Phương trình hàm sai phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐỖ ĐỨC DUY PHƯƠNG TRÌNH HÀM SAI PHÂN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ ĐÌNH ĐỊNH Hà Nội – Năm 2016 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm tuần hoàn phản tuần hồn cộng tính 1.2 Biểu diễn số lớp hàm tuần hoàn phản tuần hồn Phương trình hàm sai phân bậc 2.1 11 Hàm số xác định phép biến đổi tịnh tiến đồng dạng 11 2.1.1 Phương trình hàm với phép biến đổi tịnh tiến 11 2.1.2 Phương trình hàm với phép biến đổi đồng dạng 13 2.2 Phương trình dạng f (ax + b) = cf (x) + d 16 2.3 Hàm số xác định phép biến đổi phân tuyến tính 19 2.4 Ví dụ áp dụng 22 2.5 Bài tập 24 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc hai 3.1 Phương trình hàm sai phân bậc hai với hàm tuần hồn phản tuần hồn cộng tính 3.2 25 25 Phương trình với hàm số tuần hồn phản tuần hồn nhân tính 34 3.3 Ví dụ áp dụng 45 3.4 Bài tập 48 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba 4.1 50 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba 50 4.1.1 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba với ba nghiệm đơn 4.1.2 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba với hai nghiệm đơn 4.1.3 53 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba với nghiệm bội ba 4.2 50 57 Phương trình hàm sai phân tuyến tính khơng bậc ba 64 4.3 Ví dụ áp dụng 65 4.4 Bài tập 68 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 72 Mở đầu Sai phân kiến thức quan trọng Tốn học, có ứng dụng cao khoa học ngành kỹ thuật (Quá trình sản suất, quản lý xí nghiệp, điều tra dân số, nghiên cứu sinh học ) Trong đó, phương trình hàm sai phân mảng kiến thức khó, chưa đề cập nhiều Hầu hết kiến thức tiếp cận em học sinh trường chuyên Đây dạng toán đòi hỏi người học phải vận dụng nhiều kiến thức giải kiến thức phương trình hàm kiến thức sai phân Việc xây dựng có hệ thống kiến thức phương trình hàm sai phân, phân loại dạng phương trình với tổng hợp phương pháp giải đóng góp cho việc định hướng nghiên cứu, tìm hiểu cho học sinh Luận văn chia làm bốn chương với nội dung: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức Lý thuyết phương trình hàm, nhằm áp dụng cho nội dung Còn có ví dụ minh họa cho đơn vị kiến thức Chương Phương trình hàm sai phân bậc Chương trình bày nghiên cứu dạng phương trình hàm sinh bới phép biến đổi hình học phép đồng dạng, phép tịnh tiến Chương Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc hai Chương trình bày phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc hai với vế phải hàm số hàm tuần hồn, phản tuần hồn cộng tính, nhân tính Chương Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba Nội dung xét phương trình hàm sai phân bậc ba với nghiệm đơn, nghiệm kép, nghiệm bội ba, phương trình khơng Luận văn hồn thành với hướng dẫn tận tình TS Lê Đình Định - Trường Đại học Khoa học Tự nhiên ĐHQG Hà Nội với nỗ lực thân, giúp đỡ động viên thầy cô, đồng nghiệp bạn bè Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, thầy