Ngoài ra ta còn có:... Ch ng minh.[r]
(1)Nguy n Thanh D ng – K19 Nhóm xo n nhóm chia c
Lý thuy t nhóm Abel m t phân nhánh c a lý thuy t nhóm, b n thân có nhi u tính ch t hay c thù Nh László Fuchs ã nh n xét, có m t s tính ch t mà s
nh h ng c a t i c u trúc c a nhóm nhi u h n tính ch t giao hốn
Trong chuyên ch xét nhóm Abel phép toán s c ký hi u theo l i c ng (+)
nh ngh a Cho G m t nhóm aben
+ ∈ c g i ph n t xo n n u t n t i ∈ cho mx = t
= ∈
ta c T nhóm c a G g i nhóm xo n c a G N u = G c
g i nhóm xo n N u = G g i nhóm khơng xo n
+ V i m i s nguyên t p, t = ∈ m t
nhóm c a G g i thành ph n p – nguyên s c a G
Chú ý T nh ngh a, ta có = ∈
nh lý (S phân tích nguyên s ) Trong m t nhóm aben G, nhóm xo n T t ng tr c ti p c a thành ph n nguyên s c a G
Ch ng minh V i m i ∈ = , phân tích = Ta ký hi u:
= =
ta có: = suy ∃ ∈ = cho
=
=
Khi ó,
= =
= = = = Mà c p c a b ng nên
∈ , ó = M t khác, v i
≠
∈ ∩ suy ra:
≠
∈
= ∈
α
β α
β
≠ ≠
=
∏
∏ ,
mà = nên α = suy = α = , t c
≠
∩ =
V y = ⊕
nh ngh a Cho G m t nhóm aben
+ Ph n t x c a G c g i chia c b i s nguyên d ng m n u t n t i
(2)2
+ G c g i nhóm chia c n u m i ph n t c a G u chia c b i m i
s nguyên d ng (⇔ ∀ ∈ , ∀ ∈ t n t i ∈ cho x = my)
+ N u l y th a l n nh t c a s nguyên t p chia c x h c g i
p – cao c a x G N u x chia c b i m i l y th a c a p ta nói x có p – cao vơ h n G
Chú ý 1: G chia c n u ch n u v i m i s nguyên t p, m i ph n t c a G u
có p – cao vô h n G
Ch ng minh N u G chia c rõ ràng m i ph n t c a G u có p – cao vô h n,
∀ _ nguyên t Ng c l i, n u m i ph n t c a G u có p – cao vơ h n v i m i p
nguyên t , ta s ch ng minh G chia c V i m i ∈ ∈ +, gi i s
=
=∏
Do x có - cao vơ h n nên ∃ ∈ cho = L i có - cao vơ
h n nên ∃ ∈ = suy = Theo l p lu n ó,
=
∃ ∈ = ∏ = V y G chia c
Chú ý 2: Cho G m t nhóm aben Các kh ng nh sau t ng ng:
i G nhóm chia c
ii = ∀ ∈
iii = , v i m i s nguyên t p
c bi t, n u G p – nhóm G chia c ch =
Ch ng minh ⇔ Suy tr c ti p t nh ngh a Hi n nhhiên
V i m i s nguyên d ng m, gi s = ( s nguyên
t có th trùng nhau) Khi ó, ta có:
=
= = ∏ = hay =
Trong tr ng h p G p – nhóm N u G chia c theo ii), = Ng c
l i, n u = ta s ch ng minh G chia c b ng cách ch r ng
= ∀ ∈ Th t v y, gi = = ta c:
−
(3)3
L y ∈ = Do = = nên ∃ ∈ + = Khi
ó, = = + = + = ∈ = =
= =
nh ngh a Nhóm aben G c g i n i x n u v i m i n c u α → , m i
ng c u β → , t n t i ng c u ϕ → cho ϕα β= , t c tam giác sau
giao hoán
α
β ϕ
→
↓ ∃
