Chuyen de Rut gon bieu thuc

Rót gän biÓu thøc. 3.[r]

(1)

chuyên đề:

Rút gọn biểu thức

(Dùng Cho dạy học ôn thi vào THPT)

Các kiến thức cần nhớ 1) Những đẳng thức đáng nhớ:

(A+B)2 = A2+2AB+B2

(A-B)2 = A2-2AB+B2

A2-B2 = (A-B)(A+B)

(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3

(A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3

A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)

A3-B3=(A-B)(A2+AB+B2) 2) Các công thức biến đổi thức:

2 A = A

AB = A B (Víi A³0; B³0)

A A

B = B (Víi A³0; B>0)

A B = A B (Víi B³0)

2

A B = A B (Víi A³0; B³0)

A B = - A B (Víi A<0; B³0)

A AB

B = B (Víi A.B³0; B≠0) A A B

B

B = (Víi B>0)

( )

C A B C

A B A ±B =

-m

(Víi A³0; A2≠B)

( )

C A B C

A B A ± B =

-m

(2)

Bµi tËp

Bµi Cho biÓu thøc:

1

a

A

a

æ

+

ửổ

ữ

-

ử

ữ

ỗ

= +

ỗ

ữ

ỗ

-

ữ

ố

+

ứố

-

ứ

a) Tìm giá trị a để A có nghĩa b) Rút gọn A

c) Tìm a để A=-5; A=0; A=6 d) Tìm a để A3 = A

e) Với giá trị a A =A Bµi 2: Cho biĨu thøc:

1

2

2 1

x

Q

x

=

+

-

+

-a/ Tìm điều kiện để Q có ngha b/ Rỳt gn Q

c/ Tính giá trị cña Q

4 x =

d/ Tìm x để

1

Q =

-e/ Tìm giá trị nguyên x để giá trị Q nguyên. Bài Cho biểu thức:

2

1

x x

P

x x x

-=

-a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa b) Rút gọn P

c) Tìm x để P>0 d) Tìm x để P =P

e) Giải phơng trình P = - x

f) Tìm giá trị x nguyên để giá trị P nguyên Bài Cho biểu thức:

1 1

4

1

a a

A a a

a a a

ổ + + ửổữ ửữ

ỗ ỗ

=ốỗỗ - + ứốữữữỗỗ - ữữữứ

-

(3)

b) Tính giá trị A

5 6 6

a= + +

+

c) Tìm giá trị a để A>A d) Tìm a để A=4; A=-16

e) Giải phơng trình: A=a2+3

Bài Cho biểu thøc:

1

2

1

a

M

a

ổ

ửổ

ữ

-

+

ử

ữ

ỗ

=

ỗ

-

ữ

ỗ

-

ữ

ố

ứố

+

-

ø

a) Rót gän M

b) Tìm giá trị a để M=-4

c) Tính giá trị M

a =

6 5

-

+

6 5

+

d) Chøng minh r»ng M≤0 víi a>0; a≠1

Bµi Cho biĨu thøc:

(

)

1

a a a a

K a a a

a a

ộỗ - ữỗ + ữ

ờ ỳ

= - ờốỗỗ + ứốữữữỗỗ - ữữữứỳ+

- +

ë û víi a>0; a≠1

a) Rót gän K

b) Tính giá trị K a=9 c) Với giá trị a K =K d) Tìm a để K=1

e) Tím giá trị tự nhiên a để giá trị K số tự nhiên Bài Cho biểu thức:

3

1

x

Q

x

-=

+

-

+

-

a/ Rót gän Q

b/ Chøng minh r»ng Q<0 víi "x³0; x≠1

c/ Tính giá trị Q

20001 19999 20001 19999 20001 19999 20001 19999

x = - + +

+

(4)

9 1 :

3

x x x

T

x x x x x

ổ + ổữ + ửữ

ỗ ỗ

=ỗỗố + ứ ốữữữỗỗ - ữữữứ

+ - - víi x>0; x≠9

a/ Rót gän T

b/ Tinh giá trị T

7

5

7

5

7

5

7

5

x

=

+

c/ Tìm x để T=2

d/ Với giá trị x T<0 e/ Tìm xẻZ để TẻZ

Bµi Cho biĨu thøc:

15

11

3

2 2

3

2

3

1

3

x

L

x

-

+

=

-

-+

-

+

víi x³0; x≠1

a) Rót gän L

b) Tính giá trị L

2 3

x= + +

+

c) Tìm giá trị lớn L Bài 10 Cho biÓu thøc:

1

3

6

2

3

5

6

x

A

x

+

=

+

-

+

a) Tìm điều kiện để A có nghĩa b) Rút gọn A

c) Tìm x để A=1; A=-2 d) Tìm x để A =A e) Tìm xZ TZ

f) Tìm giá trị lớn cđa A

Bµi 11: Cho

2

2 6

x y xy

K

xy x y xy x y

 

 

     

a) Rót gän K b) CMR: NÕu

81 81 y K

y  

 th×

y

x số nguyên chia hết cho 3

(5)

Bµi 12:Cho biĨu thøc

3 1

:

( 2)( 1) 1

a a a a P

a

a a a a

      

     



     

 

1/Rút gọn biểu thức P 2/Tìm a để

1

a P



 ³

Bµi 13: Cho

a b a b

N

ab b ab a ab 

  

 

a) Rót gän N

b) TÝnh N a  ; b 3 c) CMR: NÕu

1

a a b b

 

 N có giá trị khơng đổi

Bµi 14:Cho biĨu thøc

2

(2 3)( 1) 4(2 3) ( 1) ( 3)

x x x

A

x x

   



  a) Rót gän A

b) Tìm x để A =

Bµi 15:Cho

3

1

1 1

x x A

x x x x x



  

    

a) Rút gọn tính số trị A x = 53 7 b) Tìm x để A >

Bµi 16: Cho biĨu thøc A =

2

1 2

x x

x x x



 

  a/ Rót gon A

b/ TÝnh gi¸ trị A x = 841

Bài 17: Cho

2

5

x x x

P

x x x x

  

  

   

d) Rút gọn P e) Tìm x để P <

f) Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên Bài 18: Cho

1

1 :

1 1

x x

K

x x x x x x

   

     

        

   

a) Rót gän K

(6)

Bµi 19: Cho biĨu thøc

2

1 1

x K

x x x x



 

  

   

 

a) Tìm điều kiện x để biểu thức K xác định

b) Rút gọn biểu thức K tìm giá trị x để K đạt giá trị lớn Bài 20: Cho biểu thức: A =

√

b

a−√

ab −

√

a

1/ Tìm điều kiện a , b để biểu thức A đợc xác định 2/ Rút gọn biểu thức A

2

1 2003

1 1

x x x x x

K

x x x x

      

   

  

 

a) Tìm điều kiện x để K xác định b) Rỳt gn K

c) Với giá trị nguyên x biểu thức K có giá trị nguyên? Bài 22:Cho

2 3 2

:

9

3 3

x x x x

P

x

x x x

     

        

  

   

a) Rót gän P

b) Tìm x để P < -1/2

c) Tìm giá trị nhỏ P

2 2( 1) 10

1 1

x x x

M

x x x x

  

  

   

1 Với giá trị cỉu x biểu thøc cã nghÜa Rót gän biĨu thøc

3 Tìm x để biểu thức có giá trị lớn Bài 24: Cho biêủ thức A =

a (2 a 1) a a A

8 a a a a

  

  

   

1) Rót gän A

2) Tìm a để A nhận giá trị nguyên Bài 25: Cho biểu thức:

2

3

1

x x x x x x A

x x x x x

         

    

  .

a) Tìm điều kiện biến x để biểu thức A đợc xác định b) Rút gọn biểu thức A

Bµi 26: Cho biĨu thøc:

2 10

6

x x x

Q

x x x x

  

  

    Víi x x 1

1) Rỳt gọn biểu thức Q 2) Tìm giá trị x để

1

Q 

Bµi 27: Cho biÓu thøc : P =





3 4

a > ; a 4

2

a a a

(7)

a) Rót gän P b) Tính giá trị P với a = Bµi 28: Cho biĨu thøc

A =

3 1

:

1 1 1

m m m m m

       

  

   

        

   

a) Rót gọn A b) So sánh A với Bài 29: Cho biÓu thøc

      

     

        

   

3

: 2

2 1

x x x x

P

x

x x x x x

a) Rót gän P

b) Chøng minh r»ng P >

c) Tính giá trị P, biết x2 x 3 d) Tìm giá trị x để :



x



p



x



x



 

   

       

 

   

x 2 x 4 x

P x :

1 x

x 1 x 1

a/ Rót gän P

b/ Tìm x để P < ; c/ Tìm x để đạt giá trị nhỏ

Bµi 31: Cho biĨu thøc : A =

1 1 1

a a

a a a a a

   

 

       1) Rót gän biĨu thøc A

2) Chøng minh r»ng biÓu thøc A dơng với a

Bài 32: Cho M =

6

a a a   

 a) Rót gän M

b) Tìm a để / M / ³ 1

(8)

C =

3

:

3 3

x x x x

x

x x x x x

      

  

   

        

   

a) Rót gän C

b) Tìm giá trị C để / C / > - C c) Tìm giá trị C để C2 = 40C

A =

2

1

x x x x x x x x

x x x x

      

  

    

 

a) Rót gän A

b) Tìm x để A =

6

5



c) Chøng tá A

2

3



bất đẳng thức sai

4

:

2 3

x x x x

P

x x x x

              

   

   

a/ Rót gän P

b/ Tìm x để P < ; c/ Tìm x để P <

1 2

:

