Toán tử Sturm-Liouville

Mối liên hệ đáng chú ý đầu tiên của các giá trị riêng với các phương trình vi phânđược nhắc đến trong lý thuyết phát triển bởi Charles Francois Sturm năm 1836 vàJoseph Liouville năm 1838

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-TRẦN THỊ MÂY

TOÁN TỬ STURM-LIOUVILLE

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01.02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN VĂN NGỌC

HÀ NỘI- 2013

Lời cám ơn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tới TS NguyễnVăn Ngọc, người đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình hoàn thànhluận văn tốt nghiệp Qua đây, tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầygiáo, cô giáo trong tổ Toán giải tích trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốcgia Hà Nội, những người đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tạitrường

Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về thời gianthực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả kính mong nhậnđược ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, năm 2013

Mục lục

Mở đầu 3

1 Lý thuyết phổ đối với trường hợp chính quy 4 1.1 Khái niệm về bài toán Sturm-Liouville 4

1.1.1 Khái niệm 4

1.1.2 Tính chất 5

1.2 Dáng điệu tiệm cận của giá trị riêng và hàm riêng 6

1.3 Lý thuyết Sturm trên các không điểm của các nghiệm 14

1.4 Bài toán tuần hoàn và nửa tuần hoàn 18

1.4.1 Số bội của những giá trị riêng 19

1.4.2 Các không điểm của các hàm riêng 23

1.5 Chứng minh định lý về sự khai triển bằng phương pháp phương trình tích phân 25

1.6 Chứng minh định lý về sự khai triển trong trường hợp tuần hoàn 32

2 Một số ví dụ và bài toán áp dụng lý thuyết phổ đối với trường hợp chính quy 35 2.1 Một số ví dụ 35

2.1.1 Các ví dụ đơn giản 35

2.1.2 Các ví dụ phức tạp hơn 38

2.2 Phương trình dao động của một dây (thanh) hữu hạn 42

2.2.1 Nghiệm của bài toán dao động của một dây 42

2.2.2 Tính duy nhất nghiệm của bài toán dao động của một dây 45

2.3 Phương trình truyền nhiệt của dây hữu hạn 50

2.3.1 Nghiệm của bài toán truyền nhiệt 50

2.3.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình truyền nhiệt 53 2.4 Phương trình Laplace trong hình chữ nhật 56

Kết luận 59

Tài liệu tham khảo 60

Mở đầu

Lý thuyết toán tử là một lĩnh vực quan trọng của giải tích Ngày nay, nhiều ngànhcủa giải tích không thể tách rời lý thuyết toán tử, đáng chú ý phải kể đến phép tínhbiến phân, lý thuyết biến đổi và các phương trình vi phân Các ngành này đều pháttriển sau lý thuyết toán tử đến hàng thế kỉ Vì thế, không phải ngạc nhiên khi nhiềuvấn đề của lý thuyết toán tử được giới thiệu trong các ngành này Phương trình vi phân

và phương pháp tính nhiều biến được phát triển nhờ sự đóng góp to lớn của Euler,Lagrange và gia đình Bernoulli

Mối liên hệ đáng chú ý đầu tiên của các giá trị riêng với các phương trình vi phânđược nhắc đến trong lý thuyết phát triển bởi Charles Francois Sturm năm 1836 vàJoseph Liouville năm 1838 Đây là một bước liên hệ rất có ý nghĩa, bởi vì không giốngtrường hợp không gian cơ sở là vô hạn chiều, ở đó cho phép các vấn đề không thể pháttriển được trong trường hợp của đại số tuyến tính

Lý thuyết Sturm-Liouville được bắt đầu với lý thuyết phổ của các toán tử vi phânthường Lý thuyết phổ của toán tử Sturm-Liouville là một lĩnh vực cổ điển của giảitích, bao gồm một lớp rộng các bài toán Nhiều bài toán phương trình đạo hàm riêngtrong cơ học, lượng tử được đưa về bài toán biên Sturm-Liouville