Tiêu chu n Baer G n i x n u v i m i phép nhúng i t i ean I c a vào , m i
ng c u → , t n t i ng c u → cho gi = f
nh lý M t nhóm aben n i x n u ch n u chia c
Ch ng minh Gi s G nhóm aben n i x V i m i ∈ ,∀ ∈ + ta có !ng c u
→ = Do G n i x nên t!n t i !ng c u → cho gi = f,
trong ó i phép nhúng Khi ó, = ⇔ = = " t = ∈ ,
ta c = T c G nhóm chia c
Ng c l i, n u G chia c, ta s ch ng minh G n i x b ng tiêu chu#n
Baer Gi s = m t i êan b t k$ c a , → m t !ng c u Ta s
ch ng minh t!n t i !ng c u → tam giác sau giao hoán
→
↓ ∃
trong ó, i phép nhúng Ta có ∈ , mà G chia c nên t!n t i ∈
= Khi ó, ta có !ng c u → = th%a =
V y G n i x
nh lý N u D nhóm chia c c a nhóm aben G D h ng t tr c ti p c a G
Ch ng minh Vì D chia c nên theo nh lý 2, D n i x Do ó, t!n t i !ng c u
α → tam giác sau giao hoán
α
→
(4)4
t c α = , ó i phép nhúng, !ng c u !ng nh t V i m i
α α
∈ = =
! ! ! ! Do ó, v i m i ∈ α =α −α ∈" #α suy
α α α
= +" # = " #+ , α tồn c u M t khác,
α α
α
=
∀ ∈ ∩ =
=
" # ∩" #α=
V y = ⊕" #α
nh ngh a M t nhóm aben c g i thu g n n u khơng có nhóm chia c
khơng t m th ng
nh lý N u G m t nhóm aben t n t i m t nhóm chia c l n nh t D c a
G H n n a, = ⊕$, ó E nhóm thu g n
Ch ng minh Ký hi u ∈ h t t c nhóm chia c c a G " t
∈
=< > Khi ó, D nhóm chia c l n nh t c a G Theo nh lý 3, t!n t i nhóm E c a G cho = ⊕$ Gi s F nhóm chia c c a E,
⊂ ∩
% $ nên F = 0, t c E nhóm thu g n
nh ngh a (Nhóm t a cyclic) Nhóm P c g i nhóm t a cyclic ki u p n u
=< >
& th a i u ki!n = + = + ' = '+ =
Nh n xét Do tính ch t + = nên ∀ ∈& ∃ ∈ ∃ ∈ =
2 Vì nhóm t a Cyclic ki"u p F m t p – nhóm th a tính ch t %=% nên theo
chú ý 2, chúng nh#ng nhóm chia c
3 V i m i s nguyên t p, t &=< ( ( = + = > &là thành
ph n p - nguyên s c a th a ( = (+ =( = Do ó, & m t t a
nhóm cyclic ki"u p H n n#a, &≅& theo ng c u ϕ = ( ∀ ∈ B Cho G m t nhóm aben
i N u G không xo n, chia c G ng c u v i t ng tr c ti p c a b$n
sao c a nhóm c ng s h#u t%
ii N u G p – nhóm ó G ng c u v i t ng tr c ti p c a t a nhóm
cyclic
Ch ng minh i V i m i ∈ , v i m i s nguyên d ng m, G chia c nên t!n t i
∈ cho = Gi s = ′ − ′ = , nh ng G không xo&n nên
′
(5)5 +)
= =
= = =
=
+) + = + + = +
+ = +
Khi ó, t ng ng:
× →
=
là m t ánh x Th t v y, ∀ ∈ ∀ ∈ , gi i s = ⇔ = Ta có:
= ⇔ = ⇔ = ⇔ − =
Nh ng G không xo&n ≠ nên = H n n'a, ta cịn có:
1) = ∀ ∈
2) ∀ =# #′= ∈ ∀ ∈
′
+ = + = +
= + = +
′
= +
# #
# #
3) ∀ =# ∈ ∀ ∈ , ta có + = + = + suy
#
# #
+ = + = + = +
= + = +
