Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số bài toán về số học và dãy số nhằm trình bày một cách hệ thống, chi tiết một số bài toán về tính chất số học của các phần tử trong một dãy số. Luận văn được chia thành 4 chương, mời bạn đọc cùng tham khảo.
ÌƯ Ị õ À õ ÉÙ Àđ Ỉ Ĩ −−−−− −−−−− Ø Ị Ị Ð Ú Ị Øđ Å Ø × đ ØĨơỊ Ú × Úđ óÝ × ÙÝ Ị ề ủề ú ì ẩ ề ẳ ễ ụễ ỉểụề × º ¼ ÄÙ Ị Ú Ị Ø õ × Ĩ Ỉ Ị È Àđ Ỉ Ơ ˺ Ì˺ È ắẳẳ ề ể ề í ũ ẵ é ỉ ì ẵẵ ề ỉ úí ì Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ½º½º½º ẵẵắ ụ ụ ề ĩụ ẵắ ậ ẹ ỉ óÝ × óÝ × óÝ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º غ º º º º º º º º º º º º º º ỉ ẵắắ Ø ØƯĨỊ × Ị ÙÝ Ị º º º º ẵẵ ì ÙỊ º º º º º º º º ½½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¿ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¿ ÙỊ Ị ÙÝ Ị Ø ½º¾º º Ị Ị ẵắ ủẹ ễ ắ úí ì ủ ỉ ề ¿º óÝ × Úđ Ø Ị óÝ × Ð × Ò Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ị Ị ÙÝ Ị º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ẵ ễ ẵ ề ẳ ề í Ị Ø Ø ØƯĨỊ ịỊ Ø Úđ Ø Úđ × ¿º¾º Ì Ị Ú Ị Ð Ị Ị Ø ễ úí ì ẵẵ ễ ì ẵắ ậ ẵắ Ỵđ Ë ịỊ Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º½º Ì Ị º Đ Ị ½º½º¿º Å Ø Úđ ẵ úí ì ỉ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¼ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ẳ ẵ ậ Ú º¾º Ë Ã Ø ÐÙ Ìđ Ð Ú Ị Ù Ø Ơ × óÝ Ị ĨỊ Úđ Ơ × Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ẳ ẹ ũể ẵ ụ Ø ØĨơỊ Ị Ðđ Đ Ø Ð Ú Ị Ð úí ì ỉ ụ ĩ é ề ề ề ỉ ề ề é ỉ ì ễ úí ì ề ềá ừề ề ỉệ ề Ð Ơ ú Ø ÙÝ Ø Ü Ơ º À Øđ Ð ị Ị Đ Ø Ư Ø Ơ ĨỊ óÝ × º ÌÙÝ Ị Ị Ø Đ Ø ỊđÝ Ù Ðđ đ ØĨơỊ ỊđÝ Úđ Ơ Ơ ề ủ ề ề í ềủí úí ì × õỊ Ý Ù Ø Ị ÕÙ Ø Ú º Ị ººº Ú Ị Ị õ × ØĨơỊ ØƯ Ø ÙÝ Ø Ơ Ị ÐÙ Ị Ú Ị Ðđ ØƯ Ị Ø Ị ØƯĨỊ Đ Ø Ú Ð ề ế ề úí ì ụ ề ỉệểề ũẹá ỉ ề ề ế ề ỉ ú ì ỉ ẹá Ị đ ØĨơỊ Ú Å Ú Ð Ø Ị ÕÙ Ị ØƯ Ị Ø ÕÙ Ị ØƯ Ị Ù Đđ Ú Ị Ø × đ ØĨơỊ Ð Ðđ Đ Ø Ơ ị Ø Ø Ị óÝ × Ì Ị Ị Ịººº ơ óÝ × Ơ Ø ề úí ì ặ ệ ế ề Ø Đ Ị Ị Ø ÙÝ Ø Ị Đ Ø Ú ØƯ Ị Đ Ù Øđ Ð Ị ÕÙ Ị Ù đÝ Đ Ø Ị Ø ØƯĨỊ óÝ × Ðđ Đ Ø Ú Ị đ ØĨơỊ Ị ÐĨõ Đ Ø Ý Úđ Ị Ø Ø º Ìơ ị ÐÙ ề ể ỉ ề ề ỉ ề ỉẹ ỉì óÝ × º ÄÙ Ị Ú Ị º đ ØĨơỊ ỉ ủề ề ỉì ề ẵ ụ ì ề ỉ ũề ỉệểề ắá ụ ề ỉ úí ì Ðđ × Ơ Ị × Ơ ØƯĨỊ Ị ĨịỊ óÝ × Ø đỊ Ị Ị Ĩ Ú ị ÐÙ Ị Ú Ị Ø Ị đ ØĨơỊ Ú ØƯ Ị óÝ đÝ ØƯĨỊ Ị º Ị Ơ Ø ề ề ề ễ ẹ ỉểủề ì ắ ễ ÌƯĨỊ Ị Ú Ị غ Đ Ø × × Ị Ơ Ơ Ị Ị Ĩ ỊđÝ Øơ Ơ ị ề ỉ ú ỉ ề úí ì ế ẹ Ø × Ị ỊđÝ Ơ Ð Ø ÙÝ Ø × Ị Ø Ơ Ú Ị Ø Ø ỊđĨ ØƯĨỊ ó Ơ Ø Ø Ơ Ị ỊđĨ Ø Ý Ị ÙÝ Ị Ø Ð Ị Ø Ơ¸ Ð Ý Ú đ ỉểụề ể ề ì ẵ úí ì ỉ ề Ø Ơ Đ Ø × × Ị Ø Ø Øº Ìơ ị đ ØĨơỊ Ú ØƯ Ị Ø Ø ỊØ Ị Ø Ị Ị Ị Đ Ø × Ĩ ÌƯĨỊ Ị Ø đ ØĨơỊ × Ơ Ĩ × đÝ Ðõ Đ Ø Ị º Ị Ø ÐđĐ ÙỊ úí ì èệ ề ề í ề ỉ ÕÙ º ÄÙ Ị Ú Ị ØƯ Ị Úđ × óÝ × Úđ Ø Ị ¿ Ị Ø Ú óÝ × Ị ÙỊ ¸ Ơ Ị Ù Ư Ị Ị óÝ × óÝ × Úđ Ø Ị Ú Ị Ị ề ì ặ ề ắ í ụ ề ¿ Úđ Ị Đ Ø × ỊØ Ú × óÝ Ơ Ị ØƯ Ị ÙÝ Ị Ø ººº Ơ Ị Ø ØƯĨỊ ØƯĨỊ óÝ × Đ Ø Ĩ Ơ ề ỉ ì ề ẹ ỉ é ề ậ Ú Ø¸ Ø Ị Ị Ị Ø Ị ØƯĨỊ Ơ × Ị Ị Ị ˺ ÌË º Ơ Ị Đ Ø Ị Ơ Ìơ Ị Ơ ÙÝ ị º ị Ü Ị ị Ü Ị Ĩ Ị Ị ịÜ Ị ó Ø Ị Ø Ị غ ơĐ ĨđỊ Ø đỊ Ị Ø đỊ Ø đÝ Ø Ð Ị Ơ Đ Ø Ị Ị Ị đ ØĨơỊ Ú Ị Ù Úđ × ó Ơ Ø Ú óÝ × Ị ÙỊ Ø Ø Ðđ Ơ Ị Ù Ị Ị Ơ Ị º Ị Ð Ị ơ ị Ĩ Ø ế ỉ ề ỉ ề ề ì ìỳ ÕÙ Ị Ø ó ØõĨ Ì Ù Ù ơĨ ݺ Ị Ơ Ú õỊº Ị Ø Ø Ị Ị đÝ Ø Ị ơĐ Ø × × ị Ü Ị Ị Ø đỊ ó Ü Ø Ø Ị ỊđÝ Øơ Ø × Ị ÙÝ Ị Ø Ú Ị Ø Ị ĨỊ Đ Ø × Ìơ ÌƯĨỊ Úđ Đ Ø × óÝ Đ ººº óÝ ĨđỊ Ø đỊ ÐÙ Ị Ú ề èụ úí ì ỉá ỉ ề úí ì Ìơ ÙỊ Ơ Ịº ÌƯĨỊ ÄÙ Ị Ú Ị Đ Ø Ị ØƯĨỊ È Đ Ø Ø Ý ơĨ¸ Ị Ị ơĨ ó Ị Ø Ø Ị ịỊ õÝ Ị¸ õỊ Úđ õỊ Ị º ỊỊ ĨđỊ Ø ủề ủ ặ é ề ề ềủí ỉ ụề èụ ắ ỉ ề ẹ ắẳẳ ũ ẻ ề èủ ụ ề ẵ ỉ ì ề ỉ ½º½º óÝ × ½º½º½º Ị Ị óÝ ½º ụ ì úí éủ úí éủ i Ø Ị Ðđ Ị óÝ óÝ óÝ Ị Ù Ø Ị ¹ óÝ Ị Ù ¹ óÝ Ị Ù ¹ óÝ Ị Ù õỊ Ị Ù õỊ Ị Ù × Ị Ø Ĩ Đ Ø ÕÙÝ ÐÙ Ø ỊđĨ Ú Ơ õỊ Ơ Ị Ø Ị Ị Ø º óÝ Ðđ Ù õỊº È Ị Ø Ị Ðđ un+1 > un ịĐ Ị Ù ịĐ Ị Ù óÝ ¿º u1 , u2 , u3, Ò Ù Ò Ù Ú un+1 un Ñ n = 1, n = 1, 2, Ú n = 1, 2, Ñ Ðđ Ĩ un < K Ú Đ n = 1, 2, Ĩ un > m Ú Đ n = 1, 2, Ị ØƯ Ị Ú Ị ¹ Ị m× óÝ Ú Ú Đ u1 , u2 , u3, Ị Ù Ø Ị Øõ × n = 1, 2, Đ un+1 ≥ un K Ị Ðđ Ú un+1 < un Ø Ị º óݺ Ị Ị ØƯ Ị Ị Ù Ø Ị Øõ × óÝ u1 , u2 , u3, ỉ ì ề ỉ ạ úí ì úí ắ ề ũề éủ ễ ¹ Ị un Đ u1 , u2 , u3, ¹ õỊ Ị Ù Ị × Ĩ Ĩ ¿ º ui Ðđ × Ị Ĩ Ị un = C Ị Ë Ú k Ị k Ĩ Ị óÝ º Ỵ óÝ Ị n ≥ No ¸ Đ Ị Ị ÙÝ Ò u1 , u2 , u3 , óÝ º Ù óÝ × Ø Ĩ Ú È Ðđ Đ Ø úí ề ữề éủ ỉ ề ì ề ỉ Ị Øõ × ỊđĨ Ị ÙÝ Ị ´Úđ ĨđỊ Ị ỉ ề ỉừ éủ ữề ì ề í ề ề ề ề ì No ì ể ề ề n Úđ × p = 1, 2, Ø un = un+kp un+1 = un+1+kp Ñ u n+k−1 = un+k−1+kp óÝ ØÙ Ị Ị Ị Ơ ĨđỊº {un } : u1 , u2 , u3, · · · º C Ý u1 , u2 , u3 , × Ĩ Ðđ Ðđ Ị Úđ óÝ Ị Ơ Ơ ØĨơỊ Ị × Ù {vn } : v1 , v2 , v3 , · · · ØƯ Ị Ðđ Ì óÝ {un + } : u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 , · · · Ị Ị º È Ơ Ị Ị óÝ Ị ØƯ Ị Ðđ óÝ {un } : u1v1 , u2 v2 , u3 v3 , · · · ´ Ò Ù vk = Ú k = 1, 2, · · · Đ Ø Ø Ø Ị Ị Ø Ị óÝ Ị ØƯ Ị Ðđ × Ù Ý óÝ un ẵẵắ ụ ĩụ ĩụ ề ề ẹ ỉ Đ óÝ × Ø : u1 u2 u3 , , · · · ) v1 v2 v3 óÝ × Ị Ø Ø Ø Ị đỊ Ø Ĩ ơ µ Ĩ Ị Ø Ì × õỊ {un } óÝ × n = 0, 1, 2, · · · ´ Ò ØƯĨỊ Ø Ị Üơ Ðđ Ị Ù ØƯ Üơ Ị ÕÙ º Ị Ị Ị óÝ × Ø Ị Ị Ơ óÝ Ị Ø un = 2n + Ø Ú Đ 1, 3, 5, 7, · · · Ị Ð Ø úØ Ù Ø u0 Ø Ðñ Ø Ü Ø óÝ u0 , u1, u2 , · · · µº µ óÝ × Ì Ĩ óÝ × Ø Ĩ ØỨÝ {un }, n = 0, 1, 2, · · · u0 = u1 = µ un+1 = un−1 un+1, óÝ × Üơ Ì Ĩ Ị × º Ø Ị Ø Ị Ị k Ú Ĩ Úđ nº Üơ Ị Ị Đ n = 1, 2, 3, · · · Đ Ù Øịº Ä Ô × Ù {uj }, {vj }(j = 1, 2, · · · , n) óÝ × × Ù k ½ n Ø Ò j : (j = 2, 3, · · · , n) Ø k + vj−1 Ỵ Ĩ Ĩ n Ðđ Üơ Ø u1 uj Ị Ị Ðđ Úđ Ơ uj Úđ Úđ Ơ Ị vj Ị Ị Ðđ v1 º × Ù Ðđ vj º óÝ ÒñÝ Ø k = nu1 + v1 ; k + v1 = nu2 + v2 ; k + v2 = nu3 + v3 ; ··· k + vn−1 = nun + ÌƯĨỊ ØƯ Ị Ị Ơ ơƠ ØƯ Ị Ë Ị Ơ Ị Ð º óݺ È Ị Ị Ơ Ị Ĩ đĐ × y = f (x)º Ø óݸ Ị Ø Ơ ơƠ ỊđÝ Ú 2h, · · · , x0 + nh, · · · h éủ ẹ ĩụ ễ ụễ ì ữề ì µ Ø ÚđĨ Ơ Ơ ị × Ị Ý × Ị Ị Ơ Ơ ơƠ × Ị Ơ ơƠ Ơ Ơ Ị × Ù Ị ݺ Ị ØƯ Ị Ðđ f (x) Øõ Đ x0 , x0 + h, x0 + y0 , y1 , y2 , · · · , yn , · · · º Ã Ø ∆yi = yi − yi−1 Ðđ × Ơ Ị Ơ đĐ f Ú i = 1, 2, · · · Ñ ∆2 yi = ∆yi − ∆yi−1 = (yi − yi−1 ) − (yi−1 − yi−2 ) = yi − 2yi−1 + yi−2 Ơ f đĐ Ị • Ø Ø Ị Ơ Ơ Ị i = 1, 2, · · · Ñ Ú Ý Ø Å Ø × ¹ Ë Ú Ðđ × Ø × Ị Đ Ơ Ị Ị Ơ Ị Ù × Ø Ị Ơ Ị Ơ Ĩ Ịº Ø ØÙÝ Ị Ø Ị ¸ Ø Ðñ ∆k (f ± g) = ∆k (f ) ± ∆k (g) ¹ Ë Ơ Ị k Ơ Đ Ø k = n ´Úđ Ị Ðõ Ị Ù × ẹ ỉ kà ỉ n ỉ ễ ề ễ ì ÷Ị k k>n ¼ Đ Ø đĐ Đđ ÷Ị ÷Ị ữề ữề ì ì ỉ éủ n i=1 ã yi = (y1 − y0 ) + (y2 − y1 ) + (y3 − y2 ) + · · · + (yn − yn−1) = yn − y0 È Ò Ĩ × Ơ Ị y = f (x)º đĐ × Ðđ ØƯ Ị ØƯ Ø Ị Ị yo , y1 , y2, , yn , đĐ × Å Ø Øõ x0 , x0 + h, x0 + 2h, , x0 + nh, Ø Ù Ø Ò Ò õÒ an yn+i +an−1 yn−1+i +an−2 yn−2+i +· · ·+a1 y1+i +a0 yi = Ðđ Ơ Ðđ Ị ÷Ị ØƯ Ị È Ơ Ơ Ị Ị ØƯ Ò Ò Ò ØÙÝ Ò Ø Ò ØÖ Ò Ù ỉệ ề ễ ụễ ỉệí ỉểụềá ỉ ì ễ ề ảà yi , yi+1, , yi+n ặ ặ Ơ Ø Ù ỊỊ Ø Ơ n¸ ØƯĨỊ a0 , a1 , a2 , , an ì ũ ữề ì ảà ề ẹ ỉ ề ủ ề ỉ ề n Ĩ ØƯ ơ ØƯ Ø × Ù yi , yi+1 , , yi+n éủ ảà ừề ề Đ Ị Ðđ Ơ Ị Ơ Ị ØƯ Ị an λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 = ØƯ Ị Ỉ Ù Ơ ữề ỉệ ề ề ỉệ ề ì ỉ ảàá ỉ Ðđ Ị Ø Ị Đ Ị Ư λ1 , λ2 , , n éủ n ề ẩ ề ể ảà yi = c1 λi1 + c2 λi2 + · · · + cn λin ¸ c1 , c2 , c3 , , cn ô y0 , y1 , , yn Ý yi ± yi , yi+1 ± yi+1 , · · · , yi+n ± yi+n ÕÙôØ Ù yn , yn+1, ØƯ Ø Ị Ị ØƯĨỊ Đ Ơ ề ỉệ ề ềủí ỉ éủ ảà ỉệ ề ề Đ ¸ øỊ õỊ λ1 yi = c1 λi1 + c2 iλi1 + c3 i2 λi1 + · · · + cs is−1 λi1 + cs+1 λis+1 + · · · + cn λin s¸ Ø Ì ơƠ Ø Ị Ơ Ị Ơ ơƠ × Ị ØƯ Ị đÝ ØƯ Ị ÚđĨ Ú Üơ ½ u0 = 1; Ĩ óÝ × Üơ Ị u3 = 1; u6 = 19; u7 = 29; u8 = 41; Ò Ø y = f (x) ể ì ẵ í ì ẳ ễ ạẵ ạắ y ề ỉ ừề ạẵ y a, b, c Ø Ð Ị Ð óÝ ØƯĨỊ × Ù u4 = 5; u9 = 55 n = 0, ễ ũề ẵẵ ẵ ắ ắ ắ ề ễ ắ ỉ ề ẵ ể ì ễ ắ ắ ề ¾ ´ ÷Ị x ØƯĨỊ x = 0, 1, ắ úí éủ ì ỉ ẵắ ủ u0 = y0 = = c; u1 = y1 = −1 = a + b + c; u2 = y2 = −1 = 4a + 2b + c Ì Ơ ×ÙÝ Ư a = 1; b = −3; c = 1º Ỵ Ý Ị óÝ × ØƯ Ị ó Ĩ ØÙ Ị Ø c=1 a + b + c = −1 4a + 2b + c = −1 Ó ÕÙÝ ÐÙ Ø x2 − 3x + 1¸ Ø Ðđ un = n2 − 3n + 1, n = 0, ắ úí ì {un } ĩụ ề ề ì Ù u0 = u1 = u = 3u n n−1 − 2un−2 Ú n = 2, 3, í ẵ ẵ ắ ắà ẻ í ỉ ề ì ắ ẵẳ ax2 + bx + cá ỉ ẹ Ø Ø Đ õỊ u2 = −1; ÀóÝ Ø Đ Ò Ù u1 = −1; u5 = 11; Ì Ò × Ùº Ì Ì Ơ ¾ ó Ĩ Ðđ × óÝ ØƯĨỊ ØƯ óݺ Ê u1 = ƯđỊ Ị Ị ×ÙÝ Ư q k1 + q k2 + · · · + q km = q km+1 ị Ị Ị ÜịÝ Ư km+1 = min{k1 , k2, , km , km+1 } ặ µ à ị Ú ´ µ Ĩ q km+1 º Ì = q k1 −km+1 + q k2 −km+1 + · · · + q km −km+1 à Ị ịĐ Ø Ị Ø Ị ÕÙ¸ Ø ị Ø Ø k1 < k2 < · · · < km Ò Ò Ø = q k1 −km+1 (1 + q k2 −k1 −km+1 + · · · + q km −k1 −km+1 ) Ĩ Ì q Ị ÙÝ Ị Úđ Ø Ù Đ Ù Ø Ù Ị Ú Ø µ Ỉ Ù Ø Ị kj − k1 − km+1 > 0, ∀j = 2, 3, , mº Ø ØÖ Ị ị Ø º¾º Ị ỊỊ Ú óÝ Ị Ðđ Ðđ × × Ù ĨỊ óÝ × Ơ Ù × Ù Đ Ø Ø ơỊ Ø Đ Ø ĨỊ ´ ễỉ áẵ ễ ềỉ ẹ ỉ ễ ề ỉ ØƯĨỊ óݺ Ù Ú Ø Ð Ơ ÐÙ Ị ĨđỊ ØĨđỊ Ð º đ ØĨơỊ ó Ị Đ Ị º ĨỊ º Ù º ÚđĨ Ù Đ óÝ × ĨỊ Ị Ị Ị Ị Ø đỊ Ð Ơ Úđ ÜÙ Ø ịỊ ØõƠ đ ØĨơỊ Ø ĨỊ Ị и Ị ỉ ễỉ ỉ ủề ẩ ạì ề ủ ØĨơỊ ÙỊ Đ ´ ị Ờ Ị Ị óÝ Đ ỉ ề è ểề ễỉ éừ ì ề ệ ủ ụ ủ ỉểụề ỉệ ề ì ẵáắẵá éủ ểề ễỉ ủ ụ ủ ∈ {1, 2, , m} Ú Ä ĨỊ Ư Ĩ È × ỊĨ ÉÙ Ừ ƯÐÝ Ư ¿ Ø ơỊ Đ Ø ÌƯĨỊ q = ±1 ¸ Ú Ý Ị ò ¿Ñ Ø º ºº q ⇒ q = ìí ệ ểề ỉ ề éủ ỉụ Ị Đ½ ĨỊ Ø q = ±1 Ị Ị Ë ÁÁÁº Ị Ø Ơ ịỊ ĨỊ Ø ị Ø min{k1 , k2 , , km , km+1 } = kα ề è ẹ éừ ể è ễỉ áắ ØƯ × Ị Ư × Ù Ø ơỊ óÝ ĨỊ Ø ØƯĨỊ Ú Ị Ø Ü ØĐ Ø× º ÌƯĨỊ Ị Ị Ị Ðđ Ơ óÝ ĨỊ Ù ụ ỉề ủ ỉểụề ì ỉ ề ỉ ẵáắáá á ì ỉì ụ ụ ủ ỉểụề ẵ Ĩ óÝ × {un }, n = 1, 2, º ĨỊ Ị Đ Ị Ư÷Ị (un , un+1) = 1; n ặ ặ ỉ un Ø (un , um ) = ud Úµ m Ĩ óÝ × un Ø um Ĩ Ø n Ø Ĩ Ø Ĩ ĨỊ Ø Ø Đ Ø Ø Ơ Ú Ò m Ú Ò × m>2 d = (n, m) Ú õỊ Ị Ä ÌƯ um ; Đ Ị øỊ Đ Ø Ị ÙÝ Ị Ø Ị Ị ị Ø un+m = un−1 um + un um+1 Ị Ú × è ề ẻ m=1 ỉ ề ẹ ề ề ữề n>1 Ø Ơ Ị Ùº Úđ Ú ´ µ m = 1, 2, Đ Ơ ơƠ ÕÙÝ ỊõƠ ØĨơỊ Ø Ó mº Ø un−1 um + un um+1 = un1 + un = un+1 ẻ í Ị Ú ị × × m Ú m=1 ỊđĨ øỊ Ø × Ù Ị un+m = un−1um + un um+1 ; ´ µ un+m+1 = un−1um+1 + un um+2 Ì × Ị Đ Ị øỊ Ø × Ù Ò un+m+2 = un−1um+2 + un um+3 Ì Ø Ú Ý Ị Ø Ị Ú øỊ Ø ØƯĨỊ ´ µ Ø un+m + un+m+1 = un−1 (um + um+1 ) + un (um+1 + um+2 ) ⇒ un+m+2 = un−1 um+2 + un um+3 º Ì Ĩ Ị ÙÝ Ị Ð ÕÙÝ ỊõƠ ØĨơỊ µ Ì Ø øỊ Ø ó Ị Đ Ị º Ĩ ´ µ Ø (un , un+1 ) = (un , un−1 + un ) = (un−1 , un ) = · · · = (u1 , u2) = ẻ n ếí ềừễ Ø Ø Ĩ kº Ĩ m Ị Ị Ø Ø Ú Ø n = km, k = 1, 2, º è ì ề ẹ ề k=1 ẻ n=m umk ũ × Ø Ĩ Ị Ú Ý um ¸ Ø º un ºº um Ü Ø Ðđ um(k+1) Ị Ị Ì Ịº Ĩ Ị Ø ´ µ Ø um(k+1) = umk+m = umk−1 um + umk um+1 Ë õÒ Ø Ị Ø Ø um º Ỉ ỊỊ Ø Ú Ý Ø Ị × Ĩ Ị ÙÝ Ị Ð ÕÙÝ ỊõƠ ØĨơỊ µ Ì Ị Đ Ị ∃ q, r ∈ N∗ Ì Ĩ Ĩ um × õỊ õỊ Ø ¾Ø um Ø Ĩ ị × Ị Ĩ ịØ ×ÙÝ Ư Ø ÕÙÝ ỊõƠ um(k+1) um º Ĩ Ì Ĩ um Ị Ø Ị Ø Ø Ø Ĩ Ơ × Ĩ Ị ´ Ơ еº Ơ ơƠ Ơ ịỊ Ị º Ðõ n ºº º m n = qm + r, (0 < r < m) Ĩ ´ µ Ø un = uqm+r = uqm−1 ur + uqm ur+1 Ì Ĩ Ì Ĩ º qm ºº m µ Ø ị Ø Ò Ò º º un ºº um Ø Ø º uqm ºº um ⇒ umq ur+1 ºº um Ị Ị ×ÙÝ Ư º umq−1 ur ºº um (ur , um) = ỉ ạặ um = m = 1, ặ uqm1 um ìí ệ ềủí Ñ Ù Ø Ù Ò Ú (ur , um ) = d = Ø Ị Ị Ĩ Ø Ị Ø óÝ º uqm ºº um Ì ị Ø Úđ(uqm , uqm−1 ) =1Ị غ ĨỊ Ø ºº º um d uqm+1 = uqm−1 + uqm ⇒ uqm−1 = uqm+1 − uqm uqm−1 ur = (uqm+1 − uqm )ur = uqm+1 ur − uqm ur º º uqm ur ºº um ⇒ uqm+1 ur ºº um ËÙÝ Ư Ì Ó Ò Ø uqm+1 ºº º um d um+n = um−1 un + um un+1 Ø Ðõ (uqm+1 , uqm−1 ) = (uqm−1 + uqm , uqm−1 ) = (uqm , uqm−1 ) = · · · = (u2, u1 ) = è ề ìí ệ uqm1 è ìí ệ um = um = d d ¼ º ur ºº d ⇒ ur ≥ d = um Ì Ỵ Ý ØƯĨỊ ØƯ Ị Ú Ơ Ø m>2 m > r ⇒ um > ur º Úđ Ù Ị Đ Ù Ø Ù Ị¸ Ø Ì Ị Đ Ù Ø Ù Ịº Ị Ị ị × Ðđ × º Ðđ ´ Ơ ẹà àạ ặ ặ è ễ ị Ì Ĩ n, m ≤ d=1 Ø n, m > Ò Ø º n ºº d ud = ºº º n d Úñ m d ⇒ un ººº ud , Ĩ µ Ø (un , um ) = = ud Úñ Ø º un ºº ud Úñ º um ºº ud Ò Ù um ººº ud º Úđ Ị Ị ºº º ud ºº ud º Đ Ị µØ d=2 Ĩ º m ºº d Ị d = (n, m) Ò Ò º º d ºº d ⇒ ud ºº ud ⇒ (un , um ) = ỊØ ud Úµ Ì Ĩ Ø øỊ Ú õỊ Ị Ị µ Ø Ị Ü Ø õỊ Ðđ đ ỉểụề ắ úí ì ể úí ẵà ề ẹ ề ệữề ắà ề ẹ ề ệữề ề ẹ ề ệữề ề ẹ ề ệữề ụ ì úí × Ị ÙÝ Ị Ø Đ Ø Ị ÙÝ Ị Ø ĨỊ ó Ị Ị Ỵ Ø Ơ Ù ØƯĨỊ × ĨỊ º Ì º º º º un ºº ⇔ n ºº º º un ºº 22 ⇔ n ºº Ị Đ Ị Ðđ un ºº 5k ⇔ n ºº k µ un Ø ề ề éủ ẳ un ỉ ề ề éủ Ø xn − xn un = √ Ị × Ị ÙÝ Ị Ø óÝ × õỊ º n 15; ì ẳ n 150 ị un óÝ ĨỊ Ø Ị Ø Ì óÝ ẵáẵáắáá á ẵà è ẹ ề í 2, 3, 5, 7, 11, 13, Ò ÙÝ Ò ỉ ễ ì ìụề ệữề 1+ 1− x1 = ; x2 = ; n = 1, 2, 3, 2 u5n = 5un qn ¸ Ý Ø Ú Ý¸ ½ qn ºº º 5º ÷Ò Ò √ √ a = xn1 , b = xn2 Ø 5n 5u5n = x5n − x2 Ø 5u5n = (a − b)[a4 + ab(a2 + b2 ) + a2 b2 + b4 ] = (a − b)[(a2 + b2 )2 − a2 b2 + ab(a2 + b2 )]¸ ab = (x1 x2 )n = (−1)n ØƯĨỊ a2 + b2 = (a − b)2 + 2ab = 5u2n + 2(−1)n º Ì Ø √ u5n = √ 5un [(5u2n 2(−1)n )2 − (−1)2n + (−1)n (5u2n + 2(−1)n )] = = 5un [5u4n + 5u2n (−1)n + 1] = 5un qn Ê Ì 5º Ỵ Ý Ø ó º un ºº 5º 5º Ỉ Ù ºº º t 5Ø ºº º ut k=0 Ø u = 2º à k=1 ØÓ u3 = ºº 2º º un ºº 2º Ø Ì Ø Ú Ý¸ º Ù øỊ k = p + 1¸ Ị ó Ị Ị k=p Ø º u3p ºº 2º Ðđ Ø u3(p+1) = u3p+3 = u3p+2 + u3p+1 = u3p+1 + u3p + u3p+1 = 2u3p+1 + u3p º u3p ºº Ĩ Ú Ø Ø Ì Ø Ĩ ị Ø Ø ÕÙÝ ỊõƠ¸ º u3(p+1) ºº 2º ´ µ ×ÙÝ Ư ị × Ø Ị Ù k =p+1 Ò ó Ò u3p+1 Ù º un ºº Ò Ò º 2u3p+1 ºº Ò k = p + 1º ºº º un k=p 2º Ì º Ðđ u3p+1 ºº Ø k=0 Ø Ú Ý¸ Ø u1 = Ư º ºº º 2º Ø u3p+2 ∈ Z ⇒ 2u3p+2 ºº u3(p+1)+1 ºº º 2º u3(p+1)+1 = u3p+4 = u3p+3 + u3p+2 = u3p+2 + u3p+1 + u3p+2 = 2u3p+2 + u3p+1 Ĩ ´ µ n = 3k º Ø Ị Ị ÙÝ Ị Ị Ị ×ÙÝ Ư øỊ n = 3k + Đ Ị øỊ Ị Ỵ Ý Ĩ Ị ÙÝ Ị Ð ÕÙÝ ỊõƠ ×ÙÝ ệ è 5á ũ ì qn Ðđ ´ Ơ е n = 3k Đ Ị Ú º An ºº un = 5s ut An ¸ ØƯĨỊ 5k ⇔ s ≥ k ⇔ n 5k ề u5n = 5un qn ẹ ề ắà Ì Ã Ò n = 5s t, (t, 5) = Ø Ú Ĩ ºº º qn ƯđỊ qn = 5u4n + 5u2n (−1)n + Ú Ò u3p+1 ºº º ´Ø 2º ¾ Ĩ ị Ø Ø ÕÙÝ ềừễàá ỉ ỉ ẵẳà ẵẳà ìí è n = 3k + Ø un Ĩ Ị ÙÝ Ị Ð ÕÙÝ ỊõƠ ×ÙÝ Ư Ì Ị ị × Ù Đ Ị øỊ Ị k =p+2 Ø ó Ò n = 3k + 1º ºº º un k=p Ị 2º Ì Ø Ðđ k=0 Ø Ú Ý¸ u3p+2 ºº º u2 = Ø ºº º 2º 2º Ø u3(p+1)+2 = u3p+5 = u3p+4 + u3p+3 = u3p+3 + u3p+2 + u3p+3 = 2u3p+3 + u3p+2 º u3p+3 ∈ Z Ì øỊ Ì Ị Úđ ºº º u3p+3 Ị ´Ø Ĩ Ì Ù ¿µÌ Ðđ Ị k=1 Ù 2 Ỵ Ý Ù n = 3k + 2º n = 3k + º n = 6k Ø Ư÷Ị º un ºº n = 3k + 2º Ó º un ºº ⇔ n = 3k ⇔ n ºº 3º Đ Ị Ðđ ´ Ơ ẹà 22 è k=0ỉ ỉ íá u0 = ºº22 º øÒ Ò k =p+1 Ø ºº º u3(p+1)+2 u6 = ºº 22 º Ø ò × ºº º un º un ºº n + 3k ề ỉ ếí ềừễ ìí ệ k = p + 1º Ị Ĩ Ị ÙÝ Ị Ð ÕÙÝ ỊõƠ ×ÙÝ Ư º un ºº ị Ø ó k = p ≥ 1¸ Ị Ø Ðđ º u6p ºº 22 º Ø u6(p+1) = u6p+6 = u6p+5 + u6p+4 = u6p+4 + u6p+3 + u6p+3 + u6p+2 u6p+3 + u6p+2 + 2(u6p+2 + u6p+1 ) + u6p+1 + u6p u6p+2 + u6p+1 + u6p+2 + 2u6p+2 + 2u6p+1 + u6p+1 + u6p = 4(u6p+2 + u6p+1 ) + u6p Ĩ u6p+2 ∈ Z, u6p+1 ∈ Z Ỵ Ý Ù øỊ Ị Úđ º u6p ºº 22 ´ ị Ø n = p + ề ẵẵà ỉ ếí ềừễàá ề ề ỉ è ẵẵà ìí ệ ể ề í Ị Ð ÕÙÝ ỊõƠ ×ÙÝ Ư º u6(p+1) ºº 22 º º un ºº 22 n = 6k º Ì ề ỉ ề ễ ề ắà ỉ ề un ẹ Ò n = 6k + 3, n = 6k + 4, n = 6k + ºº º 22 Ỵ Ø º º un ºº 22 ⇔ n = 6k ⇔ n ºº µ µ Ì Ĩ Ơ Ì Ĩ Ơ µ Ø Ị Ú Ý un Ị Ðđ ¼ Ø un Ø Ị Ø Ị Ị Ĩ ¾ ủ ề ữề éủ ẳ un ủ ề ½µ un ºº ⇔ n ºº 5º º º ề ắà un n un Ỵ Ø Ỉ un n = 6k + 1, n = 6k + 2, ễ ẹà ỉ ể ắ Úđ Ĩ º º ⇔ n ºº 15 º ⇔ n 15 ì ẳ un 100 ⇔ un ¿ Ø Ĩ 22 Úđ Ø Ĩ 52 º Ì ĨƠ ´Ú (6, 25) = 1µº ÉÙ Ø ề ề éủẵáắá ỉ úí ì ỉ ề úí ì ó Ị ĐỊ º ĨỊ ØƯĨỊ × Ị Ø un ≡ rn (mod 104 ) óÝ Ư (a, b) Ơ× Ð Ø Ơ ị Ø Ị Øõ Ù Ì Ị Ơ× Ị Ø Ị Ị Ị Ị ÙÝ Ị Ð ệữề úí ệ 108 + ỉệểề ữề ẹ ì 108 + ẳ ỉ é ỉ ì í õÒ Ù Ò a < 104 , 0 (rj , rj+1 )º Ơ × (ri , ri+1 ) Úđ (rj , rj+1) ØƯ Ì Ø Ø Ý ÷Ị Ü ØĐ Ø× ØỊ Ø Đ Ø× Ø ÕÙị Ø ÙØ Ĩ ØƯ Ị b < 104 ¸ Ị Ị ỊØ Ĩ Ị ÙÝ Ị Ð (0 Ù¸ Ú i Ò d ⇒ k(un+3 −un+2 )+(un+1 −un ) ºº d ⇒ (kun+1 +un−1 ) ºº dº ºº º Ỉ Ø kun+1 + un−1 Ð Ơ ÐÙ Ị ØƯ Ị Ú ÉÙơ ØƯ Ị × ị º Ðđ × Ị Ị Đ Ị Ơ Ị º ị × Ø Ị Ị n ≥ 3¸ Ø =| Fn+4 Fn−2 − Fn+2 Fn |= è ẹ ẵắà ỉ íá =| (Fn+2 + Fn+3 )Fn−2 − Fn+2 Fn |=| Fn+3 Fn−2 + Fn+2 (Fn−2 − Fn ) |= =| Fn+3 Fn−2 − Fn+2 Fn−1 |=| Fn+3 (Fn−1 − Fn−3 ) − Fn+2 Fn−1 |= =| Fn+3 Fn−3 + Fn−1 (Fn+3 − Fn+2 ) |=| Fn+3 Fn−3 − Fn+1 Fn−1 |= vn−1 º Ì Ì = vn−1 ¸ Úđ ÕÙơ ØƯ Ị Ý Ð Ơ Ðõ ¸ Ø v3 =| F7 F1 − F5 F3 |=| 13.1 − 5.2 |= Ò Ò Ø = v3 , ∀n ≥ 3º ề ề ĩ ỉ ẵắà ề ẹ ề è ẵắà ìí ệ Fn+4 Fn2 = Fn Fn+2 ⇒ An = 4Fn Fn+2 (Fn Fn+2 ± 3) + = (2Fn Fn+2 ± 3)2 Ó Fn ∀n Ná ề í ề ìí ệ An éủ ì Ị Ơ Ị Ú Đ × Ø Ị Ị n ễ ẹà ủ ỉểụề ụ ì Ĩ óÝ × {un }, n = 1, 2, ĨỊ a, b, c ∈ N Ị Ø Ø Ĩị ẹúề ề ẹ ề ề ì ệữề ỉ Ò Øõ ÙÝ Ò Ø Ý b < a, c < a à ẻ n Ná ẹ (un − nbcn ) ºº aº Ø Ä ÌƯ Ø Ø Ị º Ị × Ù a, b, c ∈ N × Ø Đ Ị ị Ø b < a, c < a Ú Ù Ị × Ù Ø Ĩị ĐóỊ Ù Ị ó Ị Ù Úđ Ý α) bc ≡ (mod a); β) nbcn + (n − 1)bcn−1 ≡ (n + 1)bcn+1 (mod a), ∀n ∈ N Ò ẹề ẵà ũ ì ỉ ểũ ẹúề a, b, c ∈ N Ø Ĩị ĐóỊ α), β)º Ø Ú Ý Ø Ì Ù Ù Ị đ ØĨơỊº Ì × Ị º n = 1¸ º − bc ºº a ⇒ bc ≡ (mod a)º Ø n = 2¸ èệểề ẵà é í ỉ bc 2bc2 (mod a) éủ èệểề ẵà é ề é ỉ ỉ u2 = Ø Ị Ý Ú º 2bc2 ºº a í ) n 1, n + 1á ẻ í 1− un ≡ nbcn Ðđ óÝ ĨỊ ¸ Ị Ị ) 2bc2 ỉ ểũ ẹúề aá ìí ệ Ø (mod a); (mod a); un+1 ≡ (n + 1)bcn+1 {un } ề ẵà n = ề un1 (n − 1)bcn−1 Ĩ Ư÷Ị Ị un − nbcn ºº a, ∀n ∈ N Ã Đ Ị (mod a) un+1 = un + un1 ìí ệ nbcn + (n − 1)bcn−1 ≡ (n + 1)bcn+1 (mod a) 2bc2 ≡ (mod a)á ẻ í ề í ỉ ắà )á n > 1¸ β) Ø Ị Ơ ị Ị Ø Ðđ Đ Ị Đ Ị Ị Ị ∀n ∈ Nº Ò Ðõ º a, b, c ∈ N(b < a, c < a) ị × Ø Ĩị ĐóỊ Ý Ù Ù đ ¸ Ø Ðđ Ơ ị Ø Ĩị ĐóỊ Ị Đ Ị α) Úđ ∀n ∈ N Ø º un − nbcn ºº a Ì × Ì Ĩ Ị ) ể ) ũ ì ẵ ữề ếí ềừễ bc (mod a) ỉ ẻ íẵ è ẹ ề ẵ ỉ éủ bc ºº a Ý º u1 − 1bc1 ºº aº n = 1º Ò bc ≡ 2bc2 (mod a) Ø ´ ẵ ề ề ná ỉ í u2 2bc2 a í ẵ n = 2º Ị Ðđ Ø º un−1 − (n − 1)bcn−1 ºº a; º un − nbcn ºº a un−1 + un ≡ (n − 1)bcn−1 + nbcn (mod a)¸ Ì ×ÙÝ Ư un+1 ≡ (n − 1)bcn−1 + nbcn Ì Ó Ù Ò β) (mod a) Ø nbcn + (n 1)bcn1 (n + 1)bcn+1 ẻ íá ỉ (mod a) ìí ệ un+1 (n + 1)bcn+1 ẻ í ẵ í ỉ ề ũ ẹ ề Ñ Ò (mod a), Ý º un+1 − (n + 1)bcn+1 ºº a n ĨđỊ ØĨđỊº đ ØĨơỊ ó Ĩ Ú Ù Ị Ị Ù Ø Ý ÷Ị Ù Ị α), β)º Ĩ Ì Ì bc ≡ (mod a) Ø Ú Ý¸ ị Ø Ị Ị Ø Ơ ịỊ (b, a) = (c, a) = 1º Ò (b, a) = d > ⇒ b = pd; a = qd bc − = ka ⇒ pdc − kqd = ⇒ d(pc − kq) = øÒ Ø Ú Ø Ù Ðđ Ú Ð Ĩ Ì k>1 Ù Úđ Ị qc − kd ∈ Z β) Ø Ú Ý ∀n ∈ N (b, c) = Ì Ị Ø (c, a) = 1º Ø º (n + 1)bcn+1 − nbcn − (n − 1)bcn−1 ºº a Ó º (c, a) = ⇒ (cn−1 , a) = ⇒ b[(n + 1)c2 − nc − (n − 1)] ºº aº º (n + 1)c2 − nc − (n − 1) ºº a Äõ Ó (b, a) = Ị Ị ×ÙÝ Ư º (n + 1)(c2 − c − 1) + (c + 2) ºº a, ∀n ∈ N Ỵ Ù ËÙÝ Ư Ĩ Đđ Ý Ị ∀n ∈ N¸ º c2 − c − ºº a º (c2 − c − 1) − (c + 2)(c − 3) ºº a ⇒ ºº aº ºº º ºº º c+2 a ⇒ c+2 b < ⇒ b = 2º Ị º Ị Ị Ơ ị Đđ c < ⇒ c = 3º Ỵ Ý Ø Ị Øõ ÙÝ Ị Ø Ĩ Ĩ ¼ º c + ºº a a>1 ´ Ú a > b, a > cµ ⇒ a = 5º bc ≡ (mod a) ì éủ ễ ẹà ủ ễ ị Ø Ị Ðđ Ị Ị 3b ≡ (mod 5) a = 5, b = 2, c = 3º ỉ é ề ụ ủ ỉểụề ì Ị Øơ Ø Ị Ø × × ị óÝ × ó Ø ØƯ Ị đÝ × Ị Úđ Ị ººº ØĨơỊ Ú Ị Ø ØƯĨỊ Ơ Úđ Đ ÐđĐ Ị ịỊ Ð Ị Ị Ð Ị Ị × Ơ Ø Ư Ị Ø Ü Ø Ø ó Ơ Ø Ị ÙÝ Ị Ð Ị¸ ØõĨ Ị Ị × Ị Ị Ị ÐĨõ º ½ Ø Ị ÙÝ Ị Ø Ị Ø ØƯĨỊ Ơ Đ Ø ØƯĨỊ Đ Ø Ị ¸ Ø Ị Ơ Ðđ Ơ Ơ Ø Ị Ø Ĩ Ú Ĩ ØđỊ Ị ễ ì ề ỉ ề ẹ ỉì ủ ỉệểề óÝ Úđ Ø Ị Ĩ Ð Ĩ ÐđĐ Ị Ơ Ị óÝ × Ø óÝ × ó õ Ị ÐÙ Ị Ú Ị ظ Ø Ị Ơ ¸ Ơ ề ề ệ ì ũ ỉ ủí éủ ỉ ề úí ì ừề ễ ểề Ù Ú ó ØƯ Ị Ø Ðđ ÐÙ Ị Ú Ị ظ Ø Ị Ø Øđ Ð ÐÙ Ị Ú Ị ỊđÝ Ị Ø Ị Ị ¸ Ø óÝ × º ÄÙ Ị Ú Ị Ơ ظ Ø Ị Ị óÝ Ú Ị Ø Ù¸ ØƯĨỊ ị ÕÙÝ Ø Ú Ị ỊØ Ù ỊđÝ Ị Ð Ø ÙÝ Ø Đ Ơ Ị Ơ Ù ỊđĨ Ú Ị Ú Ị Đ Ø × Ị ÐÙ Ị Ú Ị ÙỊ ĨỊ ØĨơỊ Ø Ơ Ơ × Ị ÙÝ Ị Ø Ị Ơ Ø ººº Ð Ơ Ù ØƯĨỊ đ ØĨơỊ Ø Ĩị ĐóỊ Ø Ị Ị ÙÝ Ị Ø ¸ Ø Ị ó غ Ơ Ị Ị Đ Ị ØĨơỊ ễ ụễ ủ èủ ẵ é ỉ ặ í ề ụể ắ ũể ềá ắẳẳàá ẩ ề ễ ụễ ếí ềừễ ỉểụề ề ặ í ề ặ ũề ế è ắẳẳ àá ỉ ì ủ ặ ề í ũ ắẳẳ àá ậ ủ ặ í ề ẻ ề áắẳẳ àá ỉ ì ụể ặ ủ ĩ ỉ ũề ủ ỉểụề úí ì ặ ủ ặ í ề ể ềá ắẳẳ àá ỉ í ỉ ì ặ ủ ĩ ỉ ẩ ẻ ĩ ỉ ẹ úí ì ặ đ ÜÙ Ø đ ØĨơỊ Ị Ð ịỊ õ ịỊ ậ ụể ễ ừẹ úí ì ặ đ ÜÙ Ø ịỊ º Ị õ Ì Ị ¹Ä ế ụể ề ủ ề ủ ỉệ ặ ủ ĩ ỉ ề ắẳẳ àá ẩ ụể ễ ụễ ì ễ ềá ặ ủ ĩ ỉ ũề ủể ỉừểá ắẳẳ àáèí ề ũề ề ắ ề ỉ Ĩ ÙÝ Ị ØĨơỊ Úđ ØÙ