Bởi tầm quan trọng của toán tử Sturm-Liouville và được sự gợi ý, hướng dẫn của

TS Nguyễn Văn Ngọc nên tôi đã thực hiện đề tài "Toán tử Sturm-Liouville" đểhoàn thành luận văn tốt nghiệp cao học chuyên ngành Toán giải tích của mình Luậnvăn bao gồm hai chương

Chương 1 trình bày các vấn đề cơ bản trong lý thuyết phổ của toán tử Liouville đối với trường hợp chính quy, bao gồm đáng điệu tiệm cận của giá trị riêng

Sturm-và hàm riêng, Sturm-và các định lý khai triển hàm riêng Bài toán Sturm-Liouville tuần hoàn

và nửa tuần hoàn cũng được giới thiệu trong chương này

Chương 2 trình bày một số ví dụ và bài toán áp dụng lý thuyết phổ đối với trườnghợp chính quy Đặc biệt, trong chương này bài toán truyền sóng, bài toán truyền nhiệt,phương trình Laplace trong hình chữ nhật cũng được đưa về bài toán biên Sturm-Liouville bằng phương pháp tách biến

Định nghĩa 1.1.1 Cho L là một toán tử tuyến tính được xác định trên một tập hợp

đã biết của các phần tử Một phần tử y 6= 0 được gọi là một vectơ riêng của L nếu

Ly = λy, và λ được gọi là giá trị riêng tương ứng của L

Một trong những toán tử đơn giản nhất thường được sử dụng trong ứng dụng là

L = − d

2

dx2 + q (x) Toán tử này được gọi là toán tử Sturm-Liouville

Giả sử rằng q (x) là một hàm giá trị thực và liên tục trên đoạn [a, b]

Những điều kiện giá trị biên quan trọng nhất cho toán tử là

1 y (a) cosα + y0(a) sin α = 0, y (b) cosβ + y0(b) sin β = 0, ở đó α và β là hai số thựctùy ý, và

Bài toán Sturm-Liouville được gọi là chính quy nếu đoạn [a, b] là hữu hạn và hàm

q (x) là khả tổng trên đoạn đó Ngược lại, nếu đoạn [a, b] là vô hạn, hoặc nếu q (x) làkhông khả tổng trên đoạn đó, hoặc cả hai thì bài toán Sturm-Liouville được gọi là kìdị

Bổ đề 1.1.1 Hai hàm riêng y (x, λ1) 6= 0 và y (x, λ2) 6= 0 tương ứng với những giá trịriêng khác nhau là trực giao, tức là

f (x) g (x)

f0(x) g0(x)

Lấy f (x) = y (x, λ1) và g (x) = y (x, λ2) Từ điều kiện biên (1.2) ta có W0{f, g} =

Bổ đề 1.1.2 Các giá trị riêng của bài toán giá trị biên (1.1) , (1.2) là thực.

Chứng minh Lấy λ1 = u + iv là một giá trị riêng phức Vì q (x) có giá trị thực và

α, β là thực, nên λ2 = λ1 = u − iv cũng là một giá trị riêng, tương ứng với hàm riêng

ϕ (a, λ) = sin α và ϕ0(a, λ) = −cosα

Với bất kì x cố định thuộc đoạn [a, b], ϕ (x, λ) là một hàm nguyên của λ

1.2 Dáng điệu tiệm cận của giá trị riêng và hàm

riêng

Đặt cot α = −h và cot β = H Các điều kiện biên (1.2) có thể được viết dưới dạng

y0(0) − hy (0) = 0, y0(π) + Hy (π) = 0 (2.1)Biểu thị nghiệm của (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu

ϕ (0, λ) = 1, ϕ0x(0, λ) = h (2.2)và

x

Z

0

sin [s (x − τ )]q (τ ) ψ (τ, λ) dτ (2.5)

Chứng minh Để chứng minh (2.4), chúng ta chú ý rằng, ϕ (x, λ) thỏa mãn (1.1), do

sin [s (x − τ )]q (τ ) ϕ (τ, λ) dτ = −h sin sx + sϕ (x, λ) − s cos sx,

từ đây ta có công thức (2.4) (2.5) có thể được chứng minh tương tự

Bổ đề 1.2.2 Cho s = σ + it Khi đó, tồn tại s0 > 0 sao cho, với |s| > s0, các ướclượng

với điều kiện mẫu số dương, hay

Rõ ràng sự khai triển tiệm cận nói chung của ϕ (x, λ) và ψ (x, λ) như hàm của s cóthể thu được bằng việc lặp lại quy trình

Bây giờ chúng ta sẽ nhận được công thức tiệm cận cho những giá trị riêng và hàmriêng, trong trường hợp đặc biệt, công thức này chứng minh sự tồn tại vô hạn giá trịriêng

Trước tiên, chúng ta giả sử rằng h 6= ∞ và H 6= ∞ Hàm ϕ (x, λ) rõ ràng thỏa mãnđiều kiện biên đầu tiên trong (2.1) với λ bất kì Bởi vậy, chúng ta tìm được giá trị riêngbằng phép thay thế ϕ (x, λ) trong điều kiện thứ hai của (2.1)

Từ Bổ đề 1.1.2, những giá trị riêng là thực, tức là Ims = t = 0 Do đó ước lượngđầu tiên trong (2.7) đưa đến công thức

ϕ (x, λ) = cos sx + O s−1
(2.8)Lấy vi phân (2.4) đối với x và sử dụng (2.8), ta thu được ước lượng

ϕ0x(x, λ) = −s sin sx + O (1) (2.9)Bây giờ, thay thế giá trị của ϕ (x, λ) và ϕ0x(x, λ), được xác định bởi (2.7) và (2.9),trong điều kiện của (2.1), chúng ta đi đến phương trình

Chúng ta chú ý rằng giá trị riêng λ thỏa mãn

ϕ (π, λ) + Hϕ0x(π, λ) = ω (λ) = 0

Đặt λ = s2 Khi đó ω (λ) = ω1(s), hàm này, theo (2.4), là một hàm nguyên của s.Cũng từ công thức tiệm cận (2.8) và (2.9), với sin πs 6= 0, ta có

ω1(s) = −Hs sin sπ1 + O |s|−1
 (2.11)Lấy đường tròn DRbán kính R = N +12 trong s-phẳng, ở đó N là một số tự nhiên TừĐịnh lý Rouche và công thức tiệm cận (2.11), ta thấy có nhiều không điểm của ω1(s)bên trong DR như của hàm s sin sπ, tức là 2 (N + 1) Hàm ω1(s) là hàm chẵn, do đóchúng ta chỉ cần xét nghiệm dương của nó Mỗi không điểm dương là liên hợp với mộtgiá trị riêng, và chúng ta có N + 1 giá trị riêng sk nhỏ hơn N + 12 Ta có

Thật vậy, lấy sn= mn+O (1) , mn6= n Mặt khác, có n+1 giá trị riêng sk(k = 0, 1, , n)nhỏ hơn sn Từ trên ta thấy rằng phải có 2 (mn+ 1) không điểm của ω1(s) trong mộtđĩa bán kính mn+12, tức là phải có mn+ 1 6= n + 1 giá trị riêng sk nhỏ hơn sn, mâuthuẫn, và (2.12) được chứng minh

Đặt sn = n + δn Phương trình (2.10) khi đó đưa về dạng

s



q (τ ) ϕ (τ, λ) dτ

B = 12

Vì q (x) có đạo hàm bị chặn bởi giả thiết, lấy tích phân từng phần, chúng ta có

và

A = h + H + h1+ O 1

s

, h1 = 1

Bởi vậy, phương trình (2.14) có thể được viết dưới dạng sau

tansπ = h + H + h1+ O

1 s

s + O 1s

.Đặt sn= n + δn, chúng ta thu được

Sử dụng công thức (2.15), chúng ta thu được công thức tiệm cận cho hàm riêng

ϕ (x, λn) ≡ ϕn(x), Thay thế biểu thức ϕ (x, λ) từ (2.8) vào (2.4), và vì q (x) khả vi nênchúng ta thu được

