de thi hoc sinh goi truong phong bac 2010 2011cuc vip

CMR khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG không đổi.[r]

ĐỀ THI HSG LỚP Năm học 2010 – 2011

Bài 1: Cho biểu thức M = 

  

 

   



1

6

3

x x x

x x

: 

  

 

   

2 10

2

x x x

a) Rút gọn M

b)Tính giá trị M x =

Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2

a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử

b) Chứng minh : Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác A < Bài 3:

a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : A = x2 - 2xy + 2y2 - 4y + 5

b)Tìm giá trị lớn biểu thức sau : B =

1 ) (

2

  



x x x

x

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD Với AB = a ; AD = b Từ đỉnh A , kẻ đường thẳng a cắt đường chéo BD E, cắt cạnh BC F cắt tia DC G

a) Chứng minh: AE2 =EF.EG

b) Chứng minh đường thẳng a quay quanh A thay đổi tích BF.DG khơng đổi

Bài Chứng minh xx(12 yzyz) yy(12 xzxz)

   



Với x y ; xyz 0 ; yz 1 ; xz 1

Thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)

Hoàng Minh NGụ Trường trung học sở Phong Bắc

Bài 1: a) Rút gọn M M=            6 x x x x x :           10 2 x x

x = 

           ) ( ) )( ( x x x x x x :  x

M = 62

) )( (     x x

x = 2 x

1

b)Tính giá trị M x = x =

2

 x =

x = -12 Với x =

2

ta có : M =

2  = =

Với x = - 21 ta có : M =

2  =

=52 Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2

a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử

Ta có : A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2 + c2 -

a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a)

b) Chứng minh : Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác A < Ta có: (b+c -a) >0 ( BĐT tam giác)

(b+c +a) >0 ( BĐT tam giác) (b-c -a) <0 ( BĐT tam giác) (b+c -a) >0 ( BĐT tam giác) Vậy A<

Bài 3: a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : A = x2 - 2xy + 2y2 - 4y + 5

Ta có : A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y +4 + 1

= (x-y)2 + (y - 2)2 + 1

Do (x-y)2 0 ; (y - 2)2  0

Nên A= (x-y)2 + (y - 2)2 + 11

Dấu ''='' xãy  x = y y =

Vậy GTNN A 1 x = y =2

b)Tìm giá trị lớn biểu thức sau : B = ) ( 3     x x x x

= 2(3(1)1) 1

 x x

x x

=( 23(1)(1)1)

 x x

x

= 23 1



x

Do x2 +1>0 nên B =

1

2



x 3 Dấu ''='' xãy  x =

Vậy GTLN B 3 x =

Bài 4:

a) Chứng minh: AE2 =EF.EG

Do AB//CD nên ta có: E F

A B

EGEA EDEB = DG

AB

(1) Do BF//AD nên ta có: EFEA EDEB =

FB AD

(2) Từ (1) (2) 

EA EF EG

EA

 Hay AE2 = EF EG

b) CMR đường thẳng a quay quanh A thay đổi tích BF.DG không đổi Từ (1) (2) 

AD FB DG

AB

 Hay BF.DG = AB.AD = ab (không đổi)

Bài 5: Chứng minh xx(12 yzyz) yy(12 xzxz)

   



Với x y ; xyz 0 ; yz 1 ; xz 1

Thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) Từ GT  (x2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y2 - xz)

 x2y- x3yz-y2z+xy2z2 = xy2 -x2z - xy3z +x2yz2

 x2y- x3yz - y2z+ xy2z2 - xy2 +x2z + xy3z - x2yz2 = 0

 xy(x-y) +xyz(yz +y2- xz - x2)+z(x2 - y2) = 0

 xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) =  (x -y)xy xyz(xyz)xzyz =

Do x - y 0 nên xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm)