Giải toán bằng cách lập phương trình dạng làm chung công việc

công việc. Người thứ hai làm một mình xong công việc trong 3 ngày. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ.. Vậy: Vòi 2 c[r]

(1)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH DẠNG LÀM CHUNG CƠNG VIỆC

Các bước làm

Bước 1: Lập phương trình hệ phương trình: a) Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn

b) Biểu diễn đại lượng chưa biết thông qua ẩn địa lượng biết c) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Đối chiếu nghiệm pt, hệ phương trình (nếu có) với điều kiện ẩn số để trả lời

Chú ý: Tuỳ tập cụ thể mà ta lập phương trình bậc ẩn, hệ phương trình hay phương trình bậc hai

Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung toán kiến thức thực tế Những kiến thức cần nhớ:

- Nếu đội làm xong công việc x ngày đội làm

x

công việc

- Xem tồn cơng việc Ví dụ 1:

Hai người thợ làm công việc 16 xong Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm hồn thành 25% cơng việc Hỏi làm riêng người hồn thành cơng việc trong bao lâu?

Giải:

Ta có 25%=

4

Gọi thời gian người thứ hồn thành cơng việc x(x > 0; giờ) Gọi thời gian người thứ hai hồn thành công việc y(y > 0; giờ)

Trong người thứ làm

x

công việc

Trong người thứ hai làm

y

công việc

Hai người làm xong 16 Vậy hai người làm

1 cơng việc

Ta có phương trình: 1 (1) x y

(2)

Người thứ làm giờ, người thứ hai làm 25%=

4

cơng việc Ta có phương trình

3 x y

+ = (2)

Từ (1) (2) ta có hệ phương trình

1 1 3 1

x y x y x y

3 6

x y x y y

  

+ = + = + =

  

 

  

 + =  + =  =

  

  

x

(tho¶ m · n ®i Ịu k i Ưn) y

=   

= 

Vậy làm riêng người thứ hồn thành cơng việc 24 Người thứ hai hồn thành cơng việc 48

Ví dụ 2:

Hai thợ đào mương sau 2giờ 55 phút xong việc Nếu họ làm riêng đội hồn thành cơng việc nhanh đội Hỏi làm riêng đội phải làm xong cơng việc?

Giải :

Gọi thời gian đội làm xong cơng việc x (x > 0; giờ) Gọi thời gian đội làm xong cơng việc x + (giờ)

Mỗi đội làm c « n g v i Öc x

Mỗi đội làm c « n g v i Ưc x +

Vì hai đội sau 55 phút =21 2

= (giờ) xong

Trong hai đội làm

3

công việc

Theo ta có phương trình 1 2

3 x x x x x

+ =  + + = +

+

2

1 x x 0 x x

 − − =  − − =

Ta có

2

1

( ) ( ) 9

2 3 3

V Ëy ph ¬n g tr×n h cã h n g h i Ưm x 5( th o a m · n ); x ( l o ¹ i )

1 2

 = − − − = + =    = =

+ −

= = = = −

Vậy đội thứ hồn thành cơng việc Đội hai hồn thành công việc Chú ý:

(3)

+ Nếu thời gian hai đại lượng không phụ thuộc vào ta nên chọn hai ẩn làm thời gian hai đội đưa dạng hệ phương trình để giải

Ví dụ 3:

Hai người thợ sơn cửa cho ngơi nhà ngày xong việc Nếu người thứ làm ngày nghỉ người thứ hai làm tiếp ngày xong việc Hỏi người làm xong cơng việc?

Giải:

Gọi thời gian để người thứ hồn thành công việc x (x>2; ngày) Gọi thời gian để người thứ hai hồn thành cơng việc y (x>2; ngày)

Trong ngày người thứ làm

x

công việc

Trong ngày người thứ hai làm

y

công việc

Cả hai người làm xong ngày nên ngày hai người làm

2

công việc Từ ta có pt

1 x

+

y

=

2

(1)

Người thứ làm ngày người thứ hai làm ngày xong cơng việc ta có pt:

4 1 x y

+ = (2)

Từ (1) (2) ta có hệ pt

1 1 1

x y x y x

( th o ¶ m · n ®k )

4 y

1

x y x

 

+ = + =

   =

 

 

  

= 

 + =  =

 



Vậy người thứ làm xong cơng việc ngày Người thứ hai làm xong cơng việc ngày

Ví dụ 4: Hai người làm chung công việc 1

5

xong Nếu người làm người thứ hồn thành cơng việc người thứ hai Hỏi làm người phải làm thời gian để xong công việc?

Giải

Gọi thời gian người thứ hồn thành xong cơng việc x (giờ), ĐK

5

x  Thì thời gian người thứ hai làm xong công việc x + (giờ)

Mỗi người thứ làm được1 x

(cv), người thứ hai làm

2

x+

(cv)

Vì hai người làm xong cơng việc

5

giờ nên hai đội làm được1 :1

=

1

(cv)

(4)

1

x x 2

+ =

+

2

( )

x x

x x

+ +

 =

+

 5x2 – 14x – 24 =

’ = 49 + 120 = 169, ,

1  =

=> = 7−1 = −6

5

x (loại) = 7+1 = =

5

x (TMĐK)

Vậy người thứ làm xong công việc giờ, người thứ hai làm xong cơng việc 4+2 =

Ví dụ 5: Cho vòi A, B, C chảy vào bể Vòi A B chảy đầy bể 71 phút Vòi A C chảy đầy bể 63 phút Vòi C B chảy đầy bể 56 phút

a Mỗi vòi làm đầy bể bao lâu? Cả vòi mở lúc đầy bể ?

b Biết vịi C chảy 10lít phút so với vòi A B chảy lúc Tính sức chứa bể sức chảy vòi ?

