CHUOÃI VAØ PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN • BAØI 6: HEÄ PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 1. • TS.[r]
(1)BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK
-TỐN 4
CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • BÀI 6: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
(2)NỘI DUNG
-1 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
2 – PHƯƠNG PHÁP KHỬ
(3)KHÁI NIỆM (SGK, TRANG 165)
-Hệ m phtrình vi phân (cấp n) với m hàm ẩn: Minh hoạ m = 2
: dạng chuẩn hoá
0 '
,' , , ,
0 '
,' , , ,
y x y x t G
y x y x t
F
y x t g y
y x t f x
, , '
, , '
VD: Hệ cấp 1
t
e y x
t y
t y
x t
x
3 10
) ( '
sin
) ( '
VD: Hệ cấp 2
t x
t y
t y
t x
sin 10
) ( ' '
cos )
( ' '
(4)PHƯƠNG PHÁP KHỬ (SGK, TRANG 166)
-Đưa hệ n phương trình vi phân cấp phương trình vi phân cấp n: Đạo hàm lên, khử (n – 1) ẩn khác
VD: Giaûi
2
10 )
( '
1
3 )
( '
t
e y x
t y
y x
t x
( ) ( )
0 ,
, 10
2
t b t
AX dt
dX e
t b t
y t x t
X
A t
Chú ý: Hệ phương trình tuyến tính Cách viết dạng ma trận Hệ phương trình cấp : Xem tương đương phương trình cấp Nghiệm chứa số C1, C2
t x t x t et
x '' ' 11 2
(5)HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (SGK, TRANG 170)
-Hệ n hàm ẩn, n phương trình vi phân cấp tuyến tính:
E t b x t a x t a x t a t x t b x t a x t a x t a t x t b x t a x t a x t a t x n n nn n n n n n n n ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ' 2 1 2 22 21 1 12 11
Ma traän: A(t)X b(t)
dt dX
: hệ pt ttính không
(6)HỆ PTVP TTÍNH THUẦN NHẤT (SGK, TRANG 170)
-Hệ n hàm ẩn x1(t), x2(t) … xn(t) & n phương trình vi phân cấp tuyến tính (không có vế phải)
A t X t dt
dX E
x t a x
t a
x t a t
x
x t a
x t a x
t a t
x
x t a x
t a x
t a t
x
n nn
n n
n
n n
n n
0
2
1
2
22
21
1
12
11
) ( )
( )
( )
( '
) ( )
( )
( )
( '
) ( )
( )
( )
( '
(7)TTÍNH THUẦN NHẤT HỆ SỐ HẰNG (SGK, TRANG 173)
-Hệ p/trình vi phân cấp tuyến tính hệ số hằng
0
2
1
2
22
21
1
12
11
) ( '
) ( '
) ( '
E t
AX dt
dX x
a x
a x
a t
x
x a x
a x
a t
x
x a x
a x
a t
x
n nn n
n n
n n
n n
2
1
1
1
3
c c c
c e
c e c t
y t x
t t
Vectơ v = [c1, c2]T: vectơ riêng ma trận A ứng trị riêng !
