) 30◦ Tính cosin góc√tạo SA mặt phẳng (SBC) √ 57 19 A B √8 √5 19 57 C D Lời giải ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa ♥♥ Do SA = SB = SC ⇒ SI ⊥ (ABC) (SI trục tam giác ABC hay (SBC) ⊥ (ABC) Khi góc tạo SA mặt phẳng (SBC) góc tạo bi cnh bờn v mt ng Ô Khi ú, kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC) ⇒ SA, (SBC) = ASH Góc tạo SI mặt phẳng (SAC) góc tạo chiều cao mặt bên ⁄ ‘ = 30◦ Khi đó, kẻ IJ ⊥ AC (J ∈ AC) ⇒ SI, (SAC) = ISJ Ç √ å2 √ √ a a a +Ta có SI = SC − CI = − = 2 √ √ √ a a Xét ∆SIJ ta có: IJ = SI tan 30◦ = = √ a +IJ đường trung bình ∆ABC nên suy AB = 2IJ = Ç √ å2 √ √ AB.AC a a ⇒ AC = BC − AB = a2 − , AH = = = 3 BC … √ √ 3a 2a a 19 Suy SH = SA2 − AH = − = √ a 19 = ’ = SH = √ +Xét tam giác vng SHA (vng H) ta có: cos ASH SA a Chọn phương án D √ √ a a √ 3 = a a √ 57 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vng góc với mặt phẳng √ (ABCD) SH = a Tính khoảng cách hai đường √ thẳng DM √ SC theo √ a 3a 3a 3a A √ B C 19 19 19 √ 3a D √ 19 Lời giải ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa ♥♥ Gọi K hình chiếu H SC Do ABCD hình vng nên DM ⊥ CN Có SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ DM Suy DM ⊥ (SHC) ⇒ DM ⊥ HK Vậy HK đoạn vng góc chung DM SC Có DH đường cao tam giác vuông CDN 2a DC =√ nên CH.CN = DC ⇒ CH = CN 1 1 19 Lại có HK đường cao tam giác vuông SHC nên = + = + = HK SH HC 3a2 4a2 12a2 √ √ 2a a ⇒ HK = √ Vậy d (SC, DM ) = 19 Chọn phương án A Câu Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC tam giác vng √ O, OB = a, OC = a Cạnh OA vng góc với mặt phẳng √ (OBC), OA = a 3, gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách h √ hai đường thẳng AB OM a A h= B h= √ a 15 C h= D h= √ a √ a 15 Lời giải Gọi N điểm đối xứng C qua O Khi OM ∥ BN (tính chất đường trung bình) OM ∥ (ABN ) Suy d (OM, AB) = d (OM, (ABN )) = d (O, (ABN )) Dựng OK ⊥ BN , OA ⊥ (OBC) ⇒ BN ⊥ OA ⇒ BN ⊥ AK Dựng OH ⊥ AK OH ⊥ (ABN ) Từ d (OM, AB) = OH Tam giác ON B vuông O, đường cao OK nên 1 1 = + = 2+ = 2 2 OK ON OB 3a a 3a Tam giác AOK vuông O, đường cao OH nên √ √ 1 a 15 a 15 = + = + = ⇒ OH = Vậy d (OM, AB) = OH OK OA2 3a 3a 3a 5 Chọn phương án C Câu ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa ♥♥ Cho hình chóp S.ABC, có đáy tam giác cạnh 2a, SA = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa hình vẽ) Gọi M, N trung điểm AB, AC Khoảng cách hai√đường thẳng M √N SC bằng.√ a 21 a 21 2a 57 A B C 14 19 √ a 57 D 19 Lời giải Ta có: ∥ (SBC) ⇒ d (M N, SC) = d (M N, (SBC)) = d (N, (SBC)) = d (A, (SBC)) Gọi I trung điểm BC Ta có:  BC ⊥ AI ⇒ BC ⊥ (SAI) ⇒ (SBC) ⊥ (SAI), (SBC) ∩ BC ⊥ SA (SAI) = SI (1) MN ∥ BC ⇒ MN Trong (SAI) kẻ AH ⊥ SI (2) Từ (1) (2) ta suy AH ⊥ (SBC) ⇒ d (A, (SBC)) = SA.AI AH = √ SA + AI √ √ √ √ 2a 21 2a.a = a ⇒ AH = √ = Ta có: SA = 2a; AI = 2a 4a + 3a2 √ 1 a 21 Vậy d (M N, SC) = d (M N, (SBC)) = d (N, (SBC)) = d (A, (SBC)) = AH = 2 Chọn phương án A Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên SA = 3a vng góc với mặt đáy (ABC) Tính khoảng cách d từ A đến √ mặt phẳng (SBC) √ 2a 13 a 13 A d= B d= 39 √13 √ a 13 3a 13 C d= D d= 13 13 Lời giải ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa ♥♥ √ a Gọi M trung điểm BC, suy AM ⊥ BC AM = Gọi Klà hình chiếu A SM , suy AK ⊥ SM (1) AM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAM ) ⇒ BC ⊥ AK (2) Ta có BC ⊥ SA Từ (1) (2) , suy AK ⊥ (SBC) nên d [A, (SBC)] = AK √ SA.AM 3a 13 Trong ∆SAM , có AK = √ = 13 SA √ + AM 3a 13 Vậy d [A, (SBC)] = AK = 13 Chọn phương án D Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang AD = 2a, AB = BC = a; SA ⊥ vuông A, B √ (ABCD), SA = a Khoảng cách SB DC √ a 10 A √ √ C a B a √ a 11 D Lời giải Gọi M trung điểm AD, ta có BM ∥ DC ⇒ BM ∥ (SDC) ⇒ d(SB; DC) = d(DC; (SBM )) = d(D; (SBM )) = d(A; (SBM )) Gọi O giao điểm  AC BM , ABCM BM ⊥ AC hình vng nên ⇒ BM ⊥ (SAC) BM ⊥ SA Ta có AH ⊥ SO ⇒  AH ⊥ SO ⇒ AH ⊥ (SBM ) ⇒ AH = d(A; (SBM )) AH ⊥ BM √ √ a 1 a 10 AO = AC = , tam giác vng SAO có = + ⇒ AH = 2 AH SA2 AO2 Chọn phương án A Câu ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa ♥♥ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B Biết AB = BC = a, AD = 2a SA vng √ góc với mặt phẳng (ABCD) SA = a Gọi M trung điểm AD Khoảng cách hai đường thẳng BM SC a A B a √ C 2a D √ 2a Lời giải Xét tứ giác BM DC có: M D ∥ BC M D = BC = a nên tứ giác BM DC hình bình hành ⇒ BM ∥ CD ⇒ BM ∥ (SCD) ⇒ d (BM, SC) = d (BM, (SCD)) = d (M, (SCD)) Mà d (M, (SCD)) = d (A, (SCD)) Nên d (BM, SC) = d (A, (SCD)) +) Tứ giác AM CB √ hình vuông nên cạnh AB = a nên AC = a 2, CM = a Do tam giác ACD có CM = AD nên tam giác ACD vng C hay AC ⊥ CD +) Kẻ AH ⊥ SC H (1) CD ⊥ AC Ta có ⇒ CD ⊥ (SAC) ⇒ (SCD) ⊥ (SAC) (2) CD ⊥ SA Từ (1), (2) ⇒ AH ⊥ (SCD) ⇒ AH = d (A, (SCD)) √ Do SA = AC = a SA ⊥ AC nên tam giác SAC vuông cân A 1√ a ⇒ H trung điểm SC ⇒ AH = SC = 2.SA = a Vậy d (BM, SC) = 2 Chọn phương án A Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B có AD = 2a, AB = BC = a SA ⊥ (ABCD), √ SA = a Khoảng cách hai đường phẳng SB DC √ a 10 A √ a B √ a C √ a 11 D Lời giải ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa ♥♥ Gọi M trung điểm AD ⇒ M D = BC ⇒ BCDM hình bình hành ⇒ DC ∥ BM ⇒ DC ∥ (SBM ) Do d (DC, SB) = d (DC, (SBM )) = d (D, (SBM )) = d (A, (SBM )) (vì DM = AM ) Ta thấy ABCM hình vng cạnh a √ a Gọi I = AC ∩ BM nên AI = AC = 2   AH ⊥ BM BM ⊥ AI ⇒ AH ⊥ ⇒ BM ⊥ (SAI) ⇒ BM ⊥ AH Mà Kẻ AH ⊥ SI Ta có AH ⊥ SI BM ⊥ SA SA2 AI 2a2 (SBM ) ⇒ d (A, (SBM )) = AH Xét tam giác SAI vng A , ta có AH = ⇒ = SA2 + AI √ √ a 10 a 10 AH = Vậy d (CD, SB) = d (A, (SBM )) = AH = 5 Chọn phương án A Câu 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)√bằng 21a A 14 √ B 21a √ C 2a √ 21a D 28 Lời giải Ta xem d (A, (SBD)) lần d (H, (SBD)) , từ hình vẽ ta thấy d (A, (SBD)) = 2d (H, (SBD)) Tính d (H, (SBD)) Gọi H trung điểm AB Khi đó, SH ⊥ (ABCD) Gọi O giao điểm AC BD suy AC ⊥ BD Kẻ HK ⊥ BD K (K trung điểm BO) Kẻ HI ⊥ SK I √ a Khi đó: d (A, (SBD)) = 2d (H, (SBD)) = 2HI Xét tam giác SHK, có: SH = , HK = AO = 2 √ √ √ a 1 28 a 21 a 21 Khi đó: = + = =⇒ HI = Suy ra: d (A, (SBD)) = 2HI = 2 HI SH HK 3a 14 Chọn phương án B Câu 11 ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa ♥♥ Cho khối chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), (SAC) ⊥ (ABC), √ SA = a, AB = AC = 2a, BC = 2a