các bài toán về phương trình bậc hai phan huy th«ng ph­¬ng tr×nh bëc hai mét èn nh¾c l¹i vò biõn ®æi ®ång nhêt i phðp nh©n c¸c ®a thøc víi a b c d e lµ c¸c ®¬n thøc th× ab c b ca ab

PP t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö.. PP xÐt gi¸ trÞ riªng..[r]

Nhắc lại biến đổi đồng nhất. I.Phép nhân đa thức:

Với A, B, C, D, E đơn thức thì: A(B + C) = (B + C)A = AB + AC

(A + B)(C + D - E) = AC + AD – AE + BC + BD – BE II.Những đẳng thức đáng nhớ:

(A + B)2 = A2 + 2AB + b2 (A - B)2 = A2 - 2AB + b2 A2 – b2 = (a + b)(a – b).

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3ab2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3ab2 - B3

A3 – b3 = (a – b)( A2 + AB + b2) = (A - B)3 + 3ab(a – b) A3 + b3 = (a + b)( A2 - AB + b2) = (A + B)3 - 3ab(a + b) (A + B+c)2 = A2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

L

u ý: - Khi giải toán vận dụng đẳng thức, phải vận dụng đẳng thức theo hai chiều khai triển thu gọn cách linh hoạt.

- Hai đa thức với giá trị biểu thức tất hệ số chúng tơng ứng bằng nhau

- Một đa thức đa thức không tất hệ số khơng. III Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

1 PP đặt nhân tử chung PP dùng đẳng thức PP nhóm nhiều hạng tử

4 PP tách hạng tử thành nhiều hạng tử PP thêm bớt hạng tử

6 PP xét giá trị riêng ( Nếu đa thức A(x) có nghiệm x = a tồn đa thức B(x) cho A(x) = (x- a).B(x) )

Chú ý: Khi sử dụng PP 3, , : sau nhóm, tách, thêm bớt hạng tử q trình phân tích phải tiếp tục đợc ( Sử dụng PP ).

IV Phân thức đại số.

1 Hai ph©n thøc b»ng nhau:

A C

AD BC B D

2 Nếu đa thức M khác đa thức không thì:

: ;

:

AM A A M A BM B B M B C¸c phÐp tÝnh:

a) PhÐp céng:

A B A B

M M M



 

( M ≠ 0)

Nếu hai phân thức khác mẫu cần quy đồng mẫu thức thực hành cộng nh Các bớc quy đồng mẫu thức: (Biến đổi phân thức thành phân thức có mẫu)

B

íc 1: T×m mÉu thøc chung (MTC) :

- Nếu mẫu cần quy đồng khơng có nhân tử chung lấy MTC tích tất mẫu

B

íc 2: Tìm nhân tử phụ (NTP): NTP = MTC chia cho mÉu t¬ng øng B

ớc 3: Lấy tử mẫu phân thức nhân với NTP tơng ứng, ta đợc phân thức có mẫu thức

b) PhÐp trõ:

( )

A C A C

B D B  D

c) PhÐp nh©n:

A C A C B D B D

d) PhÐp chia:

:

A C A D AD B D B C BC

Một số l u ý: - Trớc quy đồng mẫu thức hay thực phép tính, nên rút gọn phân thức trớc Kết sau biến đổi biểu thức hữu tỷ cần đợc rút gọn.

- Các phép tính với đa thức có đầy đủ tính chất số thực ( giao hoán, kết hợp, phân phối).

- Khi giải toán liên quan tới giá trị phân thức cần ý tìm ĐKXĐ phân thøc.

CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1 Dạng phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0).

2 Giải biện luận:

∆ = b2 – 4ac ( Hoặc ∆’ = b’2 – ac, với b’ = b/2)

+) Nếu ∆ > ( Hoặc ∆’ > 0): Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1,2

2

b x

a

   

(Hoặc 1,2

' '

b x

a

  



)

+) Nếu ∆ = ( Hoặc ∆’ = 0): Phương trình có nghiệm kép:

1

b x x

a

 

( Hoặc

'

b x x

a

 

)

Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = có hai nghiệm x

1, x2 thì:

1

1

b x x

a c x x

a



 

  

 

 

Các dạng tốn. Dạng 1: Xác định số nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = 0.

