Phương pháp song song giải bài toán đặt không chỉnh với toán tử đơn điệu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNCao Văn Chung PHƯƠNG PHÁP SONG SONG GIẢI BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán học Tính toán Mã số: 62 4

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Cao Văn Chung

PHƯƠNG PHÁP SONG SONG

GIẢI BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH

VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Cao Văn Chung

PHƯƠNG PHÁP SONG SONG

GIẢI BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH

VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU

Chuyên ngành: Toán học Tính toán

Mã số: 62 46 30 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Tập thể hướng dẫn khoa học:

HD1: GS.TSKH PHẠM KỲ ANHHD2: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG

Hà Nội - 2012

Mục lục

Trang

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt 6

Danh mục các bảng 7

Mở đầu 8

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 20

1.1 Khái niệm cơ sở 20

1.2 Toán tử đơn điệu và phương trình với toán tử đơn điệu 29

1.3 Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh 36

1.4 Hệ thống máy tính song song và lập trình song song 42

1.5 Các ví dụ minh họa 45

Chương 2 Phương pháp chỉnh lặp song song 47

2.1 Phương pháp chỉnh lặp ẩn song song 48

2.1.1 Trường hợp dữ liệu chính xác 49

2.1.2 Trường hợp dữ liệu có nhiễu 53

2.2 Phương pháp chỉnh lặp hiện song song 69

2.3 Ứng dụng và thử nghiệm số 74

Chương 3 Các phương pháp chiếu - lặp song song 82

3.1 Phương pháp chiếu - điểm gần kề song song 83

3.2 Các phương pháp CQ song song trong không gian Banach 91

3.3 Các phương pháp CQ song song trong không gian Hilbert 100

3.4 Thử nghiệm số 108

3.4.1 Giải hệ phương trình với toán tử ngược đơn điệu mạnh 108 3.4.2 Tìm điểm bất động chung của họ hữu hạn toán tử không giãn tương đối 110

Chương 4 Phương pháp song song giải phương trình với toán tử đơn điệu trơn 114

4.1 Phương pháp Newton hiệu chỉnh song song và sự hội tụ 115

4.2 Thử nghiệm số 131

4.2.1 Phương trình toán tử đơn điệu khả vi cấp hai 132

4.2.2 Thử nghiệm với toán tử khả vi 134

Kết luận 136

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 138

Tài liệu tham khảo 139

Chỉ mục 148

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ

CHỮ VIẾT TẮT

argminf (x) (argmaxf (x)) Phần tử cực tiểu (cực đại) hóa phiếm hàm f (x)

F (T ) ( ˆ F (T )) Tập điểm bất động (bất động tiệm cận) của T

J r

A := (rA + J )−1J Giải thức của toán tử (đa trị) đơn điệu A

TOL(RT OL = T OL/kx†k) Sai số (Sai số tương đối tính theo %)

Sp = Ts/Tp (Ep = Sp/N ) Tỷ lệ tăng tốc độ (Hiệu suất trung bình mỗi CPU)

Danh mục các bảng

Chương 2

2.1 So sánh PIIRM & PEIRM với cùng số lần lặp 78

2.2 So sánh PIIRM & PEIRM với cùng sai số 79

2.3 So sánh PIIRM khi chạy song song & tuần tự 80

2.4 PIIRM với dữ liệu có nhiễu 80

Chương 3 3.1 So sánh PRPXPM & PPPXPM với số bước lặp nhỏ 109

3.2 So sánh PRPXPM & PPPXPM với số bước lặp lớn 110

3.3 So sánh PPPXPM & CQ với cùng số bước lặp 112

3.4 So sánh PPPXPM & CQ với cùng độ chính xác 112

Chương 4 4.1 αn lớn & dữ liệu chính xác - Toán tử khả vi cấp 2 132

4.2 Số bước lặp n lớn & dữ liệu chính xác - Toán tử khả vi cấp 2 133 4.3 αn lớn & dữ liệu có nhiễu - Toán tử khả vi cấp 2 133

4.4 Số bước lặp n lớn & dữ liệu có nhiễu - Toán tử khả vi cấp 2 133 4.5 αn lớn & dữ liệu chính xác - Toán tử khả vi 134

4.6 Số bước lặp n lớn & dữ liệu chính xác - Toán tử khả vi 135

4.7 Thử nghiệm với dữ liệu có nhiễu - Toán tử khả vi 135

Mở đầu

Luận án này nghiên cứu các phương pháp song song giải hệ phươngtrình toán tử

Ai(x) := Fi(x) − fi = 0, i = 1, N (1)hoặc phương trình với toán tử phân rã được thành tổng các toán tử

ta cần khôi phục hình ảnh đối tượng ban đầu từ các hình chiếu của nó.Điều này có thể đưa về việc giải một hệ phương trình dạng Fi(x) = fi,trong đó các toán tử Fi là đơn điệu Bài toán khôi phục ảnh nói trên vàmột số vấn đề thực tế khác dẫn đến bài toán chấp nhận lồi Ở đó ta cầntìm hình chiếu của một phần tử lên giao của một số tập lồi (xem [27]).Đây là một trường hợp của bài toán tìm điểm bất động chung của một họcác toán tử không giãn Fi trong không gian Hilbert, tương đương với việcgiải hệ phương trình với các toán tử đơn điệu Ai(x) := x − Fi(x) = 0

Một số vấn đề thực tế khác lại dẫn đến việc tìm cực trị không ràngbuộc của một họ hữu hạn các phiếm hàm lồi, trơn Bài toán này cũng sẽđưa đến hệ phương trình dạng (1) với toán tử đơn điệu Trong khi đó,một số mô hình kinh tế dẫn đến một dạng bài toán gọi là bài toán bù(xem [2, 22]) Bài toán này, trong một số trường hợp, có thể chuyển về việcgiải phương trình với toán tử đơn điệu.