Gọi M trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng SM AC A a a B √ C a √ D a Lời giải    (SAB) ⊥ (ABC)    ⇒ SA ⊥ (ABC) +) Ta có (SAC) ⊥ (ABC)      (SAB) ∩ (SAC) = SA +) AB + AC = 8a2 = BC ⇒ ∆ABC vuông cân A +) Gọi N trung điểm AB +) AC ∥ M N ⇒ AC ∥ (SM N ) ⇒ d (AC, SM ) = d (AC,  (SM N )) = d (A, (SM N )) AN ⊥ M N + ⇒ (SAN ) ⊥ M N ⇒ (SAN ) ⊥ (SM N ); SA ⊥ M N (SAN ) ∩ (SM N ) = SN +) Trong (SAN ), kẻ AH ⊥ SN, H ∈ SN Ta có AH ⊥ (SM N ) ⇒ d (A, (SM N )) = AH √ a +) Vì SA = AN = a ⇒ ∆SAN vng cân A Do AH = SN = SA = √ 2 a Vậy d (AC, SM ) = √ Chọn phương án B Câu 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân B, AB = a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc tạo hai mặt phẳng (ABC) (SBC) 60◦ Khoảng cách hai đường thẳng AB SC √ a A a B √ a C √ a D Lời giải ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa ♥♥ Ta có  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) BC ⊥ SA ’ = 60◦ Góc hai mặt phẳng (ABC) (SBC) góc SBA √ Do SA = a tan 60◦ = a Dựng D cho ABCD hình vng Dựng AE ⊥ SD E  CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AE Mà AE ⊥ SD suy AE ⊥ (SCD) Ta có CD ⊥ SA d (AB; SC) = d (AB; (SCD)) = d√(A; (SCD)) = AE √ √ AS.AD a 3.a a a Mà AE = = = Vậy d (AB; SC) = SD 2a 2 Chọn phương án D Ta có: Câu 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, AB = 2a, AD = DC = CB = a SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA = 3a Gọi M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng SB CM √ 3a 3a 13a A B C 13 √ 13a D 13 Lời giải Gọi N trung điểm SA ta có M N ∥ SB ⇒ SB ∥ (N CM ) Khi đó: d (SB, CM ) = d (SB, (N CM )) = d (B, (N CM )) = d (A, (N CM )) Theo giả thiết tam giác ADM √ nên M E ⊥ AD với E a trung điểm AD, M E = Suy M E ⊥ CM Kẻ đường thẳng qua A song song với M E cắt CM K  CK ⊥ AK Khi ⇒ CK ⊥ (N AK) ⇒ (N AK) ⊥ (N CK) Kẻ AH ⊥ N K H Suy CK ⊥ N A √ 16 1 1 3a a AH ⊥ (N CM ) = + = + = ⇒ AH = (Vì AK = M E = ) 9a2 3a AH N A2 AK 9a 4 3a Vậy d (SB, CM ) = Chọn phương án A ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa ♥♥ Câu 14 Cho hình lăng trụ đứngABCD.A B C D có đáy ABCD √ hình thoi Biết AC = 2,AA = Tính góc hai mặt phẳng (AB D ) (CB D ) A 45◦ B 90◦ C 30◦ D 60◦ Lời giải Ta thấy : (AB D ) ∩ (CB D ) = B D Gọi I giao điểm A C B D Khi ta suy ra: AI ⊂ (AB D ) ,AI ⊥ B D , CI ⊂ (CB D ) ,CI ⊥ B D Ÿ Suy ra: (ABÔ D ) , (CB D ) = (AI, CI ) √ √ Xét tam giác AIC có: AC = 2, CI = AI = AA2 + A I = + = Do tam giác AIC u = 60 Suy ra: (ABÔ AIC D ) , (CB D ) = 60◦ Chọn phương án D Câu 15 Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có AB = a, AA = 2a Khoảng cách √ AB CC √ 2a A B a C a √ a D Lời giải +Ta có CC ∥ BB ; BB ⊂ (ABB A ) suy CC ∥ (ABB A ) Nên d (CC ; AB ) = d ( CC ; (ABB A ) ) = d (C; (ABB A ) ) (1) +Lăng trụ tam giác ABC.A B C có BB ⊥ (ABC) BB ⊂ (ABB A ) suy (ABB A ) ⊥ (ABC) +Kẻ CM ⊥ AB suy CM ⊥ (ABB A ) nên d (C; (ABB A ) ) = CM (2) +Từ (1) (2) ta có d (CC ; AB ) = CM √ a +Mặt khác tam giác ABC cạnh a có CM đường cao nên CM = ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 10 ♥♥ Gọi N trung điểm SA ta có M N ∥ SB ⇒ SB ∥ (N CM ) Khi đó: d (SB, CM ) = d (SB, (N CM )) = d (B, (N