Đang tải... (xem toàn văn)
Dạng 5: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên 1 mặt phẳng (P).. Phương pháp giải:.[r]
(1)PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1 Tọa độ điểm : M x y z ; ; OM xi y j zk
O(0; 0; 0)
đặcbiệt:
; ;0 ;0;0
0; ; 0; ;0
;0; 0;0;
M Oxy M x y M Ox M x
M Oyz M y z M Oy M y
M Oxz M x z M Oz M z
2 Toạ độ vectơ : ux y z; ; u xi y j zk
(1;0;0); (0;1;0); (0;0;1)
i j k
3 Các cơng thức tính toạ độ vectơ:
B A; B A; B A AB x x y y z z
Cho ux y z; ;
u'x y z'; '; '
' { '; '; '}
u u x x y y z z
' '; '; '
u u x x y y z z ; ;
ku kx ky kz
4 Tích vơ hướng: u u 'x x 'y y z z ' '
u v uv
5 Các cơng thức tính độ dài góc
2 2
u x y z AB xB xA)2(yB yA)2(zB zA2
2 2 2
' ' ' '
cos ; '
' ' ' '
u u xx yy zz
u u
u u x y z x y z
Bài tập: Xét toán hệ trục tọa độ Oxyz 1. Cho u i ,j v 3i 5(j k w ), 2i3j k
a) Tìm tọa độ vecto
b) Tìm cosin góc u i; , ;v j
c) Tính tích vơ hướng u v u w v w , , 2. Cho M(a, b, c)
a) Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục tọa độ b) Tìm tọa độ hình chiếu M lên mp tọa độ
3. Cho hình bình hành ABCD có A(-3; -2; 0), B(3; -3; 1), C(5; 0; 2) Tìm tọa độ D tính góc hai vectoAC BD,
4. Tính tích vơ hướng a b
, biết a) a3;0; ; b2; 4;0
b) a1; 5; ; b4;3; 5
5. Tìm góc hai vecto u v;
a) u1;1;1 ; v2;1; 1
b) u 3i ,j v2j3k
6. Tìm M Ox cho M cách A(1; 2; 3) B(-3; -3; 2) 7. Cho tam giác ABC có A(1 ; -1 ; 1) , B(0 ; ; 2), C(1 ; ; 1)
a) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC b) Tính độ dài đường trung tuyến AM
8. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1; 0; 1), B(2; 1;2), D(1; -1; 1), C’(4; 5; -5) Tính tọa độ đỉnh cịn lại
(2)10. Trong không gian cho điểm A, B, C, D có toạ độ xác định hệ thức: A(2; 4; -1), OB i 4j k
, C(2; 4; 3), OD 2i 2j k Chứng minh :AB AC, ACAD, ADAB 11. Cho A(1;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2),D(3;0;1),E(1;2;3)
a)Chứng tỏ ABCD hình chữ nhật.Tính diện tích b)Tính cos góc tam giác ABC
c)Tìm đường thẳng Oy điểm cách hai điểm AB
Bài 2: MẶT CẦU 1 Phương trình mặt cầu :
Mặt cầu có tâm I(a; b; c) bán kính R :
2 2
x a y b z c R (1) Phương trình mặt cầu dạng khai triển:
x2 +y2 +z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0, đk: a2 + b2 + c2 – d >0 (2) Tâm I(a; b; c) bán kính R= a2b2c2 d
2 Chú ý:
a) Mặt cầu có tâm I qua A R = IA =
2 2
A I A I A I
x x y y z z
b) Mặt cầu có đường kính AB R =
2AB tâm I trung điểm AB
; ;
2 2
A B A B A B
x x y y z z
I
c) Mặt cầu qua điểm A, B,C, D viết phương trình mặt cầu dạng (2) thay tọa độ điểm vào phương trình giải hệ để tìm a, b, c, d
Bài 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu: a) x2 + y2 + z2 -6x +4y -2z – 86 = 0 b) x2 +y2 +z2 +3x + 4y – 5z +6 = 0 c) x2 +y2 +z2 –6x + 4y + 2z – 11 = 0 d) (x - 1)2 +(y +3 )2 +(z – 2)2 = 49 e) x2 +y2 +z2 –2x +2z – = 0 Bài 2: Viết phương trình mặt cầu biết:
a) mặt cầu có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3) b) mặt cầu qua điểm A(5; -2; 1) có tâm C(3; -3; 1)
c) mặt cầu qua điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1) d) mặt cầu qua điểm A(1 ; ; -1), B(3 ; ; -2), C(4 ; -1 ; 1), D(3 ; ; 3)
Bài 3: Trong khoâng gian Oxyz cho A(1; -1; 2), B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2)Gọi A’ hình chiếu A lên Oxy Viết phương trình mặt cầu (S) qua A’, B, C, D
Bài 4: Lập pt mặt cầu qua điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1) , C(2;2;3) có tâm nằm mp Oxy
Bài 5 : Chứng tỏ phương trình x2 y2 z24mx 2my4z m 24m0 ln phương trình mặt cầu Tìm m để bán kính mặt cầu nhỏ
Bài 6 : Chứng tỏ phương trình x2y2z22 os c x 2sin y4z 4sin 2 0 phương trình mặt cầu Tìm để bán kính mặt cầu lớn
Bài 3: TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ Cơng thức tích có hướng
Cho ux y z; ;
u'x y z'; '; '
;
' ; ; ( ' '; ' '; ' ')
' ' ' ' ' '
y z z x x y
u u yz zy zx xz xy yx
y z z x x y
Nhận xét: 1. u v;
phương u v 0 0;0;0
2. u v v u
3. u(u v ); v(u v )
4. Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB AC 0 Bài tập:
(3)a)a3;0; ; b2; 4;0
b) a1; 5; ; b4;3; 5
c)u1;1;1 ; v2;1; 1
d) u 3i ,j v2j3k
2 Cho điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4; 0) a) Tính AB AC ; BA BC ;
b) Tính AD AB AC( ); BD BA BC( )
3 Cho điểm A(1; 0;0) , B(0; 1; 0), C(0;0;1), D(-2; 1; -1) a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng
b) Tìm góc hai vecto AB CD;
TínhAD AB AC( ); BD BA BC( )
4 Cho M(1 ; -2 ; 3) Gọi H, I, K hình chiếu M lên trục Ox, Oy, Oz Tính : ;
HI HK IK KH
5 Cho M(1 ; -2 ; 3) Gọi H, I, K hình chiếu M lên mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Ozx. Tính :HI HK ; IK KH
6. Trong không gian Oxyz cho B(1; 1; 1), C(1/3; 1/3; 1/3).Chứng minh O, B, C thẳng hàng
Bài : MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN I Phương trình mặt phẳng:
1 Phương trình tổng quát mặt phẳng: B1: Tìm toạ độ vectơ pháp tuyến n( ; ; )A B C
( vectơ vng góc với mặt phẳng) B2: Tìm toạ độ điểm M0(x0; y0; z0) thuộc mặt phẳng
B3: Thế vàp pt: A(x –x0) + B(y-y0) +C(z-z0) = 0, khai triển đưa pt dạng: Ax + By +Cz + D = 2 Chú ý:
Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = a VTPT (P) n( ; ; )A B C
b Nếu điểm M(x1; y1; z1)(P) Ax1+By1+Cz1+D=0
Trong trường hợp chưa tìm vectơ pháp tuyến tìm hai vectơ khơng phương u u; '
có giá song
song nằm mp Khi VTPT mp là: n u u ' 3 Các trường hợp đặc biệt:
a) Phương trình mp tọa độ: mp(Oxy): z = 0, mp(Oyz): x = 0, mp(Oxz): y = 0 b) Mp song song với mặt tọa độ:
song song với (Oxy): Cz + D = 0, song song với (Oyz): Ax + D = , song song với (Oxz): By + D = 0 c) Mp song song chứa trục tọa độ:
song song với Ox: By + Cz + D = 0 song song với Oy: Ax + Cz + D = 0 song song với Oz: Ax + By + D = 0 chứa trục Ox: By + Cz = 0 chứa trục Oy: Ax + Cz = 0 chứa trục Oz: Ax + By = 0
d) Mp chứa gốc tọa độO(0; 0; 0): Ax + By + Cz = 0
e) Đặc biệt mp(P) qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phương trình dạng: x y z a b c Bài tập:
1 Cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6)
a)Viết phương trình mp qua A nhận vectơ n (1; 1;5)
làm vectơ pháp tuyến
b)Viết phương trình mp qua A biết hai véctơ có giá song song mp a(1;2; 1), (2; 1;3) b
c)Viết phương trình mp qua C vng góc với đường thẳng AB
d)Viết phương trình mp trung trực đoạn AC e)Viết phương trình mp (ABC)
(4)a) () vng góc với AB A, biết A(1;0;2), B(2;1;1) b) () qua ba điểm M(2;1;3), N(4;2;1),
P(1;2;3).