cô trường Đại học Quốc gia Hà Nội, tận tâm dạy suốt thời gian qua Đồng thời tác giả xin cảm ơn đến Ban giám hiệu, thầy cô trường THPT Yên Viên tạo điều kiện cho tác giả hồn thành khóa học nghiên cứu luận văn Xin cảm ơn gia đình, bạn bè động viên giúp đỡ tác giả Cuối cùng, cố gắng thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận đóng góp từ thầy cơ, bạn bè, đồng nghiệp để hoàn thiện Hà Nội, Tháng 09 năm 2016 Tác giả Đỗ Đức Duy Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm tuần hoàn phản tuần hồn cộng tính Định nghĩa 1.1.1 Hàm số f(x) gọi hàm tuần hồn cộng tính chu kỳ a(a>0) M M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M (1.1) Cho f (x) hàm tuần hồn M Khi T (T > 0) gọi chu kỳ sở f (x) f (x) tuần hoàn với chu kỳ T mà khơng tuần hồn với chu kỳ bé T Ví dụ 1.1.1 Tồn hay không tồn hàm số f (x) khác số, tuần hồn R khơng có chu kỳ sở Lời giải Xét hàm Dirichle f (x) = x ∈ Q x ∈ /Q Khi f (x) hàm tuần hoàn R chu kỳ a ∈ Q+ tùy ý Vì Q+ khơng có số nhỏ nên hàm f (x) khơng có chu kỳ sở Ví dụ 1.1.2 Cho cặp hàm f (x), g(x) tuần hoàn M có chu kỳ a b ∈ Q Chứng minh F (x) = f (x) + g(x) G(x) = f (x)g(x) hàm tuần hoàn M sở a b với Lời giải Theo giả thiết ∃m, n ∈ N + , (m, n) = cho a b = m n Đặt T = na = mb Khi đó: F (x + T ) = f (x + nx) + g(x + mb) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ M G(x + T ) = f (x + na)g(x + mb) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M (1.2) Hơn nữa, dễ thấy ∀x ∈ M x ± T ∈ M Vậy F (x), G(x) hàm tuần hoàn M Định nghĩa 1.1.2 Cho hàm số f (x) gọi phản tuần hồn cộng tính chu kỳ b(b > 0) M M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M (1.3) Nếu f (x) hàm phản tuần hoàn chu kỳ b0 M mà không hàm phản tuần hoàn với chu kỳ bé b0 M b0 gọi chu kỳ sở của hàm phản tuần hoàn f (x) M Ví dụ 1.1.3 Chứng tỏ hàm phản tuần hoàn M hàm tuần hoàn M Lời giải Theo giả thiết, ∃b > cho ∀x ∈ M x ± b ∈ M f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M Suy ∀x ∈ M x ± 2b ∈ M và: f (x + 2b) = f (x + b + b) = −f (x + b) = −(−f (x)) = f (x), ∀x ∈ M Vậy f (x) hàm tuần hoàn với chu kỳ 2b M Ví dụ 1.1.4 Chứng minh f (x) hàm phản tuần hoàn chu kỳ b M f (x) có dạng: f (x) = g(x + b) − g(x) với g(x) hàm tuần hồn chu kỳ 2b M Ví dụ 1.1.5 Chứng minh f (x) hàm phản tuần hoàn với chu kỳ b M f (x) có dạng: f (x) = g(x + b) − g(x) với g(x) hàm tuần hoàn chu kỳ 2b M Lời giải Thật vậy, ta có: f (x + b) = g(x + 2b) − g(x + b) = g(x) − g(x + b) = −(g(x + b) − g(x)) = −f (x), ∀x ∈ M Hơn nữa, ∀x ∈ M x ± b ∈ M Do f (x) hàm phản tuần hoàn chu kỳ b M Ngược lại, với f (x) hàm phản tuần hoàn chu kỳ b M , chọn g(x) = − 21 f (x) g(x) hàm tuần hoàn chu kỳ 2b M 1 g(x + b) − g(x) = − f (x + b) − (− f (x)) 2 1 = − (−f (x)) + f (x) = f (x), ∀x ∈ M 2 1.2 Biểu diễn số lớp hàm tuần hoàn phản tuần hoàn Bài toán 1.2.1 Cho số b, c ∈ R\{0} d ∈ R Xác định tất hàm f (x) thỏa mãn điều kiện f (x + b) = cf (x) + d, ∀x ∈ R Lời giải i) Trường hợp c = Khi (1.4) có dạng f (x + b) = f (x) + d (1.4) d d ⇔ f (x + b) − (x + b) = f (x) − x, ∀x ∈ R b b hay d g(x + a) = g(x), với g(x) = f (x) − x, ∀x ∈ R b Vậy d f (x) = g(x) + x b g(x) hàm tùy ý thỏa mãn g(x + b) = g(x), ∀x ∈ R ii) Trường hợp c = Đặt f (x) = g(x) + d 1−c thay vào (1.4) ta g(x + b) = cg(x) Đặt x g(x) = |c| b h(x) h(x) c > −h(x) c < h(x + b) = (1.5) Vậy f (x) = x d + |c| b h(x) 1−c Bài toán 1.2.2 Cho h(x) hàm tuần hoàn R chu kỳ a(a > 0) Xác định tất hàm f (x) thỏa mãn điều kiện f (x + a) − f (x) = h(x), ∀x ∈ R Lời giải Ta có h(x) = (x + a) − x (x + a)h(x + a) xh(x) h(x) = − , ∀x ∈ R a a a Khi viết (1.6) dạng f (x + a) − f (x) = (x + a)h(x + a) xh(x) − a a (1.6) hay g(x + a) = g(x), với g(x) = f (x) − xh(x) a Vậy xh(x) a g(x) hàm tùy ý thỏa mãn g(x + a) = g(x), ∀x ∈ R f (x) = g(x) + Bài toán 1.2.3 Cho h(x) hàm phản tuần hoàn R chu kỳ a(a > 0) Xác định tất hàm f (x) thỏa mãn điều kiện f (x + a) − f (x) = h(x), ∀x ∈ R (1.7) Lời giải Do h(x) hàm phản tuần hoàn nên h(x + a) = −h(x) h(x) h(x + a) h(x) = − 2 h(x + a) −h(x) =− − , ∀x ∈ R 2 Khi viết (1.7) dạng f (x + a) − f (x) = −h(x + a) −h(x) − 2 hay g(x + a) = g(x), với g(x) = f (x) + h(x) Vậy h(x) g(x) hàm tùy ý thỏa mãn g(x + a) = g(x), ∀x ∈ R f (x) = g(x) − Bài toán 1.2.4 Cho b = −1 h(x) hàm tuần hoàn R chu kỳ a(a > 0) Xác định tất hàm f (x) thỏa mãn điều kiện f (x + a) + bf (x) = h(x), ∀x ∈ R (1.8) Lời giải Theo tính tuần hồn hàm h(x) ta có đẳng thức sau h(x + a) = h(x) h(x + a) h(x) h(x) = +b , ∀x ∈ R b+1 b+1 Do (1.8) trở thành f (x + a) + bf (x) = h(x + a) h(x) +b b+1 b+1 hay g(x + a) = −bg(x) h(x) b+1 Do b = −1 nên −b = 1, phương trình (1.9) có nghiệm g(x) = f (x) − x g(x) = |b| a q(x) q(x) hàm tùy ý thỏa mãn 10 (1.9) Tài liệu tham khảo [1] Lê Đình Định, Bài tập phương trình sai phân, NXB Giáo Dục 2011 [2] Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định, 2004, Phương pháp sai phân, NXB ĐHQG Hà Nội [3] Lê Đình Thịnh (Chủ biên), Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp, 2001, Phương trình sai phân số ứng dụng , NXB Giáo Dục Việt Nam [4] Nguyễn Văn Mậu, 1997, Phương trình hàm, NXB Giáo Dục Việt Nam [5] Nguyễn Văn Mậu, Đinh Công Hướng, 2012 Sai phân định lý áp dụng, Đại học Quốc gia hà Nội [6] Nguyễn Tài Chung, 2014, Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo dãy số, NXB ĐHQG Hà Nội [7] Nguyễn Tài Chung, Lê Hồnh Phị, 2013, Chun khảo phương trình hàm , NXB ĐHQG Hà Nội 72 ... 48 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba 4.1 50 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba 50 4.1.1 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba với ba nghiệm đơn 4.1.2 Phương. .. Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba với hai nghiệm đơn 4.1.3 53 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba với nghiệm bội ba 4.2 50 57 Phương trình hàm sai phân. .. kiến thức giải kiến thức phương trình hàm kiến thức sai phân Việc xây dựng có hệ thống kiến thức phương trình hàm sai phân, phân loại dạng phương trình với tổng hợp phương pháp giải đóng góp