= +
(6)6
′ = = = =
′ =
# #
##
T c G m t không gian véct tr ng , ó, G có c s T ó suy
G m t - mô un t V y G (ng c u v i t)ng tr c ti p c a b n c a vành
h t
ii Tr c ch ng minh (ii), ta nh n xét r ng: N u P m t t a nhóm cyclic ki u p & ≅ Th t v y, m i t a nhóm cyclic ki u p u (ng c u v i
= ∞
=< > = + ∀
& ( ( nên ta ch c n ch ng minh & ≅ V i m i
= ( ∈& ta có: = ( = − = −
= +
Chia n cho p ta c = +# #∈ − Khi ó, = # + suy
−
⊂ + + +
& , ó, & = + + − + , t c & có
c p p T ó suy & ≅ V y & ≅ D a vào nh n xét ta ch ng minh kh(ng nh (ii) nh sau:
" t = ∈ = th m t nhóm c a G Ki m tra tr c ti p ta c t ng ng:
× →
=
là m t m t phép nhân t vào , ó, m t - mơ un Nh ng
m t tr ng nên m t không gian véct G i ∈ c s c a
Gi s & ∈ h nhóm t a cyclic ki u p, t
∈
= ⊕& Ta s ch ng minh
≅ Ký hi u = ∈ = s khơng gian véct tr ng
v i phép nhân xác nh t ng t nh phép nhân H n n'a,
∈ ∈
= ⊕& ≅ ⊕ , Nh ng !" = nên có s chi u
T ó suy
ϕ
≅
(7)7
ϕ
→ ↓
↓
'
trong ó, j, i hai phép nhúng Vì G chia c nên G n i x suy có !ng c u
β → th%a β'= ϕ Khi ó, β (ng c u Th t v y, n u " #β ≠ t!n t i
β
≠ ∈" # ⊂ Do t)ng tr c ti p p – nhóm p – nhóm nên gi s = ≥ " t = − ≠ = nên ∈& Khi ó,
β β β β ϕ
− −
= = = = ' =
ϕ = (mâu thu*n ϕ n c u)
T ó suy " #β = ; t c β n c u M t khác, β n c u, chia c nên
β chia c, ó, t!n t i nhóm K c a G cho = β⊕"suy
β
= ⊕" N u β ≠ "≠ , nh ng K p – nhóm nên " ≠
suy ∃ ∈" , nh ng ϕ (ng c u nên ∃ ∈& =ϕ Ta có
ϕ
= = mà = = ϕ =β ' ∈ β nên ∈ β T ó suy có
β
≠ ∈ ∩" ( mâu thu*n) V y β =
nh lý 5(C u trúc c a nhóm aben chia c) M t nhóm aben chia c n u ch
n u ng c u v i t ng tr c ti p c a b$n c a nhóm t a cyclic
Ch ng minh Gi s nhóm aben G t)ng tr c ti p c a b n c a nhóm t a cyclic, th nhóm t a cyclic chia c nên G chia c
Ng c l i, gi s G chia c G i T nhóm xo&n c a G Do G chia c
nên T chia c Th t v y, ∀ ∈ ∀ ∈ , G chia c nên ∃ ∈ cho
= Suy + = + = , mà không xo&n nên ∈ , t c T chia
c Khi ó, theo nh lý 3, t!n t i nhóm E c a G cho: = ⊕$ (1)
M t khác, theo nh lý 1, = ⊕ mà m i m t p – nhóm nên theo b) , t)ng tr c ti p c a t a nhóm cyclic T ó suy T t)ng tr c ti p c a t a nhóm cyclic Ngồi ra, (1) nên dãy
→ → → →
(8)8
là dãy kh p ch+ suy ≅ ⊕ Mà không xo&n, chia c nên l i theo b) , (ng c u v i t)ng tr c ti p c a b n c a nhóm c ng "nh lý c
ch ng minh
nh lý M i nhóm aben u ng c u v i nhóm c a nhóm aben chia c Ch ng minh Ta ã bi t m i R – mơ un u có th nhúng vào m t R – mô un n i x , mà m i nhóm aben m t mơ un nên m i nhóm aben u có th nhúng vào m t -
