nh lý c ch ng minh xong.[r]
(1)1
M c ích c a chuyên mô t c u trúc c a nhóm aben h u h n, nhóm aben v i i u ki n c c i nh ng nhóm aben v i i u ki n c c ti u T t c nhóm có s phân tích tr c ti p qua nhóm cyclic nhóm t a cyclic
S C L P TUY N TÍNH VÀ H NG
nh ngh a Cho G m t nhóm aben, S t p khác r ng c a G T p S c g i c l p n tính n u ∉ t i u ki n
=
= ∈∈ ∈ ta suy
ra = ∀ = N u S khơng c l p n tính ta nói ph thu c n tính
Nh n xét M t nhóm G t ng tr c ti p c a nhóm cyclic n u ch n u sinh b i m t t p c l p n tính
Ch ng minh Gi s
∈
= ⊕ < > Ký hi u = ∈ , ta s ch ng minh S c l p n tính
và =< > V i m i
∈ ∈
∈ = ⊕ < > = nên =< > Ta ch ch ng minh
S c l p n tính Gi s =
= ∈∈ ∈ , c nh ∈ , ta c
= = ∈
≠ ≠
= ⇔ = − ∈ < >
∈ ≠
∈< > ∩ < > = =
mà ch n tùy ý nên = ∀ = V y S c l p n tính
Ng c l i, gi s S t p c l p n tính c a nhóm G =< > Ta có th vi t = ∈ ó ta s ch ng minh
∈
= ⊕ < > Do =< > nên ∀ ∈ ta có
∈
= ∈ , t c
∈
= < > L y
∈ ≠
∈< > ∩ < >, ta có:
= =
= ≠
≠ =
= =
=
Nh ng S c l p n tính nên = ∀ = , t c x = hay
∈ ≠
< > ∩ < > = V y
∈
= ⊕ < >
(2)2
Nói cách khác, S c l p n tính t i i n u m i t p c a G ch a S u ph thu c n tính
nh ngh a h ng, ta c n m nh sau M nh Cho G m t nhóm aben
i) Cho p m t s nguyên t T n t i nh t m t t p c l p n tính t i i c a G ch g m ph n t có c p l y th a c a p
ii) T n t i nh t m t t p c l p n tính t i i c a G ch ch a ph n t có c p vơ h n
Nh c l i: Cho (X,≤) m t t p x p th t , ∈
i) a c g i c n (c n d i) c a X n u ∀ ∈ ≤ ≤
ii) a c g i ph n t t i i c a X n u quan h ≤ ≤ kéo theo =
iii) X c g i x p th t toàn ph n n u ∀ ∈ ho c ≤ ho c ≤
2 ( Zorn) Gi s X t p không r ng c x p th t b i quan h th t ≤ N u m i t p A c a X, c x p th t toàn ph n b i ≤, u có c n X có ph n t t i i
Ch ng minh i,ii) Ký hi u X t p t t c t p c l p n tính c a G ch ch a
ph n t có c p l y th a c a p (ho c có c p vô h n) Rõ ràng ≠ ∅ Trên X ta xét quan h th t bao hàm (⊆) Gi s A m t t p x p th t toàn ph n c a X Ta s ch ng minh A
có c n Ta t:
∈ = Gi s
=
= ∈ ∈ Vì
∈
= nên ∀ = ∈ ⊂ , mà A t p x p th t toàn ph n nên ∃ ∈ ∈ ∀ = Nh ng c l p n tính ó t
=
= suy = ∀ = , hay ⊂ Rõ ràng c n c a A V y theo b!
ZornA có ph n t t i i, ó t p c l p n tính t i i mà ta c n M nh 3Cho G m t nhóm aben Khi ó,
i) Hai t p c l p n tính t i i c a G g m ph n t l y th a c a m t s nguyên t p có l c l ng
ii) Hai t p c l p n tính t i i c a G g m ph n t có c p vơ h n có l c l ng
Ch ng minh i) Gi s S t p c l p n tính t i i c a G g"m cáo ph n t l y
th a c a s nguyên t p V i ∈ = ≥ − = suy − có c p p. t −
= ∈ = ⊂ = Ta s ch ng minh c# s$ c a không gian véct# tr %ng Th t v y, gi s
= =
(3)3 −
= ∈ ∈ , suy −
=
= , nh ng S c l p n tính nên
− −
= hay = ; t c c l p n tính M t khác,
∀ ∈ , S c l p n tính t i i nên ∪ ph thu c n tính, ó ta có &ng th c
∈=
+ = v i ∈ ∈ ≠ ( = = mâu thu n v i S
c l p n tính), t c Ta có
=
= = = ∈
=
= − ∈< >
Vì nên = + = = ∈< > Do = nên∃ ∈
+ = = = + = ∈< >
Do ó, =< > Nh v y, c l p n tính h sinh c a không gian véct# tr %ng nên c# s$ c a V y = =
ii) G i S t p c l p n tính t i i g"m ph n t c p vô h n T nhóm xo n c a G Ký hi u:
= + ∈
thì = Ta s ch ng minh t p c l p n tính t i i
Gi s
= = =
+ = ∈ ∈ + = ∈ , ó,
= =
∃ ∈ = = = = = = , t c c l p
tuy n tính M t khác, g i t p c l p n tính ch a Ch n ∈ ∪ c l p n tính ∪ ⊆ , nh ng i u khơng th x y S c l p n tính t i i Do ó, = hay c l p n tính t i i nhóm th #ng
Vì khơng xo n nên ánh x ⊗ m t #n c u t
vào = ⊗
(4)4
× ⊗ → ⊗
′ ′
⊗ ⊗
Ta ch ng minh o phép nhân Th t v y, gi s r'ng
′ ′ ′
= ∈ = =
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
′ ′ ⊗ = ′ ⊗ ′ = ′
⊗ = ⊗ ∈
′ ′
= ′ ′ ′
′ ′ ′ ⊗ ′ = ⊗ ′ ⊗ = ⊗
′ ′ ′ ′ ′
′ = ′
Suy o ánh x Ki m tra tr c ti p ta s c G* không gian véct# v i phép nhân
ngoài o
t = ⊗ ∈ = ta s ch ng minh c# s$ c a khơng gian véct# Vì c l p n tính nhóm nên c l p n tính M t khác, v i ⊗ ∈ ∪ ph thu c n tính nên có &ng th c:
= =
+ = ∈ ≠ ∈ = − ∈< >
⊗ ∈< > ⊗ = ⊗ ∈< >
T c c# s$ c a , suy = , mà = = nên =
nh ngh aCho G m t nhóm aben, p m t s nguyên t Ta nh ngha:
i) p – h ng c a G, ký hi u l c l ng c a t p c l p n tính t i i c a G g m ph n t có c p l y th a c a p
ii) – h ng c a G, ký hi u l c l ng c a t p c l p n tính t i i c a G g m ph n t có c p vơ h n
iii) H ng c a G = +
M nh ch s t"n t i c a p – h ng – h ng, m nh kh&ng nh h ng c a nhóm ch ph thu c vào nhóm ó mà không ph thu c vào cách ch n t p c l p n tính t i i Tóm l i, nh ngh a hoàn toàn h p lý
(5)5
Ti p theo s s d ng khái ni n h ng ch r'ng n u m t nhóm aben có th phân tích thành t!ng tr c ti p c a nhóm cyclic ho c t a nhóm xyclic h ng t s phân tích "ng h ng c t y u nh t
nh lý 4Gi s r!ng m t nhóm aben có th" phân tích theo hai cách thành t ng tr c ti p c a
các nhóm t a cyclic,nhóm cyclic có c p l y th a c a s nguyên t nhóm ycclic vơ h n Khi ó, t p h ng t tr c ti p c a m i ki"u #ng c u hai s phân tích có l c
l ng b!ng
Ch ng minh Gi s
′ ′ ′
∈ ∈ ∈ ∈ ′ ∈ ′ ∈ ′
= ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ , ó
′ nhóm t a cyclic, ′ nhóm cyclic có c p l y th a c a s nguyên t ′ nhóm cyclic c p vô h n Ta c n ch ng minh = ′ = ′ = ′ Mu n v y ta ch c n ch ng minh nh ng h'ng s c nh, không ph thu c vào cách phân tích c a G
Gi s ∈
= ⊕ , ó có th nhóm t a cyclic, nhóm cyclic c p la l u th a c a m t s nguyên t ho c nhóm cyclic c p vơ h n Tr c h t ta phân tích G thành:
∈ ∈
= ⊕ ⊕ ⊕
trong ó, ∀ ∈ nhóm cyclic c p vơ h n, =< > c p vô h n Ta s ch ng minh = Th t v y, gi s
∈
=
∈ ∈
≠ ≠
⇔ = − ∈< > ∩ < > = = ∀ ∈
t c ∈ c l p n tính t p ph n t có c p vô h n M t khác, g i g ph n t có c p vơ h n G Ta có
∈ ∈
= + Do ∈ nhóm t a cyclic
nhóm cyclic c p l y th a c a s nguyên t nên
∈
∃ ∈ = t ó suy
∈
− =
Ngh a ∈ ∪ ph thu c n tính V y ∈ c l p n tính t i i t p ph n t có c p vơ h n c a G, o, = ∈ =
t ∈
= ⊕ ( nhóm t a cyclic nhóm cyclic có c p l y th a c a s ngun t ) nhóm xo n Do ó, = ⊕ = ⊕ M t khác, v i s nguyên t p
=
≠
!"# $ %& #' #(
(6)6 Do ó ta có th gi i h n
∈
= ⊕ ch g"m cyclic ki u p ho c cyclic có c p l y th a c a p, p – nhóm t
∈
= ⊕ , v i nhóm t a cyclic ki u p Ta có
∈ ∪
= ⊕ ⊕ , ó D chia c (vì t a nhóm cyclic chia c) cịn
∪
⊕ nhóm thu gon (vì m i ∈ ∪ nhóm cyclic mà nhóm cyclic khơng chia c) suy D nhóm chia c l n nh t G Ta có
= (1)
Ngồi ta có
∈ ∈
= ⊕ ≅ ⊕ (vì nhóm t a cyclic ki"u p) suy
(∈ )
= ⊕ = (2)
T (1), (2) suy = khơng !i D nhóm chia c l n nh t c a nhóm G T c l c l ng c a h ng t _ t a nhóm cyclic b'ng m i s phân tích c a G
Cu i ta ph i ch ng minh l c l ng c a h ng t _ nhóm cyclic c p l y th a c a p m i s phân tích nh ch ng minh i u ta có nh n xét:
1) =< > nhóm cyclic c p , ta có:
− ≥ =
< > < > = < 2) H nhóm cyclic c p H[p] nhóm cyclic c p p Ta t
∈ ∪
= ⊕
, , _ nhóm cyclic c p l y th a c a p V i s nguyên d #ng n, ta có:
(7)7 Mà v i m(i s nguyên d #ng n, ( )
( )
− ∩
∩
, ,
, ,
không !i nên suy
∈ ∪ = c ng không !i V y l c l ng c a t p h ng t mà m(i h ng t có c p l y th a c a p không !i nh lý c ch ng minh xong )
NHÓM ABEL T DO
nh ngh a Cho G m t nhóm (có th" khơng giao hốn), X m t t p h p khác r ng
σ → m t ánh x C p (G,σ), hay gon h$n G c g i t X n u v i m i
ánh x α t t p X n m t nhóm F, t n t i m t ng c u β → cho βσ α= , t c tam giác sau giao hoán
σ
α β
→
↓ Nh n xét2: 1) Ánh x σ → $n ánh
2) % ng c u β → nh t
3) M i nhóm u t m t nhóm c a
4) G nhóm aben t p X G - mơ un t v i c$ s X 5) G nhóm aben t t p X
∈
= ⊕ < > = ∞(suy t 4)
