sang kien kinh nghiem toan 8

BÊt k× mét m«n häc nµo trong trêng phæ th«ng còng cã nhiÖm vô lµ th«ng qua ®Æc ®iÓm bé m«n m×nh phèi hîp víi cac bé m«n kh¸c víi c¸c ho¹t ®éng trong nhµ trêng gãp phÇn gi¸o dôc toµn diÖn[r]

Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam độc lập - tự - hạnh phúc

-

-Sơ yếu lý lịch

Họ tên:

Ngày tháng năm sinh:

Năm vào ngành:

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trờng THCS

Phần I: Đặt Vấn Đề 1 Lý chọn đề tài:

Bất kì mơn học trờng phổ thơng có nhiệm vụ thơng qua đặc điểm mơn phối hợp với cac môn khác với hoạt động nhà trờng góp phần giáo dục tồn diện cho học sinh nhằm đào tạo ngời có tri thức

Mơn tốn học có vai trị quan trọng sở chủ yếu nhiều ngành khoa học, đặc biệt tin học Sự phát triển tin học động lực chủ yếu làm cho kinh tế giới chuyển sang giai đoạn chất Giai đoạn kinh tế tri thức Ngồi mơn tốn cịn có khả to lớn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ Do tính chất trừu t -ợng, tính xác, t suy luận logic… Tốn học “mơn thể thao trí tuệ” Rèn luyện cho học sinh tính thơng minh sáng tạo, làm sở cho việc trau dồi tri thức văn hoá

Trong q trình dạy học sinh mơn tốn lớp có phần “ Tìm x” tơi nhận thấy học sinh cịn nhiều vớng mắc phơng pháp giải, q trình giải thiếu logic cha chặt chẽ, cha xét hết trờng hợp xảy Lí học sinh cha nắm vững quy tắc đổi dấu, chuyển vế Đặc biệt biểu thức giá trị tuyệt đối số, biểu thức, cha biết vận dụng biểu thức vào giải tập, cha phân biệt cha nắm đợc phơng pháp giải dạng tập Mặt khác phạm vi kiến thức lớp 6, cha rộng, học sinh bắt đầu làm quen vấn đề này, nên cha thể đa đầy đủ phơng pháp giải cách có hệ thống phong phú đợc Mặc dù chơng trình sách giáo khoa xếp hệ thống logic sách cũ nhiều, có lợi để dạy học sinh vấn đề , nhng thấy để giải tập tìm x học sinh cịn lúng túng việc tìm phơng pháp giải việc kết hợp với điều kiện biến để xác định giá trị phải tìm cha chặt chẽ Chính vậy, giảng dạy vấn đề nghĩ cần phải làm để học sinh biết áp dụng định nghĩa tính chất giá trị tuyệt đối để phân chia đợc dạng, tìm đợc phơng pháp giải dạng Từ học sinh thấy tự tin gặp loại tập có kỹ giải chặt chẽ hơn, có ý thức tìm tịi, sử dụng phơng pháp giải nhanh gọn, hợp lí Chính lí mà tơi chọn trình bày kinh nghiệm H“ ớng dẫn học sinh lớp giải dạng toán Tỡm x

Đề tài giới hạn việc nghiên cứu phạm vi số toán, dạng toán tìm x phát triển số dạng toán khác có liên quan:

- Dạng chứa biến với số mũ lớn -Dạng: |A(x)| = |B(x)| hay |A(x)| - |B(x)| =

Củng cố cho học sinh lớp số kiến thức để giải số dạng giải tốn tìm x Cũng từ mà phát triển t lơgic cho học sinh, phát triển lực giải toán cho em, giúp cho giải em hồn thiện hơn, xác giúp em tự tin làm toán

3 Thời gian thực đề ti:

Đề tài dợc thặc năm học 2008 - 2009

4 Đối t ợng nghiên cứu đề tài:

Lµ mét nhãm häc sinh lớp 7A trờng THCS Thắng Lợi

Phn II: giI quyt

A: khảo sát thực tế

Với học sinh lớp việc giải dạng tốn “ Tìm x” gặp nhiều khó khăn học sinh cha học qui tắc giải phơng trình, phép biến đổi tơng đ-ơng… Chính mà gặp dạng toán học sinh thờng ngại, lúng túng khơng tìm đợc hớng giải giải hay mắc sai lầm Khi cha hớng dẫn học sinh giải cách áp dụng đề tài, học sinh giải thờng vớng mắc nh sau:

VÝ dơ : t×m x biÕt x- 2x +3 = - x

+ Một số HS cha rõ tìm x nh ? Hoặc chuyển vế không đổi dấu

VÝ dơ 2: T×m x biÕt |x-5| -x = 3

+ Học sinh xét tới điều kiện x, xét trờng hợp xảy ra: x – – x = hc – x – x =

=> x-5 = x+3 hc x- = -(3+x)

và học sinh cha hiểu đợc + x có chứa biến x

+ Có xét tới điều kiện x để x –  0; x – < nhng trờng hợp học sinh cha kết hợp với điều kiện x, kết hợp cha chặt chẽ

VÝ dơ 3: T×m x biÕt | 2x – 3| = 5

Học sinh cha nắm đợc đẳng thức ln xảy (vì 5>0) em xét giá trị biến để 2x –  2x –3 < giải tr-ờng hợp tơng ứng, cách làm học sinh cha nhanh gọn

Khi áp dụng đề tài vào trình hớng dẫn học sinh giải đợc bài, hiểu rõ sở việc giải tốn Cịn ví dụ em biết lựa chọn cách giải nhanh (và hiểu đợc sở phơng pháp giải áp dụng tính chất; hai số đối có giá trị tuyệt đối nhau)

Cơ thĨ :

|2x-3|= ( v× > 0) =>2x – = hc 2x – = -5

Kết điều tra khảo sát

Qua kho sỏt cha áp dụng đề tài khảo sát lớp 7A trờng THCS Thắng Lợi với đề bài:

T×m x biÕt:

a) 3x - = ( ®iĨm ) b) 6x - 5x2 = - 5x2 ( ®iĨm )

c) |2x – 5| = ( 3®iĨm) d) |5x – 3| - x = ( ®iĨm)

Kết đạt c nh sau:

Giỏi Khá Trung bình Yếu kÐm

7A em 11 em 16 em

Tơi thấy học sinh cịn lúng túng phơng pháp giải, cha nắm vững phơng pháp giải dạng bài, trình giải cha chặt chẽ, cha kết hợp đợc kết tìm với điều kiện xảy ra, cha lựa chọn đợc phơng pháp giải nhanh, hợp lí

Kết thấp học sinh vớng mắc điều nêu ( phần trên) phần lớn em xét cha đợc chặt chẽ câu c , d

B: C¸c bíc thùc hiƯn

u cầu học sinh nắm vững ghi nhớ kiến thức cần thiết để giải tập tìm x, điều khó khăn dạy học sinh lớp vấn đề học sinh cha đợc học phơng trình, bất phơng trình, phép biến đổi tơng đơng, đẳng thức… nên có phơng pháp dễ xây dựng cha thể hớng dẫn học sinh đợc, học sinh cần nắm vững đợc kiến thức sau:

a- Qui tắc bỏ dấu ngoặc, qui tắc chuyển vế. b- Tìm x đẳng thức:

Thùc hiƯn phÐp tÝnh , chun vÕ… a dạng ax = b => x = đ −b a

c- Định lí tính chất giá trị tuyệt đối.

¿

A A ≥ 0 − A A<0

¿∨A∨¿{

¿

|A| = |-A| |A| 0

d- Định lÝ vỊ dÊu nhÞ thøc bËc nhÊt.

II Những biện pháp tác động giáo dục giải pháp khoa học tiến hành.

Từ quy tắc , định nghĩa, tính chất giá trị tuyệt đối hớng dẫn học sinh phân chia dạng bài, phát triển từ dạng sang dạng khác, từ phơng pháp giải dạng bản, dựa vào định nghĩa, tính chất giá trị tuyệt đối tìm tịi phơng pháp giải khác dạng bài, loại Biện pháp cụ thể nh sau:

1 Mét sè dạng bản:

1.1 Dạng A(x) = B(x)

1.1.1 Cách tìm phơng pháp giải :

Lm th no tỡm x ? cần áp dụng kiến thức ( sử dụng quy tắc chuyển vế ) ? làm cần lu ý điều ?( Lu ý chuyển vế phải đổi dấu )

1.1.2 Ph¬ng pháp giải

Sử dụng quy tắc chuyển vế chuyển hạng tử chứa biến x sang vế trái , chuyển hệ số tự sang vế phải Thực phép tính thu gọn t×m x

1.1.3 vÝ dơ

Làm nào? Chuyển hạng tử sang vế ? ( Chuyển 5x từ vế phải sang vế trái dổi dấu , chuyển -3 từ vế trái sang vế phải đổi dấu thành +3)

Gi¶i 2x - = 5x +

2x - 5x = + - 3x =

x = : (-3) x = -3 ( GV lu ý HS cách trình bày )

1.2 Dạng |A(x)| =B với B 0 1.2.1 Cách tìm phơng pháp giải:

ng thc cú xy khơng? Vì sao? Nếu đẳng thức xảy cần áp dụng kiến thức để bỏ đợc dấu giá trị tuyệt đối (áp dụng tính chất giá trị tuyêt đối hai số đối nhau)

1.2.2 Phơng pháp giải:

Ta lần lợt xét A(x) = B A(x) = -B, giải hai trờng hỵp

1.2.3 VÝ dơ:

VÝ dơ 1: Tìm x biết |x- 5| = 3

Đặt câu hỏi bao quát chung cho toán: Đẳng thức có xảy không? Vì sao?

(cú xy vỡ |A|  , > 0) Cần áp dụng kiến thức để giải, để bỏ đợc nhau)

Bài giải

|x-5| = x – = ; hc x – = -3 + XÐt x - =  x =

+ XÐt x – = -3  x = VËy x = hc x =

Từ ví dụ đơn giản, phát triển đa ví dụ khó dần

VÝ dơ 2: T×m x biÕt: 3|9-2x| -17 = 16

Với đặt câu hỏi: “Làm để đa đợc dạng học?” Từ học sinh phải biến đổi để đa dạng |9-2x|=11

Bài giải

|9 - 2x| = 11

 - 2x = 11 hc – 2x = -11 + XÐt - 2x = 11  2x = -2

x = -1 + XÐt - 2x = -11  2x = 20

 x= 10 VËy x= -1 hc x = 10

1.3 Dạng |A(x)| = B(x) ( Bx biểu thức chứa biến x) 1.3.1 Cách tìm phơng pháp giải:

Cũng đặt câu hỏi gợi mở nh trên, học sinh thấy đợc đẳng thức không xảy B(x) <

 Cần áp dụng kiến thức để dựa vào dạng để suy luận tìm cách giải khơng? Có thể tìm cách?

1.3.2 Ph¬ng pháp giải:

Cách 1: ( Dựa vào tính chất)

|A(x) |= B(x)

Víi ®iỊu kiƯn B(x)  ta cã A(x) = B(x) hc A(x) = - B(x)( giải trờng hợp với điều kiện B(x) 0)

Cách 2: Dựa vào định nghĩa xét trình biến biểu thức chứa

dấu giá trị tuyệt đối để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. |A(x) | = B(x)

+ Xét A(x)   x ? Ta có A(x) = B(x) ( giải để tìm x thoả mãn A(x)  0) + Xét A(x) <  x? Ta có A(x) = - B(x) ( giải để tìm x thoả mãn A(x) < 0) + Kết luận: x = ?

L

u ý : Qua hai dạng cho học sinh phân biệt rõ giống (đều chứa

1 dấu giá trị tuyệt đối) khác ( |A(x)| = m  dạng đặc biệt m > 0) của dạng.

Nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ đợc phơng pháp giải loại đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, đa dạng |A | = B(Nếu B  dạng đặc biệt cịn Nếu B < đẳng thức khơng xảy Nếu B biểu thức chứa biến dạng giải cách 1) ta xét trờng xảy biểu thức giá trị tuyệt đối.

1.3.3 VÝ dơ:

Víi 5x – ≥  5x   x  35

Ta cã - 7x = 5x - hc – 7x = - (5x-3) + NÕu - 7x = 5x -

 12x = 12

 x = 1(tho¶ m·n) + NÕu 9-7x = -(5x-3)

 2x =

 x = 3(thoả mÃn) Vậy x= x=

C¸ch 2:

+ XÐt - 7x   7x ≤  x ≤ 79

Ta cã – 7x = 5x –  x = 1(tho¶ m·n) + XÐt 9- 7x <  7x >

 x > 79

Ta cã - + 7x = 5x –  x = 3(tho¶ m·n) VËy x = hc x =

VÝ dơ 2: T×m x biÕt |x- 5| - x = 3 C¸ch 1: | x – 5| - x =

 |x – 5| = + x Víi + x   x  -

Ta cã x- = + x hc x – = -(3 + x) + NÕu x – = + x  0x = 8(lo¹i)

+ NÕu x – = -3 – x  2x =  x = tho¶ m·n VËy x =

C¸ch 2: | x – 5| - x = 3

+ XÐt x –   x 

Ta cã x – – x =  0x = (lo¹i) +XÐt x – <  x <

VËy x =

1.4 D¹ng 4: |A(x)| + |B(x)| =0

1.4.1 Cách tìm phơng pháp giải:

Vi dng ny tụi yờu cu học sinh nhắc lại kiến thức đặc điểm giá trị tuyệt đối số (giá trị tuyệt đối số số không âm).Vậy tổng hai số không âm không nào?(cả hai số 0) Vậy tổng nào? (A(x) = B(x) =0) Từ ta tìm x thoả mãn hai điều kiện: A(x) = B(x) =

1.4.2 Phơng pháp giải:

Ta tìm x thoả mÃn hai ®iỊu kiƯn A(x) = vµ B(x) =

1.4.3 VÝ dơ:

T×m x biÕt:

a) |x+3| + |x2+x| = 0

b)|x2-3x| + |(x+1)(x-3)| = 0

Bài giải:

a) |x + 1| + |x2 + x| = 0

 |x + 1| = vµ |x2 + x| = 0

*) XÐt |x + 1| =  x + =  x = -1 (*) *) XÐt |x2 + x| =  x2 + x =

x(x + 1) =

 x = hc x+ =  x = hc x = -1 (**) Tõ (*) vµ (**) suy x = -1

b) |x2 -3x| + |(x + 1)(x - 3)| = 0

 |x2 - 3x| = vµ |(x + 1)(x - 3)| = 0

 x2 - 3x = vµ (x + 1)(x - 3)| = 0

*) XÐt x2- 3x =  x(x - 3) = 0

 x = hc x = (*)

*) XÐt (x + 1)(x - 3) =  x + = hc x - =  x= -1 hc x = (**)

Từ (*) (**) ta đợc x =

Lu ý:

2 D¹ng më réng:

2.1 D¹ng chøa biÕn x mị lín 2.1.1 Cách tìm phơng pháp giải :

HS gặp phải biĨu thøc chøa mị ë biÕn th× bì ngì cha biết làm ?

2.1.2 Phơng pháp gi¶i :

Sử dụng quy tắc biến đổi thông thờng , sau biến đổi biến x chứa mũ bị triệt tiêu

2.1.3 vÝ dơ

T×m x biÕt 2x - 3x2 = - 3x2

( Ta cần biến đổi -3x2 từ vế phải sang vế trái thành 3x2 triệt tiêu với

-3x2 ë vế trái )

2.2 Dạng |A(x)| = |B(x)| hay |A(x)| - |B(x)| = 0 2.1.1 C¸ch tìm phơng pháp giải:

Trc ht tụi t đề để học sinh thấy đợc dạng đặc biệt( đẳng thức ln xảy vế khơng âm), từ em tìm tịi hớng giải

Cần áp dụng kiến thức giá trị tuyệt đối để bỏ đợc dấu giá trị tuyệt đối cần tìm phơng pháp giải ngắn gọn Có hai cách giải: Xét trờng hợp xảy A(x) B(x)(dựa theo định nghĩa) cách giải dựa vào tính chất số đối có giá trị tuyệt đối để suy A(x) = B(x); A(x) = -B(x) (vì hai vế không âm |A(x)| ≥ |B(x)| ≥ 0) Để học sinh lựa chọn cách giải nhanh, gọn, hợp lí để em có ý thức tìm tịi giải tốn ghi nhớ đợc

2.1.2 Phơng pháp giải:

Cỏch 1: Xột cỏc trờng hợp xảy A(x) B(x) để phá giá trị tuyệt đối. Cách 2: Dựa vào tính chất hai số đối có giá trị tuyệt đối ta

tìm x thoả mÃn hai ®iỊu kiƯn A(x) = B(x) hc A(x) = -B(x)

2.1.3 VÝ dơ:

VÝ dơ1: T×m x biÕt |x + 3| = |5 - x|

⇒ x+3=5 − x

¿

x+3=x − 5

¿

2 x=2

¿

0 x =−8

¿

x=1

¿

0 x =−8

¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ⇒¿ ¿ ¿ ¿

=>x =

VËy x =

VÝ dơ 2: T×m x biÕt: |x-3| + |x+2| =7

B

íc : LËp b¶ng xÐt dÊu:

Trớc hết cần xác định nghiệm nhị thức : x – =  x = ;

x + =  x = -2

Trên bảng xét dấu xếp theo thứ tự giá trị x phải từ nhỏ đến lớn Ta có bảng sau:

X -2

x – - - + x + - + + B

ớc : Dựa vào bảng xét dấu trờng hợp xảy theo khoảng giá trị biến Khi xét trơng hợp xảy không đợc bỏ qua điều kiện để A  mà kết hợp với điều kiện để A  (ví dụ xét khoảng – x  3)

Cụ thể: Dựa vào bảng xét dấu ta có trêng hỵp sau: *) NÕu x  - ta cã x-  vµ x  

nªn x - 3 3- x x + 2= -x Đẳng thức trở thµnh: 3- x – x –2 = -2x + = -2x =

x = -3 ( tho¶ m·n x-2)

*) NÕu x  ta cã x - 3= - x vµ x + 2= x + Đẳng thức trở thành: 3- x + x +2 =

*) Nếu x đẳng thức trở thành: x- + x + =

2x – = 2x =

x = (tho¶ m·n x 3) VËy x = -3 ; x =

L

u ý : Qua cách giải cho học sinh so sánh để thấy đợc lợi trong mỗi cách giải cách giải thao tác giải nhanh hơn, dễ dàng xét dấu trong khoảng giá trị hơn, dạng chứa 3; dấu giá trị tuyệt đối (để nên ý thức lựa chọn phơng pháp giải).

VÝ dơ3: T×m x biÕt:

 x - 1 - 2 x - 2 + 3 x - 3 =

Nếu giải cách phải xét nhiều trờng hợp xảy ra, dài nhiều thời gian Cịn giải cách nhanh gọn nhiều, dựa vào bảng xét dấu ta thấy có trờng hợp xảy Mặt khác, với cách giải ( lập bảng xét dấu ) xẽ dễ mắc sai sót dấu lập bảng, nên xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối cần phải lu ý tuân theo qui tắc lập bảng Một điều cần lu ý cho học sinh kết hợp trờng hợp  xét trờng hợp xảy để thỏa mãn biểu thức  ( đa ví dụ cụ thể để khắc phục cho học sinh )

VÝ dơ : T×m x biÕt  x -  +  x -  =

LËp b¶ng xÐt dÊu

x

x - - +  + x - -  - +

Xét trờng hợp xảy ra, với x  đẳng thức trở thành x – + x - =

x = tháa m·n x 

Nh không kết hợp với x = để x – = mà xét tới x  để x -  xẽ bỏ qua giá trị x =

Từ dạng đa dạng tập mở rộng khác loại toán này: dạng lồng dấu, dạng chứa từ dấu giá trị tuyệt đối trở lên

*XÐt |4 - x| + |x - 9| = -5 Điều không xảy |4 - x| + |x – 9| ≥ VËy ≤ x ≤

*XÐt < x ≤ 2: (1)  x – - 2(2 - x) + 3(3 - x) =  x – – + 2x + - 3x =  0x = 0(Tho¶ m·n víi mäi x)  < x ≤

*XÐt < x ≤ 3: (1)  x- - 2(x - 2) + 3(3 - x) =  x - - 2x + + -3x =  x = 2( lo¹i)

*XÐt x > 3: (1)  x - - 2(x - 2) +3(x - 3) =  x-1-2x+4 +3x-9 =

 x=5 (TM) VËy: ≤ x ≤ vµ x =

3 Phơng pháp giải cách tìm phơng pháp gi¶i:

Sau giíi thiƯu cho häc sinh hÕt dạng chốt lại cho học sinh: Phơng pháp giải dạng toán tìm x :

Ph

ơng pháp : Sử dụng quy tắc chuyển vế đa biến vế , hệ số

về vế triệt tiêu c¸c biÕn chøa mị

Ph

ơng pháp 2 : Sử dụng tính chất |A| = |-A| |A|  để giải dạng |A |= |-A| |A(x)| = |B(x)|, |A(x)| = B(x).