CM )) = d (A, (N CM )) Theo giả thiết tam giác ADM √ nên M E ⊥ AD với E a Suy M E ⊥ CM trung điểm AD, M E = Kẻ đường thẳng qua A song song với M E cắt CM K  CK ⊥ AK ⇒ CK ⊥ (N AK) ⇒ (N AK) ⊥ (N CK) CK ⊥ N A Kẻ AH ⊥ N K H Suy AH ⊥ (N CM ) √ 1 16 a 1 3a ) = + = + = ⇒ AH = (Vì AK = M E = 9a 3a AH N A2 AK 9a 4 3a Vậy d (SB, CM ) = Chọn phương án A Khi Câu 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành AB = ’ = 120◦ , SA vng góc với mặt phẳng 2a, AD = a, BAD đáy SA = 3a Gọi M trung điểm AB Khoảng cách √ đường DM√ SB √ 10a 10a B C 10a A 10 20 √ D 10a Lời giải Gọi N trung điểm CD Ta có DM//BN ⇒ DM ∥ (SBN ) ⇒ d(DM, SB) = d(DM, (SBN )) = d(M, (SBN ) = d(A, (SBN )) Lại có AN ⊥ BN , kẻ AH ⊥ SN H ⇒ AH = d (A; (SBN )) 1 1 10 = + = + = ⇒ AH SA2 a2 9a2 9a√ √AN 10a 10a AH = ⇒ d(DM, SB) = AH = 10 20 √ a 21 d (C; (SBD)) = Chọn phương án B ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 19 ♥♥ Câu 30 Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Hình chiếu vng góc Strên mặt phẳng đáy trung điểm Hcủa AD, góc SB mặt phẳng đáy (ABCD) 45◦ Tính khoảng cách hai đường thẳng SD … BH theo a … 2a a 2 A √ B √ C a D a 3 Lời giải Do SH ⊥ (ABCD) nên góc SB mặt phẳng đáy ’ = 45◦ Ta có SBHvngcân (ABCD) góc SBH √ H nên SH = BH = a Gọi K trung điểm BC, ta có BH ∥ DK ⇒ BH// (SDK) Suy ra: d (BH; SD) = d (BH; (SDK)) = d (H; (SDK)) Tứ diện SHDK vuông H nên = d (H; (SDK)) 1 + + = Vậy d (BH; SD) = 2 HS HK HD 2a2 … d (H; (SDK)) = a Chọn phương án D Câu 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB = 2a, AD = 4a, SA ⊥ (ABCD), cạnh SC tạo với đáy góc 60◦ Gọi M trung điểm BC, N điểm cạnh AD cho DN √ = a Khoảng √ cách M N√ SB 2a 285 a 285 2a 95 8a A B C D √ 19 19 19 19 Lời giải Lấy K AD cho AK = a M N ∥ (SBK), √ AC = 2a ⇒ d (M N, SB) = d (M N, (SBK)) = d (N, (SBK)) = 2d (A, (SBK)) Vẽ AE ⊥ BK E, AH ⊥ SE H Ta có (SAE) ⊥ (SBK), (SAE) ∩ (SBK) = SE, AH ⊥ SE √ √ ⇒ AH ⊥ (SBK) ⇒ d (A, (SBK)) = AH SA = AC = 2a 15 ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 20 ♥♥ 1 1 1 = + = + + = √ 2 2 2 AH SA AE SA AK AB 2a 15 √ √ 2a 285 a 285 ⇒ d (M N, SB) = ⇒ AH = 19 19 Chọn phương án A + 1 + = √ a 4a 2a 15 + 1 + 2 a 4a Câu 32 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA ⊥ (ABC), góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) ◦ 60√ Khoảng cách hai đường √ thẳng AC SB a a 15 A B √5 a C 2a D Li gii Ô Vỡ SA (ABC) nờn (SB; (ABC)) = (SB; AB) = ’ SBA ’ = 60◦ SBA⇒ √ ’ a tan 60◦ = a SA = AB tan SBA= Dựng hình bình hành ACBD, ta có AC ∥ (SBD) nên: d (AC; SB) = d (AC; (SBD))= d (A; (SBD)) Gọi M trung điểm BD, suy BD ⊥ AM Từ SA ⊥ (ABC) ta có BD ⊥ SA, BD ⊥ (SAM ) Kẻ AH ⊥ SM (H ∈ SM ) BD ⊥ AH Từ BD ⊥ AH AH ⊥ SM suy AH ⊥ √(SBD) Nên d (A; (SBD)) = AH a Tam giác ABD cạnh a nên AM = Trong tam giác SAM vng A, ta có √ 1 1 a 15 = + = Ç √ å2 + √ = ⇒ AH = AH AM SA2 3a a a √ a 15 Vậy d (AC; SB) = d (A; (SBD))= AH = Chọn phương án B Câu 33 ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 21 ♥♥ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân, đáy lớn AB Biết AD = DC = CB = a, AB = 2a, cạnh bên SA vng góc với đáy mặt phẳng (SBD) tạo với đáy góc 45◦ Gọi I trung điểm cạnh AB