Đang tải... (xem toàn văn)
Không thể giải được bằng căn thức các phương trình tổng quát bậc năm trở lên.. Một số phương pháp giải 1.[r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
I.Tóm tắt lý thuyết 1 Các định lý bản
Định lý Nếu phương trình anxn+an −1xn −1+ +a1x+ a0=0 có nghiệm hữu tỷ nghiệm phải có dạng x=p
q p ước a0 , q ước an
Đặc biệt an=1 nghiệm hữu tỷ có nghiệm nguyên.
Định lý Mọi đa thức bậc bốn có nghiệm thực phân tích thành tích tam thức
bậc hai với hệ số thực
Định lý Cho phương trình bậc 2 n: a2 nx2 n+a2 n −1x2n − 1+ .+anxn+ .+a1x+a0=0
Nếu tồn số thực α cho an − i=an+i αi,∀ i=1,2,3 . phương trình đưa
được phương trình bậc n
Định lý Mọi phương trình bậc lẻ có nghiệm thực Phương trình bậc n có khơng q n nghiệm
Định lý Không thể giải thức phương trình tổng quát bậc năm trở lên. 2 Một số phương trình thường gặp
a) a x3+bx2+cx+d=0 (ac3=db3≠0)⇔(x+ c b)[a x
2
+(b −ac b )x +a
c2 b2]=0 b) (x+a)(x+b)(x+c)(x +d )=mx2(ab=cd ≠ 0)⇔(x +ab
x +a+b)(x + cd
x +c +d)=m Đặt y=x + ab
x c) (x+a)(x+b)(x+c)(x +d )=m (a+b=c +d ) Đặt y=(x+a)(x+b) y=x2+(a+b)x +ab +cd
2 d) x+b¿
4 =c x +a¿4+¿
¿
Đặt y=x +a+b
e) a x4+bx3+cx2+dx +e=0(ad2=eb2)⇔ a x2+bx+c+d x+
e
x2=0 Đặt y=x + d bx
II Một số phương pháp giải 1 Phân tích thành nhân tử.
Thí dụ Giải phương trình (x2− x +2) (x2
+15 x +56)+8=0(1)
Lời giải
x2+6 x −8=0
¿
x2+6 x −15=0
¿
x=−3 ±√17 ¿
x=−3 ±√24 ¿ ¿ ¿
⇔¿ ¿ ¿
¿(1)⇔ x
4
+12 x3+13 x2−138 x +120=0⇔(x4+6 x3− 15 x2)+(6 x3+36 x2− 90)−(8 x2+48 x − 120)=0 ⇔(x2+6 x −8)(x2+6 x − 15)=0⇔
(2)Lời giải
x −1¿2+7
(x3− 1)2+2 x4+3 x2+¿=0⇔ ¿
x+1=0
¿
x2− x − 1=0
¿
x=− 1
¿
x=1±√5 ¿ ¿ ¿
⇔¿ ¿ ¿ (2)⇔(x+1)(x2
− x −1)¿ 2 Đưa đẳng thức
a) a2=b2
Thí dụ Giải phương trình x4−4
√3 x − 5=0(3) Lời giải
(3)⇔ x4
+2 x2+1=2 x2+4√3 x+6⇔(x2+1)2=(√2 x +√6)2⇔
x2
+√2 x+1+√6=0 ¿
x2−√2 x+1 −√6=0 ¿
¿ ¿ ¿ ¿
(bạn đọc tự giải)
b) a3 =b3
Thí dụ Giải phương trình x3− x2− x=1 3(4) Lời giải
(4 )⇔3 x3
−3 x2−3 x − 1=0⇔ x3
=x3+3 x2+3 x +1⇔4 x3=( x+1)3⇔ x=3
√4 − 1 c) a2+b2=0⇔ a=b=0
Thí dụ Giải phương trình 6 x4
+8 x2+6=(x4+2 x2+1) (1+4 y − y2)(5)