1 Ph¬ng pháp giải:

Xỏc nh cỏc h s a, b, c phơng trình:

- NÕu a = 0: Phơng trình trở thành PT bậc ẩn: bx + c =0.

- NÕu a ≠ 0: TÝnh biƯt thøc ∆ = b2 – 4ac ( hc ∆’ = b’2 – ac, víi b’ = 2

b )  NÕu ∆ < ( Hc ∆’ < 0): Phơng trình vô nghiệm.

Nếu = ( Hoặc = ): Phơng trình cã nghiÖm kÐp.

 NÕu ∆ > ( Hoặc > ): Phơng trình có hai nghiệm phân biệt. L

u ý: - Không cần tính nghiệm.

- Nếu ac<0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt. 2 Các tập vËn dông:

Bài 1.1: Xác định hệ số a, b, c, tính biệt thức ∆ cho biết số nghiệm phơng trình bậc hai sau: 1) 3x2 – 7x + = 0 2) -2x2 - 8x -7 =0

3) ( 1) x2 5x 0  4) 2x2 + 5x +

25 = 0

5)

2 0

2 16

x  x 

6) 2x2 2x 9

Bµi 1.2: Không cần tính biệt số , chứng tỏ phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt: a) 2x2 9x 0

b) (2 3)x2 4x m 23m 0 ( m tham số) Bài 1.3: H y xác định tham số k để phã ơng trình vơ nghiệm?

a) 3x2 2x k 0 c) 3x2kx 2

b) 2x2 2kx k 0 d)

2

3

3

x  kx k  k 

Bài 1.4: H y xác định tham số k để phã ơng trình sau có: hai nghiệm phân biệt, nghiệm kép: a) 20x2 4x3k1 0 b) (k1)x2 2kx k  0

c) 3x2 4kx k 0

Bài 1.5: Cho hệ số a, b, c thoả m n điều kiện a > c > 0, b > a + c ·

Bài 1.6: Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, chứng minh phơng trình c x2 2(a2 b2 c x b2)  0 ( x ẩn số) vô nghiệm ( HDẫn: Sử dụng BĐT tam giỏc)

Dạng 2: Giải phơng trình bậc hai 1 Phơng pháp giải:

- Đa phơng trình cần giải dạng: ax2 + bx + c = 0.

- Xác định hệ số a, b, c phơng trình. - Tính ∆ ∆’.

-áp dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn phơng trình bậc hai để kết luận nghiệm ( Chú ý rút gọn nghiệm cú th)

2 Các tập vận dụng: Bài 2.1: Giải phơng trình sau:

a) 3x2-5x-8=0 b) 5x2 - 3x + 15 = 0

c) x2 – 4x + = 0 d) 3x2 + 7x + = 0 Bài 2.2: Giải phơng trình sau:

a)

2 10

5

7 49

x  x 

b)

2 4 1

0

3 12

x x

  

c)

2 0

2 16

x  x

Bài 2.3: Giải phơng trình sau:

a) (5 2)x210x 5 0 b) ( 2) x2 ( 1) x 0

c*) x2 x 0 d*) (1 2)x2  2(1 2)x 1 0

e) ( 1) x2  x 0 f) 2x2  (2 3) x3

Dạng 3: Giải biện luận phơng trình dạng ax2 + bx + c = 1 Phơng pháp giải:

* Với a = 0: Phơng trình trở thành phơng trình bậc bx + c = 0.

- NÕu b ≠ phơng trình có nghiệm nhất:

c x

b



- NÕu b = c phơng trình có vô nghiệm. - Nếu b = c = phơng trình có vô số nghiệm. * Với a : Phơng trình trở thừnh phơng tr×nh bËc hai Ta cã:

∆ = b2 - 4ac ( hay ∆’ = b’2 – ac )

- Nếu < phơng trình vô nghiệm.