Tính khoảng cách d từ I đến mặt phẳng (SBD) a A d= √ a C d= a B d= √ a D d= Lời giải Kí hiệu d (M, (P )) khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P ) DoABCD hình thang cân, đáy lớn ABvà AD = DC = CB = a,AB = 2a = 2IB nên tứ giác DIBClà hình thoi Suy DI = AI = IB ⇒ AD ⊥ DB (1) Mặt khác SA vng góc với đáy nên SA ⊥ BD (2) Từ (1)và (2) suy BD ⊥ (SAD)   (SBD) ∩ (ABCD) = BD      BD ⊥ (SAD) Ta có   (SAD) ∩ (ABCD) = AD       (SAD) ∩ (SBD) = SD ’ Tức nên góc mặt phẳng (SBD) với đáy góc hai đường thẳng SD AD SDA ’ = 45◦ Gọi H hình chiếu A lên SD SDA Khi ta có BD ⊥ AH, SD ⊥ AH⇒ AH ⊥ (SBD), H ∈ (SBD) Do đó, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) AH √ √ AD a Tam giác SAD vuông cân A ⇒ AH = = 2 √ 1 a Vì I trung điểm cạnh ABnên ta có: d = d (I, (SBD)) = d (A, (SBD)) = AH = 2 Chọn phương án C Câu 34 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABClà tam giác vng B, BC = √ 2a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Gọi M trung điểm AC Khoảng cách hai đường thẳng AB SM bằng: √ a 39 A 13 2a B √ 13 √ 2a C 13 √ 2a 39 D 13 Lời giải ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 22 ♥♥ Gọi N trung điểm cạnh BC suy AB ∥ (SM N ) Khi đó, d (AB, SM ) = d (AB, (SM N )) = d (A, (SM N )) Trong mặt phẳng (ABC), kẻ AI ⊥ M N suy (SAI) ⊥ (SM N ) = SI Trong mặt phẳng (SAI), kẻ AH ⊥ SI suy AH ⊥ (SM N ) Suy d (AB, SM ) = AH Ta có AI = BN = a √ 1 13 2a 39 Lại có = 2+ = Vậy d (AB, SM ) = AH = AH a 12a2 12a2 13 Chọn phương án D Câu 35 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D, AB = 3a, AD = DC = a Gọi I trung điểm AD, biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với đáy mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 600 Gọi M điểm AB cho AM = 2a, tính khoảng cách M D √ SC a 17 A √ a 15 B 10 √ a C 19 √ a D 15 Lời giải +) Theo giả thiết ta có    (SBI) ⊥ (ABCD)    (SCI) ⊥ (ABCD) ⇒ SI ⊥ (ABCD)     SI = (SBI) ∩ (SCI) ‘ +) Vẽ IK ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SIK) ⇒ SKI góc mặt phẳng (SBC) với mặt đáy nên ‘ = 60◦ SKI a2 3a2 = DI.DC = , S IAB = 4 Suy S BIC = SABCD −(S ICD + S IAB ) = +) Vì S IDC a2 √ 2a IBC = IK.BC Suy IK = √ 2a 15 +) Trong tam giác vuông SIK ta có SI = IK tan 60◦ = +) Vì AM = 2a nên BM = a ⇒ M D ∥ BC, d (M D, SC) = d (M D, (SBC)) = d (D, (SBC)) ED DC 1 = = ⇒ ED = AD = ID +) Gọi E giao điểm AD với BC, ta có EA AB » √ +) Mặt khác BC = (AB − CD)2 + AD2 = a S ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 23 ♥♥ Do d (D, (SBC)) = d (I, (SBC)) +) Gọi H hình chiếu I lên SK ta có d (I, (SBC)) = IH √ 1 5 a 15 Trong tam giác vng SIK, ta có: = + = + = ⇒ IH = IH SI IK 12a2 4a2 3a √ a 15 Vậy d (M D, SC) = 10 Chọn phương án B Câu 36 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) SO = a Khoảng √ cách SC√và AB √ a 2a a A B C 5 15 √ 2a D 15 Lời giải +Ta có AB ∥ (SCD) nên d (AB, SC) = d (AB, (SCD) = d (A, (SCD)) Do O trung điểm AC nên d (A, (SCD)) = 2d (O, (SCD)) +Gọi M  trung điểm CD CD ⊥ SO Ta có: ⇒ CD ⊥ (SOM ) ⇒ (SCD) ⊥ CD ⊥ OM (SOM ) Kẻ OH ⊥ SM Do (SCD) (SOM ) = SM nên OH ⊥ (SCD) hay OH = d (O, (SCD)) +Tam giác SOM vng Ocó OH đường cao nên √ 1 1 a a = + = + = Suy OH = hay