1

1 1

x P

x x x x x x x

    

     

       

 

a/ Rót gän P

b/ Tìm x để P < ;

c/ Tìm x để P đạt giá trị nhỏ Bài 37: Cho biểu thức

2

:

5

x x x x

P

x x x x x

      

       

    

   

a/ Rút gọn P b/ Tìm x để

(9)

Bµi 38: Cho biĨu thøc :

A =

1

:

a a a a a a a a a a

     

 

    

 

a) Với giá trị a A xác định b) Rút gọn biểu thức A

c) Với giá trị nguyên a A có giá trị nguyên Bài 39: Cho biểu thøc

M =

25 25

1 :

25 10

a a a a a

       

  

   

        

   

a) Rót gän M

b) Tìm giá trị a để M < c) Tìm giá trị lớn M Bài 40: Cho biểu thức

P =

2

1 2

x x x x x x x x

x

x x x x x

     

 

 

      

 

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị lớn nhÊt cña A =

5 x P

x x

 

c) Tìm giá trị m để x > ta có:









P x x  m x  x

4

:

2 2

x x x x

P

x x x x x

      

     

      

   

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị x để P > c) Tính giá trị nhỏ

P

d) Tìm giá trị m để có giá trị x > thoả mãn:



x



p

m

x

m

(10)





2

1 1

:

1 1

x x x x x x

P x x

x x x

a) Rót gän P

b) Xác định giá trị x để (x + 1)P = x -1

c) BiÕt Q =

1 x

P x

 

Tìm x để Q max Bài 43: Cho biểu thức :

1 1 1

A= :

1- x x x x x

   

  

   

   

   

a) Rót gän biĨu thøc A

b) TÝnh gi¸ trÞ cđa A x = 3

c) Với giá trị x A đạt giá trị nhỏ

Bµi 44: Cho

1

:

1 1

x x

P x

x x x x x

   

    

   

  (Víi x³0;x¹1)

a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P =

Bµi 45: Cho biĨu thøc: P=3(x +√x −3) x +√x − 2 −

√x +1

√x +2+

√x −2

√x

(

1−√x− 1

)

b/ Tìm giá trị x nguyên để P nguyên ; c/ Tìm giá trị x để P=√x

P =













2

1 2

1

3

a a

a a a

a a

  

 

 

 

a) Rót gän P

b) So s¸nh P víi biĨu thøc Q =

2 1 a a

(11)

2 2 xy x xy y : xy xy P

x y x xy y xy

    

      

  

   

a) Rót gän P

b) Tìm m để phơng trình P = m – có nghiệm x, y thoả mãn x  y 6 Bài 48: Cho biểu thức: P=3(x +√x −3)

x +√x − 2 + √x +3 √x +2−

√x − 2 √x − 1

a/ Rót gän P

b/ Tìm x để P<15 Bài 49: Cho biểu thức :

1

√x − 1+

√x+1¿

2. x2−1

2 −

√

1 − x

2 A=¿

1) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa 2) Rút gọn biểu thức A

3) Gi¶i phơng trình theo x A = -2

Bµi 50: Cho biĨu thøc :

2

:

1 1

x x x

A

x x x x x

     

     

   

   

a) Rót gän biĨu thøc

b) Tính giá trị A x=4 +23

Bµi 51: Cho biĨu thøc: P=

(

x − 4

x −2

x−

3 2 −√x

)

(

√x+2

√x −

√x

√x −2

)

b/ Tìm x để P=3x - 3√x

c/ Tìm giá trị a để có x thoả mãn : P(√x+1)>√x+a Dạng : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

a)

(

)

1

: :

a b b a a ab b

A a a b b

ab a b a b

ỉ

+ ỗ + + ữữ

= - - ỗỗỗ ữữữ

(12)

b)

2

( )

x y y x x y xy

B

xy x y

- +

-=

víi x>0; y>0; x≠y

c)

3

2

2 1

a a a a a

C

a a a a

ỉ

ỉ + - ửữỗ + - - ữữ

ỗ ỗ

=ỗỗố + + - - ữữữứỗỗỗ ữữữữ

ố ứ víi a>0; a≠1

d)

2 10

3

x x x

D

x x x x x x

+ +

= + +

+ + + + + + víi x³0

e)

( )

:

a a b b b

E ab a b

a b a b

ổ + ửữ

ỗ ữ

=ỗỗỗ - ữữữ - +

+ +

è ø

víi a>0; b>0; a≠b

f)

1 1 1

1

a a a a a a

F a

a a a a a a a

ổ ửổ

- + ỗ ữỗ + - ữ

= - + + - ỗốỗ - ứốữữữỗỗ - + + ữữữứ

với a>0; a≠1

g)

3 3

2

3 3

x x x

x

x x x

      

   

      

    (víi x 0và x ạ3).