Giải

a) Vòi A làm đầy bể x phút ( phút làm đầy 1/x bể ) Vòi B làm đầy bể y phút ( phút làm đầy 1/y bể ) Vòi C làm đầy bể z phút ( phút làm đầy 1/z bể )

Ta có hệ phương trình :

1

7

1

6

1

5

x y

x z

z y

  

+ =

  

 



  

+ =

  

 



  

+ =

  

  



+/ Giải hệ phương trình ta : x=168 ; y=126 ; z=504/5

Nếu vịi mở lúc sau phút đầy

5 + +

= bể

vòi làm đầy bể sau : 4 2

= phút

b)Gọi dung tích bể t phút phút vịi C chảy 5/504.t lít , vịi A B chảy ( ) 5

t

+ lít

.Theo đề ta có phương trình : 5 ( )

5 5

t+ =  + t t = = l

 

Sức chảy vòi A : 5 /

l p

(5)

Tương tự sức chảy vòi B : 2 /

l p

=

sức chảy vòi C : 5 2 /

l p

=

Ví dụ 6:

Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước 48 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ vòi thứ hai

4

bể nước Hỏi vịi chảy đầy bể?

GIẢI:

Gọi x (h), y (h) thời gian vòi 1, vòi chảy riêng đầy bể ( x > 3, y > 4)

Trong 1h, vòi chảy được: x

(bể)

Trong 1h, vòi chảy được: y

(bể)

Vì hai vòi nước chảy 48 phút =

5

h đầy bể nên 1h hai vòi chảy

5

bể, ta có pt: x

+ y

=

2

(1)

Vì vịi thứ vòi thứ hai

4

bể nước nên ta có pt: x

+ y

=

4

(2)

Từ (1) (2) ta có hệ pt:

1

2

3

4 x y x y  + =     + =  (I)

Đặt u = x

, v = y

, hệ (I) trở thành:

5 3 4 u v u v  + =    + =  (II)

Giải hệ (II), ta được:

1 u v  =    =   1 1 x y  =    = 



8 x y =   =  (thỏa ĐK)

(6)

Hai vịi nước chảy vào bể cạn (khơng có nước) sau 4

đầy bể Nếu lúc đầu mở

vòi thứ sau mở thêm vòi thứ hai sau

5

bể nước Hỏi từ đầu mở vịi thứ hai sau đầy bể?

GIẢI:

Gọi x (h), y (h) thời gian vòi 1, vòi chảy riêng đầy bể ( x > 9, y >

5

)

Trong 1h, vòi chảy được: x

(bể)

Trong 1h, vòi chảy được: y

(bể)

Vì hai vòi nước chảy 4

=

5

h đầy bể nên 1h hai vòi chảy

2

bể,

do ta có pt: x

+ y

=

2

(1)

Vì lúc đầu mở vịi thứ sau mở thêm vịi thứ hai sau

5

bể nước nên

ta có pt: x

+ 1

5 x y

 

+

 

 

= (2)

Từ (1) (2) ta có hệ pt:

1

2

9 1

1

x y

x x y

 + =       + + =       (I)

Đặt u = x

, v = y

, hệ (I) trở thành:

( ) u v

u u v

 + =    + + =  

5

1 5 u v u v  + =    + =  (II)

Giải hệ (II), ta được:

1 u v  =    =   1 1 x y  =    = 



8 x y =   =  (thỏa ĐK)

Vậy: Vịi chảy riêng đầy bể 8h Ví dụ 8:

Hai vòi nước chảy vào bể cạn chưa có nước sau 18 đầy bể Nếu chảy riêng vịi thứ chảy đầy bể chậm vòi thứ hai 27 Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể?

(7)

Gọi x (h) thời gian vòi thứ chảy riêng đầy bể (x > 27) Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể: x – 27 (h)

Mỗi vòi thứ chảy x

(bể)

Mỗi vòi thứ hai chảy

2

x −

(bể)

Vì hai vịi chảy sau 18 h bể đầy, nên 1h hai vòi chảy

1

bể, nên ta có pt:

1 1

2

x x

+ =

−  x

2 – 63x + 486 =

Giải pt ta được: x1 = 54 (nhận); x2 = (loại)

Vậy: Vòi thứ chảy riêng đầy bể 542h, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể 27h

Bài tâp:

1 Hai người thợ làm công việc xong 18 Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm 1/3 cơng việc Hỏi người làm xong cơng việc?

2 Để hồn thành cơng việc hai tổ phải làm Sau làm chung tổ hai điều làm việc khác Tổ hồn thành cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ làm riêng thhì xong cơng việc đó?

3 Hai đội cơng nhân đào mương Nếu họ làm ngày xong công việc Nếu làm riêng đội haihồn thành cơng việc nhanh đội ngày Hỏi làm riêng đội phải làm ngày để xong công việc?

4 Hai bình rỗng giống có dung tích 375 lít ậ binmhf có vòi nước chảy vào dung lượng nước chảy Người ta mở cho hai vịi chảy vào bình sau khố vịi thứ hai lại sau 45 phút tiếp tục mở lại Để hai bình đầy lúc người ta phải tăng dung lượng vòi thứ hai thêm 25 lít/giờ

Tính xem vịi thứ chảy lít nước Kết quả:

(8)

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I.Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây

dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành

cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất

môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia