[r]
(1)0
Trong ph n s nghiên c u l p nhóm mà chúng có th c xây d ng t nhóm aben b ng cách l p l i nh ng hình th c m r ng, s lý nh ng nhóm h u h n mà nh ng nhóm h u h n c xây d ng t nh ng nhóm n gi n
NHĨM GI I C
nh ngh a Cho G m t nhóm M t dãy aben G dãy nhóm
= =
th a i u ki n + nhóm aben ∀ =
nh ngh a Nhóm G c g i gi i c n u có m t dãy aben
Ví d : 1) Rõ ràng m i nhóm aben u gi i c
2) Nhóm gi i c (nh ng không aben) v i dãy aben Cm:
− −
−
+∀ ∈ ∀ ∈ = =
∈ =
+
=
nh ngh a ChoG m t nhóm gi i c dài ng n nh t c a dãy aben G c
g i dài d n xu t c a G c bi t, n u dài d n xu t cùa G nh h n ho c b ng ta g i G nhóm metabelian
Nh n xét: Cho G nhóm gi i c
1) dài d n xu t c a G b ng ch G có c p
2) dài d n xu t c a G nh h n ho c b ng ch G nhóm aben
Tính ch t c a nhóm gi i c
nh lý Cho G nhóm gi i c, N nhóm c a G Ta có kh ng nh i) N gi i c
ii) N u gi i c
iii) N u c N gi i c G gi i c
(2)1
i) Xét dãy nhóm ∩ = D th y r ng
= ∩ ∩ ∩ =
Ta ch ph i ch ng minh + ∩
∩ nhóm Abel Th t v y, theo nh lý ng c u nhóm ta có
+ + +
+ + +
+ +
+
∩ ∩ ∩
= ≅
∩ ∩ ∩ ∩
⊂ ∩ ∩
⊂ ⊂
+ −
+ ∩ −
∩
ii) Do nên Xét dãy nhóm = Vì + nên + , ó, ta có dãy
= =
Cu i ta ch c n ch ng minh nhóm Abel Theo nh lý ng c u nhóm ta có
+ +
+ ≅
∩
⊂ ⊂
∩
iii) Gi s nh ng nhóm gi i c v i chu i Abel t ng ng là:
= = = =
Khi ó, = = chu i Abel c a G V y G nhóm gi i c
(3)2
Ch ng minh Gi s N, M hai nhóm gi i c Vì nên
M t khác, ≅
∩ mà ∩ gi i c nên gi i c V y MN gi i c
NHÓM L Y LINH
nh ngh a Cho nhóm G Tâm c a G nhóm
= ∈ = ∀ ∈
Nh n xét: 1) Tâm c a G nhóm giao hoán, chu n t c c a G 2) ⊂ ( )⇔ ∀ ∈ ∀ ∈ − − ∈
nh ngh a M t nhóm G c g i nhóm l y linh n u có m t chu i tâm Ngh a là, có m t dãy nhóm
= ≤ ≤ ≤ =
Th a mãn hai i u ki n: 1) ∀ =
2) + ⊂ ∀ =
dài c a chu i tâm ng n nh t G c g i l p l y linh c a G Nh n xét: 1) Nhóm có l p l!y linh nhóm n v
2) Nhóm có l p l!y linh bé h n nhóm Abel
3) Nhóm l!y linh nhóm gi i c Ng c l i khơng úng, ví nh S3
nh lý p nhóm h u h n nhóm l y linh
Ch ng minh Gi s G m t p – nhóm Ta xét hai tr "ng h p
Tr ng h p 1: C p c a G b ng m t G = 1, suy G l!y linh
Tr ng h p 2: C p c a G l n h n m t Khi ó, = ≥ Ta s ch ng minh m i nhóm có c p ≥ l!y linh b ng quy n p theo
• = , suy c p c a nhóm nên abel ó l!y linh
• Gi s m i nhóm có c p ≤ < u l!y linh Ta c n ch ng minh nhóm c p c!ng nhóm l!y linh Th t v y, gi s nhóm c p > Ta có:
( )
(4)3 Do ó,
( ) = < ( = ( ) ( ) ) Theo gi thi#t quy n p ( ) l!y linh Suy t$n t i dãy tâm
( )
= ≤ ≤ ≤ = , cho
( ) + ⊂ ( )
Xét toàn c u chi#u
( )
φ → % t φ− ( )
+ = = , = Khi ó ta có dãy nhóm = ≤ = ( )≤ ≤ + = (*) th&a = Ta ph i ch ng minh (*) dãy tâm, ngh'a + ⊂ ∀ = Th t v y,
+
∀ ∈ ∀ ∈ Ta có
( ) ( ) ( )
φ ∈ φ ∈ Do ó,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
φ − − φ − φ − φ φ
−
= ∈ (vì ( )
− −
⊂ )
Suy − − φ− ( ) −
∈ = V y (*) dãy tâm, nên G nhóm l!y linh
nh lý L p nhóm l y linh óng i v i phép l y nhóm con, nhóm th ng t ng tr c ti p h u h n Ngh a là,
1) G l y linh, ≤ N l y linh 2) G l y linh, l y linh 3) A, B l y linh ⊕ l y linh Ch ng minh
1) Gi s = ≤ ≤ ≤ ≤ = chu i tâm c a G Khi ó, dãy nhóm = ∩ ≤ ∩ ≤ ∩ ≤ ≤ ∩ =
Là chu i tâm c a N Th t v y, rõ ràng ∩ ∀ Ta ch ph i ch ng minh ∀ = ,
+ ∩ ⊂
(5)4 − −
− −
− − +
∈
∈ ∩
∈ ⊂
+ ∩ ⊂
∩ ∩
2) Gi s = ≤ ≤ ≤ ≤ = chu i tâm c a G Vì nên ∀ Xét dãy nhóm = (*) Khi ó,
+) ∀ ∈ ∈ ta có:
− − − −
= ∈ ∈
+) ∀ ∈ + ∈ ta có:
− − − − − − − − −
− − − −
+
−
= =
⊂ ∈ ∈
∈
+
+
≅ ⊂ ≅
V y (*) chu i tâm c a , t c, nhóm l!y linh
3)Nh n xét r ng n#u = ≤ ≤ ≤ = chu i tâm c a G chu i
+ +
= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ =
v i + = , c!ng chu i tâm c a G Do v y, v i hai nhóm l!y linh ta có th gi s chu i tâm c a chúng có dài b ng
Gi s A, B hai nhóm l!y linh v i chu i tâm t ng ng
(6)5 +) Vì nên ⊕ ⊕
+) V i m i ∈ + ⊕ + ∈ ⊕ , ta có
− − − − − −
− − − − − −
+
− − +
=
⊂ ∈ ∈ ⊕
⊂ ∈
+ ⊕ + ⊂ ⊕
⊕ ⊕