3 Trong không gian cho A(1;2;1), OB3j k
, OC i 4k
a) Chứng minh ABC tam giác vng.
b) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC).
4 Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).
Viết phương trình mặt phẳng (ABC).Chứng tỏ A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện 5 Viết phương trình mặt phẳng:
a) chứa trục Ox điểm A(1; 2; 3) b) chứa trục Oy điểm B(- ; ; 5) c) chứa trục Oz điểm C(2 ; -1 ; 2)
6 Cho tứ diện ABCD có A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6) a) Viết phương trình mp (ACD) (BCD)
b) Viết phương trình mp chứa AB song song CD c) viết phương trình mp chứa CD song song AB
7 Viết phương trình mp qua M(1; 3; -5) song song mp tọa độ.
8 Cho điểm M(-2; 3; 1) Viết phương trình mp qua điểm hình chiếu M lên trục toạ độ
9 Cho điểm M(-2; 3; 1) Viết phương trình mp qua điểm hình chiếu M lên mp toạ độ
10 ( TN 07 -08)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) C(2; 2; -1) Viết phương trình mp qua A vng góc với đường thẳng BC
11.( ĐH khối B năm 07 -08) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2), B(2; -2; 1), C(-2; 1) a) Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A, B, C ( đs: x + 2y – 4z + = 0)
b) Tìm M thuộc mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – = cho MA = MB = MC ( Đáp án: M(2; 3; -7) II Vị trí tương đối hai mp:
Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = (P’): A’x + B’y +C’z + D’ = 0
Khi (P) (P’) có vecto pháp tuyến n( ; ; ); 'A B C n A B C'; '; '
1. (P) // (P’)
; ; '; '; ' '
' '
A B C k A B C n kn
D kD D kD
2.
' ' ; ; '; '; ' '
'
A B C k A B C n kn
P P
D kD D kD
3. (P) cắt (P’) n kn ' A B C; ; A B C'; '; '
Trong trường hợp AA’ +BB’ +CC’ = nn' hai mặt phẳng vng góc Chú ý:
Cho mp (P): Ax + By + Cz + D = suy (P) có VTPT n( ; ; )A B C
1 Nếu (P’) // (P) (P’) nhận n( ; ; )A B C
là VTPT 2 Nếu P P' thì (P’) chứa chứa n( ; ; )A B C
Bài tập:
1 Viết phương trình mặt phẳng () trường hợp sau:
a) () qua A(0; 2; 1) song song với mặt phẳng (): x3z+1=0.
b) () qua B(2 ; ; -2) song song với mặt phẳng (): x3y + 2z - 1=0.
c) () qua C( -1 ; ; -1) song song với mặt phẳng (): 2x + y - 2z+4=0
d) () qua gốc tọa độ song song với mặt phẳng (): 4x + y - z+1=0.
2 Viết phương trình mặt phẳng () trường hợp sau:
a) () qua hai điểm A(3;1;1), B(2;1;4) vng góc với mặt phẳng ():2xy+3z+1=0. b) () qua hai điểm A1;0;3 , B5; 2;3 vng góc với mặt phẳng ():2x y z 0
c) () qua hai điểm A1;0;1 , B1;2;4 vng góc với mặt phẳng ():x z 3
d) () qua hai điểm A2; 1; , B1; 2;3 vng góc với mặt phẳng ():3x2y 0
3 Viết phương trình mp qua B(4 ; -2 ; -1) vng góc với mp (Oxy), mp (P) : x – y + 2z + = 0
(5)5 (CĐ 08 – 09) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P1) : x + 2y + 3z + = (P2) : 3x + 2y z + = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(1; 1; 1), vng góc với hai mặt phẳng (P1) (P2)
6 Xác định giá trị m, n để cặp mặt phẳng sau cặp mp song song với nhau a) 2x + my + 3z – = nx – 8y – 6z +2 =
b) 3x – 5y + mz - = 2x + nx – 3y – 3z + = Tóm tắt số cách viết phương trình mặt phẳng :
Loại : Biết điểm M0(x0;y0;z0) vectơ pháp tuyến
n= A;B;C 0của mặt phẳng ():
(): A x- x +B y- y +C z-z =0 0 0 0 (1) Hay: Ax+By+Cz+D=
Loại 2: () qua ba điểm M, N, P không thẳng hàng: * Vectơ pháp tuyến: n=MN MP .
* Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N P) Thay kết vào (1)
Loại 3: () qua A(xA;yA;zA) song song với mặt phẳng ():Ax+By+Cz+D= * () có dạng Ax+By+Cz+m=0,
β
n =n
* Thay tọa độ điểm A vào () để tìm m, m=- Ax +By +Cz A A A.
