Rót gän biÓu thøc. 3.[r]
(1)chuyên đề: Rút gọn biểu thức (Dùng Cho dạy học ôn thi vào THPT)
Các kiến thức cần nhớ 1) Những đẳng thức đáng nhớ:
(A+B)2 = A2+2AB+B2
(A-B)2 = A2-2AB+B2
A2-B2 = (A-B)(A+B)
(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3
(A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3
A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)
A3-B3=(A-B)(A2+AB+B2) 2) Các công thức biến đổi thức:
2 A = A
AB = A B (Víi A³0; B³0)
A A
B = B (Víi A³0; B>0)
A B = A B (Víi B³0)
2
A B = A B (Víi A³0; B³0)
A B = - A B (Víi A<0; B³0)
A AB
B = B (Víi A.B³0; B≠0) A A B
B
B = (Víi B>0)
( )
C A B C
A B A ±B =
-m
(Víi A³0; A2≠B)
( )
C A B C
A B A ± B =
-m
(2)Bµi tËp
Bµi Cho biÓu thøc:
1 1
1 1
a a a a
A
a a
æ + ửổữ - ửữ
ỗ ỗ
= +ỗỗ ữữữỗỗ - ữữữ
ố + ứố - ứ
a) Tìm giá trị a để A có nghĩa b) Rút gọn A
c) Tìm a để A=-5; A=0; A=6 d) Tìm a để A3 = A
e) Với giá trị a A =A Bµi 2: Cho biĨu thøc:
1 1
2 2 2 2 1
x Q
x x x
= + +
- +
-a/ Tìm điều kiện để Q có ngha b/ Rỳt gn Q
c/ Tính giá trị cña Q
4 x =
d/ Tìm x để
1
Q =
-e/ Tìm giá trị nguyên x để giá trị Q nguyên. Bài Cho biểu thức:
2
1
x x
P
x x x
-=
-a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa b) Rút gọn P
c) Tìm x để P>0 d) Tìm x để P =P
e) Giải phơng trình P = - x
f) Tìm giá trị x nguyên để giá trị P nguyên Bài Cho biểu thức:
1 1
4
1
a a
A a a
a a a
ổ + + ửổữ ửữ
ỗ ỗ
=ốỗỗ - + ứốữữữỗỗ - ữữữứ
-
(3)b) Tính giá trị A
5 6 6
a= + +
+
c) Tìm giá trị a để A>A d) Tìm a để A=4; A=-16
e) Giải phơng trình: A=a2+3
Bài Cho biểu thøc:
1
2 2 1 1
a a a a a
M
a a a
ổ ửổữ - + ửữ
ỗ ỗ
=ỗỗ - ữữữỗỗ - ữữữ
ố ứố + - ø víi a>0; a≠1
a) Rót gän M
b) Tìm giá trị a để M=-4
c) Tính giá trị M a = 6 5- + 6 5+ d) Chøng minh r»ng M≤0 víi a>0; a≠1
Bµi Cho biĨu thøc:
(1 2) : 1 1
1
a a a a
K a a a
a a
ộỗ - ữỗ + ữ
ờ ỳ
= - ờốỗỗ + ứốữữữỗỗ - ữữữứỳ+
- +
ë û víi a>0; a≠1
a) Rót gän K
b) Tính giá trị K a=9 c) Với giá trị a K =K d) Tìm a để K=1
e) Tím giá trị tự nhiên a để giá trị K số tự nhiên Bài Cho biểu thức:
3
1 1 1
x x x
Q
x x x
-= + +
- + - víi x³0; x≠1
a/ Rót gän Q
b/ Chøng minh r»ng Q<0 víi "x³0; x≠1
c/ Tính giá trị Q
20001 19999 20001 19999 20001 19999 20001 19999
x = - + +
+
(4)9 1 :
3
x x x
T
x x x x x
ổ + ổữ + ửữ
ỗ ỗ
=ỗỗố + ứ ốữữữỗỗ - ữữữứ
+ - - víi x>0; x≠9
a/ Rót gän T
b/ Tinh giá trị T
7 5 7 5
7 5 7 5
x = + +
+
c/ Tìm x để T=2
d/ Với giá trị x T<0 e/ Tìm xẻZ để TẻZ
Bµi Cho biĨu thøc:
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
L
x x x x
- - +
= -
-+ - - + víi x³0; x≠1
a) Rót gän L
b) Tính giá trị L
2 3
2 3
x= + +
+
c) Tìm giá trị lớn L Bài 10 Cho biÓu thøc:
1 3 6
2 3 5 6
x A
x x x x
+
= +
- - +
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa b) Rút gọn A
c) Tìm x để A=1; A=-2 d) Tìm x để A =A e) Tìm xZ TZ
f) Tìm giá trị lớn cđa A