OH = 2 OH SO OM a a a 5 √ 2a Vậy d (AB, SC) = 2OH = Chọn phương án B Câu 37 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a Gọi K trung điểm DD Khoảng cách hai đường thẳng CK A D √ a A √ a B √ 2a C D a Lời giải ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 24 ♥♥ Từ D kẻ DH ∥ CK(H ∈ CC ) Khi d (CK, A D) = d (CK, (A DH)) 3VCAHD = d (C, (A DH))= SADH a3 Ta có VA CDH = A D SDHC = 12 √ √ a a 17 Mà A D = a, DH = , AH = 2 ÷ Xét tam giác A DH có cos DA H = 2 A D + A H − DH ÷ = √ ⇒ sin DA H=√ 2A D.A H 34 34 3a3 a 3a ⇒ S A DH = A D.A H = Vậy d (C, (A DH)) = 122 = 3a 4 Chọn phương án D Câu 38 Cho khối chop S.ABCD tích Gọi M, N trung điểm SB, SC ABCD hình bình hành (như hình vẽ) Biết diện tích tứ giác AM N D Tính khoảng cách h từ đỉnh S đến mặt phẳng (AM N D) A h= B h= C h= D h = Lời giải Ta có VSDAC = VSBAC = VSABCD = SN SN SM VSDAN = VSDAC = VSDAC = 2,VSAM N = VSBAC = SC SC SB VSBAC = VSDAM N = VSADN + VSAM N = + = VSDAM N VSDAM N = d(S,(ADM N ) SADM N ⇒ d(S,(ADM N ) = = SADM N 3.3 = 2 Chọn phương án C Câu 39 ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 25 ♥♥ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, tam giác ABC đểu, hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABC Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng (ABCD) góc 30◦ Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a √ √ 2a 21 A d = a B d= 21 √ √ a 21 2a C d= D d= Lời giải √ 2a Ta có HD = 2BH = , SH = HD tan 30o = √ 2a 2a √ = 3 Kẻ HK ⊥ SC, (K ∈ SC) (1) Do CH ⊥ AB AB ∥ CD nên CH ⊥ CD Hơn nữa, SH ⊥ CD nên CD ⊥ (SHC) Từ ta có CD ⊥ HK(2) Từ (1) (2) ta có HK ⊥ (SCD) ⇒ d(H, (SCD)) = HK 1 1 21 2a Trong tam giác vng SHK có = + = Ç √ å2 + Å ã2 = ⇒ HK = √ 2 HK HC HS 4a 2a 21 a 3 3 Lại có BH ∩ (SCD) = D, BD = HD nên √ 3 2a 21a d(B, (SCD)) = d(H, (SCD)) = HK = √ = 2 21 Chọn phương án C Câu 40 Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình thang vng A B, √ biết AB = BC = a, AD = 2a, SA = a SA ⊥ (ABCD) Gọi M N trung điểm SB, SA Tính khoảng cách từ √ M đến (N CD) theo a √ a 66 A B 2a 66 22 √ a 66 C 11 √ a 66 D 44 Lời giải ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 26 ♥♥ Gọi I giao điểm AB CD, AD = 2BC nên B trung điểm AI Gọi G giao điểm SB IN , dễ thấy G trọng tâm tam giác SAI Do đó, SG = SB = 2.SM = SM ⇒ M G = SG, mà 3 G ∈ (N CD) nên d (M ; (N CD)) = d (S; (N CD)) = d (A; (N CD)) Lại có, CD ⊥ AC; CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAC) Gọi K hình chiếu A lên N C √ d (A, (N CD)) = AK = √ AN.AC a √ (∗), với AN = ; AC = a 2 AN + AC √ √ a 66 a 66 thay vào (∗) ta AK = Vậy d (M, (N CD)) = AK = 11 44 Chọn phương án D Câu 41 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 3a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M điểm thào mãn # » # » #» M B + 2M C = Khoảng cách hai đường thẳng SC DM√bằng: 154 A a 77 √ 154a B 154 √ 154 C a 77 √ 154 D a 77 Lời giải Gọi N đỉnh thứ tư hình bình hành DM CN ; Lấy E, H hình chiếu A lên CN, SE Gọi Olà giao điểm ACvà DM Ta có DM ∥ (SCN ) ⇒ d (DM, SC) = d (DM, (SN B)) = 1 d (O, (SCN )) = d (A, (SCN )) = AH 4 9a2 3a2 2S AN C Tam giác AN C có diện tích: S ACN = SABCD + S DN C = + = 