Lời giải
(5)⇔ x4+8 x2+6 x4
+2 x2+1 +y
− y −1=0⇔(x2− 1 x2+1)
2
+( y − 2)2=0⇔
(xx22−1+1)
=0 ( y −2)2=0
⇔
¿x=±1
y=2
¿{
(3)
Thí dụ Giải phương trình Lời giải
Đặt y=x +4 , ta phương trình
1 1 1 2 2 2 2 4 x x x y y y y y y y y y y y y y y y y y y y
Thí dụ Giải phương trình (6 x+ 7)2(3 x +4 ) ( x+1)=6(7) Lời giải
(7)⇔(36 x2
+84 x+49) (3 x2+7 x +4)=6 Đặt y=3 x2+7 x+4=3(x +7 6)
2 −
12≥−
12 , phương trình
cho trở thành
2
1
12y y y
Với y= 3⇒3 x
2+7 x+4=2
3⇔ x1=−
3, x2=− . Thí dụ Giải phương trình 4 (x +5 )( x+6)(x +10)(x +12)=3 x2(8)
Lời giải
(8)⇔4[(x +5)(x +12)].[(x+6)(x +10)]− x2=0⇔4(x2+17 x +60) (x2+16 x +60)− x2=0 ⇔ 4(x+60
x +17)(x + 60
x +16)−3=0
đặt x+60
x +16= y , ta
4 ( y +1) y −3=0⇔ y =1
2 ¿ y=−3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Với y=1
2 ta phương trình x+ 60
x +16= 2⇔2 x
2
+31 x+120=0⇔ x=− ; x=−15 Với y=−3
2 ta phương trình x+ 60
x +16=− 2⇔2 x
2
+35 x +120=0⇔ x= −35 ±√265
4
Thí dụ Giải phương trình x4−5 x3+10 x +4=0 (9) Lời giải
(9)⇔ x2
−5 x +10 x +
4
x2=0⇔(x
+
x2)−5(x −
x)=0⇔(x − x)
2
−5(x −2
x)+4=0 Đặt y=x − x ta phương trình
y2− y+4=0⇔ y =1; y =4 Với y=1⇒ x −2
x=1⇔ x
− x −2=0(x ≠0)⇔ x=− 1; x=2 Với y=4⇒ x −2
x=4⇔ x
− x −2=0⇔ x=2 ±√6 .
(4)Lời giải
Đặt y=x2+4√5>0 ta có phương trình
y2− 12 y +16=0
¿
y2−11 y +49=0
¿
⇔ y =6 ±2√5⇒ x2
=6 ±2√5− 4√5⇒ x2
=6 − 2√5⇒ x2
=(√5 −1)2⇔ x=±(√5− 1)
¿ ¿ ¿y2− y − 28=(34 − y )√y⇔(y2−7 y −28)
2
=(34 −3 y )2y⇔ y4− 23 y3+197 y2−764 y+784=0 ⇔(y2−12 y +16) (y2− 11 y +49)=0⇔ ¿ Thí dụ 11 Giải phương trình x+3(2− x2
)2=2(11) Lời giải
(5)y +3 x2=2 ⇔
¿x +3 y2=2
x − y +3 y2−3 x2=0 ⇔
¿x +3 y2=2 ( x − y )(1 −3 ( x + y ))=0
⇔
¿
x+3 y2=2 x= y
¿ ¿ ¿
x+3 y2=2 ¿
x + y =1 ¿ ¿ ¿
⇔
¿ ¿ ¿ 3 x2
+x − 2=0 ¿ ¿
x= y
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 3 y2− y −5
3=0 ¿
x=1 3− y
¿ ¿ ¿ ¿
Thí dụ 12 Giải phương trình (8 x3+2001
2002 )
3
=4004 x −2001(12) Lời giải
(12)⇔(2 x)3+2001=2002√32002(2 x)−2001 Đặt t=2 x ; y=√32002 t −2001 ta hệ phương
(6)t3+2001=2002 y ¿
y3+2001=2002 t ⇔
¿t3+2001=2002 y t3− y3+2002(t − y )=0
⇔
¿t3+2001=2002 y (t − y)(t2+ty+ y2+2002)=0