Ph

ơng pháp 3: Xét khoảng giá trị biến(dựa vào định nghĩa) để bỏ dấu

giá trị tuyệt đối, thờng sử dụng để giải dạng |A(x)| = B(x) hay |A(x)|=| B(x)|+C( nhng dạng để giải loại toán – phng phỏp chung nht).

Cách tìm tòi phơng pháp giải:

Ct lừi ca ng li gii tập tìm x , đặc biệt tìm x đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, tìm cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

+ Trớc hết xác định đợc dạng rơi vào dạng đặc biệt khơng? (Có đa dạng đặc biệt đợc không) Nếu dạng đặc biệt |A|=B (B0) hay |A|=|B| áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối(giải cách đặc biệt – phơng pháp đã nêu) không cần xét tới điều kiện biến.

+ Khi xác định đợc dạng cụ thể nghĩ cách làm nhanh gọn để lựa chọn.

C: KÕt qu¶

dần từ dễ đến khó học sinh lớp tơi dạy biết cách làm dạng tốn tìm x cách nhanh gọn Học sinh khơng cịn lúng túng thấy ngại gặp dạng tập này, góp phần vào việc nâng cao chất lợng học tập nhà tr-ờng Cụ thể làm phiếu điều tra lớp 7A trờng THCS Thắng Lợi kết nhận đợc nh sau:

- Học sinh không lúng túng phơng pháp giải cho dạng

- Biết lựa chọn cách giải hợp lí, nhanh, gọn - Hầu hết trình bày đợc lời giải chặt chẽ - Kết cụ thể nh sau:

Giái Kh¸ Trung b×nh Ỹu

7A 10 em 15 12

D:Bµi häc kinh nghiƯm

Mặcdù kết cha cao, song phần đem lại cho tôI niềm vui, niềm tin, động viên khích lệ tơi q trình giảng dạy

Qua trình giảng dạy tốn đại số nói chung tốn tìm x nói riêng rút học kinh nghiệm nh sau:

1 Hệ thống kiến thức bổ trợ cho dạng toán dạy. 2 Hệ thống phơng pháp để giải loại tốn đó. 3 Khái qt hố, tổng quát hoá dạng, loại tập

4 Trêncơ sở kiến thức bản, giáo viên phải tìm tòi, khai thác sâu kiến thức, không ngừng phát huy trí thông minh sáng tạo học sinh

Phần iii: kết thúc vấn đề

Trên đa số tốn tìm x hớng dẫn học sinh giải với tốn cụ thể.Những tốn địi hỏi vận dụng linh hoạt nhanh nhẹn số dạng tốn tìm x, nên giáo viên phải ln ln đổi phơng pháp giảng dạy, kết hợp với biện pháp: “Tích cực hố hoạt động học tập học sinh” Khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm hình thành cho học sinh t tích cực, độc lập, sáng tạo, nắm vững kiến thức Ghi nhớ tiếp thu kiến thức mới, đem lại hứng thú học tập cho học sinh

Trong trình thực đề tài tơi cố gắng xếp nội dung cho phù hợp với đối tợng dạy, song khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong đợc đóng góp nhiệt tình đồng nghiệp

Xin trân thành cảm ơn

Thắng Lợi ngày 26 tháng năm 2009

Tác giả

Nguyễn ThÞ Kim Thoa

1) Vũ Hữu Bình – Nâng cao phát triển Tốn 7- NXB Giáo Dục – 2003 2) Bùi Văn Tuyên - Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán 7- NXB

Gi¸o dơc – 2004

3) S¸ch gi¸o khoa To¸n – NXB Gi¸o dơc – 2007