- Nếu = phơng tr×nh cã mét nghiƯm kÐp: x1 = x2 = -2

b

a ( =

-'

b a ) - Nếu > phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

1 ;

2

b b

x x

a a

     

  (x1,2 b' )

a

  

* Kết luận cho tất trờng hợp biện luận. 2 Các dng:

Bài 3.1: Giải biện luận phơng trình: ( x ẩn) a) (m 2)x2 – 2(m + 1)x + m = 0.

b) x2 + (1 – m)x – m = 0. c) (m – 3)x2 - 2mx +m – = 0.

d) (m – )x2 – 2(3m + 1)x + 9m – = 0 e) (3 – k)x2 + 2(k – 2)x – k + = 0.

f) (4 + 3m)x2 + 2(m + 1)x + (

1

3m – 2) = 0.

g) ( m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = 0 h) 2x2 – 2(2m + 1) x + 2m2 + m – =

Bài 3.2: Giải biện luận phơng trình ( ẩn x) : 2x3(3 ) m x22mx m 21 0 ( HDÉn: Coi m lµ Èn, x tham số )

Dạng 4: Hệ phơng trình chứa hai ẩn x y gồm phơng trình bậc phơng trình bậc hai. 1 Phơng pháp giải:

- Từ phơng trình bậc hệ, tìm y theo x ( x theo y ).

- Thay biểu thức y theo x tìm đợc vào phơng trình bậc hai hệ ta đợc phơng trình bậc hai

- Giải phơng trình tìm x, sau thay vào biểu thức y để tìm y. 2 Cỏc bi dng:

Bài 4.1: Giải hệ phơng trình:

2

2

4

x y

y x x

  

 

 



Bài 4.2: Cho hệ phơng trình:

2

6

x y y x a

 

 

 



Xác định a để:

a) HƯ v« nghiƯm

b) HÖ cã nghiÖm nhÊt c) HÖ cã hai nghiệm phân biệt

Bài 4.3: Giải hệ phơng trình:

3

)

3( )

x y a

xy x y

  

 

  



2

)

6

x y b

xy x y

 

 



Bài 4.4: Giải biện luận hệ phơng trình:

2 2 2

x y m

x y x

 

 

  



- Giả sử x0 nghiệm chung hai phơng trình Thay x = x0 vào hai phơng trình ta đợc hệ

ph-ơng trình với ẩn tham số. - Giải hệ để tìm tham số.

-Thư l¹i víi tham sè võa tìm, hai phơng trình có nghiệm chung hay không. 2 Các tập vận dụng:

Bi 5.1: Cho hai phơng trình : x2 + x + a = x2 + ax + = 0 a) Định a để hai phơng trình có nghiệm chung b) Định a để hai phơng trình tơng đơng

Bài 5.2: Chứng minh hai phơng trình : x2 + ax + b = vµ x2 + cx + d = 0, cã nghiƯm chung th×: (b – d)2 + (a – c)(ad – bc) = 0.

Bài 5.3: Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: x2 + mx + = x2 + 2x + m = ? Bài 5.4: Xác định m, n để hai phơng trình sau tơng đơng:

x2 – (2m + n)x – 3m = vµ x2 – (m + 3n)x – = 0

HDÉn: Gäi x1, x2 lµ nghiệm phơng trình (1); x3, x4 nghiệm phơng trình (2) Để hai Phơng trìh tơng

đ-ơng x1 = x3 x2 = x4 ngợc lại Nên S1 = S2 P1 = P2.

Bài 5.5: Tìm giá trị m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: x2+ (m – 8)x + m + = 0 (1)

x2 + (m – 2)x + m - = 0 (2)

Bài 5.6: Tìm giá trị a để hai phơng trình sau có nghiệm chung: a) x2 + x + a = 0 x2 + ax + = 0

b) x2 + ax + = 0 x2 + 2x + a = 0 c) x2 + ax + = 0 x2 + x + a = 0

Bài 5.6: Tìm giá trị a để phơng trình sau có bốn nghiệm phân biệt : (x2 + x + a)( x2 + ax + 1) = 0. Dạng 6: Phơng trình có hai ẩn s.

1.Phơng pháp giải:

Trong mt phng trỡnh có hai ẩn số, ta xem ẩn tham số giải phơng trình theo ẩn cịn lại PP gọi phơng pháp đặt tham số mi.