M nh 5N u G m t nhóm aben t X H m t nhóm c a G, H c ng m t nhóm aben t t p Y v i ! ≤
Ch ng minh m i mơ un c a mơ un t vành mơ un t
Tính ch t x nh c a mơ un t
nh ngh a Nhóm aben G c g i n i x n u v i m i toàn c u ε → , m i ng c u
α → t n t i ng c u β → cho α εβ=
M t nhóm aben có th xem m t - mô un nên sau ây ta phát bi u khơng ch ng minh m t s tính ch t c a nhóm aben t liên quan n tính ch t x nh Vi c ch ng minh tính ch t ã có chi ti t sách v mô un
nh lý 5(Maclane) Nhóm aben G x nh n u ch n u t
nh lý N u G nhóm aben H nhóm c a cho nhóm aben t H h ng t tr c ti p c a G
(8)8
Nh ng k t qu sau ây nh ng nh lý có ý ngh a quan tr ng âu tiên lý thuy t nhóm, chúng phân lo i nhóm aben h u h n
B 7Cho G m t p – nhóm aben mà t p t t c c p c a ph n t c a b ch n g ph n t có c p l n nh t G Khi ó, < g > h ng t tr c ti p c a G
Ch ng minh Ký hi u Γ = ≤ ∩ < >= , S ta trang b quan h th t bao hàm
G i Ω t p x p th t toàn ph n c a Γ,
∈Ω
= c n c a Ω (vì ∀ ∈ ,
∃ ∈ Ω ∈ ∈ Nh ng Ω x p th t n tính nên có th" gi s ⊂
Khi ó, − ∈ ⊂ ⇔ ≤ , rõ ràng ∩ < >= nên ∈ Ω Do ó, A c n c a Ω) Theo b! Zorn, Γ có ph n t t i i M, t ó ta có ≤ ∩ < >= Ta ph i ch ng minh = + < >
Gi s ≠ + < >, t p t t c c p c a ph n t c a G bi ch n nên ta ch n
∈ + < >(1) cho x có c p bé nh t Khi ó, ∈ + < > (vì G p - nhóm nên
≤ ) suy = +" ∈ Gi s = , g có c p l n nh t G nên
− − −
= *= ∈ ∩ < >= *=
−" " ⇔ =" #
Do ó, t = +" − # = ∈ , ó −# ∉ (vì n u −# = ∈$ suy
ra = +$ # ∈ + < > ) Vì M ph n t t i i Γ − # ∉ nên
< − # >∉Γ < −# > ∩ < >≠ ∃ ∈<$ −# > ∩ < >
= + − ∈ ∈
= + −
= ≠
$ #
# $
⇔ = − + − # ∈ + < >
Tr &ng h p : Vì − # ∈ − # ∈
= − # + ∈ ∩ < >= , mâu thu*n v i (2)
Tr &ng h p - : = ∃ ∈ + =
= = + ∈ + < >, mâu thu*n v i (1)
Nh v y m i tr %ng h p ta u i n mâu thu*n nên = + < > V y ta c = ⊕ < >.)
Nh n xét 3: Theo b! 6, m i p – nhóm h u h n u t!ng tr c ti p c a h u h n nhóm cyclic có c p l y th a c a p
nh lý (Frobenius – Stickelbergert) M t nhóm aben G h'u h n n u ch n u
t ng tr c ti p c a h'u h n nhóm cyclic có c p l y th a c a m t s nguyên t
Ch ng minh Gi s G nhóm h u h n khác 0(vì n u G = thìG = < >) Khi ó, G
(9)9
theo nh n xét 3, t!ng tr c ti p c a h u h n nhóm cyclic c p l y th a c a p L i G h u h n nên t!ng = ⊕ ch có h u h n ≠ V y G t!ng tr c ti p c a h u h n nhóm cyclic có c p l y th a c a m t s nguyên t
Ng c l i, =
= ⊕ < > = Th ∀ = < > h u h n nên G h u h n )
C u trúc c a nhóm aben h u h n sinh
nh ngh a Cho G m t nhóm % t = ≤ , F(G) x p th t theo qua h bao
hàm G c g i th(a i u ki n t i i (max) n u m i t p khác r ng c a F(G) u có
ph n t t i i
B Cho N nhóm chu)n t c c a nhóm G N u N th(a i u ki n t i