Một số mô hình ứng dụng trong cơ học lượng tử, lý thuyết lọc cũngdẫn tới các bài toán dạng (2), với Fi được xây dựng từ các toán tử vi phân(ví dụ, toán tử Laplace ∆ hoặc div của một hàm theo toán tử ∇) sao cho

A là toán tử đơn điệu (xem [4, 77]) Một bài toán khác gọi là nhận dạngtham số đa dữ liệu, xuất hiện nhiều trong các lĩnh vực y dược, sinh họcphân tử cũng có thể đưa về dạng phương trình (2) với toán tử đơn điệu(xem [26, 69]) Ngoài ra, trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật và toánhọc tính toán, ta phải giải phương trình dạng F x = f , trong đó F toán tửtuyến tính xác định không âm Đây cũng là một bài toán dạng (1)

Vì khả năng ứng dụng rộng rãi như vậy nên phương trình với toán tửđơn điệu đã được nghiên cứu rất nhiều Những kết quả định tính cho lớptoán tử này đã được nhiều nhà toán học như H Bauschke (xem [14, 15]),

F Browder ( [19, 20]), J M Borwein ( [17]), G J Minty ( [58]), R T.Rockafellar ( [62]) thiết lập (xem thêm [17] và các tài liệu tham chiếutrong đó) Đặc biệt, G J Minty và F Browder đã chỉ ra một số tính chấtquan trọng của toán tử đơn điệu cực đại, cũng như tìm ra mối liên hệ giữaphương trình với toán tử đơn điệu và bất đẳng thức biến phân

Tính chất đơn điệu cực đại, bức và một số đặc điểm khác của toán tửdạng cA + J , trong đó J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, còn c > 0, A làtoán tử đơn điệu được chỉ ra trong [20, 58, 62]

Lớp toán tử đơn điệu cực đại dạng A+αJ và mối liên hệ với dưới vi phâncủa các phiếm hàm lồi, cũng như các toán tử đơn điệu dạng thế năng đãđược nghiên cứu trong [6, 7, 14–17, 36, 46, 59, 63, 74, 84, 85, 87]

Như đã biết, bài toán

với F là toán tử đơn điệu, nếu không có thêm giả thiết gì về toán tử F ,thường là đặt không chỉnh (xem [1, 2, 4, 20, 76, 77]) Khái niệm về tính đặtchỉnh được J Hadamard định nghĩa như sau (xem [86]): Nếu (a) ∀f ∈ Y

∃xf ∈ X: F (xf) = f ; (b) xf xác định duy nhất; (c) xf phụ thuộc liên tụcvào f , thì bài toán F (x) = f được gọi là đặt chỉnh hay chính quy (well-posed problem hay correctly-posed problem) Khi ít nhất một trong ba điềukiện trên không thỏa mãn, ta nói bài toán là đặt không chỉnh (ill-posedproblem hay incorrectly-posed problem) Lúc đó việc giải số bài toán sẽ rấtkhó khăn vì các sai số nhỏ trong dữ liệu hoặc trong quá trình giải số trênmáy tính có thể dẫn tới sự sai lệch rất lớn của kết quả.

Những nhà khoa học đã có công đặt nền móng cho lý thuyết bài toán đặtkhông chỉnh phải kể đến A N Tikhonov, M M Lavrentiev, F Browder,

J J Lions, V K Ivanov Cũng vì ý nghĩa quan trọng của lý thuyết bàitoán đặt không chỉnh, nhiều nhà khoa học thế giới đã đi sâu nghiên cứu và

đề xuất các phương pháp giải lớp bài toán dạng này, như I Y Alber, K E.Atkinson, A B Bakushisikii, J Baumeiser, H W Engl, A V Goncharskii,

L Landweber, V A Morozov, M Z Nashed

Do tính không ổn định của dạng bài toán này mà người ta phải sử dụngcác phương pháp ổn định hóa để giải nó, gọi là các phương pháp hiệu chỉnh(còn gọi là chỉnh hóa, hay chính quy hóa - regularization) Tư tưởng củaviệc hiệu chỉnh là thay bài toán không chỉnh ban đầu bằng một họ cácbài toán đặt chỉnh mà nghiệm của các bài toán đặt chỉnh đó hội tụ vềnghiệm bài toán ban đầu, khi tham số hiệu chỉnh dần tới không

Năm 1963, trong [82, 83], A N Tikhonov đã đề xuất phương pháphiệu chỉnh nổi tiếng mang tên ông Trong phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov,thay cho việc giải (3), ta giải bài toán cực tiểu phiếm hàm có dạng

Rα(h,δ)F,f (x) := kFh(x) − fδk2Y + αΩ(x) → minx,trong đó α := α(h, δ) > 0 là tham số hiệu chỉnh; Ω(x) là phiếm hàmhiệu chỉnh; Fh và fδ lần lượt là các đại lượng bị nhiễu thay cho F và f Nhiều phương pháp số giải bài toán đặt không chỉnh đã được xây dựngdựa trên phương pháp hiệu chỉnh này ( [2, 9, 10, 13, 26, 32, 35, 79])

Trường hợp toán tử F tuyến tính, một phương pháp hiệu chỉnh thườngđược sử dụng là khai triển kỳ dị (SVD - Singular Value Decomposition)hoặc khai triển kỳ dị chặt cụt (Truncated SVD) Phương pháp này được sửdụng khi toán tử là compact hoặc cho hệ phương trình đại số tuyến tínhđiều kiện xấu (xem [1, 35])

Khi toán tử F là phi tuyến thì việc giải bài toán cực tiểu trên nói chungkhông đơn giản, thậm chí không giải được Phương pháp lặp Landweber

phi tuyến là một trong những đề xuất cho trường hợp này (xem [13, 26, 35]

và các tài liệu tham chiếu trong đó) Phương pháp này áp dụng cho toán

tử F khả vi liên tục theo Frechet, trong đó việc cực tiểu hóa phiếm hàmlàm trơn Tikhonov ở trên sẽ được thực hiện bằng một quá trình lặp.Năm 1966, trong [49], M M Lavrentiev đã đề xuất một phương pháphiệu chỉnh bằng cách sử dụng phương trình xấp xỉ Trong trường hợp

X = Y = H là không gian Hilbert, F là toán tử tuyến tính xác định không

âm, thì thay cho (3) ta giải phương trình

F x + αx = f,trong đó α > 0 là tham số Với cách chọn α thích hợp, nghiệm phương trìnhtrên sẽ hội tụ tới nghiệm bài toán ban đầu, khi α → 0

Cùng thời gian này, F Browder (xem [18]) cũng đề xuất phương pháphiệu chỉnh cho trường hợp toán tử F : X → X∗ là đơn điệu, với X là khônggian Banach lồi, phản xạ; X∗ là không gian đối ngẫu tương ứng và X∗ lồichặt Tư tưởng của phương pháp này tương tự như hiệu chỉnh Lavrentiev,

đó là thay bài toán ban đầu bằng phương trình xấp xỉ

F (x) + αM (x) = f,trong đó thành phần hiệu chỉnh M : X → X∗ là h−liên tục (hemi-continuous) và d− đơn điệu

Các kỹ thuật hiệu chỉnh do Lavrentiev và Browder đề xuất có nhiềuứng dụng để giải bài toán đặt không chỉnh với toán tử đơn điệu (xem[1–4, 9, 10, 22, 42–44, 69, 76, 77, 79])