Bµi 11: Cho
2
2 6
x y xy
K
xy x y xy x y
a) Rót gän K b) CMR: NÕu
81 81 y K
y
th×
y
x số nguyên chia hết cho 3
(5)Bµi 12:Cho biĨu thøc
3 1
:
( 2)( 1) 1
a a a a P
a
a a a a
1/Rút gọn biểu thức P 2/Tìm a để
1
1
a P
³
Bµi 13: Cho
a b a b
N
ab b ab a ab
a) Rót gän N
b) TÝnh N a ; b 3 c) CMR: NÕu
1
a a b b
N có giá trị khơng đổi
Bµi 14:Cho biĨu thøc
2
(2 3)( 1) 4(2 3) ( 1) ( 3)
x x x
A
x x
a) Rót gän A
b) Tìm x để A =
Bµi 15:Cho
3
1
1 1
x x A
x x x x x
a) Rút gọn tính số trị A x = 53 7 b) Tìm x để A >
Bµi 16: Cho biĨu thøc A =
2
1 2
x x
x x x
a/ Rót gon A
b/ TÝnh gi¸ trị A x = 841
Bài 17: Cho
2
5
x x x
P
x x x x
d) Rút gọn P e) Tìm x để P <
f) Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên Bài 18: Cho
1
1 :
1 1
x x
K
x x x x x x
a) Rót gän K
(6)Bµi 19: Cho biĨu thøc
2
1 1
1 1
x K
x x x x
a) Tìm điều kiện x để biểu thức K xác định
b) Rút gọn biểu thức K tìm giá trị x để K đạt giá trị lớn Bài 20: Cho biểu thức: A = √b
a−√
ab −√a2 a
1/ Tìm điều kiện a , b để biểu thức A đợc xác định 2/ Rút gọn biểu thức A
Bµi 21: Cho biĨu thøc
2
1 2003
1 1
x x x x x
K
x x x x
a) Tìm điều kiện x để K xác định b) Rỳt gn K
c) Với giá trị nguyên x biểu thức K có giá trị nguyên? Bài 22:Cho
2 3 2
:
9
3 3
x x x x
P
x
x x x
a) Rót gän P
b) Tìm x để P < -1/2
c) Tìm giá trị nhỏ P
Bµi 23: Cho biĨu thøc
2 2( 1) 10
1 1
x x x
M
x x x x
1 Với giá trị cỉu x biểu thøc cã nghÜa Rót gän biĨu thøc
3 Tìm x để biểu thức có giá trị lớn Bài 24: Cho biêủ thức A =
a (2 a 1) a a A
8 a a a a
1) Rót gän A
2) Tìm a để A nhận giá trị nguyên Bài 25: Cho biểu thức:
2
3
1
x x x x x x A
x x x x x
.
a) Tìm điều kiện biến x để biểu thức A đợc xác định b) Rút gọn biểu thức A
Bµi 26: Cho biĨu thøc:
2 10
6
x x x
Q
x x x x
Víi x x 1
1) Rỳt gọn biểu thức Q 2) Tìm giá trị x để
1
Q
Bµi 27: Cho biÓu thøc : P =
3 4
a > ; a 4
2
a a a
(7)a) Rót gän P b) Tính giá trị P với a = Bµi 28: Cho biĨu thøc
A =
3 1
:
1 1 1
m m m m m
m m m m m
a) Rót gọn A b) So sánh A với Bài 29: Cho biÓu thøc
3
: 2
2 1
x x x x
P
x
x x x x x
a) Rót gän P
b) Chøng minh r»ng P >
c) Tính giá trị P, biết x2 x 3 d) Tìm giá trị x để :
2 x 2p52 x 22 x 4
Bµi 30: Cho biĨu thøc
x 2 x 4 x
P x :
1 x
x 1 x 1
a/ Rót gän P
b/ Tìm x để P < ; c/ Tìm x để đạt giá trị nhỏ
Bµi 31: Cho biĨu thøc : A =
1 1 1
1 1 1
a a
a a a a a
1) Rót gän biĨu thøc A
2) Chøng minh r»ng biÓu thøc A dơng với a
Bài 32: Cho M =
6
a a a
a) Rót gän M
b) Tìm a để / M / ³ 1
(8)C =
3
:
3 3
x x x x
x
x x x x x
a) Rót gän C
b) Tìm giá trị C để / C / > - C c) Tìm giá trị C để C2 = 40C
Bµi 34: Cho biĨu thøc
A =
2
1
1
x x x x x x x x
x x x x
a) Rót gän A
b) Tìm x để A =
6 6
5
c) Chøng tá A
2 3
bất đẳng thức sai
Bµi 35: Cho biĨu thøc
4
:
2 3
x x x x
P
x x x x
a/ Rót gän P
b/ Tìm x để P < ; c/ Tìm x để P <
Bµi 36: Cho biĨu thøc