i (t i ti"u) G c ng th(a i u ki n t i i (t i ti"u)
Ch ng minh Gi s ⊆ ⊆ (1) dãy nhóm c a G Ta s ch ng minh dãy (1)
d ng, t c ∃ ∈ = + ∀ ≥ Vì N th+a i u ki n t i i nên dãy
∩ ⊆ ∩ ⊆ ⊆ ⊆
u d ng, t c +
+
∃ ∈ ∩ = ∩ / = ∀ ≥ T ó ta có:
+
∃ ∈ = ∀ ≥ )
M i nhóm aben ho c khơng aben th+a i u ki n t i i u h u h n sinh Tuy nhiên i u ng c l i ch úng cho nhóm aben
M nh N u G nhóm aben h'u h n sinh th(a i u ki n t i i
Ch ng minh Ta ch ng minh b'ng quy n p
V i n = 1, ta có < > = < > ∈ Gi s S t p x p th t tồn ph n c a < > ph n t c a S có d ng:
−
< >⊆< >⊆< >⊆ - ∀ ∈ (1)
Suy - ∀ ∈ nên (1) ph i d ng; t c S có ph n t t i i V y < > th+a i u ki n t i i, hay m i nhóm aben sinh b$i m t ph n t th+a i u ki n t i i
Gi s nhóm aben =< >th+a i u ki n t i i, ta s ch ng minh nhóm aben =< + > c ng th+a i u ki n t i i Vì G nhóm aben nên Ta có
+
=< + > nhóm aben sinh b%i m t ph n t nên th+a i u ki n t i i, mà
=< >c ng th+a i u ki n t i i nên theo b! 8, =< + > c ng
(10)10
V y m i nhóm aben h u h n sinh u th+a i u ki n t i i )
Nh n xet 10T m nh trên, nhóm aben G h'u h n sinh ch G th(a i u ki n
t i i
M nh 11 M t nhóm aben h'u h n sinh h'u h n n u nhóm xo n
Ch ng minh Gi s =< > nhóm aben Khi ó,
=
= ⊕ =< > =
Mà G nhóm xo n nên xo n suy h u h n V y G h u h n.)
Ti p theo ta ch ng minh m t nh lý mà nh% s phân lo i hồn tồn nhóm h u h n sinh
M nh 12 M t nhóm aben h'u h n sinh n u ch n u t ng tr c ti p h'u h n c a
các nhóm cyclic có c p vơ h n c p l y th a c a m t s nguyên t
ch ng minh m nh 11, ta c n b! sau:
B 13 M i nhóm aben khơng xo n, h'u h n sinh u nhóm t
Ch ng minh Gi s =< > nhóm aben, không xo n Ta ch ng minh G t
b'ng quy n p theo n
V i n = 1, =< > G khơng xo n nên không xo n suy ≅ Mà
nhóm aben t nên G nhóm abben t
Gi s m i nhóm aben không xo n sinh b$i n ( ∈ ) ph n t u t Ta s ch ng minh nhóm =< + > c ng t Ký hi u = ∈ ∃ ∈ ∈< + > Ki m tra tr c ti p ta c ≤ Xét nhóm th #ng V i m i
τ
+ ∈ ∃ ∈ cho
+
+ = ∈ ∃ ∈ ∈< >
∈ ≠ + =
τ =
T c nhóm th #ng khơng xo n Ta có =< + + + > theo gi thi t quy n p nhóm aben t Theo nh lý 6, ≅ ⊕ ch ng minh G t ta ph i ch ng minh H t Mu n v y ta ch ng minh H nhóm cyclic c p vô h n Do
G h u h n sinh nên theo m nh 9, G th+a i u ki n t i i, mà ≤ nên H th+a i u ki n t i i, ó, H h u h n sinh T ó suy
+
< > h u h n sinh, thêm n a theo cách xác nh H,
+
< > nhóm xo n, theo m nh 11, < + > h u h n, < + > = Ta
(11)11 +
→< >
=
Ki m tra tr c ti p ta c f #n c u, ó, ≅ ≤< + > Nh ng + khơng xo n nên < + > nhóm cyclic c p vô h n suy Imf nhóm cyclic c p vơ h n, th , H c ng nhóm cyclic c p vơ h n T ó suy ≅ ⊕ nhóm t