Từ những năm 1980, một số phương pháp chỉnh lặp kết hợp giữa

kỹ thuật hiệu chỉnh của Lavrentiev (hoặc Browder) với các phương phápgiải số truyền thống đã được A B Bakushinskii đề xuất (tham khảo [9,79]

và các tài liệu tham chiếu trong đó) Tác giả này nghiên cứu phương pháplặp bậc không và lặp bậc một, hay còn gọi là chỉnh lặp đơn và phương phápNewton - Kantorovich hiệu chỉnh trong không gian Hilbert Phương pháplặp bậc không là sự kết hợp giữa hiệu chỉnh Lavrentiev và phép lặp hiện

xk+1 = xk − βk F (xk) − f + αkxk

Ở đây αk > 0 là tham số hiệu chỉnh và βk > 0 là tham số lặp Trong khi

đó, phương pháp lặp bậc một được xây dựng cho toán tử khả vi Frechetkết hợp giữa phương pháp Newton và kỹ thuật hiệu chỉnh

F0(xk) + αkI
(xk+1− xk) = −



F (xk) − f + αkxk



Bakushinskii cũng đã chỉ ra được tốc độ hội tụ phương pháp lặp bậc mộtkhi toán tử thỏa mãn thêm điều kiện bổ sung, còn gọi là điều kiện nguồn(source condition) Trong các tài liệu ở trên, trường hợp vế phải f có nhiễucũng đã được nghiên cứu với cách chọn tham số theo điều kiện tiên nghiệm.Gần đây, A B Bakushinskii và A B Smirnova trong [10–12] đã nghiêncứu điều kiện dừng và quy tắc chọn tham số hậu nghiệm trong trường hợp

vế phải f có nhiễu cho cả hai phương pháp trên

Sau đó, Ya I Albert và I P Ryazantseva (xem [1, 4, 76–78, 81] và cáctài liệu tham chiếu trong đó) đã sử dụng ánh xạ đối ngẫu Us của X đểhiệu chỉnh phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach Ánh

xạ Us : X → X∗ thỏa mãn

hUs(x), xi = kUs(x)ks−1kxk = kxks, s ≥ 2

Trường hợp riêng, U2(x) được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc và ký hiệu

là J Hai tác giả này đã chỉ ra sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệmđúng của (3) khi α → 0 Có thể thấy, với α bé, việc giải phương trình hiệuchỉnh sẽ trở nên khó khăn không kém bài toán ban đầu Trong trường hợpbài toán có nhiễu, các tác giả đã đề xuất việc chọn tham số hiệu chỉnhtiên nghiệm

Ngoài chỉnh lặp đơn và Newton hiệu chỉnh, trong [4] cũng đề cập đếnmột số phương pháp khác để giải bài toán không chỉnh với toán tử đơn điệu:

• Phương pháp chiếu-lặp hiệu chỉnh (Iterative-Projection RegularizationMethod) kết hợp phương pháp chiếu lặp và kỹ thuật hiệu chỉnh phụthuộc các tham số βk, αk & 0 trong một quá trình lặp

• Phương pháp hàm phạt (penalty method): Phương pháp này giải một

họ phương trình đặt chỉnh phụ thuộc tham số α, β Với β/α → 0 khi

α → 0 thì nghiệm phương trình đặt chỉnh xα,β hội tụ về nghiệm cóchuẩn nhỏ nhất của (3)

• Phương pháp giảm dư (Residual method): Dựa trên ý tưởng cực tiểuhóa phiếm hàm tương tự như hiệu chỉnh Tikhonov

Cũng vào những năm 1980, trong các tài liệu [50–52,80], O A Liskovets,

đã đề xuất phương pháp tựa nghiệm (Quasi-Solution Method) để hiệu chỉnh(3) trong trường hợp ta chỉ biết xấp xỉ Ah của A, với Ah không đơn điệu

Các phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử dạng A(x) = 0 trongtrường hợp A không là toán tử đơn điệu cũng đã được nhiều nhà khoa họcnghiên cứu Các kết quả có thể tham khảo trong [1, 9, 13, 26, 32, 35, 37, 38,

50, 70, 71, 79]

Các nhà toán học Việt Nam cũng thu được nhiều kết quả thú vịliên quan đến lý thuyết, phương pháp giải và ứng dụng của bài toán đặtkhông chỉnh

Các tác giả Đặng Đình Áng, Đinh Nho Hào, Đặng Đức Trọng v.v đãnghiên cứu bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng Những bàitoán được các tác giả quan tâm nghiên cứu thường là đặt không chỉnh.Đặc biệt, tác giả Đinh Nho Hào đã nghiên cứu các bài toán Cauchy chophương trình đạo hàm riêng đặt không chỉnh và đề xuất phương pháp làmnhuyễn (mollification) Phương pháp này làm nhuyễn dữ liệu để các bàitoán thu được là đặt chỉnh và nghiệm của chúng hội tụ đến nghiệm bàitoán đặt không chỉnh Các kết quả này có thể tham khảo tại [39, 40]

Lý thuyết cũng như phương pháp giải bàn toán đặt không chỉnh tổngquát đã được tác giả Nguyễn Bường nghiên cứu Các kết quả áp dụng chomột số bài toán đặt không chỉnh như bài toán bù, bất đằng thức biếnphân, hệ phương trình toán tử có thể được tìm thấy trong [1, 2, 22–25].Một số kết quả này sẽ được trình bày kỹ hơn trong phần sau

Năm 1969, R T Rockafellar (xem [62]) đã đề xuất thuật toán điểmgần kề (proximal point algorithm) giải bài toán (3) Trong thuật toán này,xuất phát từ xk (k ≥ 0, x0 cho trước) đã biết, ta tìm xấp xỉ tiếp theo

ckA(xk+1) + J xk+1 − xk
= 0, ck ∈ (0, c]

Theo [62], phương trình trên đặt chỉnh Với mỗi k ta giải một phương trìnhxấp xỉ với tham số ck > 0, do đó thuật toán gần giống phương pháphiệu chỉnh Lavrentiev Tuy nhiên, khác với hiệu chỉnh Lavrentiev, ở đây

ck bị chặn trên, do đó tính đặt chỉnh của phương trình xấp xỉ luôn đượcđảm bảo, nhưng dãy xấp xỉ nói chung chỉ hội tụ yếu về nghiệm của (3).Phương pháp điểm gần kề đã được nhiều tác giả nghiên cứu, phát triển đểgiải phương trình với toán tử đơn điệu

Những năm 1980, J E Spingarn đã đề xuất phương pháp nghịch đảotừng phần (partial inverse) để cải tiến thuật toán điểm gần kề (xem [65])cho phương trình toán tử đơn điệu

Năm 2000, M V Solodov, B F Svaiter đã đưa ra thuật toán chiếu

-điểm gần kề (xem [64]) Các tác giả kết hợp luân phiên giữa việc giải gầnđúng phương trình trong thuật toán điểm gần kề của R T Rockafellar đểtìm xấp xỉ trung gian