ϕ (x, λ) = cos sx + h

s sin sx +

1s

Thay sn cho s, từ (2.15) chúng ta nhận được

cos nx + β (x)

n sin nx

+ O 1

n2



Bây giờ chúng ta sẽ xét trường hợp h = ∞, H 6= ∞ (trường hợp h 6= ∞, H = ∞được biến đổi đến trường hợp này bằng phép thế t = π − x) Điều kiện biên đầu tiêntrong (2.1) đưa đến công thức y (0) = 0

Hàm ψ (x, λ) của phần trước thỏa mãn điều kiện này Do đó, chúng ta sẽ xác địnhgiá trị riêng trong trường hợp này bằng phép thế ψ (x, λ) trong điều kiện biên thứ haicủa (2.1) Vi phân đẳng thức (2.5) theo biến x chúng ta thu được

cũng dựa trên ước lượng (2.7) đối với ψ (x, λ)

Lại giả sử rằng q (x) có đạo hàm bị chặn, chúng ta nhận được

Bởi vậy, phương trình (2.16) cho ta

Có thể thấy rằng, với s lớn, các nghiệm của (2.17) gần với n +12, ở đó n là một số tựnhiên Hơn nữa, như đã chứng minh trước, với n đủ lớn chỉ có một nghiệm của phươngtrình gần với mỗi n +12

ψn(x) = 1

n + 12 sin



n + 12



n + 12

π sin



n + 12



x + O 1

n

.Cuối cùng, chúng ta nghiên cứu trường hợp h = ∞ và H = ∞, ở đó điều kiện biên(2.1) có dạng y (0) = y (π) = 0, do đó, hàm ψ (x, λ) của phần trước cũng thỏa mãnđiều kiện ψ (π, λ) = 0 Từ (2.5) ta có

với giả sử rằng q (x) có đạo hàm bị chặn

Đây là một phương trình có dạng như (2.10) Tiếp tục như trước, chúng ta thiếtlập các nghiệm của (2.18) gần với các số nguyên, và bắt đầu với số nguyên n đủ lớn,chỉ có một nghiệm gần với n Do đó, các nghiệm sn của (2.18) là

πsin nx + O

 1n



với các hàm riêng đã chuẩn hóa

1.3 Lý thuyết Sturm trên các không điểm của các

nghiệm

Nghiên cứu sâu hơn sự phân phối của các không điểm của hàm riêng cho phépSturm chứng minh sự tồn tại của vô hạn các giá trị riêng của bài toán giá trị biên(1.1), (1.2) theo cách khác

Trong phần này chúng ta xét bài toán giá trị biên đơn giản nhất

y00+ λy = 0, y0(0) = y0(π) = 0với các hàm riêng

ϕ0(x) = 1, ϕ1(x) = cos x, ϕ2(x) = cos 2x, , ϕn(x) = cos nx,

và các giá trị riêng tương ứng

λ0 = 0, λ1 = 12, λ2 = 22, , λn= n2,

Các hàm riêng được sắp thứ tự theo các giá trị riêng tăng dần, bắt đầu từ 0 Các khôngđiểm của chúng có hai tính chất sau:

(1) Hàm riêng thứ n trong đoạn [0, π] có đúng n không điểm, và

(2) Các không điểm của hàm riêng thứ n và n + 1 đan xen nhau, tức là có một khôngđiểm của hàm riêng thứ n + 1 nằm giữa hai không điểm liên tiếp của hàm riêng thứ n.Những tính chất này cũng được trang bị hợp lệ trong trường hợp tổng quát

Định lý Sturm cơ bản sau đây là phần quan trọng nhất:

Chứng minh Nhân (3.1) với v, (3.2) với u, và trừ cho nhau, chúng ta thu được

Giả sử rằng v không bị triệt tiêu trong (x1, x2) Không mất tổng quát, chúng ta cóthể giả sử rằng u > 0 và v > 0 trong (x1, x2) Do đó vế phải của phương trình cuối làdương Vì u (x) > 0 bởi giả thiết, hàm tăng tại x1 Do vậy, u0(x1) > 0 (nó không thểtriệt tiêu, bởi vì khi đó từ định lý về tính duy nhất nghiệm của (3.1) ta có u (x) ≡ 0,điều này không thể xảy ra) Tương tự, u0(x2) < 0 Do đó,

u0(x2) v (x2) − u0(x1) v (x1) ≤ 0;

mâu thuẫn Như vậy, định lý được chứng minh

Hệ quả 1.3.1 Bất kì nghiệm của phương trình

y00+ g (x) y = 0, −∞ ≤ a ≤ x ≤ b ≤ +∞, (3.4)với g (x) < −m2 < 0 không thể có nhiều hơn một không điểm

Chứng minh Thật vậy, phương trình y00− m2y = 0 có nghiệm emx không triệt tiêutại bất kì đâu Do đó, từ định lý trên, bất kì nghiệm của (3.4) không thể có hơn mộtkhông điểm trong bất kì đoạn hữu hạn nào

Định lý 1.3.2 (Định lý so sánh.) Cho u (x) là nghiệm của phương trình (3.1), thỏamãn điều kiện ban đầu

và cho v (x) là nghiệm của phương trình (3.2) với điều kiện biên tương tự Hơn nữa,giả sử rằng g (x) < h (x) trên toàn bộ đoạn [a, b] Khi đó, nếu u (x) có m không điểmtrong (a, b], thì v (x) có không ít hơn m không điểm cũng trên khoảng đó và không điểmthứ k của v (x) nhỏ hơn không điểm thứ k của u (x)

Chứng minh Lấy x1 là không điểm của hàm u (x) gần với a (nhưng khác a) Định lýtrước đủ để chỉ ra rằng v (x) có ít nhất một không điểm trong [a, x1] Giả sử ngược lại,không giảm tổng quát, chúng ta có thể lấy v (x) > 0 và u (x) > 0 trong đoạn [a, x1]

Vì u (x1) = 0, hàm u (x) giảm trong lân cận của điểm x1 Do đó, u0(x1) ≤ 0 Lấy tíchphân đồng nhất thức (3.3) từ a đến x1, chúng ta thu được

Cho ϕ (x, λ) là hàm được đưa ra ở Phần 2 Xét phương trình ϕ (x, λ) = 0, a ≤ x ≤ b.

Rõ ràng các nghiệm của phương trình này là các hàm của λ Chúng ta sẽ chứng minhchúng liên tục

Bổ đề 1.3.1 Nếu x0 ∈ (a, b) là một nghiệm của hàm ϕ (x, λ0) thì với một số ε > 0 đủnhỏ, tồn tại một số δ > 0 sao cho, với |λ − λ0| < δ, hàm ϕ (x, λ) có đúng một khôngđiểm trong khoảng |x − x0| < ε

Chứng minh Không điểm x0 của nghiệm ϕ (x, λ0) của phương trình (1.1) là đơn, vìnếu chúng ta có ϕ0x(x0, λ0) = 0, thì từ định lý về tính duy nhất nghiệm của bài toán(1.1), (3.5), ta có ϕ (x, λ0) ≡ 0 Bởi vậy, ϕ0x(x0, λ0) 6= 0 Từ định nghĩa, chúng ta đặt

ϕ0x(x0, λ0) > 0 Cho ε > 0 đủ nhỏ để ϕ0x(x, λ0) > 0 trong toàn bộ khoảng |x − x0| ≤ ε.Khi đó ϕ (x0− ε, λ0) < 0 và ϕ (x0+ ε, λ0) > 0

Hơn nữa, vì ϕ0(x, λ) liên tục đối với λ (theo Định lý 1.1.1, ϕ (x, λ) là hàm nguyêncủa λ), có δ > 0 sao cho, với |λ − λ0| ≤ δ, ϕ0

x(x, λ) cũng dương trên toàn bộ khoảng

|x − x0| ≤ ε Bởi vậy, hàm tăng đơn điệu ϕ (x, λ) rõ ràng không thể có hai không điểmtrong khoảng này Hơn nữa, nếu chúng ta chọn δ nhỏ để sao cho với |λ − λ0| < δ, hàm

ϕ (x0− ε, λ0) âm, và ϕ (x0+ ε, λ0) dương (điều này có thể có được do tính liên tục của

ϕ (x, λ) đối với λ), thì từ bổ đề ta có: Nghiệm ϕ (x, λ) với |λ − λ0| < δ có đúng mộtkhông điểm trong đoạn [x0 − ε, x0+ ε] Như vậy, bổ đề được chứng minh

Sau đây là một kết quả quan trọng

Hệ quả 1.3.2 Khi λ thay đổi, ϕ (x, λ) có thể mất đi hoặc thu được không điểm chỉnếu không điểm nhận bên trong khoảng hoặc bên ngoài khoảng thông qua một trongnhững điểm đầu mút a, b

Sau đây chúng ta sẽ chứng minh sự tồn tại của vô hạn các giá trị riêng

Định lý 1.3.3 Có một dãy tăng vô hạn các giá trị riêng λ0, λ1, , λn, của bài toángiá trị biên (1.1), (1.2), và các hàm riêng tương ứng với giá trị riêng λm có đúng mkhông điểm trong khoảng a < x < b

Chứng minh Cho ϕ (x, λ) là nghiệm của phương trình (1.1), thỏa mãn điều kiện banđầu (3.5) Từ Định lý 1.3.2, vì λ tăng, số các không điểm của hàm ϕ (x, λ) không giảm.Lấy |q (x)| < c với a ≤ x ≤ b So sánh (1.1) với phương trình y00+(λ + c) y = 0 Nghiệmcủa nó thỏa mãn điều kiện ban đầu (3.5) là hàm

y = sin α cosh

h(−λ − c)12 (x − a)

i

− cosα.(−λ − c)12 sinh

h(−λ − c)12 (x − a)

i.Với λ âm có giá trị tuyệt đối đủ lớn, y tuyệt đối không bị triệt tiêu Bởi vậy, áp dụngĐịnh lý 1.3.2, chúng ta thấy rằng ϕ (x, λ) không bằng 0 với những giá trị này của λ

Tuy nhiên, lựa chọn phương trình y00+ (λ − c) y = 0, chúng ta thấy rằng số khôngđiểm của ϕ (x, λ) trong đoạn [a, b] tăng lên vô hạn nếu λ dương và tăng vô hạn.Xét phương trình ϕ (x, λ) = 0 Từ Bổ đề 1.3.1 ta thấy rằng các nghiệm của nóphụ thuộc liên tục vào λ Mặt khác, từ Định lý 1.3.2, khi λ tăng, mỗi không điểm của

ϕ (x, λ) dịch chuyển về bên trái nhưng không qua điểm a, vì số các không điểm khônggiảm Từ hệ quả của Bổ đề 1.3.1, các không điểm mới được đưa vào qua điểm b Lấy

µ0 là giá trị đầu tiên của tham số λ sao cho ϕ (b, µ0) = 0

Hiển nhiên là tồn tại một giá trị như thế Lấy µ1 là giá trị thứ hai của λ với

ϕ (b, µ1) = 0 Dãy giá trị µ0, µ1, , µm, có tính chất hàm ϕ (x, µm) có đúng m khôngđiểm bên trong đoạn [a, b], và ϕ (b, µm) = 0 Nếu sin β = 0, thì điều kiện biên thứ haitrong (1.2) xảy ra (điều kiện biên đầu tiên xảy ra bởi vì có (3.5)); bởi vậy µm là giá trịriêng, và định lý được chứng minh trong trường hợp này

Bây giờ, giả sử rằng sin β 6= 0, và u (x) , v (x) là những hàm được xét trong Định lý1.3.2 Khi đó

v
đơn điệu tăng trong bất kì đoạn nào mà ở đó v không bị triệttiêu Giả sử rằng u (x) và v (x) có cùng số không điểm trong [a, b]

Lấy xν là nghiệm của u (x) gần nhất với điểm b Chúng ta chỉ ra rằng hàm v (x)không thể có bất kì không điểm nào với xν ≤ x ≤ b Thật vậy, từ Định lý 1.3.2, có ítnhất ν không điểm của v (x) ở giữa a và xν Nếu v (x) bị triệt tiêu với xν ≤ x ≤ b, nó

sẽ có nhiều hơn số không điểm trong toàn bộ [a, b] so với u (x), trái giả thiết

Lấy tích phân (3.6) từ xν đến b, chúng ta thu được

Theo (3.7), hàm ϕϕ(b,λ)0(b,λ) đơn điệu giảm trong (µm, µm+1) Vì ϕ (b, µm) = ϕ (b, µm+1) =

0, hàm giảm từ +∞ đến −∞ Bởi vậy, tồn tại một giá trị λm bên trong (µm, µm+1),với ϕ0(b,λm )

ϕ(b,λ m ) = − cot β, và điều kiện thứ hai trong (2.1) xảy ra Do đó, λm là một giá trịriêng, và ϕ (x, λm) có nhiều không điểm trong khoảng (a, b) như ϕ (x, µm), nghĩa là mkhông điểm Định lý được chứng minh

1.4 Bài toán tuần hoàn và nửa tuần hoàn

Xét phương trình

ở đó q (x) là một hàm giá trị thực và tuần hoàn với chu kì a, tức là q (x + a) = q (x).Bởi tính tuần hoàn, chúng ta có thể xét bài toán giá trị biên cho (4.1) với điều kiệnbiên

y (0) = y (a) , y0(0) = y0(a) (4.2)

y (0) = −y (a) , y0(0) = −y0(a) (4.3)Bài toán (4.1), (4.2) được gọi là bài toán tuần hoàn, và (4.1), (4.3) là nửa tuần hoàn

Dễ thấy cả hai bài toán là tự liên hợp (sử dụng đồng nhất thức của Green)

Kí hiệu ϕ (x, λ) và ϑ (x, λ) là nghiệm của (4.1) với điều kiện ban đầu ϕ (0, λ) =

ϑ0(0, λ) = 0, ϕ0(0, λ) = ϑ (0, λ) = 1 Lấy y (x, λ) là hàm riêng của bài toán (4.1), (4.2)hoặc (4.1), (4.3), tương ứng với giá trị riêng λ Vì y (x, λ) là một nghiệm của (4.1) và

ϕ (x, λ) , ϑ (x, λ) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (4.1), nên

ϑ (a, λ) − 1 ϕ (a, λ)

ϑ0(a, λ) ϕ0(a, λ) − 1

... điểm hàm riêng cho phépSturm chứng minh tồn vô hạn giá trị riêng toán giá trị biên(1.1), (1.2) theo cách khác

Trong phần xét toán giá trị biên đơn giản

y00+ λy = 0, y0(0)... data-page="19">

1.4 Bài toán tuần hồn nửa tuần hồn

Xét phương trình

ở q (x) hàm giá trị thực tuần hồn với chu kì a, tức q (x + a) = q (x).Bởi tính tuần hồn, xét toán giá trị biên... −y (a) , y0(0) = −y0(a) (4.3)Bài toán (4.1), (4.2) gọi tốn tuần hồn, (4.1), (4.3) nửa tuần hồn

Dễ thấy hai toán tự liên hợp (sử dụng đồng thức Green)

Kí hiệu