Loại 4: () qua hai điểm M, N vng góc với mặt phẳng ():Ax+By+Cz+D=0, (MN khơng vng góc với ():
* () có
β
n =MN n
* Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N) Thay kết vào (1)
III Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Định lý: Cho điểm M(x0; y0; z0) mp (P) :Ax + By +Cz + D =
0 0
2 2
( ,( )) Ax By Cz D
d M P
A B C
Bài tập:
Loại : Khoảng cách từ M (xM;yM;zM) đến mặt phẳng ():Ax+By+Cz+D= 0:
M M M
2 2
Ax +By +CZ +D
d M, =
A +B +C
Loại 2: Khoảng cách hai mặt phẳng (), () song song: Lấy điểm M tùy ý mặt phẳng này, tính khoảng cách từ M điểm đến mặt phẳng
1 Tính Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), biết: a) M (1; 2; 3), (P): 2x – y + 2z – 10 = 0
b) M( 2; -2; 3), (P): 4x – 3z + = 0 c) M ( 0; -1; 3), (P): 3y – 11 = 0
2.Tính khoảng cách hai mặt phẳng có phương trình: x + 2y + 2z + 11 = x + 2y + 2z + = 0 3.Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 4; 3) mp (P) có phương trình: (P): 2x – 3y + 6z + 19 = 0
Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (Q) qua điểm A song song với mặt phẳng (P) Tìm khoảng cách mặt phẳng (P) (Q)
4.Tìm m để khoảng cách từ M(m;0;1) đến mặt phẳng (): 2x+y2z+2=0
2
3. ĐS: m=1
5.Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4;0) a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ABCD tứ diện. b) Tính chiều cao AH tứ diện ABCD
6.Cho điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1) Tính độ dài đường cao hình chóp A.BCD 7.Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3)
a) Chứng minh tam giác ABC vuông A
(6)c) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
8 ( TN năm 07 – 08) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) mp(P) có phương trình: 2x – 2y + z – = 0.Tính khoảng cách từ A đến mp(P) Viết phương trình mp(Q) cho (Q)// (P) khoảng cách (P) (Q) khoảng cách từ A đến (P)
9 (TN năm 08 – 09) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1)2 + (y -2)2+ (z -2)2 = 36 mặt phẳng (P): x +2y + 2z + 18 = Xác định tâm T tính bán kính mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ T đến (P)
10.Cho điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1) Tính độ dài đường cao hình chóp A.BCD 11 (ĐH – khối B – 09)Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1; 2; 1), B(-2; 1; 3), C(2; -1; 1) và
D(0; 3; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P)
Hướng dẫn: có trường hợp :
(P) chứa AB song song CD ( Đs : 4x + 2y + 7z – 15 = (P) qua A, B M trung điểm CD ( Đs : 2x + 3z – = 0)
12.Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) Tính thể tích tứ diện ABCD
13 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật OABC.O’A’B’C’ có đỉnh A(3; 0; 0), C(0; 4; 0), O’(0; 0; 5), O(0; 0; 0) điểm B’ đỉnh đối diện với O
a) Viết phương trình mặt phẳng (ACO’) tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng này. b) Tìm tọa độ điểm B’ Tính khoảng cách từ O đến (ACB’)
14.Giải toán sau phương pháp toạ độ:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a) Chứng minh (AB’D’)//(BC’D)
b) Tính khoảng cách hai mặt phẳng nói
Sử dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để giải toán liên quan:
AD1: Viết phương trình mặt cầu có tâm tiếp xúc với mặt phẳng cho trước
Mặt cầu có tâm I tiếp xúc mặt phẳng (P) có bán kính khoảng cách từ tâm I đến mp(P)
15.Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc mặt phẳng (BCD)
16.Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).Viết phương trình mặt cầu tâm D tiếp xúc mp (ABC)
17.( TN năm 06 – 07) Trong không gian Oxyz, cho mp(): x + 2y – 2z +6 = 0.Viết phương trình mặt cầu tâm gốc toạ độ tiếp xúc với mp()
18.(Khối B – năm 2005)Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứngABC.A’B’C’ với A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B’(4; 0; 4) Tìm toạ độ điểm A’, C’ Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc mặt phẳng (BCC’B’)
AD2: Xét vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu: Nhắc lại số công thức:
Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R mp(P)
Để xét vị trí tương đối (S) (P), ta tính khoảng cách từ I đến (P) so sánh với bán kính R a) Nếu d I P , Rthì mặt cầu (S) mp(P) khơng có điểm chung
b) Nếu d I P , R mặt cầu (S) mp(P) có điểm chung Trường hợp này, ta nói (S) (P) tiếp xúc
c) Nếu d I P , R mặt cầu (S) mp(P) cắt theo đường tròn (C) có tâm là hình chiếu I lên (P) bán kính ,
2 2 I P
(7)19 Cho mặt cầu (S): x 32y22z12100 mặt phẳng 2x – 2y – z + = Chứng tỏ mặt phẳng cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) Hãy tính bán kính đường trịn (C)
20 Cho mặt cầu (S) : x2y2z26x4y 2z50 mặt phẳng x + 2y + 2z + 11 = Chứng tỏ mặt phẳng không cắt mặt cầu (S)
21 Cho mặt cầu (S): x2y2z2 4x6y6z170 mặt phẳng x – 2y +2z + = Chứng tỏ mặt phẳng cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) Hãy tính bán kính đường trịn (C)
22 Cho tứ diện ABCD có A(3; 6; -2), B(6; 0; 1), C(-1; 2; 0), D(0; 4; 1)
a) Viết pt mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tâm tính bán kính mc (S) b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
c) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
23 (ĐH – Khối B - 07) Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x +4y +2z -3 = Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường trịn có bán kính
24.Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng(P) có phương trình: 2x + 2y + z – m2 – 3m = mặt cầu (S):
x12y12z12 9 Tìm m để (P) tiếp xúc mặt cầu Hướng dẫn : dùng điều kiện tiếp xúc Đáp số: m = - m =
AD3: Vận dụng khoảng cách để viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu Nhắc lại công thức: Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) d I P , R 25 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng ( P) có phương trình
x2 + y2 +z2 - 2x + 2y +4z - = ; x – y – 2z + =
Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) song song với mp (P) 26.Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
a) Viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm A, B, C, D.
b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) song song với mp(ABD) Đs: a) x2 + y2 + z2 –3x – 6y – 2z + =0 b) z 221 0
Bài : ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
1.
Viết PTTS, PTCT đường thẳng
B1: Tìm toạ độ vectơ phương (a; b; c) ( vectơ có giá song song trùng với đường thẳng B2: Tìm toạ độ điểm M0(x0; y0; z0) thuộc đường thẳng
B3: PTTS:
0 0 x x at y y bt z z ct
PTCT:
0 0; , , 0
x x y y z z
a b c
a b c
2.
Chú ý
a) Nếu đường thẳng d giao tuyến hai mp (P) :Ax + By +Cz + D = (P’): A’x + B’y +C’z + D’ =
Khi đt d có VTCP:
' ; ;
' ' ' ' ' '
P P
B C C A A B u n n
B C C A A B
Muốn tìm điểm thuộc d ta cho x = x0 (thường cho x = 0), giải hệ phương trình tìm y, z
b) Đường thẳng d qua điểm A, B d có VTCP AB
(8)BÀI TẬP:
1 Viết phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng d trường hợp sau: a) (d) qua A(1;2;3) B(3; 5; 7)
b) (d) qua C(-2; 0; 2) D(1; -2; 3)
2 Viết phương trình tham số, phương trình tắc ( có) đường thẳng d trường hợp sau: a) (d) qua M(-1; 3; 1) vng góc với mặt phẳng(P): 2x – y + 3z + =
b) (d) qua N(0; 2; ) vng góc với mặt phẳng(Q): x + y - z =
3 Viết phương trình tham số, phương trình tắc ( có) đường thẳng d trường hợp sau:
a) (d) qua K(-2; -1; 3) song song đường thẳng
4 x t
y t
z t
b) (d) qua K(0; 3; -2) song song đường thẳng
3
1
x t
y
z t
4 Viết phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng d giao tuyến mặt phẳng : a) (P): x + 2y – 2z + 1= (Q): x – y + z – =
b) (P): 3x - y – z + = (Q): x + 2z + =
5 Viết phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng d qua điểm M(2; -1; 3) vuông
góc với hai đường thẳng:
1
:
2
x y z
3
' :
3
x y z
6 (TN năm 2007) Trong không gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) mp(P): x + y – 2z – = 0.Viết phương trình tham số đường thẳng d qua M vng góc với (P) Tìm toạ độ giao điểm d mp(P)
7 (TN năm 2008)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) mp(P) : 2x – 2y + z – 1 = Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với mp(P)
8 (TN năm 2009) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x +2y + 2z + 18 = Viết phương trình tham số d qua T vng góc với (P) Tìm tọa độ giao điểm d (P)
9 (ĐH- Khối A- 2005)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:
x y z
1
và mp(P): 2x + y – 2z + = Tìm tọa độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mp (P) II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho qua M(x0; y0; z0) có vectơ phương ua b c; ;
’ qua M’(x’0; y’0; z’0) có vectơ phương u'a b c'; '; '
có PTTS là:
0
0
0
' ' '
; ' ' ' '
' ' '
x x at x x a t
y y bt y y b t
z z ct z z c t
*) Nếu thấy u ku '
lấy tọa độ điểmM thế vào phương trình đường thẳng ’ Xảy 2 khả năng:
TH1: M ' hai đường thẳng trùng nhau TH2: M 'thì đường thẳng song song *) Nếu thấy u ku '
giải hệ phương trình gồm hai phương trình đường thẳng
0
0
0
' ' ' ' ' ' ' ' ' x at x a t y bt y b t z ct z c t
(9)*) Nếu aa’+ bb’ + cc’ = hai đường thẳng vng góc.