2 Các tập vận dụng:

Bài 6.1: Chøng minh r»ng chØ cã mét cỈp sè (x, y) thoả m n phà ơng trình: x2 - 4x + y - 6 y + 13 = 0

Bài 6.2: Giải hệ phơng trình:

3

2

2

0

x y

x xy y y

  

 

  

Bài 6.3: Giải phơng trình: y44y x2 11y24xy 8y8x2 40x52

Bài 6.4: Giải hệ phơng trình:

2

2

10 38 41

3 17 20

x y xy x y

x y xy x y

      

 

     

 

Bài 6.5: Giải hệ phơng trình:

4

2

698 81

3

x y

x y xy x y



 

 

      



1.Phơng pháp giải:

- Tớnh v chứng tỏ ∆ ≥ để phơng trình có nghiệm.

- áp dụng định lý Vi-ét : b S x x

a

  

;

c

P x x a

 

2 C¸c tập vận dụng:

Bài 7.1: Không giải phơng trình, tính tổng tích nghiệm phơng tr×nh sau: a) 2x23x 0 b) 3x2  6x 8

c) 3x2 x 1 d) 7x2 7x Dạng 8: Giải phơng trình cách nhẩm nghiệm.

1.Phơng pháp giải:

- ỏp dụng địnhlý Vi-ét : x1 + x2 =

-b

a ; x1.x2 = c a

- NhÈm : x1 + x2 = m + n ; x1.x2 = m.n phơng trình có nghiệm x1 = m ; x2 = n.

- NÕu a + b + c = th×: x1 = ; x2 =

c a

- NÕu a - b + c = th×: x1 = -1 ; x2 =

-c a 2 Các tập vận dụng:

Bi 8.1: Dựng nh lý Vi-ét để nhẩm nghiệm phơng trình sau:

a) x210x16 0 b) x215x50 0 c) (m + 1)x2 + 3mx + 2m – = ( m ≠ -1)

d) (2m – 1)x2 – mx – m – = ( m ≠

1 2)

Bài 8.2: Phơng trình 3x2 + 7x + m = có nghiệm Xác định số m nghiệm cịn lại ? Bài 8.3: a) Phơng trình 0,1x2 - x + k = có nghiệm -1 Xác định số k nghiệm lại ?

b) Phơng trình 15x2 + bx - = cã mét c¸c nghiƯm b»ng

1

3 Xác định số b nghiệm li ?

Dạng 9: Phân tích ax2 + bx + c thành nhân tử. Phơng pháp giải:

Nếu phơng trình ax2 + bx + c = có hai nghiƯm x

1, x2 th× ax2 + bx + c = a( x – x1)(x – x2)

Dạng 10: Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm nó. 1.Phơng pháp giải:

- Tính tổng hai nghiêm : S x1x2 tích hai nghiệm : P x x

- Phơng trình nhận x1, x2 lµm nghiƯm lµ: X2 – SX + P = 0.

2 Các tập vận dụng:

Bài 10.1: Lập phơng trình bậc hai có nghiệm cặp số sau:

Bài 10.2: Lập phơng trình bậc hai có nghiệm :

1

10 72 vµ 10

Bài 10.3: Lập phơng trình bậc hai cã nghiƯm lµ :

a) 4 15 vµ 4 15 b) 5 vµ 5

c) 3 vµ 3 d)

5

5



 vµ

5

5

 

Bµi 10.4: Gäi m, n nghiệm phơng trình : x2 (1 2)x (m<n) Lập phơng trình bậc

hai có nghiệm là:

1

m vµ

1 1 n .

Bµi 10.5: Lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên cã mét nghiƯm lµ :

5

5

Bài 10.6: Lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên có nghiƯm lµ :

5

5

 

D¹ng 11: DÊu nghiƯm sè cđa phơng trình bậc hai. 1.Phơng pháp giải:

Cho phơng tr×nh bËc hai : ax2 + bx + c = (a ) :

* Phơng trình cã hai nghiƯm tr¸i dÊu  P < 0.

