Tính diện tích thiết diện tạo thành bởi MNP và hình lập phơng ABCD.A/B/C/D Câu 6.. Đề chính thức... Đề chính thức.
Trang 1THPT Quỳnh l u 4 Kì thi chọn học sinh giỏi trờng lớp 11
Năm học 2008 - 2009
Môn thi: toáN 11- THPT
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 (5,0 điểm)
a/ Giải phơng trình: 1 1 2
cos x + sin 2 x = sin 4 x
b/ Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm thuộc đoạn ;
4 4
π π
sin x + cos x + cos 4x = m.
Câu 2 (3,0 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
cos (3x 9x2 160x 800) 1
8
π
Câu 3 (3,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
A=x2+y2, biết (x2-y2+1)2+ 4x2y2-x2-y2=0
Câu 4 (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho đờng thẳng d có phơng trình: x -y +1 = 0
và đờng tròn (C) có phơng trình: x2 +y2+ 2x- 4y= 0 Tìm toạ độ điểm M thuộc d mà qua đó kẻ đợc hai đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn (C) tại A và B sao cho∠AMB=600
Câu 5 (3,0 điểm)
Cho hình lập phơng ABCD.A/B/C/D/ có cạnh a Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm AB, AC,
CC/. Tính diện tích thiết diện tạo thành bởi (MNP) và hình lập phơng ABCD.A/B/C/D
Câu 6 (3,0 điểm)
Tính góc của ∆ABC biết: ∠B = 600 và = 2 cos − 1
+
a b
c b
(chú ý: ∠: kí hiệu “góc // )
-Hết -Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh:
Đề chính thức
Trang 2THPT Quỳnh l u 4 Kì thi chọn học viên giỏi trờng lớp 11
Năm học 2008 - 2009
Môn thi: toáN 11- BTVH
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 (6,0 điểm)
Giải các phơng trình:
a/ 1 1 2
cos x + sin 2 x = sin 4 x
b/ cos 2x + 3cos x + = 2 0.
Câu 2 (3,0 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
cos (3x 9x2 160x 800) 1
8
π
Câu 3 (3,0 điểm)
Tìm các giá trị của m để bất phơng trình sau vô nghiệm:
(m-2)x2+2(2m-3)x+5m-6=0
Câu 4 (4,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho đờng thẳng d1 có phơng trình: 2x - y -2 = 0
và đờng thẳng d2 có phơng trình: x + y - 1 = 0 Lập phơng trình đờng thẳng ∆ đi qua
M(1; 3) và cắt hai đờng thẳng d1, d2 lần lợt tại A và B sao cho M là trung điểm của AB
Câu 5 (4,0 điểm)
Cho hình lập phơng ABCD.A/B/C/D/ có cạnh a Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm AB, AC,
CC/. Tính diện tích thiết diện tạo thành bởi (MNP) và hình lập phơng ABCD.A/B/C/D
-Hết -Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh:
Đề chính thức
Trang 3Trờng THPT QL 4 Kỳ thi chọn học sinh giỏi trờng lớp 11
Năm học 2008 - 2009
hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 03 trang)
Môn: toán 11 THPT
Điều kiện cosx≠0,sin 2x≠0,sin 4x≠0 0,5
cosx+sin 2x=sin 4x⇔ cosx+sin 2x =sin 2 cos 2x x 0,5
2
2sin cos 2x x cos 2x 1 2sin cos 2x x 2sin x 0
2 sin 0, ( 2sin cos 2 2sin 0
cos 2 sin 0, (1)
không thõa mãn đk)
x
=
Phơng trình (1)
2
sin 1,
sin
2
không thỏa mãn đk
x
x
= −
0,5
Ta có 2 ; 5 2
x= +π k π x= π +k π
0,5 b
Phơng trình đã cho tơng đơng
2
4 4
cos x
cos x m
⇔ 4cos x cos x24 + 4 =4m−3 (1)
Đặt t = cos4x ta đợc: 2
4t + =t 4m−3, (2) Với ;
4 4
x∈ − π π
thì t∈ −[ 1;1 ]
Phơng trình (1) có nghiệm ;
4 4
x∈ − π π
khi và chỉ khi phơng trình (2) có nghiệm [ 1;1 ]
t∈ − , (3) Xét g(t) = 4t2 +t với t∈ −[ 1;1 ]
2
Đồ thị hàm số g(t) là một Parabol cú toạ độ đỉnh I( 1
8
16
− ) và g(-1)=3, g(1)=5 Bảng biến thiên
3
t 1
1 16
−
Trang 4Dựa vào bảng biến thiên suy ra (3) xảy ra ⇔ 1 4 3 3
16 m
64< ≤m 2 Vậy giá trị m cần tìm là: 47 3
64 < ≤m 2
b
3
a
b
4
a
b
Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