10. Xét vị trí tương đối hai đường thẳng sau:
a)
'
2 ; ' '
3 3 '
x t x t
y t y t
z t z t
b)
9
3
5 ; ' :
18 10
3 x t
x y z
y t
z t
c)
1
: ; ' :
2
x y z x y z
d d
d)
1
2
: ; ':
1
2
x t
x y z
d d y t
z t
11. Cho hai đường thẳng d d’ có phương trình:
1 3
: ; ' :
3 2 1
x y z x y z
d d
a) Tìm tọa độ giao điểm d d’
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng
12. Cho đường thẳng
1 '
4 ; ' '
3
x x t
d y t d y t
z t z
a) Chứng minh d d’ chéo
b) Viết phương trình mặt phẳng(P) chứa d song song d’ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d’ song song d Từ suy vị trí tương đối (P) (Q)
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GI ỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẰNG
Cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = đường thẳng d:
0 0 x x at y y bt z z ct
Xét hệ phương trình
0
1
0
x x at y y bt z z ct
Ax By Cz D
Thay (1), (2), (3) vào (4), ta có phương trình : A(x0 + at) + B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D = (*)
TH1: (*) vơ nghiệm d (P) khơng có giao điểm hay d (P) song song
TH2: (*) có nghiệm t d (P0 có giao điểm hay d (P) cắt điểm TH3: (*) có vơ số nghiệm d (P) có vơ số giao điểm hay d nằm mặt phẳng (P)
Chú ý:
1 Trong trường hợp d // (P) d P VTCP d VTPT (P) vng góc
2 Khi d // (P) khoảng cách d (P) khoảng cách từ điểm d đến mặt phẳng (P)
(10)a)
12
: ; :
1
x t
d y t P x y z
z t
b)
: ; :
1
x t
d y t P x y z
z t
c)
: ; :
2
x t
d y t P x y z
z t
d)
: ; :
3
x t
d y t P x y z
z t
CÁC CHUYÊN ĐỀ
CHUYÊN ĐỀ 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Phương trình tổng quát mặt phẳng :
Ax + By +Cz + D = với A2+B2+C2>0 , VTPT (P) n( ; ; )A B C
2 Phương trình mặt phẳng qua điểm M0(x0; y0; z0) có VTPT (P) n( ; ; )A B C
A(x –x0) + B(y-y0) +C(z-z0) = 0, khai triển đưa pt dạng: Ax + By +Cz + D =
3 Mặt phẳng (P) qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phương trình dạng:
x y z
a b c , với
a, b, c khác 0
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M0(x0; y0; z0) song song với mặt
phẳng cho trước Phương pháp giải:
Cách 1:
1 Tìm VTPT n A B C; ;
2 VTPT mặt phẳng n n A B C; ;
3 Phương trình mặt phẳng : A(x –x0) + B(y-y0) +C(z-z0) = 0, Cách 2:
1 Giả sử mặt phẳng có phương trình : Ax + By + Cz + D = 0
2 Mặt phẳng // nên phương trình có dạng: Ax + By + Cz + D’ = (*) 3 Vì qua điểm M0(x0; y0; z0) nên thay tọa độ M0(x0; y0; z0) vào(*) Tìm D’
Bài tập :
1.1 Viết phương trình mặt phẳng
a) qua A( 1; 2; -1) song song mặt phẳng : 2x + 3y – 4z – = 0
b) qua B(- 1; -2; 0) song song mặt phẳng : x + y – z + =
1 Cho điểm A(2; 3; 1), B(1; 1; -2), C(2; 1; 0), D(0; -1; 2) Viết phương trình mặt phẳng qua
D song song mặt phẳng (ABC)
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M, N, P không thẳng hàng Phương pháp giải
* Tìm tọa độ vectơ: MN MP ; * Vectơ pháp tuyến: n=MN MP
(11)* Viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT n
2.1 Viết phương trình mặt phẳng
a) qua điểm A(-2; 0; 1), B(0; 10; 3), C(2; 0; -1) b) qua điểm M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1)
2.2 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có B(-1; 0; 3), D(1; 2; 1), A’(2; -1; 1), C’(-2; 5; -3)
a) Viết phương trình mặt phẳng (A’BD) (CB’D’), chứng minh mặt phẳng song song b) Viết phương trình mặt phẳng (AA’C’C) (BB’D’D)
2.3 Cho điểm A(-1; 2; 0); B(-3; 0; 2), C(1; 2; 3), D(0; 3; -2) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
và suy điểm A, B, C, D tạo thành tứ diện
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M vng góc với đường thẳng Phương pháp giải
1 Tìm VTCP u
2 Vì nên có VTPT n u
3 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT
3.1 Viết phương trình mặt phẳng qua M(3; -2; 1) vng góc với đường thẳng
3
x t
y t
z t
3.2 Viết phương trình mặt phẳng qua N(0; 2; 3) vng góc với đường thẳng
2
3 1
x y z
3.3 Cho đường thẳng d:
1 2
x t
y t
z t
mặt phẳng (P): 2x + y + z = 0
a) Tìm tọa độ giao điểm A d
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A vng góc với d
3.4 Viết phương trình mặt phẳng qua P(-1; 2; 1) vng góc với giao tuyến mặt
phẳng (P): 3x + 2y – 2z + = (Q): 2x – y + 3z + =
3.5 Cho mặt phẳng (P): 3x + 5y – z – = đường thẳng d:
12
x t
y t
z t
a) Tìm giao điểm M (P) d
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa M vng góc với đường thẳng d
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng
Phương pháp giải
1 Tìm VTPT n
2 Tìm VTCP u
3 VTPT mặt phẳng là: n n u
4 Lấy điểm M
(12)4.1 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
1 1
:
1
x y z
d
và vuông góc với mặt phẳng (P): x – y + 3z + =
4.2 Viết phương trình mp qua A(1; 2; 10) , B(2; 1; 3) vng góc với (P): x – 3y + 2z - = 0 4.3 Viết phương trình mp qua C(2; -1; 4) , D(3; 2; -1 ) vuông góc với (Q): x + y + 2z + = 0 4.4 Viết phương trình mp qua giao tuyến mp (P): 2x – y + 3z + = 0, (Q): x + y – z + = và
vng góc với mặt phẳng ( R): 3x – y + =
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng song song với ’ (,’ chéo nhau)
Phương pháp giải
1 Tìm VTCP ’ u
u'
2 VTPT mặt phẳng là: n u u'
3 Lấy điểm M
4 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT
5.1 Cho hai đường thẳng
1
1
: ;
2 1
x t
x y z
d d y t
z t
a Chứng minh d1 d2 chéo
b Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 song song d2; (Q) chứa d2 song song d1
5.2 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d1:
3 2 x t
y t
z t
song song đường thẳng d2:
1
2
x y z
5.3 Cho phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d:
2
2
x y z
song song với d’:
1 2
x t
y t
z t
5.4 Cho đường thẳng chéo nhau:
2 2 '
1 ; ' : '
1 '
x t x t
d y t d y t
z t z t
Viết phương trình mặt phẳng (P),
(Q) song song với chứa d, d’
5.5 Cho điểm A(-1; 2; 0); B(-3; 0; 2), C(1; 2; 3), D(0; 3; -2) Viết phương trình mặt phẳng chứa AD
và song song với BC
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng điểm M
Phương pháp giải
1 Tìm VTCP u
, lấy điể m N trên Tính tọa độ MN
2 VTPT mặt phẳng là: n u MN
3 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT 6.1 Viết phương trình mặt phẳng qua A(1; 2; 1) chứa đường thẳng d:
1
3
3
x y z
6.2 Viết phương trình mặt phẳng qua B(2; 3; 1) chứa đường thẳng d:
5
3 1
x y z
(13)6.3 Viết phương trình mặt phẳng qua điểm C(2; 1; -1) giao tuyến mp (P): x – y + z – = 0,
(Q): 3x – y + z – =
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng cắt ’ Phương pháp giải
1 Tìm VTCP ’ u
u'
2 VTPT mặt phẳng là: n u u'
3 Lấy điểm M
4 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT
7.1 Cho đường thẳng
1
1
: ; :
1
3 x t
x y z
d y t d
z t
a) Chứng minh d1, d2 cắt
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 d2
7.2 Cho đường thẳng
1 6
: ; :
1
x y z x y z
d d
a) Chứng minh d1, d2 cắt
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
7.3 Cho đường thẳng d1:
2
1 '
1 ; : '
3 '
x t x t
y t d y t
z t z t
a) Chứng minh d1, d2 thuộc mặt phẳng
b) Viết phương trình mặt phẳng
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng chứa song song ’ Phương pháp giải
1 Tìm VTCP ’ u
u'
, lấy M ,N ' 2 VTPT mặt phẳng là: n u MN
3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT
8.1 Cho đường thẳng
5 '
: , ' : '
5 '
x t x t
d y t d y t
z t z t
Chứng tỏ d // d’ viết phương trình mặt phẳng
chứa đường thẳng
8.2 Cho hai đường thẳng
1
: ; :
3
x y z x y z
d d
a) Chứng minh d1, d2 song song
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1, d2
c) Mặt phẳng (Oxz) cắt hai đường thẳng d1, d2 A, B Tính diện tích tam giác OAB
8.3 Cho đường thẳng
1
1
: ; :
1
3 x t
x y z
d y t d
z t
a) Chứng minh d1, d2 song song
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1, d2
Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) Phương pháp giải
(14)2 Nếu mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) M (S) mặt phẳng qua điểm M có VTPT MI
3.Khi tốn khơng cho tiếp điểm ta phải sử dụng kiện tốn tìm đượcVTPT mặt phẳng viết phương trình mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = ( D chưa biết)
Sử dụng điều kiện tiếp xúc: d I , R để tìm D.
9.1 Viết phương trình mp tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + = M(4; 3; 0) 9.2 Viết phương trình mp tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 +2x – y - 6z + = M(-1; 0; 0) 9.3 Cho mặt cầu (S) có đường kính AB biết A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7)
a) Tìm tọa độ tâm I tính bán kính mặt cầu (S) b) Viết phương trình mặt cầu (S)
c) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S) A
9.4 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – = song
song mặt phẳng (P): 4x + 3y – 12z + =
9.5 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x – y - 6z + = song
song mặt phẳng (P): 2x + 2y +z – =
9.6 Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 2y + 4z - = đường thẳng
1 2
2
1
: ; :
1 1
x t
x y z
y t
z t
a) Chứng minh 1 ; 2chéo nhau
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S), biết (P) song song với đường
thẳng 1 ; 2
9.7 Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 10x + 2y +26z - 113= và
song song với đường thẳng
1 2
7
5 13
: ; :
2
8
x t
x y z
y t
z
9.8 Viết phương trình mặt phẳng (P) vng góc đường thẳng
2 5
:
20
x y z
d
tiếp xúc với mặt
cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x – 6y + 4z – 15= 0
9.9 Cho điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
a) Viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm A, B, C, D
b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) song song mặt phẳng (ABD)
CHUYÊN ĐỀ 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHẲNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN :
1. Đường thẳng d qua điểm M0(x0; y0; z0), nhận ua b c; ;
làm VTCP có phương trình
tham số là:
0 0
; x x at y y bt t z z ct
Khi a, b, c khác ta có phương trình tắc d là:
0 0
x x y y z z
a b c
2 Nếu đường thẳng d giao tuyến hai mp (P) (P’) có phương trình : Ax + By +Cz + D = A’x + B’y +C’z + D’ =
Thì đường thẳng d có VTCP:
' ; ;
' ' ' ' ' '
P P
B C C A A B u n n
B C C A A B
(15)Muốn tìm điểm thuộc d ta cho x = x0 (thường cho x = 0), giải hệ phương trình tìm y, z
B CÁC DẠNG TỐN:
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M0(x0; y0; z0) có VTCP
Phương pháp giải:
1 Tìm VTCP ua b c; ;
2 Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số tắc Chú ý: Cách tìm VTCP
- Nếu đường thẳng d qua A, B VTCP uAB
- Nếu đường thẳng d P d có VTCP u n P
( nP
VTPT (P)) - Nếu d // thì d có VTCP
- Nếu d a d; bthì d có VTCP u u a ub
- Nếu d ; //( )d P d có VTCP u u nP
1 Viết phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng d trường hợp
sau:
a) d qua điểm A(1; 2; 3) B(3; 5; 7)
b) d qua A(1; 0; -1) vng góc với mặt phẳng (P): 2x – y + z + =
c) d qua M( -2; 6; 3) song song với đường thẳng
1 2
x t
y t
z t
2 Viết phương trình đường thẳng d trường hợp sau:
a) d qua A(1; 2; 3) vng góc với đường thẳng
23 10 1
: ; ' :
8 1
x y z x y z
b) d qua A(1; -2; 3) vng góc đường thẳng
1
:
2
x t
y t
z t
song song với mặt phẳng
(P): 2x + y + 3z – =
3 Viết phương trình đường thẳng d trường hợp sau:
a) d qua A(0; 1; 1) vng góc với đường thẳng
1
1
1
: ; :
8
3 x
x y
d z d y t
z t
b) d qua A(1; 1; -2) , d vuông góc với đường thẳng
1
:
2
x y z
và song song với mặt phẳng (P): x – y – z – =
c) d qua điểm M(1; 4; -2) song song với mặt phẳng có ph trình (P): 6x + 2y + 2z + = 0, (Q): 3x – 5y – 2z – =
d) d qua trọng tâm tam giác ABC vng góc với mặt phẳng chứa tam giác, biết A(1; 3; 2), B(1; 2; 1), C(-1; 1; 3)
4 Cho điểm A(2; 3; 5) mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 17 = 0
(16)d d'
B A Dạng 2.1: Viết phương trình đường thẳng đi
qua điểm A, cắt vng góc với đường thẳng d Phương pháp giải:
1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với d
2 Tìm giao điểm B d mặt phẳng (P) Đường thẳng cần tìm đường thẳng qua A, B
5 Viết phương trình đường thẳng , biết:
a) qua điểm A(3; 2; 1), cắt vuông góc với đường thẳng
3 :
2
x y z
d
b) qua điểm A(0; 1; -1), cắt vng góc với đường thẳng
3
:
4
x y z
d
c) qua điểm M(2; -1; 0), cắt vng góc với đường thẳng
:
1 x t
d y t
z t
Dạng 2.2: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, vng góc với đường thẳng d, cắt đường thẳng d’
Phương pháp giải:
1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với d
2 Tìm giao điểm B d’ mặt phẳng (P) Đường thẳng cần tìm đường thẳng qua A, B
6 Viết phương trình đường thẳng qua M(0; 1; 1), vng góc với đường thẳng
1 :
1
x t
d y t z và
cắt đường thẳng
1
' :
2
x y z
d
7 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(0; 1; 1), vng góc với đường thẳng
1
:
3 1
x y z
d
cắt đường thẳng
1
' :
3 x
d y t
z t
8 Viết phương trình đường thẳng qua A(-4; -5; 3), vng góc với đường thẳng
2
:
6 x t
d y t
z t
cắt đường thẳng
2
1 '
: '
2 '
x t
d y t
z t
Dạng 3.1: Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt đường thẳng a, b
Phương pháp giải:
Lý luận: Gọi (P) mặt phẳng chứa a, M (Q) mặt phẳng chứa b, M
Đường thẳng d cần tìm giao tuyến (P) (Q)
1 Tìm VTCP a, b u ua; b
Lấy A a B b ; , tính AM BM;
2 Tính VTPT (P) (Q):nP AM u n a; QBM u b
(17)3 Viết phương trình đường thẳng d có VTCP ud nP nQ
qua M
9 Viết phương trình đường thẳng qua M(1; -1; 1) cắt đt
1 :
3
x t
a y t
z t
và
2
:
1
x y z
b
10 Viết phương trình đường thẳng qua M(2; 3; 1) cắt đường thẳng
1
:
4
x t
a y t
z
và
1 '
: '
2 '
x t
b y t
z t
11 Viết phương trình đường thẳng qua M(-4; 5; 3) cắt đường thẳng
1
:
3
x y z
d
và
2 1
' :
2
x y z
d
Dạng 3.2: Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( ), cắt đường thẳng a, b
Phương pháp giải:
Lý luận: Gọi (P) mặt phẳng chứa a, vng góc với(),
(Q) mặt phẳng chứa b, vuông góc với( )
Đường thẳng d cần tìm giao tuyến (P) (Q)
1 Tìm VTCP a, b u ua; b
Lấy A a B b ; Tìm
VTPT : n
2 Mặt phẳng (P) có VTPT nP ua n
và qua A Viết phương trình mặt phẳng (P)
3 Mặt phẳng (Q) có VTPT nQ ub n
và qua B Viết phương trình mặt phẳng (Q)
4 Lấy M thuộc giao tuyến (P) (Q)
5 Viết phương trình đường thẳng d có VTCP n
qua M
12 Viết phương trình đường thẳng vng góc với mặt phẳng (Oxz) cắt đường thẳng :
:
3 x t
a y t
z t
2
:
2
x y z
b
13 Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P): x + y + z +2 = cắt hai
đường thẳng
2 '
: ;
2 '
x t x t
a y t b y
z t z t
P d
Q
(18)14 Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P): x + y + z – = cắt hai
đường thẳng
2
1
: ;
2 1
x t
x y z
a b y
z t
15 Viết phương trình đường thẳng d song song với
3
:
5 x t
y t
z t
cắt hai đường thẳng
1
1 2
:
1
x y z
d
,
1
:
5
x y z
d
16 Viết phương trình đường thẳng d song song với
1
:
3
x y z
cắt hai đường
thẳng
2
:
3
x y z
d
,
7
:
1
x y z
d
17.A 2007 Cho đường thẳng
1
1
1
: ; :
2 1
3
x t
x y z
d d y t
z
a) Chứng minh d1, d2 chéo
b) Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z = cắt
đường thẳng d1, d2
Dạng 4:
Viết phương trình đường thẳng qua A(P), nằm (P) vng góc với đường thẳng d Phương pháp giải:
1 Tìm VTCP d :ud
VTPT (P): nP
2 Đường thẳng có VTCP u ud nP
3 Viết phương trình đường thẳng qua A có
VTCP vừa tìm
18 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(1;1;0), nằm mặt phẳng (P): 3x – 2y –
1 = vng góc với đường thẳng
11 16
:
1
x y z
d
19 Cho mặt phẳng (P): 2x + 5y + z + 17 = đường thẳng
1 11
: 27
5 15
x t
y t
z t
a) Tìm giao điểm A (P)
b) Viết phương trình đường thẳng d qua A, vng góc với nằm mặt phẳng (P)
P
d
(19)a
(P)
M
20 Cho mặt phẳng (P): x + y + z -1= đường thẳng
6 12
:
3
x y z
d
a) Tìm giao điểm A (P) d
b) Viết phương trình đường thẳng d qua A, vng góc với d nằm mặt phẳng (P)
21 Cho mặt phẳng (P):2x + y -2z + = đường thẳng
1 3
:
1
x y z
d
a) Tìm giao điểm A (P) d
b) Viết phương trình đường thẳng d qua A, vng góc với d nằm mặt phẳng (P)
Dạng 5: Viết phương trình hình chiếu vng góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (P)
Phương pháp giải:
1 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d vng góc (P) ( có cách giải)
2 Gọi d’ hình chiếu d lên (P) d’ giao tuyến (P) (Q) ( có cách giải)
22 Viết phương trình hình chiếu vng góc
của đường thẳng d:
1
2
x y z
lên mặt phẳng (P): x + y + z + =
23 Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d:
1
2
x y z
lên mặt phẳng (P): x + y + z -1 =
24 Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d:
2
1
x y z
a) lên mặt phẳng Oxy b) lên mặt phẳng (Oxz) c) lên mặt phẳng (Oyz)
25 Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d:
2
3
x y z
lên mặt phẳng (P): x + 2y +3 z + =
26 Cho mặt phẳng (P): 2x + 5y + z + 17 = đường thẳng
1 11
: 27
5 15
x t
y t
z t
.