⇔
¿t3+2001=2002 y t= y
⇒
¿
¿{
¿ ¿ ¿
¿
4 Phương pháp tham số phụ
Thí dụ 13 Giải phương trình 54 x3− x+
√2=0(13) Lời giải
Ta tìm cách viết vế trái phương trình dạng x3
+a3+b3−3 abx Như a , b
nghiệm hệ phương trình ¿
a3
+b3=√2 54 a3 b3
= 183 ⇒ a3,b3
¿{
¿
nghiệm phương trình t2−√2 54 t+
1
183=0⇔ t=
54√2 ⇒ a=b= 3√2
Khi phương trình cho tương đương với ( x+ a+b )(x2
+a2+b2− a x − bx − ab)=0⇔(x+ 3√2)(x
2− 3√2x +
1
18)=0⇔ x =− 3√2; x=
1 3√2 Thí dụ 14 Giải phương trình x4−2 x2−16 x +1=0 (14)
Lời giải
Viết phương trình cho dạng (x2+α)2=2(1+α)x2+16 x −(1 − α2) Ta cần chọn α
cho
Δ'=82+2(1+α)(1 − α2)=0⇒α=3 Khi phương trình cho tương đương với
(x2+3)2=8 ( x +1)2⇔(x2+2√2 x +3+2√2) (x2−2√2 x +3 −2√2)=0⇔ x=√2±√2√2 −1 Thí dụ 15 Giải phương trình 5 x5+5 a x3+a2x+5 b=0 (a ≥ 0)(15)
Lời giải Đặt
u+v¿5⇒ x5=u5+v5+5 uv(u3+v3)+10 u2v2(u+v )=u5+v5+5 uv[(u+ v )3−3 uv (u+v)]+¿+10 u2v2(u+v )=u5+v5+5 uvx3−15 u2v2x +10 u2v2x⇒ x5− uvx3+5u2v2x −(u5+v5)=0 ¿
(7)−5 uv=a −(u5+v5)=b
⇔
¿u5 v5=−a
5 55 u5
+v5=− b ⇒
¿{
¿
u5, v5 hai nghiệm phương trình
0
5
bt a t
Δ=b2+4(a 5)
5
≥ 0(a ≥ 0) Do t1,2=−b 2±√(
b 2)
2 +(a
5)
suy nghiệm (duy nhất) phương trình cho
x=u+v=√5−b 2+√(
b 2)
2 +(a
5)
+√5−b 2−√(
b 2)
2 +(a
5)
5 Quan niệm phương trình bậc 2
Thí dụ 16 Giải phương trình x4−2
√5 x2
+x+5 −√5=0(16) Lời giải
(16)⇔5 −(2 x2+1)
√5+x4
+x=0 , ta coi phương trình bậc hai ẩn √5 Khi biệt thức
Δ=(2 x2+1
)2− 4(x4
+x)=4 x2− x +1=(2 x − 1)2 Do √5=2 x
+1 ±(2 x −1 )
2 ⇒√5=x
2
+x ; x2− x+1
√5=x2+x⇔ x2+x −√5=0⇔ x=−1 ±√1+4√5
√5=x2− x+1⇔ x2
− x+1−√5=0⇔ x= ±√−3+4√5
2
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải phương trình sau:
1 x4
+(x −1)(x2−2 x+2)=0
2 x4+4 x3− x2−16 x +16=0
5 (12 x −1)(6 x −1)( x −1)(3 x −1)=5 (x − 18)(x −7)(x +35)(x+90)=2001 x2 x4−8
√2 x +12=0
8 (x2+3 x +2) (x2+7 x+12)=24 6 x3+3 x −5=0
10 x=1− 2009(1− 2009 x2
)2
11 (x2− x)2−2 ( x − 3)2=81 12 (x2− x +2)3=x6−(3 x −2)3 13 (x2− a
)2−6 x2
+4 x +2 a=0
14 x4−10 x3−2 (a −11) x2+2 (5 a+6) x+2 a+a2=0 15 2004 x4+2001 x3+2008 x2+2004 x+2004=0 16 32 x5−40 x3+10 x −√3=0