F (yk) − f + µk(yk − xk) + ek = 0,với việc chiếu trực giao xuống các nửa không gian Hk xây dựng dựa vào

yk, và Wk xây dựng dựa vào xk Các siêu phẳng xác định Hk, Wk táchtập nghiệm với xấp xỉ hiện tại xk Phương pháp này đạt được sự hội tụmạnh toàn cục, hơn nữa phương trình trên chỉ cần giải gần đúng, với sai

số ek thỏa mãn các điều kiện nhẹ hơn so với phương pháp điểm gần kềnguyên thủy

Năm 2002, I P Ryazantseva ( [4, 81]) cũng đã kết hợp phương phápđiểm gần kề với kỹ thuật hiệu chỉnh Lavrentiev và thu được phương phápđiểm gần kề hiệu chỉnh hội tụ mạnh, trong đó xấp xỉ xk+1 xác định qua

xk, k ≥ 0, từ phương trình

ck F (xk+1) − f ) + αkJ (xk+1) + J xk+1 − xk
= 0

Ở đây ck là tham số trong phương pháp điểm gần kề, αk là tham sốhiệu chỉnh Trường hợp F và f có nhiễu và các quy tắc chọn tham sốtiên nghiệm cũng đã được nghiên cứu Năm 2006, Hong Kun Xu ( [73])

đề xuất một cải biên khác của phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh trongkhông gian Hilbert

ck F (xk+1) − f ) + αkxk + xk+1 − xk
+ ek = 0,với ek là sai số khi giải phương trình này Các phương pháp điểm gần kềhiệu chỉnh trên đều hội tụ mạnh về nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của (3).Các tính chất của toán tử đơn điệu cũng như phương pháp giải cácbài toán với toán tử đơn điệu tiếp tục được J Borwein, P Combettes, M.Solodov, B Svaiter (xem [17,31,64]) nghiên cứu trong giai đoạn sau này.Trở lại những năm 1980, F Browder đã nghiên cứu mối liên hệ giữatoán tử không giãn với toán tử đơn điệu và từ đó sử dụng phương phápđiểm bất động để giải một số bài toán với toán tử đơn điệu ( [21]) Gầnđây, S Matsushita và W Takahashi đã phát triển ý tưởng này Trong [56],các tác giả đã chỉ ra rằng với c > 0 và A là một toán tử đơn điệu cựcđại trong không gian Banach X phản xạ, trơn và lồi chặt, thì toán tử

JAc = (J + cA)−1J là không giãn tương đối, hơn nữa tập điểm bất độngcủa JAc chính là tập nghiệm của A(x) = 0 Khái niệm không giãn tương đốiđược mở rộng từ khái niệm toán tử không giãn, dựa vào khoảng cách suy

rộng Kết hợp tính chất trên với thuật toán chiếu - điểm gần kề đề xuấttrong [64], các tác giả đã đưa ra các phương pháp lai ghép giữa thuật toánlặp và phép chiếu để tìm điểm bất động của toán tử không giãn tương đối.Nhiều phương pháp dạng này tiếp tục được đề xuất, và trong một số tàiliệu còn được gọi là các phương pháp CQ (xem [23, 54, 56, 60, 61, 66]) Nhưtrên đã nói, phương pháp này có thể áp dụng để giải phương trình A(x) = 0với A đơn điệu cực đại Tuy nhiên, do phải tìm hình chiếu lên giao của

ba tập lồi trong không gian Banach, nên ít phương pháp CQ có công thức

cụ thể tính hình chiếu như trong [64] Đến năm 2009, trong [23], tác giảNguyễn Bường đưa ra những cải biên để phép chiếu là thực hiện được.Gần đây, một số phương pháp kết hợp giữa thuật toán lặp và hiệuchỉnh theo hướng hệ động lực (dynamical system method) đã được A G.Ramm và N S Hoang đề xuất (xem [42–44]) Ngoài các phương phápnhư chỉnh lặp đơn và Newton hiệu chỉnh, người ta còn nghiên cứu phươngpháp Landweber cho toán tử đơn điệu, còn được gọi là phương pháp kiểugradient hiệu chỉnh

Năm 1937, Stefan Kaczmarz đã đề xuất một phương pháp giải hệ đại

số tuyến tính quá xác định Ax = b như sau

xk+1 = xk + b[k]− ha[k], xki

ka[k]k2 a[k],trong đó [k] = (k mod m) + 1, ai là chuyển vị dòng thứ i của ma trận A.Trong phương pháp trên, các phương trình ứng với các dòng của A sẽ đượcgiải lần lượt một cách luân phiên xoay vòng

Ý tưởng trên có thể áp dụng giải hệ phương trình toán tử Chính vì thế,gần đây các phương pháp xử lý luân phiên dạng Kaczmarz được rất nhiềutác giả nghiên cứu Đối với bài toán đặt không chỉnh, các phương phápnhư Landweber-Kaczmarz, Newton-Kaczmarz, đường dốc nhất - Kacz-marz, phương pháp xoay vòng tìm điểm bất động chung dạng CQ v.v

đã được đề xuất (xem [13, 26, 32, 37, 38, 47, 54]) Ý tưởng chung của cácphương pháp này là phân rã bài toán thành hữu hạn bài toán con, vàluân phiên giải các bài toán con đó bằng các phương pháp lặp tương ứng(Landweber, Newton, đường dốc nhất, phương pháp CQ ) Phương phápphân rã như vậy chẳng những không làm tăng điều kiện áp đặt lên từngtoán tử, mà còn đơn giản hóa việc tính toán Ngoài ra, trong một số trườnghợp, phương pháp dạng Kaczmarz hiệu quả hơn phương pháp ban đầu.Tuy nhiên, do việc xử lý các bài toán con là luân phiên, nên phươngpháp dạng Kaczmarz là tuần tự Do đó nếu thực hiện các phương phápnày trên máy tính với nhiều bộ xử lý, khi số bài toán thành phần là lớn,thì tại mỗi thời điểm, vẫn chỉ có một bài toán con được xử lý Thực tế ta

có thể tăng hiệu quả của các phương pháp tuần tự khi thực hiện trên máytính song song bằng cách xử lý song song trên từng bước tính toán

Đến nay, các kết quả song song trên mức tính toán tại mỗi bước nhưvậy đã phát triển khá mạnh Thậm chí các công cụ song song hóa khi tínhtoán với ma trận và vector đã được nhúng cứng vào các vi mạch xử lý, ví

dụ kiến trúc hỗ trợ tính toán song song CUDA (Compute Unified DeviceArchitecture) Cùng với nó, các hướng nghiên cứu để vector hóa dữ liệu xử

lý (vectorization) cũng phát triển mạnh

Một yêu cầu được đặt ra ở đây là cần xây dựng các thuật toán mà ở đócác bài toán thành phần có thể được xử lý một cách đồng thời và độc lập.Đây cũng chính là mức song song thứ hai, tức là song song từ thuật toán.Các phương pháp song song ở mức này đến nay chưa phát triển nhiều nhưđối với mức thứ nhất, mặc dù nó cũng được quan tâm từ khá sớm

Cùng thời gian phương pháp Kaczmarz ra đời, năm 1938, G Cimmino

đề xuất một phương pháp khác giải hệ quá xác định như sau

Rõ ràng, phương pháp phân rã kiểu Cimmino cho phép tính đồng thời các

xk+1j và xấp xỉ tiếp theo là trung bình cộng của các xk+1j , j = 1, m

Vào những năm 1990, các tác giả M A Diniz-Ehrhardt, J M Martinez,S.A Santos, G Zilli và L Bergamaschi đã đề xuất một số phương phápdạng Cimino giải các hệ phương trình phi tuyến trong không gian hữuhạn chiều ( [33, 34, 75]) Nhưng các kết quả này đều phải dựa trên giả thiết

ma trận Jacobi của toán tử là hạng đủ Vì vậy kết quả không mở rộng đượccho trường hợp vô hạn chiều, cũng như không cần kỹ thuật hiệu chỉnh.Cũng thời gian này, T Lu, P Neittaanm¨aki, và X.-C Tai ( [55]) đãnghiên cứu phương trình dạng (2) Rõ ràng nếu có phương pháp phân rãsong song bài toán này thì việc giải sẽ thuận lợi hơn Ví dụ khi giải phươngtrình đạo hàm riêng nhiều chiều với toán tử Laplace, ta có thể tách thànhtổng các toán tử đạo hàm theo từng chiều Hơn nữa, khi thực hiện trênmáy tính nhiều bộ xử lý, việc giải sẽ tiết kiệm được thời gian hơn Phươngpháp trong [55] tìm dãy xấp xỉ qua bước trung gian theo công thức

Dễ thấy bước trung gian tìm xik có thể tính toán một cách đồng thời trên

N bộ xử lý Nhưng để phương pháp này hội tụ, các toán tử Fi cần liên tụcLipschitz và đơn điệu mạnh, và lúc đó phương trình F (x) = f đặt chỉnh

Do đó không thể áp dụng trực tiếp phương pháp này cho các bài toán đặtkhông chỉnh

Năm 2001, Y Censor, D Gordon và R Gordon (xem [27–29]) đề xuấtphương pháp giải hệ đại số tuyến tính kích thước lớn và thưa dạng Cim-mino, còn được gọi là phương pháp trung bình thành phần (componentaveraging method - CAV) Một biến thể của phương pháp trên, trong đóviệc giải đồng thời được thực hiện theo từng nhóm kết hợp với lấy trungbình giữa các nhóm, gọi là lặp theo khối (block-iterative component av-eraging - BICAV) cũng được đề xuất trong các tài liệu này Các phươngpháp cải biên này được chứng minh là hiệu quả hơn phương pháp Cimminonguyên thủy Các kết quả trên cũng có thể mở rộng cho việc tìm điểm bấtđộng chung của N toán tử không giãn

Tuy nhiên các tác giả trên chưa xét đến trường hợp phương trình toán

tử phi tuyến đặt không chỉnh

Gần đây, Nguyễn Bường và các tác giả trong nhóm cũng đã công bốmột số kết quả giải hệ phương trình toán tử hoặc là hệ bất đẳng thức biếnphân Trong [22], tác giả đã đưa ra phương pháp chỉnh lặp cho trường hợpcác toán tử đơn điệu thế năng Trong [25], các tác giả đã đề xuất phươngpháp chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử khi Fi là ngược đơn điệu mạnh.Trong các tài liệu này, tác giả đã chuyển việc giải hệ về giải hiệu chỉnh một

phương trình tổng Trong [24], tác giả cũng đã đưa ra các phương pháphiệu chỉnh đối với hệ phương trình với các toán tử tựa co hoặc khả vi.Tuy vậy, các phương pháp đã đề cập đều là những phương pháp tuần tự.

P L Combettes, H Attouch, L M Brice˜no-Arias (xem [8,31]) cũng đã

đề xuất một số phương pháp song song cho phương trình dạng (2) Ở đó,các tác giả sử dụng một công cụ gọi là toán tử điểm gần kề (toán tử proxy)

Để xác định được toán tử này, ta cần giải một bài toán tối ưu lồi Do đókhông phải mọi trường hợp phương pháp đều có thể thực hiện hiệu quả.Cho đến nay các bài toán đặt không chỉnh được giải trên máy tính songsong theo nguyên tắc sau: Trước hết nguời ta sử dụng kỹ thuật hiệu chỉnh

để thay bài toán đặt không chỉnh ban đầu bằng các bài toán đặt chỉnh.Sau đó giải bài toán đặt chỉnh thu được bằng những giải thuật song songcho đến khi đạt độ chính xác cần thiết, hoặc sử dụng một phương pháptuần tự đã có và chỉ tính toán song song cho một số công đoạn, như giải

hệ phương trình đại số tuyến tính, tính tích phân, tìm cực trị phiếm hàm.v.v Tức là cách xử lý song song ở mức tính toán tại mỗi bước đã đề cậpđến trong phần trên Như vậy, trong các phương pháp song song đã có, cácthao tác hiệu chỉnh và phân rã song song cũng như quá trình giải thuộccác mức khác nhau và không gắn kết với nhau

Luận án này đề xuất một số phương pháp song song mới cho cácbài toán dạng (1), (2) Điểm khác biệt của các phương pháp này là ở đây,thao tác hiệu chỉnh hoặc các thao tác phép chiếu - lặp và phân rã songsong được gắn kết với nhau trong một quá trình lặp thống nhất Nghĩa là,các thao tác đó được thực hiện trong mỗi bước lặp, một cách đồng thờicho các bài toán thành phần Do đó, các thuật toán này có thể áp dụngtrực tiếp cho các bài toán đặt không chỉnh

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án được chialàm bốn chương

• Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị vàkết quả bổ trợ cần thiết cùng với một số bài toán minh họa

• Chương 2 trình bày phương pháp chỉnh lặp ẩn và chỉnh lặp hiện songsong, giải hệ phương trình với toán tử ngược đơn điệu mạnh Phươngpháp chỉnh lặp ẩn song song trong chương này cũng bao trùm phương

pháp điểm gần kề hiệu chỉnh song song Chương này cũng đề xuất cácquy tắc chọn tham số và quy tắc dừng trong trường hợp có nhiễu.

• Chương 3 đề xuất một số phương pháp dạng chiếu-lặp song song:Phương pháp chiếu-điểm gần kề song song giải hệ phương trình vớicác toán tử liên tục, đơn điệu cực đại; Các phương pháp lai ghép dạng

CQ song song tìm điểm bất động của họ hữu hạn toán tử không giãntương đối Các phương pháp này được xây dựng cho không gian Banach

và có một số cải biên với trường hợp không gian Hilbert

• Trong chương cuối, chúng tôi trình bày phương pháp dạng Newtonhiệu chỉnh song song cho phương trình có toán tử tách được thànhtổng các toán tử đơn điệu hoặc hệ phương trình với các toán tử ngượcđơn điệu mạnh Tốc độ hội tụ của phương pháp cũng được đánh giátrong chương này với các giả thiết thích hợp về điều kiện nguồn.Cuối mỗi chương, một số kết quả thử nghiệm số trên máy tính songsong đã được trình bày Tất cả các kết quả tính toán được chạy ở chế độsong song, trên bó máy tính IBM1350 với 8 node tính toán - 16 bộ xử lý lõikép tại Trung tâm Tính toán hiệu năng cao - ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội.Kết quả chính của luận án đã được công bố trong [1-4] và gửi đăngtrong [5], xem Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quanđến luận án

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị, kết quả bổ trợ và

ví dụ minh họa Mặc dù hầu hết các khái niệm và kết quả đã biết đượcxây dựng cho không gian Banach và toán tử đa trị, tuy nhiên để dễ theo dõinhững ứng dụng ở các chương sau, chúng tôi sẽ chỉ trình bày cho không gianHilbert Các khái niệm và kết quả trong không gian Banach chỉ được đề cậpkhi thực sự cần thiết cho các chương tiếp theo

Các khái niệm trình bày dưới đây chủ yếu được tham khảo từ [1–4, 9,

48, 67, 79] và các tài liệu tham chiếu trong đó

Xét không gian Banach thực X với đối ngẫu X∗, nếu không sợ nhầm lẫn,

ta ký hiệu chuẩn trên các không gian đó đều là k·k Với ∀x ∈ X và ∀f ∈ X∗,

ta đặt

hf, xi := f (x)

Nếu X = H là một không gian Hilbert thực, thì h·, ·i là tích vô hướng trên

H, và k · k là chuẩn cảm sinh tương ứng

Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là không gian phản xạ,nếu ánh xạ nhúng chuẩn tắc τ : X → X∗∗ là toàn ánh, trong đó ánh xạ

τ (x)(f ) := hf, xi với mọi x ∈ X và f ∈ X∗

Không gian X được gọi là lồi chặt (strictly convex) nếu với mọi x, y ∈ X,kxk = kyk = 1 và x 6= y thì kx + yk < 2 X được gọi là lồi đều (uniformlyconvex) nếu với  > 0 bất kỳ cho trước, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi

x, y ∈ X, kxk ≤ 1, kyk ≤ 1 và kx − yk =  thì kx + yk ≤ 2(1 − δ)

Không gian X được gọi là trơn (smooth) nếu giới hạn lim

t→0

kx + tyk − kxk

ttồn tại với mọi x, y ∈ SX := {z ∈ X : kzk = 1} X được gọi là trơn đều(uniformly smooth) nếu giới hạn đó tồn tại đều với mọi x, y ∈ SX

Các kết quả của luận án cho không gian Banach cần đến tính chất lồiđều và trơn đều của không gian Vì vậy trong các phần tiếp theo, nếu nhắcđến không gian Banach mà không chú thích gì thêm, thì ta mặc định rằngkhông gian đó là lồi đều và trơn đều

Chúng ta nhắc lại một số khái niệm về sự hội tụ của dãy Ta nói dãy{xn} ⊂ X hội tụ (hay hội tụ mạnh) tới x ∈ X, ký hiệu xn → x, nếu

kxn − xk → 0 khi n → +∞ Dãy xn được gọi là hội tụ yếu đến x, ký hiệu

xn * x, nếu với mọi y ∈ X∗ bất kỳ nhưng cố định, hy, xn − xi → 0 khi

n → +∞ Mọi dãy hội tụ thì hội tụ yếu

Ta ký hiệu B[x0, r] := {x ∈ X : kx − x0k ≤ r} B(x0, r) := {x ∈ X :

kx − x0k < r}
là hình cầu đóng (mở) tâm x0, bán kính r ∈ R+ Tương tự,tập S(x0, r) := {x ∈ X : kx − x0k = r} gọi là mặt cầu tâm x0 bán kính r.Xét tập con C ⊂ X

• C giới nội nếu nó được chứa trong một hình cầu B[x0, r] nào đó,

0 ≤ r < +∞ Mọi dãy hội tụ yếu đều giới nội

• C là tập đóng (tương ứng, đóng yếu) nếu mọi dãy con {xn} ⊂ C và

xn → x (tương ứng, xn * x) suy ra x ∈ C Ta ký hiệu C là bao đóngcủa C, tức là tập đóng nhỏ nhất chứa C

• C trù mật trong tập con M ⊂ H nếu M ⊂ C

• C là compact tương đối (tương đối yếu) nếu mọi dãy vô hạn {xn} ⊂ Cđều chứa dãy con hội tụ (hội tụ yếu) Trong không gian Banach phản

xạ, mọi tập giới nội đều là compact tương đối yếu

• C là tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C thì đoạn thẳng [x, y] := {z ∈ X : z =

λy + (1 − λ)x, λ ∈ [0, 1]} ⊂ C

Trường hợp X = H là không gian Hilbert thực, ta có một số tập hợpđặc biệt sau đây

• Với mỗi c ∈ R, z ∈ H xác định, z 6= 0H, tập Hc := {x ∈ H : hz, xi = c}được gọi là siêu phẳng (hyperplane) trong H;

• Với c ∈ R, z 6= 0H xác định, tập {x ∈ H : hz, xi ≤ c} (hoặc {x ∈ H :

hz, xi ≥ c}) được gọi là nửa không gian (haflspace) của H

Trong luận án này, chúng ta sẽ xét toán tử F : X → Y , trong đó X và

Y là các không gian Banach thực Ta ký hiệu miền xác định của F là

Dom(F ) := {z ∈ X ∃y ∈ Y : F (z) = y},còn miền giá trị của F là

Ta nói F có một trong các tính chất trên, trừ tính liên tục Lipschitz,nếu tính chất đó đúng với mọi x ∈ Dom(F ) Hiển nhiên, nếu F liên tụcLipschitz thì nó liên tục, nếu F liên tục thì nó bán liên tục, nếu F bánliên tục thì nó h−liên tục, nhưng ngược lại có thể không đúng Nếu toán tử

F là hoàn toàn liên tục trong không gian vô hạn chiều, thì toán tử ngượccủa nó nói chung không liên tục

Trường hợp riêng, khi F liên tục Lipschitz với hằng số L = 1, tức là

kF (x1) − F (x2)k ≤ kx1− x2k với mọi x1, x2 ∈ Dom(F ), ta nói F là toán tửkhông giãn Nếu tồn tại hằng số q ∈ [0, 1) sao cho kF (x1) − F (x2)k ≤qkx1 − x2k với x1, x2 ∈ Dom(F ), thì toán tử F được gọi là co

Cho toán tử F : X → X∗, tập các phần tử

Gr(F ) = (x, y) ∈ X × X∗ : x ∈ Dom(F ), y = F (x)

được gọi là đồ thị của F Chúng ta có một khái niệm liên quan đến đồ thị,

đó là tính bán đóng (demiclosed - xem [4]): Tập hợp G ⊂ X × X∗ đượcgọi là bán đóng nếu từ các điều kiện xn * x và yn → y hoặc xn → x và

yn * y khi n → ∞, trong đó (xn, yn) ∈ G, ta suy ra (x, y) ∈ G Toán tử

F : X → X∗ được gọi là bán đóng nếu đồ thị của nó là bán đóng

Tính chất bán đóng cần để chứng minh một kết quả trong [25] mà ta sẽ

sử dụng trong Chương 2 Ta cũng có các định nghĩa tương đương về tínhbán đóng của một toán tử F : X → X∗ như sau ( [4]): F là toán tử bán đóng(demiclosed operator) tại x ∈ Dom(F ) nếu với mọi dãy {xn} ⊂ Dom(F ),

mà xn → x và F (xn) * y ∈ X∗, hoặc xn * x và F (xn) → y ∈ X∗ khi

n → ∞, thì F (x) = y

Phiếm hàm ϕ : X → R, là lồi nếu Dom(ϕ) là tập lồi trong X và với mọi

x, y ∈ Dom(ϕ), λ ∈ [0, 1], ta có ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y).Trong không gian Banach X, ϕ(x) := kxk2 là phiếm hàm lồi

Phiếm hàm ϕ : X → R là nửa liên tục dưới yếu (weakly lower tinuous) tại x0 ∈ Dom(ϕ) nếu với mọi dãy {xn} ⊂ Dom(ϕ) và xn * x0,

xác định duy nhất Phần tử x∗ được gọi là hình chiếu (metric) của x lên

Bổ đề 1.1 Cho C là một tập lồi đóng không rỗng bất kỳ trong không gianHilbert thực H, các phần tử x, y ∈ H Khi đó phép chiếu metric PC từ Hvào C thỏa mãn các tính chất sau

x0 = PC(x) nếu và chỉ nếu hx − x0, z − x0i ≤ 0 ∀z ∈ C; (1.1)

kPC(x) − PC(y)k2 ≤ kx − yk2 − k PC(x) − x
− PC(y) − y
k2 (1.2)

Từ tính chất (1.2), ta thấy kx − PC(x)k2 + kPC(x) − zk2 ≤ kx − zk2 vớimọi x ∈ H và z ∈ C Hơn nữa, đánh giá (1.2) cho thấy toán tử chiếu lêntập lồi PC là không giãn

Ngoài phép chiếu metric, trong luận án còn sử dụng phép chiếu suy rộngxây dựng dựa vào khoảng cách suy rộng

Toán tử J : X → X∗ xác định bởi

J (x) := {f ∈ X∗ : hf, xi = kxk2X = kf k2X∗}gọi là toán tử đối ngẫu chuẩn tắc Ta cần đến một số tính chất hình họcsau của không gian Banach X và toán tử đối ngẫu chuẩn tắc (xem [30,67])

Bổ đề 1.2 Cho X là một không gian Banach và J : X → X∗ là ánh xạđối ngẫu chuẩn tắc tương ứng Ta có các mệnh đề sau

i) X(X∗) là lồi đều nếu và chỉ nếu X∗(X) là trơn đều

ii) Nếu X là lồi đều, thì nó là phản xạ và lồi chặt Ngoài ra nó còn cótính chất Kadec-Klee (hay Efimov-Stechkin), tức là mọi dãy {xn} ⊂ Xthỏa mãn xn * x và kxnk → kxk, thì xn → x

iii) Nếu X là trơn đều và lồi đều thì J và J−1 là đơn trị và liên tục đềutheo chuẩn (uniformly norm-to-norm continuous) trên mọi tập giới nộicủa X và X∗, tương ứng.

Ta thấy nếu X là không gian Banach lồi đều; tập C ⊂ X là lồi đóng,không rỗng thì với mọi x ∈ X, hình chiếu PC(x) tồn tại duy nhất

Xét phiếm hàm φ : X × X → R+ xác định bởi

φ(x, y) := kxk2 − 2hJ(y), xi + kyk2 ∀(x, y) ∈ X × X

Ta có φ(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và pφ(x, y) gọi là khoảng cách mann (hay khoảng cách suy rộng) trên X Trong Chương 3, ta xét khoảngcách này khi X là không gian Banach thực phản xạ, lồi đều và trơn đều.Lúc đó, giả sử C là tập lồi đóng khác rỗng trong X, với mỗi x ∈ X, phần tử

Breg-x0 := argmin

z∈C

φ(z, x) xác định duy nhất (xem [3]) Toán tử ΠC : X → C,

ΠC(x) = x0 gọi là phép chiếu suy rộng lên tập C Trong không gian Hilbert,φ(x, y) ≡ kx − yk2 và ΠC(x) ≡ PC(x)

Ta có một số tính chất sau của phiếm hàm φ và phép chiếu suy rộng

ΠC (xem [3, 45, 68])

Bổ đề 1.3 Cho X là một không gian Banach thực lồi đều và trơn, {xn}

và {yn} là hai dãy phần tử trong X Nếu φ(xn, yn) → 0 và một trong haidãy {xn} hoặc {yn} là giới nội, thì kxn − ynk → 0 khi n → ∞

Bổ đề 1.4 Cho X là một không gian Banach thực lồi đều và trơn Với mọihằng số r > 0, tồn tại hàm số g : [0, 2r] → R+ liên tục, tăng và g(0) = 0sao cho

φ(x, y) ≥ g(kx − yk) ∀x, y ∈ X : kxk, kyk ≤ r

Bổ đề 1.5 Cho X là không gian Banach thực phản xạ, trơn và lồi chặt, C

là tập lồi đóng khác rỗng trong X Lúc đó với mọi x ∈ X và z ∈ C, ta có

x∗ = ΠC(x) nếu và chỉ nếu hJ(x) − J(z), x∗ − zi ≥ 0; (1.3)

φ(z, ΠC(x)) + φ(ΠC(x), x) ≤ φ(z, x) (1.4)

Tiếp theo chúng ta nhắc lại các khái niệm về tính khả vi của toán tử(tham khảo [1, 2, 4, 48]).