V y m i nhóm aben khơng xo n, h u h n sinh nhóm t V n d ng b! 13, ta ch ng minh m nh 12 nh sau:
Ch ng minh Gi s =< >, ta ch ng minh G t!ng tr c ti p h u h n c a
nhóm cyclic c p vơ h n c p l y th a c a m t s nguyên t
G i T nhóm xo n c a nhóm G Khi ó, nhóm khơng xo n rõ ràng h u h n sinh nên theo b! 13, nhóm aben t suy t!ng tr c ti p cùa nhóm cyclic c p vơ h n C ng aben t do, áp d ng m nh 6, ta c:
= ⊕ ≅
T ó suy ≅ , t c T h u h n sinh k t h p v i tính xo n c a T suy T h u h n(theo m nh 11) Áp d ng nh lý 7, ta c = ⊕ < > v i có c p l y th a c a s nguyên t
Chi u ng c l i hi n nhiên
Nh ng nh lý có th phân lo i hồn toàn nh nh lý 12 rát h u d ng hi m có lý thuy t nhóm
C u trúc c a nhóm aben v i i u ki n c c ti u
nh lý 12 ã mô t c u trúc c a nhóm aben v i i u ki n c c i Bây gi% s mô t c u trúc c a nhóm aben v i i u ki n c c ti u
nh ngh a Cho G m t nhóm % t = ≤ , F(G) x p th t theo qua h bao
hàm G c g i th(a i u ki n t i ti"u (min) n u m i t p khác r ng c a F(G) u có
ph n t t i ti"u
nh lý 14 ( ) M t nhóm aben th(a i u ki n t i ti"u n u ch n u ta t ng tr c ti p
h'u h n t a nhóm cyclic nhóm cyclic c p l y th a c a s nguyên t
Ch ng minh Gi s G tho i u ki n Khi ó, G nhóm xo n Th t v y, n u G khơng
xo n s t"n t i g G có c p vơ h n Khi ó dãy nhóm < >⊂< >⊂< 0>⊂
(12)12
Theo 4.1.1 ta có = ⊕ Trong ó ch có h u h n khơng t m th %ng Do ó ta có th gi s G p_nhóm Theo 4.1.4 t"n t i nhóm D chia c l n nh t G E
là nhóm thu g n cho G = D E
Theo 4.1.5, D chia c p_nhóm nên = ⊕ %, % t a cyclic (1)
Cu i ta ph i ch ng minh E h u h n Gi s E vô h n Do E G/H nên E
tho i u ki n Vì th , t"n t i nhóm H vơ h n c c ti u E Khi ó, pH nhóm th t s c a H Vì n u pH = H H chia c E nhóm thu g n nên H = (vơ lí)
Do H nhóm vơ h n c c ti u E nên pH h u h n Xét toàn c u
ϕ →
Ta có & ϕ = ≅ suy vô h n(mâu thu*n) Suy E h u h n Theo 4.2.6, '= ⊕ < >, có c p l y th a c a s nguyên t (2)
T (1) (2) suy i u ph i ch ng minh
Ng c l i, gi s = ⊕% !, ó %= ⊕ %, % nhóm t a cyclic = ⊕ < >
! , có c p l y th a c a s nguyên t Ta ch ng minh G th+a i u ki n Do Y h u h n nên Y tho i u ki n M t khác, m i nhóm th t s c a nhóm t a cyclic u h u h n o ó Pi tho i u ki n Suy P tho i u ki n V y G tho
(13)13 BÀI T P
Bài N u G m t nhóm Abel t m t t p n – ph n t Ch ng minh r'ng G khơng th sinh b$i h#n n – ph n t
Gi i Gi s α α α m t h sinh c a G Ta s ch ng minh ≥
Do G m t nhóm Abel nên ⊗ m t khơng gian véct# Vì α α α
là m t h sinh c a G nên ⊗α ⊗α ⊗α m t h sinh c a ⊗ Khi ó,
≥ ⊗ = =
Bài Cho G m t nhóm Abel h u h n sinh, d(G) s bé nh t ph n t sinh c a G Ch ng minh r'ng: ( = ( = ⇔ G không xo n