6a2 ⇒ AE = = 2 CN √ 10a √ 77 1 1 154 Tam giác vng SAE có = + = + 72 = ⇒ AH = a AH AE SA2 a 72a 77 a √ √ 154 154 ⇒ d(SC, DM ) = a= a 4.77 154 Chọn phương án B ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 27 ♥♥ Câu 42 Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a Tính khoảng cách từ B tới đường √ thẳng DB √ a a A B √ a C √ a D Lời giải √ Theo giả thuyết ta có: BD = a Gọi H hình chiếu B lên DB ta có: BH = d (B, DB ) Xét tam giác BB D vng B ta có: √ 1 1 a = + = + √ = ⇒ BH = BH B B BD2 a2 2a a Chọn phương án B Câu 43 ’ = 60◦ , Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh 2a, góc BAD SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng là? √ cách từ B đến mặt phẳng (SCD) √ a 3a a A B C 2 √ D a Lời giải Gọi O trung √ điểm AB⇒ SO ⊥ (ABCD) √ 2a SO = = a SO đường cao tam giác cạnh 2a Từ giả thiết suy tam giác BCD tam giác ABD tam giác ⇒ CD ⊥ OD CD ⊥ OD Ta có: ⇒ CD ⊥ (SOD) CD ⊥ SO Trong tam giác SOD kẻ OH ⊥ SD H, ta có:  OH ⊥ SD ⇒ OH ⊥ (SCD) OH ⊥ CD Do AB ∥ (SCD) suy d (B, (SCD)) = d (O, (SCD)) = OH √ Nhận thấy tam giác SOD tam√giác vuông cân O với OD = a 1√ a OH = SD = 3a + 3a2 = 2 Chọn phương án C Câu 44 ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 28 ♥♥ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh ’ = 60◦ , SA = a SA vng góc với mặt phẳng a, BAD đáy Khoảng √ cách từ B√đến mặt phẳng √ (SCD)bằng√ a 21 a 15 a 21 a 15 A B C D 7 3 Lời giải Vì AB ∥ CDnên AB ∥ (SCD) Do d(B; (SCD)) = d(A; (SCD)) ’ = 60◦ nên tam giác Ta có ABCD hình thoi mà BAD ABDlà tam giác cạnh a Gọi F trung điểm AB DF ⊥ AB; AB//CD ⇒ DF ⊥ CD Kẻ AE ∥ FD ⇒ AE ⊥ CD, (E ∈ CD) màSA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD Do CD ⊥ (SAE) ⇒ (SCD) ⊥ (SAE), (SCD) ∩ (SAE) = SE Kẻ AK ⊥ SE ⇒ AK√⊥ (SCD) ⇒ AK = d (A; (SCD)) a Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng SAE Ta có AE = F D = √ 1 1 a 21 Ta có = + = + = Do d (B; (SCD)) = d (A; (SCD)) = AK SA2 AE a 3a 3a Chọn phương án A Câu 45 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA ⊥ (ABC), góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) 60◦ Khoảng √ cách hai đường √ thẳng AC SB √ a a 15 a A B C 2a D Lời giải ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 29 ♥♥ ¤ Ÿ Vì SA ⊥ (ABC) nên (SB; (ABC)) = (SB; AB) = ’ SBA ’ = 60◦ SBA⇒ √ ’ a tan 60◦ = a SA = AB tan SBA= Dựng hình bình hành ACBD, ta có AC ∥ BD, BD ⊂ (SBD) ⇒ AC ∥ (SBD) Suy d (AC, SB) = d (AC; (SBD))= d (A, (SBD)) Gọi M trung điểm BD, suy BD ⊥ AM Từ SA ⊥ (ABC) ta có BD ⊥ SA, BD ⊥ (SAM ) Kẻ AH ⊥ SM (H ∈ SM ) BD ⊥ AH Từ BD ⊥ AH AH ⊥ SM suy AH √ ⊥ (SBD) Nên d (A, (SBD)) = AH a Tam giác ABD cạnh a nên AM = Trong tam giác SAM vuông A, ta có √ 1 a 15 = + = Ç √ å2 + √ = ⇒ AH = AH AM SA2 3a a a √ a 15 Vậy d (AC; SB) = d (A; (SBD))= AH = Chọn phương án B Câu 46 Cho hình chóp S.ABC, có SA = SB = SC, đáy√là tam giác a3 cạnh a Biết thể tích khối chóp S.ABC Khoảng cách hai đường thẳng SA√và BC bằng: √ 4a 13a 6a a A B C D 13 Lời giải Do hình chóp S.ABC nên SG đường cao hình chóp, (G trọng tâm tam giác đềuABC) Gọi M trung điểm BC Kẻ M H ⊥ SAtại H M H đoạn vng góc chung SA vàBC Vậy khoảng cách thẳng SA BC M√H √ hai đường3 √ a2 a a Ta có VS.ABC = SG = ⇒ SG = 4a,AG = , … 3 √ √ 3a2 7a SA = AG2 + SG2 = + 16a2 = √ SG.AM 3.4a.a 6a √ = Ta có SA.M H = SG.AM ⇒ M H = = SA 2.7a Chọn phương án C ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 30 ♥♥ Câu 47 Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có tất cạnh a √ Khoảng cách √ hai đường thẳng √ BC AB √ a 21 a a a A B C D Lời giải Ta có BC ∥ B C ⇒ BC ∥ (AB C ) suy d (BC, AB ) = d (BC, (AB C )) = d (B, (AB C )) = d (A , (AB C )) Gọi I H hình chiếu vng góc A B C AI Ta có B C ⊥A I B C ⊥A A nên B C ⊥ (A AI)⇒ B C ⊥A H mà AI⊥A H Do (AB C ) ⊥A H A A.A I = Khi d (A , (AB C )) = A H = √ A A2 + A I √ a 21 Vậy khoảng cách cần tìm Chọn phương án A √ a √ a a 21 Ç √ å2 = a a2 + Câu 48 Cho khối chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC) , (SAC) ⊥ √ (ABC) , SA = a, AB = AC = 2a, BC = 2a Gọi M trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng SM AC a A a B √ C a √ D a Lời giải ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 31 ♥♥ Gọi N trung điểm AB ta có M N ∥ AC ⇒ d (AC, SM ) = d (A, (SM N )) Do (SAB) ⊥ (ABC) , (SAC) ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ (ABC) Ta có BC = AB +AC ⇒ ABC vuông A ⇒ M N ⊥ AB Dựng AH ⊥ SN ⇒ AH ⊥ (SN M ) ⇒ d (A, (SM N )) = AH 1 1 a Có = + = + = ⇒ AH = √ 2 AH AN AS a a a Chọn phương án B Câu 49 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA ⊥ (ABC), góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) 60◦ Khoảng √ cách hai đường √ thẳng AC và√SB a a 15 a A B C √ a D Li gii Ô Vỡ SA (ABC) nờn (SB, (ABC)) = (SB, AB) = SBA⇒ ’ = 60◦ SBA √ ’ a tan 60◦ = a SA = AB tan SBA= Dựng hình bình hành ACBD, ta có AC ∥ (SBD) nên: d (AC, SB) = d (AC, (SBD)) = d (A, (SBD)) Gọi M trung điểm BD, suy BD ⊥ AM Từ SA ⊥ (ABC) ta có BD ⊥ SA, BD ⊥ (SAM ) Kẻ AH ⊥ SM (H ∈ SM ) BD ⊥ AH Từ BD ⊥ AH AH ⊥ SM suy AH √ ⊥ (SBD) Nên d (A, (SBD)) = AH a Tam giác ABD cạnh a nên AM = Trong tam giác SAM vng A, ta có √ 1 1 a 15 = + = Ç √ å2 + √ = ⇒ AH = AH AM SA2 3a a a √ a 15 Vậy d (AC, SB) = d (A, (SBD))= AH = Chọn phương án B Câu 50 ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 32 ♥♥ Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC cạnh a, cạnh bên SA = a, SA ⊥ (ABC), I trung điểm BC Khoảng cách hai√đường thẳng SI√và AB √ a 57 a 23 a 17 A B C 19 7 √ a 17 D Lời giải Kẻ IJ ∥ AB ⇒ d (SI, AB) = d (AB, (SIJ)) = d (A, (SIJ)) Kẻ AH ⊥ SD ⇒ AH =√d (A, (SIJ)) a Ta có AD = M C = √ 1 19 a 57 Ta có = + = ⇒ AH = AH AS 2√ AD2 3a 19 a 57 ⇒ d (SI, AB) = 19 Chọn phương án B ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 33 ... Tính khoảng cách từ B tới đường √ thẳng DB √ a a A B √ a C √ a D Lời giải √ Theo giả thuyết ta có: BD = a Gọi H hình chiếu B lên DB ta có: BH = d (B, DB ) Xét tam giác BB D vng B ta có: √... Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B có AD = 2a, AB = BC = a SA ⊥ (ABCD), √ SA = a Khoảng cách hai đường phẳng SB DC √ a 10 A √ a B √ a C √ a 11 D Lời giải ♥♥Biên soạn: Những... 65 √ 8a 195 D d= 195 Lời giải Ta có AI ⊥ BC, SA ⊥ BC suy BC ⊥ AK ⇒ AK = d (A, (SBC)) √ √ a2 = ⇒ SA = 4a Ta có: V = a3 , S ABC √ a Mà AI = 1 Trong tam giác vng SAI ta có = + 2 AK AS AI   √