Viết phương trình hình chiếu lên (P)
CHUYÊN ĐỀ 3: KHOẢNG CÁCH – HÌNH CHIẾU - ĐỐI XỨNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1.Khoảng cách từ điểm M(x0; y0; z0) mp (P) :Ax + By +Cz + D =
0 0
2 2
( ,( )) Ax By Cz D
d M P
A B C
2. Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song:
P
d
Q
(20)(P) (Q)
M
N
Cho đường thẳng a mặt phẳng (P) song song, ta có:
, ,( ) ,
d a P d M P M a
3.Khoảng cách hai mặt phẳng song song
Cho hai mặt phẳng (P) (Q) song song, ta có:
, , , ( )
, , ( )
d P Q d M P M Q
d N Q N P
B. CÁC DẠNG TỐN:
Dạng 1: HÌNH CHIẾU - ĐỐI XỨNG
Dạng 1.1: Tìm điểm H hình chiếu A lên mặt phẳng (P), tìm A’ đối xứng với A qua (P) Phương pháp:
Bước 1: Gọi H hình chiếu A lên mặt phẳng((P) Suy AH P
Do đường thẳng AH qua A có VTCP VTPT (P) => Viết phương trình AH
Bước 2: Tìm tọa độ H P AH
Bước 3: A’ đối xứng với A qua (P) H trung điểm AA’ nên ' ' '
2 2
A H A
A H A
A H A
x x x
y y y
z z z
1.Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M(1; -1; 2) mặt phẳng (P): 2x – y + 2z +
11=
2.Cho điểm M(1; 4; 2) mặt phẳng (P): x + y + z – =
a) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M mặt phẳng (P) b) Tìm tọa độ M’ đối xứng với M qua (P)
c) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)
3.Cho điểm M(2; 1; 0) mặt phẳng (P): x + 3y – z – 27 = Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M
qua (P)
4.Cho mặt phẳng (P): x + 3y – z + = điểm A(2; -3; 1) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua
(P)
5.Cho mặt phẳng (P): 4x + y +2z + = điểm M(4; 2; 1) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M
qua (P)
6.Cho điểm A(1; 2; 1), B(2; 1; 3) mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – =
a) Tìm tọa độ điểm K đối xứng với A qua mặt phẳng (P)
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B vng góc với mặt phẳng (P)
7.Cho điểm A(1; 2; -1) đường thẳng
1
:
1 3
x y z
d
, mặt phẳng (P): 2x + y – z + = a) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P)
b) Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua (P)
Dạng 1.2: Tìm điểm H hình chiếu A lên đường thẳng d, tìm A’ đối xứng với A qua d Phương pháp
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc
đường thẳng d
Bước 2: Tìm tọa độ H P d , H hình chiếu A lên d
Bước 3: A’ đối xứng với A qua d H trung điểm AA’ nên '
' '
2 2
A H A
A H A
A H A
x x x
y y y
z z z
P
A
A' H
P
d
A
A'
(21)8.Cho điểm A(1; 0; 0) đường thẳng
2
:
x t
y t
z t
a) Tìm tọa độ H hình chiếu vng góc A đường thẳng
b) Tìm tọa độ A’ đối xứng với A qua
9. Cho điểm M(2; -1; 1) đường thẳng
1
:
2
x y z
a) Tìm tọa độ H hình chiếu vng góc M đường thẳng
b) Tìm tọa độ M’ đối xứng với M qua
10. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A(1; -2; -5) qua đường thẳng
1
:
2
x t
y t
z t
11. Cho điểm M(1; 2; -1) đường thẳng
1 2
:
3
x y z
Tìm M’ đối xứng với M qua
12. Cho mặt phẳng (P): 4x + y + 2z + = (Q): 2x - 2y + z + =
a) Viết phương trình tham số đường thẳng d giao tuyến (P) (Q) b) Tìm N’ đối xứng với điểm N(0; 2; 4) qua đường thẳng d
13. Cho mặt phẳng (P): 2x – y – 2z + = đường thẳng
1
:
3
x t
d y t
z t
a) Tìm tọa độ M thuộc đường thẳng d cho khoảng cách từ M đến (P) b) Tìm tọa độ K đối xứng với điểm I(2; -1; 3) qua đường thẳng d
Dạng 2: KHOẢNG CÁCH
Dạng 2.1: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, từ đường thẳng song song mặt phẳng, hai mặt phẳng song song
Phương pháp: Áp dụng công thức
14. Tính khoảng cách từ đường thẳng
3
:
1
x t
y t
z t
mặt phẳng : 2x- 2y + z + = 0
15. Cho mp : 3x – 2y – z + = đường thẳng
1 7 3
:
2 1 4
x y z
c) Chứng tỏ / /
d) Tính khoảng cách giữa Đáp số:
9 14
16. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 4; 3) mp (P): 2x – 3y + 6z + 19 =
Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (Q) qua điểm A song song với mặt phẳng (P)
Tìm khoảng cách mặt phẳng (P) (Q).
17. Cho mp :2x – 2y + z + = đường thẳng
3 1 1
: 2
x y z
a) Chứng tỏ / /
b) Tính khoảng cách giữa
(22)19. (Khối A – năm 2005)Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:
1 3 3
1 2 1
x y z
và
mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + = Tìm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P)
Đáp số: I(3; -7; 1), I(-3; 5; 7)
20. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4;0) Tính chiều cao
AH tứ diện ABCD
21. Cho điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).Tính độ dài đường cao hình chóp
A.BCD
Dạng 2.2: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
Phương pháp: tính khoảng cách từ điểm A(xA; yA; zA) đến đường thẳng
0
: 0
0 x x at d y y bt z z ct
Bước 1:Viết phương trình mp(P) chứa A vng góc với d Bước 2: Tìm giao điểm H d (P)
Bước 3: Tính d(A,d) = AH
Chú ý: có đường thẳng d, d’ song song khoảng cách
của đường thẳng khoảng cách từ điểm tùy ý d đến d’
22. Tính khoảng cách từ A (1; 0; 1) đến đường thẳng 2
1
: x y z
23. Cho điểm M(2;0;1) đường thẳng
1
: 2
2
x t
d y t
z t
.Tính khoảng cách từ M đến d
24. Tính khoảng cách từ M (1; 2; 1) đến đường thẳng d
2 1 1
:
1 2
x y z
Đáp số:
5 5 3
25. (Khối B – năm 2003)Trong không gian Oxyz, cho A(2; 0; 0), B90; 0; 8) điểm C cho
(0;6;0)
AC
Tính khoảng cách từ trung điểm I BC đến đường thẳng OA
26. Cho điểm M(2; 1; 4) đường thẳng
2 3
: 2 3
3
x t
y t
z t
mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + =
a) Tìm điểm H cho MH có độ dài nhỏ Tính MH b) Tìm điểm I (P) cho MI có độ dài nhỏ Tính độ dài đó.