Toán tử F có Dom(F ) là tập mở, được gọi là khả vi theo Fréchet (haykhả vi mạnh) tại x ∈ Dom(F ) nếu tồn tại toán tử tuyến tính giới nội

F0(x) : X → Y sao cho với mọi h ∈ X thỏa mãn x + h ∈ Dom(F ), ta có

F (x + h) − F (x) = F0(x)h + w(x, h),

ở đây kw(x, h)k/khk → 0 khi khk → 0 Lúc đó, F0(x)h và F0(x) tương ứngđược gọi là vi phân Fréchet và đạo hàm Fréchet của F tại x Toán tử Fgọi là khả vi Fréchet, gọi tắt là khả vi, nếu nó khả vi tại mọi x ∈ Dom(F ).Đạo hàm và vi phân Fréchet cấp cao cũng được định nghĩa tương tự.Toán tử F có Dom(F ) là tập mở, được gọi là khả vi theo Gâteaux(hay khả vi yếu) tại x ∈ Dom(F ) nếu với mọi h ∈ X, t ∈ R thỏa mãn

x + th ∈ Dom(F ), tồn tại giới hạn

Hiển nhiên, toán tử khả vi Fréchet sẽ khả vi Gâteaux và khi đó đạohàm mạnh và yếu trùng nhau Ngược lại, nếu đạo hàm Gâteaux tồn tại vàliên tục trong lân cận U (x) của x ∈ Dom(F ), thì đạo hàm yếu trùng vớiđạo hàm mạnh tại x (xem [4])

Xét trường hợp X = Y = H là không gian Hilbert thực Giả sử toán tử

F khả vi Fréchet đến cấp n + 1 (n ≥ 1) trong lân cận mở U (x) ⊂ Dom(F )của x, và h ∈ H sao cho đoạn [x, x + h] ⊂ Dom(F ) Lúc đó, với mọi y ∈ H,



+ F(n+1)(x + θh)hn+1

(n + 1)! , y

,

(1.5)

trong đó θ = θ(y) ∈ (0, 1) Ta gọi (1.5) là công thức Taylor và trường hợpriêng của nó

hF (x + h) − F (x), yi = hF0(x + θh)h, yi, ∀y ∈ H

được gọi là công thức Lagrange.

Xét phiếm hàm ϕ : H → R khả vi Gâteaux với đạo hàm Gâteaux là

ϕ0(x) = A(x), trong đó toán tử A : H → H là h−liên tục Lúc đó ta cócông thức Newton - Leibnitz (xem [4, 48]):

ϕ(x) − ϕ(0H) =

1

Z

0

hA(tx), xidt ∀x ∈ Dom(ϕ)

Sau đây ta xét một số toán tử đặc biệt xác định trên các không gian hàm

X ≡ C[a, b] và X ≡ Lp[a, b], với a, b ∈ R, a ≤ b và các chuẩn quen thuộc

Ta xét các dạng toán tử F : X → X như sau ( [48])

• Toán tử dạng Urysohn

[F (x)](t) =

Z b a

K[t, s, x(s)]ds, t ∈ [a, b], x ∈ X

và trường hợp riêng của nó, còn gọi là toán tử Hammerstein

[F (x)](t) =

Z b a

K(t, s)f [s, x(s)]ds, t ∈ [a, b], x ∈ X

• Toán tử dạng Nemytski

[F (x)](t) = f [t, x(t)], t ∈ [a, b], x ∈ X

Trước hết ta xét trường hợp X ≡ C[a, b]

Giả sử hàm K(t, s, x) liên tục theo hợp các biến (a ≤ t, s ≤ b, |x| ≤ r).Lúc đó toán tử dạng Urysohn [F (x)](t) = RabK[t, s, x(s)]ds là xác định vàhoàn toàn liên tục trên hình cầu đóng B(0X, r) ⊂ C[a, b]

Nếu đạo hàm theo biến x của hàm K tồn tại, và Kx0(t, s, x) liên tục, thìtoán tử F khả vi trong hình cầu B(0X, r), t, s ∈ [a, b], hơn nữa đạo hàm

F0(x) có thể tính theo công thức

[F0(x)h](t) =

Z b a

Trong trường hợp này tồn tại hàm liên tục K∞(t, s) xác định trên [a, b] ×[a, b] sao cho

K∞(t, s)h(s)ds

Các tính chất này còn đúng cho toán tử dạng Hammerstein Đối với toán

tử dạng Nemytski

[F (x)](t) = f [t, x(t)],nếu f (t, x) là hàm liên tục theo x ∈ (−∞, +∞) và đo được theo t ∈ [a, b]với mọi x cố định, thì toán tử F là liên tục và bị chặn trên mọi tập

bị chặn Chú ý rằng toán tử Nemytski nói chung không hoàn toàn liên tục,trừ trường hợp tầm thường f (t, x) ≡ f (t)

Giả sử f (t, x) có đạo hàm (theo x) fx0(t, x) liên tục theo cả hai biến Lúc

đó đạo hàm Fréchet của F xác định theo công thức

[F0(x)h](t) = fx0[t, x(t)]h(t) (1.7)Tiếp theo ta xét F : Lp[a, b] → Lp[a, b] với a, b ∈ R, a ≤ b, p ≥ 1

Giả sử trong toán tử dạng Urysohn, hàm K(t, s, x) thỏa mãn điều kiện sauvới t, s ∈ [a, b]; −∞ < x < +∞

K(t, s, x) ≤ R(t, s)(α + β|x|m0),trong đó m0 ≥ 0 và hàm R(t, s) khả tích theo cặp biến đến bậc n0 > 1nào đó:

Giả sử hàm K(t, s, x) có đạo hàm theo x là Kx0(t, s, x) liên tục, vàthỏa mãn đánh giá

Kx0(t, s, x) ... tốn tử F khả vi Fréchet có đạo hàm xác địnhtheo (1.7)

toán tử đơn điệu< /h3>

Toán tử F : Dom(F ) ⊂ H → H, với H không gian Hilbert thực,được gọi đơn điệu (monotone) với phần tử. .. chất sau toán tử đơn điệu cực đại.

Bổ đề 1.14 (xem [1,2,4]) Nếu toán tử F : Dom(F ) ⊂ H → H đơn điệucực đại R(F ) ≡ H

Từ tính chất ta suy toán tử F đơn điệu cực đại bức, th? ?phương. .. liên hệ toán tử? ?ơn điệu cực đại tốn tử khơng giãn tương đối

Như nói phần mở đầu, luận án nghiên cứu việc giải h? ?phương trình tốn tử

ở Fi, (i = 1, N ) toán tử đơn điệu