Ma trận A (cấp 2): giá trị riêng thực 1, 2 & vectơ riêng độc lập tuyến tính: v1, v2 Xtq.tn c1e1tv1 c2e2tv2
VD: Giaûi
y x
t y
y x
t x
2 )
( '
3
(8)NHẮC LẠI: TRỊ RIÊNG, VECTƠ RIÊNG
-Trị riêng: det(A – I) = Vectơ riêng v: (A – I)v = 0 VD:
1
3
A
4
1
3
det
2
I
A
VTR v1 = [, ]T ứng
1 = –1: Av1 = 1v1 (A – 1I)v1 =
1
0
2 3
0 1
1 v
v I
A
2 trị riêng thực, phân biệt VTR ĐLTT Chéo hoá
1
2
3
0
0
1 1
2
3
2
A
Vectơ riêng v2 = [, ]T ứng với
(9)KẾT QUẢ TỔNG QUÁT
-Định Lý: Hệ X’ = AX(t), ma trận A – n giá trị riêng thực 1, 2 … n (không bắt buộc phân biệt), tương ứng n vectơ riêng v1, v2
… vn độc lập tuyến tính Nghiệm tổng quát nhất:
n
k
k t k T
n t c e v
x t
x t
x t
X k
1
1 , , ,
VD: Giải hệ
y x
y
y x
x
2 '
3
'
1
3
A : GTP thực, VTR ĐLTT
t t
t t
t t
e c e
c t
y
e c e
c t
x e
c e
c y
x t
X 4
2
4
4
2
3
1 )
(
T v T
v 1 ; 4,
,
1 1 2 2
1
(10)TỔNG QUÁT: PHƯƠNG PHÁP CHÉO HOÁ MA TRẬN
-Ma trận A hệ chéo hoá ma trận P: A = PDP-1
X’(t) = AX(t) = (PDP-1)X(t) P-1X’(t) = D.P-1X(t) Đổi biến
P X t
Y
( ) )
(
' t DY t Y
t y
t y
t y
t y
t y
t y
n n
n
0
0
0
'
' '
2
1
1
) ( )
( '
) ( )
( '
) ( )
( '
2 2
1 1
t y t
y
t y t
y
t y t
y
n n
n
({v1, … vn}: vectơ riêng)
t n n
t t
n
e c t
y
e c t
y
e c t
y
2
2
1
n
k
k t ke v
c PY
X k
1
(11)GIÁ TRỊ RIÊNG PHỨC (THAM KHẢO)
-Cặp giá trị riêng phức, liên hợp = i tương ứng cặp
vectơ riêng v = a ib (a, b: vectơ) vectơ nghiệm sở
a t b t e a t b t
et cos sin , t sin cos
VD: Giải hệ
y x
y
y x
x
2
' '
2
1
A i
1,2
i v
i v
2 ,
2
2
1
1 ,
2
b a
t t
e C t
t e
C t
y t
x t t
cos
0 sin
2 sin
1 cos
2
1 4
2
(12)HỆ KHÔNG THUẦN NHẤT (THAM KHAÛO)
-Ma trận A X’ = AX + b(t) chéo hoá ma trận P: A = PDP-1 Hệ ban đầu X’(t) = (PDP-1)X + b P-1X’(t) = D.P-1X(t) +
P-1b Đổi biến:
t b t
y t
y
t b t
y t
y
t b t
y t
y
n n
n n
~ )
( )
( '
~ )
( )
( '
~ )
( )
( '
2
2
1
1
Phải tính ma trận P = [v1, … vn] vaø P–1:
để tính vectơ P–1b
t PY t :
X
P X
Y Y' t DY b~
n n
n
n b
b b
y y y
y y y
~
~ ~
0
0
0
' ' '
2
1
1
1
(13)VÍ DỤ GIẢI HỆ KHÔNG THUẦN NHẤT (THAM KHẢO)
-Giải hệ không nhất
t y
x y
e y
x
x t
sin
'
5
2 '
1
3
A chéo hố (2 VTR độc lập tuyến tính) với
Ma trận hệ:
T v T
v 1 ; 4,
,
1 1 2 2
1
Trị riêng, vectơ riêng:
1
4
0 1
2
3
5
1
5
2
1
1
P P P
P
D
: Chéo hoá ma trận
Y = P–1X
Hệ mới:
~
~
' sin
sin
sin
5
b DY
Y t
e
t e
b P b
t e b
t t t
(14)VÍ DỤ GIẢI HỆ KHÔNG THUẦN NHẤT (TIẾP THEO)
-Giải hệ không nhất
t y x y e y x x t sin ' ' Hệ mới: t e t e v u v u b DY Y v u Y t t sin sin 0 ' ' '
~ Heä
t e v v t e u u t t sin ' sin ' t t e e C t v t t e e C t u t t t t sin cos 17 sin cos
Quay biến X: Y = P–1X
17 sin cos sin cos 3 t t e e C t t e e C PY t y t x
X t t