* Phơng trình có hai nghiệm dấu 

0

P

  

* Phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt

0 0

S P

   

 

* Phơng trình có hai nghiƯm ©m ph©n biƯt 

0 0

S P

   



2 Các tËp vËn dơng:

Bài 11.1: Cho phơng trình : x2 – 2(m – 1)x + m + = 0 (1) Định m để phơng trình: a) Có hai nghiệm trái dấu

b) Có hao nghiệm dơng phân biệt c) Có nghiệm dơng

Bài 11.2: Cho phơng trình : (m – 4)x2 - 2(m – 2)x + m – = Định m để phơng trình : a) Có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dơng? b) Có hai nghiệm dấu?

Bài 11.4: Cho phơng trình x2 mx + m2 – =

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt ? b) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng ?

Bài 11.5: Tìm giá trị m để phơng trình sau có hai nghiệm dấu ? Khi hai nghiệm mang dấu gì? a) x2 – 2mx + (5m – 4) = b)mx2 + mx + = 0.

Bài 11.6: Cho phơng trình : mx2 – 2(m + 1)x + m + = 0 a) Định m để phơng trình có nghiệm

b) Định m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối trái dấu Dạng 12: Xác định tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm thoả điều kiện cho trớc.

1.Phơng pháp giải:

* Tỡm iu kin phng trình có nghiệm : ∆ ≥ 0

* Từ hệ thức cho hệ thức Vi-ét giải hệ nghiệm x1, x2 thay vào phơng trình thứ

ba hệ để tìm tham số.

* Kiểm tra lại m có thoả mÃn điều kiện có nghiệm không kết luận. 2 Các tËp vËn dông:

Bài 12.1: Xác định m để phơng trình x2 + 2x + m = có hai nghiệm x1, x2 thoả m n: 3xã 1 + 2x2 = 1? Bài 12.2: Cho phơng trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = 0.

a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả m n: 3xã - 4x2 = 11 b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm.

c) T×m mét hƯ thức x1, x2 không phụ thuộc vào m.

Bài 12.3: Xác định k để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả m n xã = 2x2: a) x2 + 6x + k = 0 b) x2 + kx + = 0.

Bài 12.4: Xác định k để phơng trình x2 + 2x + k = có hai nghiệm x1, x2 thoả m n điều kiện sau: ã a) x12 - x22 = 12 ; b) x12 + x22 = 1.

Bài 12.5: Cho phơng trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 3m – = 0.

a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả m n: xã 12 + x22 = 12 b) Tìm hệ thức x1, x2 không phụ thuộc vào m

Bài 12.6: Cho phơng trình (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m – = 0. a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Xác định m để phơng trình có nghiệm ; tính nghiệm kia.

c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả m n: ã

1

4

x x . d) Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc A = 2x12 + 2x22 + x1 x2.

Bài 12.7: Cho phơng trình : x2 - 2(m + 1)x + 2m + = 0. (1). a) Tìm m để phơng trình có nghiệm

b) Cho biểu thức: A = x12 + x22 + 6x1 x2 Tìm m cho A đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó? Bài 12.8: Cho phơng trình (m - 1)x2 - 2m x + m + = 0.

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Khi h y tìm hệ thức liên hệ xã 1, x2 khơng phụ thuộc vào m

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả m n hệ thức : ã

1

2

6

x x

Bài 12.9: Cho phơng trình : x2 - 2(m - 2)x - 2m + = ( m tham số) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 -x12 - x22 + 2006 đạt giá trị lớn nhất. Dạng 13: Biểu thức đối xứng nghiệm phng trỡnh bc hai.

1.Phơng pháp giải:

* Biểu thức x1, x2 gọi đối xứng ta thay x1 x2 x2 x1 biểu thức không đổi.

* Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S P ( tổng tích nghiệm số). Chẳng hạn:

x12 + x22 = (x1+ x2)2 - x1x2 = S2 – 2P.

x12 + x23 = (x1+ x2)3 - x1x2(x1+ x2) = S3 – 3PS.

1 2

1 2 1

1

;

x x S x x x x S P

x x x x P x x x x P

  

     

2.Các tập vận dụng:

Bài 13.1: Giả sử x1, x2 nghiệm phơng trình: x2 + mx + = Tính giá trị cđa c¸c biĨu thøc sau;

a) x13 + x23 b)

2

1

2

2

x x x  x

Bài 13.2: Giả sử x1, x2 nghiệm phơng trình: x2 + 2mx + = Xác định m cho x14 + x24 ≤ 32. Dạng 14: Tìm hệ thức nghiệm x1 , x2 phơng trình bậc hai khơng phụ thuộc vào tham s.

1.Phơng pháp giải:

* Tỡm iu kiện để phơng trình có nghiệm: ∆ ≥ 0. * Từ hệ thức Vi-ét tìm S, P theo tham số m.

* Khử tham số m từ S, P để có hệ thức S, P ( tức hệ thức x1, x2 ) không phụ

thuộc vào m 2.Các tập vận dụng:

Bài 14.1: Giả sử x1, x2 nghiệm phơng tr×nh: x2 – 2(m – 1)x + m2 - = Tìm hệ thức x1, x2 không phụ thuộc vào m?

Bài 14.2: Giả sử x1, x2 nghiệm phơng trình: x2 (m – 3)x + 2m + = Tìm hệ thức x1, x2 không phụ thuộc vào m?

Bài 14.3: Cho phơng trình : x2 (2m3)x m 23m 2

a) Chứng minh phơng trình ln có nghiệm với m ; b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm đối ;

c) Tìm hệ thức x1, x2 c lp vi m ?

Bài 14.4: Cho phơng tr×nh : (m 2)x2 2(m 4)x(m 4)(m2) 0 (m 2) a) Với giá trị m phơng trình cã nghiƯm kÐp :

b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm x1, x2 Tìm hệ thức x1, x2 độc lập với m ;

c) TÝnh theo m biÓu thøc

1

1

A

x x

 

  ;

d) Tìm m để A =

a) Chøng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt với m ;

b) Tìm giá trị lớn biÓu thøc

1

2

1

2(x x )

A

x x

 





c) Tìm giá trị m cho hai nghiệm phơng trình số nguyên. HDẫn: b) Theo hệ thức Vi-ét ta có x1 + x2 = m ; x1x2 = -4.

Ta cã

2 m A m  

 xác định với m

2

2

2

8

m

A Am m A

m



     

 (*)

 Víi A = th× m = 3,5

 Víi A ≠ 0, ta coi (*) lµ PT bËc hai Èn lµ m vµ cã nghiƯm nªn ∆ ≥

1 A      MaxA  

Khi PT (*) có nghiệm kép m = Dạng 15: Giải hệ phơng trình đối xng hai n.

1.Phơng pháp giải:

* H gọi đối xứng hai ẩn x, y hệ không thay đổi thay x y, y x. * Cỏch gii:

+ Đặt S = x + y, P = x.y.

+ Đa hệ cho hệ hai ẩn S, P Chú ý đến biểu thức đối xứng x, y. + Giải tìm S, P Khi x, y nghiệm phơng trình X2 – SX + P = 0.

+ Nếu ( x, y ) nghiệm ( y, x ) nghiệm. 2.Các tập vận dụng:

Bài 15.1: Giải hệ phơng trình:

a)

2

5

x y xy x y

  

 

 

 b) 2

2

5

x y xy x y         c) 2 11

3( ) 28

x y xy

x y x y

          d) 13 x y y x x y          e) 2 3

x xy x y xy y

        

Một số phơng trình quy phơng trình bậc hai Dạng 1: Giải phơng trình trùng phơng(ax4 + bx2 + c = 0)

1.Phơng pháp giải:

Phơng trình trùng phơng có nghiệm phân biệt (1) có hai nghiệm dơng phân

biệt, ta giải hệ sau theo m :

0 0

S P

   

 

 

Phơng trình trùng phơng có hai nghiệm trái dấu P0

Phơng trình trùng phơng vô nghiệm (1) vô nghiệm ( < 0) (1) có hai

nghiệm âm, tức lµ:

0 0

S P

   

 

 

2.Các tập vận dụng:

Bi 1.1: Cho phơng trình: x4 2(m1)x2m2 0 (1) Xác định m để phơng trình : a) Có nghiệm phân biệt

b) V« nghiƯm.

c) Cã nghiƯm phân biệt Dạng 2: Giải phơng trình chứa ẩn mẫu.

