Toán tử sturm liouville

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN THỊ MÂY TOÁN TỬ STURM-LIOUVILLE LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN VĂN NGỌC HÀ NỘI- 2013 Lời cám ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Ngọc, người tận tình giúp đỡ bảo tơi suốt q trình hồn thành luận văn tốt nghiệp Qua đây, xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, giáo tổ Tốn giải tích trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, người giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu trường Do làm quen với công tác nghiên cứu khoa học hạn chế thời gian thực nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, năm 2013 Mục lục Mở đầu Lý thuyết phổ trường hợp quy 1.1 Khái niệm toán Sturm-Liouville 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Tính chất 1.2 Dáng điệu tiệm cận giá trị riêng hàm riêng 1.3 Lý thuyết Sturm không điểm nghiệm 14 1.4 Bài tốn tuần hồn nửa tuần hoàn 18 1.4.1 Số bội giá trị riêng 19 1.4.2 Các không điểm hàm riêng 23 1.5 1.6 Chứng minh định lý khai triển phương pháp phương trình tích phân 25 Chứng minh định lý khai triển trường hợp tuần hồn 32 Một số ví dụ toán áp dụng lý thuyết phổ trường hợp quy 35 2.1 Một số ví dụ 35 2.1.1 Các ví dụ đơn giản 35 2.1.2 Các ví dụ phức tạp 38 Phương trình dao động dây (thanh) hữu hạn 42 2.2.1 Nghiệm toán dao động dây 42 2.2.2 Tính nghiệm tốn dao động dây 45 Phương trình truyền nhiệt dây hữu hạn 50 2.3.1 Nghiệm toán truyền nhiệt 50 2.3.2 Sự tồn nghiệm phương trình truyền nhiệt 53 Phương trình Laplace hình chữ nhật 56 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 2.2 2.3 2.4 Mở đầu Lý thuyết toán tử lĩnh vực quan trọng giải tích Ngày nay, nhiều ngành giải tích khơng thể tách rời lý thuyết toán tử, đáng ý phải kể đến phép tính biến phân, lý thuyết biến đổi phương trình vi phân Các ngành phát triển sau lý thuyết tốn tử đến hàng kỉ Vì thế, ngạc nhiên nhiều vấn đề lý thuyết toán tử giới thiệu ngành Phương trình vi phân phương pháp tính nhiều biến phát triển nhờ đóng góp to lớn Euler, Lagrange gia đình Bernoulli Mối liên hệ đáng ý giá trị riêng với phương trình vi phân nhắc đến lý thuyết phát triển Charles Francois Sturm năm 1836 Joseph Liouville năm 1838 Đây bước liên hệ có ý nghĩa, khơng giống trường hợp không gian sở vô hạn chiều, cho phép vấn đề khơng thể phát triển trường hợp đại số tuyến tính Lý thuyết Sturm-Liouville bắt đầu với lý thuyết phổ toán tử vi phân thường Lý thuyết phổ toán tử Sturm-Liouville lĩnh vực cổ điển giải tích, bao gồm lớp rộng tốn Nhiều tốn phương trình đạo hàm riêng học, lượng tử đưa toán biên Sturm-Liouville Bởi tầm quan trọng toán tử Sturm-Liouville gợi ý, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Ngọc nên tơi thực đề tài "Tốn tử Sturm-Liouville" để hoàn thành luận văn tốt nghiệp cao học chuyên ngành Tốn giải tích Luận văn bao gồm hai chương Chương trình bày vấn đề lý thuyết phổ toán tử SturmLiouville trường hợp quy, bao gồm đáng điệu tiệm cận giá trị riêng hàm riêng, định lý khai triển hàm riêng Bài toán Sturm-Liouville tuần hoàn nửa tuần hoàn giới thiệu chương Chương trình bày số ví dụ toán áp dụng lý thuyết phổ trường hợp quy Đặc biệt, chương tốn truyền sóng, tốn truyền nhiệt, phương trình Laplace hình chữ nhật đưa tốn biên SturmLiouville phương pháp tách biến Chương Lý thuyết phổ trường hợp quy 1.1 Khái niệm toán Sturm-Liouville 1.1.1 Khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Cho L tốn tử tuyến tính xác định tập hợp biết phần tử Một phần tử y = gọi vectơ riêng L Ly = λy, λ gọi giá trị riêng tương ứng L Một toán tử đơn giản thường sử dụng ứng dụng d2 L = − + q (x) dx Toán tử gọi toán tử Sturm-Liouville Giả sử q (x) hàm giá trị thực liên tục đoạn [a, b] Những điều kiện giá trị biên quan trọng cho toán tử y (a) cosα + y (a) sin α = 0, y (b) cosβ + y (b) sin β = 0, α β hai số thực tùy ý, y (a) = y (b), y (a) = y (b) Định nghĩa 1.1.2 Bài toán giá trị biên Ly (x) = −y + q (x) y = λy, y (a) cosα + y (a) sin α = 0, y (b) cosβ + y (b) sin β = 0, gọi toán Sturm-Liouville (1.1) (1.2) Bài tốn Sturm-Liouville gọi quy đoạn [a, b] hữu hạn hàm q (x) khả tổng đoạn Ngược lại, đoạn [a, b] vô hạn, q (x) không khả tổng đoạn đó, hai tốn Sturm-Liouville gọi kì dị 1.1.2 Tính chất Chúng ta xét toán giá trị biên (1.1) , (1.2) Khơng tổng qt, giả sử a = b = π Thực tế đoạn [a, b] ánh xạ vào đoạn [0, π] phép t = x−a π, b−a phép không làm thay đổi dạng (1.1) , (1.2) Nếu b�g có nhiệt tỏa biên Sự phân bố nhiệt lượng u dây đưa nghiệm toán giá trị biên ban đầu ut = kuxx , < x < l, u (0, t) = 0, t ≥ 0, u (l, t) = 0, t ≥ 0, u (x, 0) = f (x) , 50 t > 0, ≤ x ≤ l, (3.1) với f (x) phân bố nhiệt lượng ban đầu Nếu giả sử nghiệm có dạng u (x, t) = X (x) T (t) = Phương trình (3.1) cho ta XT = kX T Do đó, có X T = = −α2 , X kT α số dương Như vậy, X T phải thỏa mãn X + α2 X = 0, (3.2) T + α2 kT = (3.3) Từ điều kiện biên, có u (0, t) = X (0) T (t) = 0, u (l, t) = X (l) T (t) = Do đó, X (0) = 0, X (l) = 0, hàm T (t) Từ đó, phải giải toán giá trị riêng X + α2 X = 0, X (0) = 0, X (l) = Nghiệm phương trình (3.2) X (x) = A cos αx + B sin αx Vì X (0) = 0, nên A = Để thỏa mãn điều kiện thứ hai, có X (l) = B sin αl = Vì B = cho nghiệm tầm thường, nên phải có B = đó, sin αl = Như vậy, α= nπ , l n = 1, 2, 3, 51 Thay giá trị riêng này, có nπx l Xn (x) = Bn sin Tiếp theo, xét phương trình T + α2 kT = 0, nghiệm kt nπ , l Thay α = T (t) = Ce−α nπ Tn (t) = Cn e−( l ) có kt Do đó, nghiệm khơng tầm thường phương trình truyền nhiệt thỏa mãn hai điều kiện biên un (x, t) = Xn (x) Tn (t) = an e−(nπ/l) kt sin nπx , l n = 1, 2, 3, , an = Bn Cn số tùy ý Bằng nguyên lý đồng chất, thu chuỗi nghiệm hình thức sau ∞ u (x, t) = un (x, t) , n=1 ∞ sin nπx , l an sin nπx l an e−(nπ/l) = kt n=1 (3.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu ∞ u (x, 0) = f (x) = n=1 Điều xảy f (x) biểu diễn chuỗi Fourier sin với hệ số Fourier l an = l f (x) sin nπx dx l (3.5) Do đó, ∞ u (x, t) =  2 l n=1  l f (τ ) sin nπτ nπx dτ e−(nπ/l) kt sin l l (3.6) chuỗi nghiệm hình thức tốn truyền nhiệt Ví dụ 2.3.1 (a) Giả sử phân bố nhiệt lượng ban đầu f (x) = x (l − x) Khi đó, từ phương trình (3.5), có an = 8l2 , n3 π n = 1, 3, 5, 52 Do đó, nghiệm 8l2 π3 u (x, t) = ∞ −(nπ/l)2 kt nπx e sin n l n=1,3,5, (b) Giả sử nhiệt lượng điểm cuối dây giữ khơng đổi, là, u (l, t) = u0 , t ≥ Bài toán ut = kuxx , < x < l, u (0, t) = 0, t > 0, (3.7) u (l, t) = u0 , u (x, 0) = f (x) , < x < l Cho u0 x l Thay u (x, t) vào phương trình (3.7) ta u (x, t) = v (x, t) + vt = kvxx , < x < l, t > 0, v (0, t) = 0, v (l, t) = 0, u0 x v (x, 0) = f (x) − , < x < l l Như vậy, với công thức nghiệm biết (3.6), thu nghiệm   l ∞ u0 τ u0 x nπτ nπx 2 f (τ ) − sin dτ e−(nπ/l) kt sin + (3.8) u (x, t) = l l l l l n=1 2.3.2 Sự tồn nghiệm phương trình truyền nhiệt Trong phần trước tìm thấy (3.4) cơng thức nghiệm hình thức tốn truyền nhiệt (3.1), an đưa (3.5) Chúng ta chứng minh tồn nghiệm hình thức f (x) liên tục [0, l] f (0) = f (l) = 0, f (x) liên tục mảnh (0, l) Vì f (x) bị chặn, có l |an | = l l nπx f (x) sin dx ≤ l l |f (x)|dx ≤ C, C số dương Do đó, với t0 > hữu hạn, ta có an e−(nπ/l) kt sin nπx l ≤ Ce−(nπ/l) 53 kt0 , t ≥ t0 Chuỗi số hạng e−(nπ/l) kt0 hội tụ Vì vậy, theo tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass, chuỗi (3.4) hội tụ x t t ≥ t0 ≤ x ≤ l Vi phân phương trình (3.4) t, thu ∞ ut = − nπ l an n=1 2 ke−(nπ/l) kt nπx l sin (3.9) Chúng ta ý −an nπ l ke−(nπ/l) kt nπx l sin t ≥ t0 , chuỗi số hạng C ≤C nπ l nπ ke−(nπ/l) kt0 l 2 ke−(nπ/l) kt0 hội tụ Do đó, chuỗi (3.9) hội tụ miền ≤ x ≤ l, t ≥ t0 Tương tự, chuỗi (3.4) vi phân hai lần x, ta có kết ∞ uxx = − an n=1 nπ l e−(nπ/l) kt sin nπx l (3.10) Rõ ràng, từ phương trình (3.9) (3.10), ta có ut = kuxx Do đó, (3.4) nghiệm phương trình truyền nhiệt chiều miền ≤ x ≤ l, t ≥ Tiếp theo điều kiện biên thỏa mãn Ở đây, ý chuỗi (3.4) biểu diễn hàm u (x, t) hội tụ miền ≤ x ≤ l, t ≥ Vì hàm biểu diễn chuỗi hội tụ hàm liên tục liên tục, u (x, t) liên tục x = x = l Như hệ quả, x = x = l, nghiệm (3.4) thỏa mãn u (0, t) = 0, u (l, t) = 0, với t > Ta phải u (x, t) thỏa mãn điều kiện ban đầu u (x, 0) = f (x) , ≤ x ≤ l Với giả thiết dễ hơn, chuỗi f (x) đưa ∞ f (x) = an sin n=1 nπx l hội tụ tuyệt đối Bằng tiêu chuẩn Abel hội tụ chuỗi biểu thị dạng tích số hạng chuỗi hội tụ ∞ an sin n=1 54 nπx l ... đạo hàm riêng học, lượng tử đưa toán biên Sturm- Liouville Bởi tầm quan trọng toán tử Sturm- Liouville gợi ý, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Ngọc nên thực đề tài "Tốn tử Sturm- Liouville" để hồn thành luận... biết phần tử Một phần tử y = gọi vectơ riêng L Ly = λy, λ gọi giá trị riêng tương ứng L Một toán tử đơn giản thường sử dụng ứng dụng d2 L = − + q (x) dx Toán tử gọi toán tử Sturm- Liouville Giả...+ 2 πn sinh nπ n=1 58 Kết luận Các toán xoay quanh toán tử Sturm- Liouville rộng Phạm vi luận văn "Toán tử Sturm- Liouville" chủ yếu giới thiệu lý thuyết phổ toán áp dụng trường hợp quy Trên sở