1 2
:
1
1 1
x P
x x x x x x x
a/ Rót gän P
b/ Tìm x để P < ;
c/ Tìm x để P đạt giá trị nhỏ Bài 37: Cho biểu thức
2
:
5
x x x x
P
x x x x x
a/ Rút gọn P b/ Tìm x để
(9)Bµi 38: Cho biĨu thøc :
A =
1
:
a a a a a a a a a a
a) Với giá trị a A xác định b) Rút gọn biểu thức A
c) Với giá trị nguyên a A có giá trị nguyên Bài 39: Cho biểu thøc
M =
25 25
1 :
25 10
a a a a a
a a a a a
a) Rót gän M
b) Tìm giá trị a để M < c) Tìm giá trị lớn M Bài 40: Cho biểu thức
P =
2
1 2
x x x x x x x x
x
x x x x x
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị lớn nhÊt cña A =
5 x P
x x
c) Tìm giá trị m để x > ta có:
P x x m x x
Bµi 41: Cho biĨu thøc
4
:
2 2
x x x x
P
x x x x x
a) Rót gän P
b) Tìm giá trị x để P > c) Tính giá trị nhỏ P
d) Tìm giá trị m để có giá trị x > thoả mãn:
x 3p 12m x
m
(10)
2
1 1
:
1 1
x x x x x x
P x x
x x x
a) Rót gän P
b) Xác định giá trị x để (x + 1)P = x -1
c) BiÕt Q =
1 x
P x
Tìm x để Q max Bài 43: Cho biểu thức :
1 1 1
A= :
1- x x x x x
a) Rót gän biĨu thøc A
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa A x = 3
c) Với giá trị x A đạt giá trị nhỏ
Bµi 44: Cho
1
:
1 1
x x
P x
x x x x x
(Víi x³0;x¹1)
a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P =
Bµi 45: Cho biĨu thøc: P=3(x +√x −3) x +√x − 2 −
√x +1
√x +2+
√x −2
√x (
1−√x− 1) a/ Rót gän P
b/ Tìm giá trị x nguyên để P nguyên ; c/ Tìm giá trị x để P=√x
Bµi 46: Cho biĨu thøc
P =
2
2
1 2
1
3
a a
a a a
a a
a) Rót gän P
b) So s¸nh P víi biĨu thøc Q =
2 1 a a
(11)2 2 xy x xy y : xy xy P
x y x xy y xy
a) Rót gän P
b) Tìm m để phơng trình P = m – có nghiệm x, y thoả mãn x y 6 Bài 48: Cho biểu thức: P=3(x +√x −3)
x +√x − 2 + √x +3 √x +2−
√x − 2 √x − 1
a/ Rót gän P
b/ Tìm x để P<15 Bài 49: Cho biểu thức :
1
√x − 1+
√x+1¿
2. x2−1
2 −√1 − x
2 A=¿
1) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa 2) Rút gọn biểu thức A
3) Gi¶i phơng trình theo x A = -2
Bµi 50: Cho biĨu thøc :
2
:
1 1
x x x
A
x x x x x
a) Rót gän biĨu thøc
b) Tính giá trị A x=4 +23
Bµi 51: Cho biĨu thøc: P=( √x − 4 x −2√x−
3 2 −√x):(
√x+2
√x −
√x
√x −2) a/ Rót gän P ;
b/ Tìm x để P=3x - 3√x
c/ Tìm giá trị a để có x thoả mãn : P(√x+1)>√x+a Dạng : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
a)
( )
1
: :
a b b a a ab b
A a a b b
ab a b a b
ỉ
+ ỗ + + ữữ
= - - ỗỗỗ ữữữ
(12)b)
2
( )
x y y x x y xy
B
xy x y
- +
-=
víi x>0; y>0; x≠y
c)
3
2
2 1
a a a a a
C
a a a a
ỉ
ỉ + - ửữỗ + - - ữữ
ỗ ỗ
=ỗỗố + + - - ữữữứỗỗỗ ữữữữ
ố ứ víi a>0; a≠1
d)
2 10
3
x x x
D
x x x x x x
+ +
= + +
+ + + + + + víi x³0
e)
( )
:
a a b b b
E ab a b
a b a b
ổ + ửữ
ỗ ữ
=ỗỗỗ - ữữữ - +
+ +
è ø
víi a>0; b>0; a≠b
f)
1 1 1
1
a a a a a a
F a
a a a a a a a
ổ ửổ
- + ỗ ữỗ + - ữ
= - + + - ỗốỗ - ứốữữữỗỗ - + + ữữữứ
với a>0; a≠1
g)
3 3
2
3 3
x x x
x
x x x
(víi x 0và x ạ3).