mô un n i x Nh ng m t - mô un n i x m t - mô un chia c
BÀI T P
Bài Ch ng minh r&ng m i nhóm t a cyclic ki"u p u có nh t m t nhóm c p nhóm nhóm cyclic Ch ng t r&ng m i nhóm th c s c a nhóm t a cyclic ki"u p u h#u h n
Gi i Gi s &=< > m t m t nhóm t a cyclic ki u p " ý r ng: có c p
và = − = − ∀ ≥ G i E nhóm th c s c a P Ta s ch ng minh
=< >
$ , v i m t s ngun d ng n ó Vì $≠& nên ∃ ∈ cho ∉)
suy ∀ ≥ ∉$ ! − = G i n s nguyên d ng l n nh t cho ∈$
Khi ó, $=< > Th t v y, ∈$ nên < >⊂$
M t khác, ∀ ∈$ = , ta có th gi s = (vì n u ng c l i
= nên = = − ta l i gi$ s = n u ng c l i, = −
… c nh th ta s' tìm c ∈ = cho = ) suy =
ó, ∃ *∈ +* = Ta có
= = +* = = ∈$
Suy ≤ = − Khi ó, = = − ∈< > suy ta $⊂< > V y
=< >
$ Nh v y ta ã ch ng minh c m i nhóm th c s E c a P u nhóm cyclic h'u h n sinh b i m t ó có c p Cu i cùng, gi s F nhóm c a P có c p Theo ch ng minh trên, ∃ %=< > t ó suy
∧ t c m = n hay E = F
(9)9
Bài Cho G m t nhóm aben vơ h n mà m i nhóm th c s c a u h#u h n Ch ng minh r&ng G nhóm t a cyclic ki"u p
Gi i " u tiên ta ch ng minh G m t p – nhóm G nhóm xo&n (vì n u G có ph n t a khơng xo n 2a c ng khơng xo n lúc ó < > nhóm th c s c a G có vơ h n ph n t < > < >⊆ , mà i u không th" x$y ra)nên = ⊕ Trong t)ng ch có h'u h n ≠ (vì n u có vơ h n ≠ , xét
≠
≠
=
$ nhóm th c s c a G có vơ h n ph n t Mâu thu(n), t c
= ⊕ Nh ng G vơ h n nên có vơ h n, mà ⊂ suy = Nói cách
khác, G m t p – nhóm
Ti p theo ta ch ng minh G chia c, t c ch ng minh pG = G Gi s r ng ≠ ≠ nên m t khơng gian véct vơ h n chi u v i phép
nhân vô h ng = ∀ ∈ ∀ ∈ G i α ∈ c s c a , ta s ch ng
minh =< α ∈ ∪ > D th y r ng < α ∈ ∪ >⊂ Ng c l i,
∀ ∈ ∈ ∃ ∈ = th%a:
α α
= =
= − ∈
α α α ∈
= =
− = ∈ ⇔ = + ∈< ∪ >
α ∈
⊂< ∪ >
Nh v y =< α ∈ ∪ > suy < α ∈ ∪ > vô h n C nh ∈ , xét nhóm $=< α ∈ ∪ > c a G ta th y α ∉$(vì n u α ∈$ ta suy
α α
= ≠
= + ∈ hay α α
= ≠
= mâu thu(n v i tính c l)p n tính c a
α ∈ ) t c E nhóm th c s c a G mà E vô h n nên mâu thu*n V y ta ph i có pG = G
Vì G p – nhóm nên có ph n t c p p M t khác, pG = G nên có ph n t cho = L i pG = G nên có cho = c nh th s có
−
= ∀ ≥ " t %=< > F nhóm c a G, mà F vô h n nên F
= G V y G nhóm t a cyclic ki u p
Nh n xét T k t qu$ c a ta có k t lu)n: G nhóm t a cyclic ki"u p
(10)10
Bài Cho G m t nhóm aben vơ h n mà m i nhóm th ng th c s c a u h#u
h n Ch ng minh r&ng G nhóm cyclic vơ h n i u ng c l i có úng không?