27. Cho đường thẳng
1 1
: ; ' :
2 4
x y z x y z
a) Xét vị trí tương đối đường thẳng ; '
b) Tính khoảng cách đường thẳng ; '
Dạng 2.3: Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:
Khoảng cách hai đường thẳng a b chéo nhau khoảng cách đường thẳng a với mp(P) qua b song song với a ( học ở chương trình 11)
Phương pháp:
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua b song song với a
d
A H
b
A
H
(23)Bước 2: lấy M a, ta tính d a b( , )d a P ,( ) d M P ,( )
28. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 0; -3), B(2; 0: -4), C(2; 1; 0) D(4; ;
-4) Tính khoảng cách đường thẳng AB CD
29. Tính khoảng cách hai đường thẳng
1 2
: 1
1
x t
y t
z
2
': 2
3
x t
y t
z t
30. Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:
2 2 '
: ; ' : '
1 '
x t x t
d y t d y t
z t z t
31. (Khối D – năm 2004) Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’
Biết A(a; 0; 0), B( -a; 0; 0), C(0; 1; 0), B’(-a; 0; b), a > 0, b > Tính khoảng cách B’C AC’ theo a, b Đáp số:
' , '
2 2
ab d B C AC
a b
32. (Khối A – năm 2006) Trong khơng gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A(0;
0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1) Gọi M, N trung điểm AB, CD Tính khoảng cách A’C MN Đáp số:
1 2 2
CHUYÊN ĐỀ 4: MẶT CẦU A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:
2 2 2
x a y b z c R
2 Phương trình x2 +y2 +z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = phương trình mặt cầu a2 + b2 + c2 – d >0 Lúc đó, mặt cầu có tâm I(a; b; c) bán kính R= a2b2c2 d
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu Phương pháp giải:
Cách 1: Xác định tọa độ tâm I(a; b; c) tính bán kính R Thế vào phương trình :
2 2 2
x a y b z c R Chú ý:
d) Mặt cầu có tâm I qua A R = IA =
2 2
A I A I A I
x x y y z z
e) Mặt cầu có đường kính AB R =
2AB tâm I trung điểm AB f) Mặt cầu tâm I tiếp xúc mặt phẳng (P) R = d(I, (P))
Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu có dạng:x2 +y2 +z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = (*)
Từ điều kiện tốn, ta lập hệ phương trình gồm ẩn a, b, c, d Giải hệ phương trình ta tìm a, b, c, d vào (*)
R
r
I
H
Dạng 2: Xác định tâm bán kính đường tròn (C) giao tuyến mặt cầu (S) mặt phẳng (P)
Phương pháp giải:
- Tìm tâm I bán kính R mặt cầu (S)
- Gọi H tâm đường tròn (C), suy H hình chiếu I lên (P)
( có cách giải)
- Bán kính đường tròn (C) r R2 IH2
(24)1. Viết phương trình mặt cầu qua điểm A(1; 2; -4), B(1; -3; 1), C(2; 2; 3) có tâm nằm
mặt phẳng (Oxy) Đs: x2 +y2 +z2 + 4x – 2y – 21 = 0
2. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d
2 1
3 2
x y z
tiếp xúc với hai
mặt phẳng (P): x + 2y -2z – = 0, (Q): x + 2y – 2z + =
Đs:
2 2
1 3
x y z
3. (Khối D- 04)Viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm A(2; 0; 1), B(1; 0;0), C(1; 1; 1) có
tâm thuộc mặt phẳng (P): x + y + z – = Đs:
2 2
1 1
x y z
4. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, A(3; 2; 6), B(3; -1; 0), C(0; -7; 3), D(-2; 1;
-1) Đs: x2 +y2 +z2 + 2x +3y – 8z – 28 = 0
5. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2; 3; -1) cắt đường thẳng d:
2 11
2 14 x t
y t
z t
hai điểm A,
B thỏa mãn AB = 40 Đs:
2 2
2 625
x y z
6. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1; 4; 7) cắt đường thẳng d:
7
2
x y z
2
điểm A, B cho AB = 16 Đs:
2 2
1 289
x y z
7. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d:
1 2 x t
y t
z t
cách mặt phẳng (P): 2x
– y – 2z – = khoảng Mặt cầu (S) cắt (P) theo giao tuyến đường trịn có bán kính
Đs:
2 2
1 13
13
6
x y z
;
2 2
11 14
13
6
x y z
8. Cho điểm I(1; 2; -2) mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + = Viết phương trình mặt cầu (S), tâm I
sao cho giao tuyến (S) mặt phẳng (P) đường trịn có chu vi 8
Đs:
2 2
1 2 25
x y z
9. Cho mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 – 4x + 6y + 6z + 17 = mặt phẳng (P): x – 2y + 2z + = 0
a) Chứng minh (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến đường tròn (C) b) Xác định tâm bán kính đường trịn (C)
10. Cho mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 - 2x – 4z – = điểm A(3; 1; 0), B(2;2;4), C(-1; 2; 1) nằm mặt
cầu
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A, B, C
b) Tìm tâm tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
11. Cho tứ diện ABCD, A(3; 6; -2), B(6; 0; 1), C(-1; 2; 0), D(0; 4; 1)
a) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tâm tính bán kính mặt cầu (S)
b) Xác định tâm tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
12. ( Khối D- 2008) Cho điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C(0; 3; 3), D(3; 3; 3)
a) Viết phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C, D b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
13. ( Khối B – 2007)
Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – = mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 14 = 0
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường trịn có bán kính
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (S) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn
(25)Tìm điểm A , B thuộc (S) cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) có giá trị lớn khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P) có giá trị nhỏ
15. Cho mặt cầu (S): x2 + y2+ z2 – 6x + 4y – 2z+ = mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 11 = 0
a) Chứng minh mặt phẳng (P) khong cắt mặt cầu (S)
b) Tìm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ đến mặt phẳng (P) nhỏ
CHUYÊN ĐỀ 5: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
I. Quy trình giải tốn hình học phương pháp tọa độ: Bước 1:
- Chọn hệ trục tọa độ vng góc khơng gian Oxyz (ưu tiên cho hai trục Ox, Oy)
- Chuyển giả thiết, kết luận tốn từ ngơn ngữ hình học sang ngơn ngữ tọa độ
Bước 2: Thực bước biến đổi tọa độ theo yêu cầu toán Bước 3: Chuyển kết luận từ ngơn ngữ tọa độ sang ngơn ngữ hình học. II. Các dạng tốn:
1 Chứng minh tính vng góc
- Đường thẳng vng góc với đường thẳng: d d' ud ud' u ud d' 0
- Đường thẳng vng góc mặt phẳng : d ud n 0
- Mặt phẳng vng góc mặt phẳng : n n n n 0
2 Chứng minh tính song song
3 Tính khoảng cách
4 Tính góc, diện tích, thể tích Bài tập:
1 Giải toán sau phương pháp tọa độ:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a) Chứng minh (AB’D’) // (BC’D)
b) Tính khoảng cách hai mặt phẳng
2 Giải toán sau phương pháp tọa độ
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BD)
3 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi G giao điểm AC’ với mặt
phẳng (CB’D’) Chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (CB’D’) tính độ dài GA theo a
4 Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = h, đáy tam giác ABC vuông C, AC = b, BC = a.
Gọi M trung điểm AC N điểm cho
1 SN SB
a) Tính độ dài MN
b) Tìm liên hệ a, b, h để MN vng góc với SB
5 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi M, N trung điểm BB’,
CD, A’D’
a) Chứng minh (AB’D’) // (BC’D) Tính khoảng cách hai đường thẳng b) Tính khoảng cách góc hai đường thẳng MPvà C’N
6 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA = OB = OC = a Ký
hiệu K, M, N trung điểm cạnh AB, BC, AC Gọi E điểm đối xứng O qua K I giao điểm CE (OMN)
(26)b) Tính diện tích tứ giác OMIN theo a
7 ( B – 2002)Cho hình lập phươngABCD.A’B’C’D’ có cạnh a.
a) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A’B B’ D
b) Gọi M, N, P trung điểm BB’, CD, A’D’ Tính góc hai đường thẳng MP C’N
8 (D- 2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc mp(ABC); AC = AD = 4cm, AB = 3cm,
BC= 5cm Tính khoảng cách từ A đếm mp(BCD)
HD: chọn hệ trục cho A(0; 0; 0), B(3; 0; 0) C( 0; 4; 0), D(0; 0;4)
9 ( B- 2003)Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD
= 600 Gọi M trung điểm cạnh AA’ N trung điểm CC’ Chứng minh bốn điểm B’, M,
D, N thuộc mp Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN hình vuông
10 (D – 2003)Cho hai mp (P) (Q) vng góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng Trên
lấy hai điểm A, B với AB = a Trong mp (P)lấy điểm C, mp(Q) lấy điểm D cho
AC, BD vng góc với AC= BD= AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) theo a
11 ( B- 2004)Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên và
mặt đáy (00 < < 900) Tính tag góc hai mp (SAB) (ABCD) theo .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a vaø .
12 (A – 2006) Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O’, bán kính đáy chiều cao