Gi i Tr c h t ta nh n xét r ng G nhóm khơng xo&n (vì n u a ph n t xo n c a G < > nhóm h#u h n ó
< > nhóm th ng th)t s c a G có vơ h n ph n t Trái gi$ thi t) T i u ki n ta s ch ng minh c < (> nhóm cyclic ∀ (∈ Th t v y, ta có ∈
< >
( , mà
< > h'u h n nên c p c a ( h'u
h n t c ∃ ∈ + (= (∈< >⇔ (= , ta có th gi s = (vì n u
= >! = !∧ = ! = (= t ng ng v i ! (− = ,
nh ng G không xo n nên (= , mà = ), ó, ∃ *∈ + *= Khi ó,
= = + = + = +
= = + = + = +
( ( * ( ( *( *(
* * *(
" t += +*( rõ ràng < (>=< >+ "i u có ngh a m i nhóm c a G sinh b i h'u h n ph n t u nhóm cyclic
Ch n ∈ , theo gi thi t
< > h'u h n, gi s r ng: =
< >
V i m i ∈ , ta có
∈ < > ∃ = = − ∈< > − =
⇔ = + ∈< >
V y =< >, mà m i nhóm h'u h n sinh c a G u nhóm cyclic nên t!n t i !∈ cho =< >!
"i u ng c l i úng; t c n u G nhóm cyclic vơ h n m i nhóm th ng th t s c a u có h'u h n ph n t Th t v y, gi s =< >, v i a ph n t khơng xo&n G i E nhóm khơng t m th ng c a G, ta s ch ng minh $= v i m m t s ngun d ng ó Vì E nhóm không t m th ng c a G nên
∃ ∈ = ∈$ − ∈$, ó, g i m s nguyên d ng bé nh t mà ∈$
Th ⊂$ Ng c l i, ∀ = ∈$, gi s = +# ≤ <# , ta có
= = +# = +# # = − ∈$ #=
= ∈< > $⊂
Hay $= Khi ó, = + + − +
$
(11)11
Gi i Gi s G chia c Do m i nhóm aben u (ng c u v i nhóm c a m t nhóm
chia c nên t!n t i nhóm H c a nhóm chia c K mà ≅) Vì G chia c
nên H chia c, ó, H h ng t tr c ti p c a K
Ng c l i, gi s t ≅) ≤" ta suy H h ng t tr c ti p c a K, t c
= ⊕
" ) $ Ta ch ng minh G chia c Vì m i nhóm aben u (ng c u v i nhóm c a nhóm eben chia c nên ta có th gi s K chia c V i m i s nguyên d ng m, ta có:
= ∩ = ∩ = + ∩ = ∩ + ∩ =
) " ) " ) ) $ ) ) ) $ ) )
T ó suy H chia c, mà ≅) nên G chia c
Bài Cho G m t p - nhóm aben mà chia c Ch ng minh r&ng G t ng
tr c ti p c a m t nhóm aben chia c m t nhóm aben s c p ki"u p – nhóm
Nh c l i: Nhóm aben s c p nhóm aben xo&n ∀ _nguyên t T c
là = v i s nguyên t ôi m t khác " c bi t, G p – nhóm G nhóm aben s c p ch pG = 0; t c m i ph n t c a G u có c p p Gi i Xét ánh x
→ =
Ki m tra tr c ti p ta c f toàn c u Theo nh lý Noether: ≅
" #
Mà " # = ∈ = = , nên ≅ M t khác chia c nên
pG chia c, ó, pG h ng t tr c ti p c a G, = ⊕$ Cu i ta ch ng
minh E p - nhóm aben s c p Th t v y, ∀ ∈$ ta có
∈ ∩ =$ = $=
Bài Cho H, K nh#ng p – nhóm chia c Ch ng minh r ng:
≅ ⇔ ≅
) " ) "
Gi i Gi s )≅" theo (ng c u )→" Ta có:
= ∈ = ∈ = =
) ) )
⊂
) "
(12)12 →
=
) "
Do f n c u nên n c u Ngoài ra, ∀ ∈" ⊂", f toàn c u nên có
∈) = Mà ∈" = ⇔ = ⇔ = = (vì f
n c u) ∈) ; t c = toàn c u V y ) ≅"
Ng c l i, gi s ) ≅" theo (ng c u ) →" Ta s ch ng minh )≅" V i i, j phép nhúng, xét s !
→
↓ ↓
) )
" '
"
Do K chia c nên K n i x suy t!n t i )ng c u ) →" cho tam giác giao hoán, ngh a = ' Ta ch ng minh g (ng c u Th t v y, n u " # ≠
∃ ∈" # ⊂) , H p – nhóm nên gi s = ≥ " t = −
≠ # ∈) Ta có
− −
= = = = = '
"i u mâu thu#n jf n c u Do v y " # = hay g n c u M t khác, H chia c nên Img chia c K, ó, " = ⊕$ $≤" Suy
= ⊕
" $ N u ≠" $≠ $ ≠ Chon ph n t
∈$ Do f (ng c u, ∃ ∈) = Ta có = = mà
= ' = ' = ∈ suy ∈ Nh v y ≠ ∈ ∩$ "i u
mâu thu*n cho ta =".V y g (ng c u "ó i u c n ch ng minh Bài Ch ng minh r&ng G chia c ch G khơng có nhóm t i i
Nh)n xét: M i nhóm cyclic không t m th ng u không chia c Th t v y, gi s
=< > ≠ chia c Ta xét hai tr ng h p:
i = ∞ ∀ ∈ , x chia c nên ∃ =′ ∈< > ∈ cho
′
= = − = = (vô lý)
ii = T!n t i ′∈< > = ′= (mâu thu*n ≠ ) V y =< > không chia c
Gi i Gi s G chia c Gi s ph n ch ng G có nhóm t i i M Vì ,≠ nên chon ∈ ,, th v M nhóm t i i nên ta suy < > +,= Không
(13)13 m y khó kh,n ta ki m tra c =< +,>
, nhóm chia c, khác "i u
mâu thu*n v i nh n xét V y G khơng có nhóm t i i
Ng c l i, gi s G khơng có nhóm t i i Ta s ch ng minh G chia c
b ng cách ch ng mimh pG = G v i m i s nguyên t p Th t v y, n u có p ≠
thì m t khơng gian vect không t m th ng v i phép nhân vô h ng
= ∀ ∈ ∀ ∈ G i ∈ c s c a b ng ki m tra tr c ti p ta
c =< ∈ ∪ > C nh ∈ , ta s ch ng
minh , =< ∈ ∪ > nhóm t i i c a G Do ∈ c s c a
nên ∉, suy ,≠ Gi Alà nhóm c a G th%a , ⊆ Vì ,≠ nên
∈
∃ ∈ , = + ∈ mà ≠ t ó suy ≠ =
Khi ó,
∈
= = +
∈ =
= + − ∈ ∈ ⊂
"
* *
T c A nhóm t i i G Mâu thu*n kh(ng nh G chia c Bài Ch ng minh r&ng G chia c ch G khơng có $nh ng c u h#u h n khác không
Gi i Gi s G chia c Xét !ng c u →$ Khi ó, theo nh lý Noether, ≅
" # Ta s ch ng minh " # vô h n Gi s ng c l i, " # h'u h n
thì
" # t!ng tr c ti p c a nhóm cyclic < > c p nguyên t Nh ng G chia
c nên
" # chia c, ó, < > chia c "i u không th x y V y " # vô h n, hay Imf vô h n
Ng c l i, G khơng có nh !ng c u h'u h n khác không Ta ch ng minh G chia c b ng cách ch ng t% r ng G khơng có nhóm t i i Gi s ph n ch ng G
có nhóm t i i M, th ≠
, Ta kh(ng nh , nhóm n (vì n u E
nhóm th)t s c a
, π
−
, $ , mâu thu(n tính t i i c a M), o,
nó nhóm cyclic c p nguyên t Suy
, h'u h n, trái gi thi t V y G
(14)14
Nh n xét Nhóm G nhóm cyclic c p nguyên t n u ch có hai nhóm nh#ng
nhóm t m th ng
Bài L y ví d* v hai nhóm chia c nh ng có giao khơng chia c Gi i Xét nhóm aben ph c v i phép tốn nhân thơng th ng
" t = # #∈ ≤ A chia c, vì: ∀ = #∈ ∀ ∈ , ta có
= ∈
#
mà = Ký hi u = # π#$ !% π# #∈ ≤ B chia
c, vì: ∀ = # π + !% π ∈ ∀ ∈
# # ta chon c ph n t
π π
∃ = + !% ∈
#
# #
mà = Tuy nhiên,
∩ = # ∈ ≅
#