1.Phơng pháp giải:

Bớc 1: Tìm ĐKXĐ phơng trình.

Bc 2: Quy ng mu thc hai vế khử mẫu. Bớc 3: Giải phơng trình vừa nhận đợc.

Bớc 4: Đối chiếu nghiệm tìm đợc với ĐKXĐ, loại giá trị không thoả mãn, giá trị thoả mãn ĐK nghiệm phơng trình cho.

 Giải biện luận phơng trình chứa ẩn mẫu. * Đặt ĐK để phơng trình có nghĩa;

* Quy đồng mẫu thức chung khử mẫu; * Giải biện luận phơng trình bậc hai; * Kiểm tra điều kiện kết lun. 2.Cỏc bi dng:

Bài 2.1: Giải phơng trình sau:

2

)

1

x x

a

x x

 

 

4

)

2

x x b

x x

 

 

2

2 5

)

2

x c

x  x x  x

1

)

3 27

d

x   x

Bài 2.2: Giải phơng trình sau:

2

2

)

2 2

x x x

a

x x x x

  

  

2 2

1 1 1

)

5 12 20 11 30

b

x  x x  x x  x x  x 

Bµi 2.3: Giải phơng trình sau:

2 (1 ) 1 x x mx   

 ( m tham số )

Bài 2.4: Giải phơng trình sau:

2

3 (3 2)(3 2)

)

2

x x x

a

x x x x

  

 

   

2

2 10

)

3 ( 9)

x b

x x x x x



 

Dạng 3: Giải phơng trình đa dạng tích. 1.Phơng pháp giải:

( ) ( ) ( )

( )

A x A x B x

B x

 

   



2.Các tập vận dụng: Bài 3.1: Giải phơng trình sau:

a) (4x2 - 25)(2x2 7x – 9) = 0 b) (2x2 – 3)2 – 4(x – 1)2 = 0 c) 2x(3x – 1)2 – 9x2 – = 0 d) x3 + 3x2 + x + = 0. Dạng 4: Phơng trình bậc ba có nghiệm cho trớc.

1.Phơng pháp giải:

Phơng trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = (a ≠ 0) cã mét nghiÖm x =  .

Bằng phép chia đa thức ( Hoặc dùng sơ đồ Hoocner) phân tích vế trái thành:

2

1

1

( )( )

0

x x ax b x c

ax b x c



  

     

  



Gi¶i phơng trình bậc hai

2

1

ax b x c 

ta đợc nghiệm khác nghiệm x phơng trình bậc ba.

 Sơ đồ Hoocner: Chia đa thức

1

0 1

( ) n n

n n

P x a x a x  a x a



    

cho x  ta cã:

1

0 1

( ) ( )( n n )

n n

P x x  a x a x  a x a



      .

Sơ đồ xác định bi :

a0 a1 a2 … an

 b0 b1 b2 … bn

Víi b0 = a0 vµ bi =  bi-1 + ( i = 1, 2, 3, … , n )

2.C¸c tập vận dụng: Bài 4.1: Giải phơng trình sau:

3

3

) 11

)

a x x x

b x x x

   

Bài 4.2: Xác định m để phơng trình : x3(2m 3)x2(m2 2m2)x m 0 có ba nghiệm phân biệt ? Bài 4.3: Xác định m để phơng trình : 6x3 7x216x m 0 có nghiệm Tìm nghiệm lại ? Bài 4.4: Xác định m để phơng trình : x3(2m1)x23(m4)x m 12 0 có ba nghiệm phân biệt ? Dạng 5: Phơng trình bậc bốn dạng (x + a)(x + b)(x + c)( x + d) =m với a + b = c + d.

1.Ph¬ng pháp giải:

* Phng trỡnh c vit thnh [ x2 + (a + b)x + ab][x2 + (c + d)x + cd] = m.

* Đặt t = x2 + (a + b)x, ta đợc phơng trình bậc hai : (t + ab)(t + cd) = m.

* Giải tìm t sau tìm x cách giải phơng trình : x2 + (a + b)x – t = 0.

2.Các tập vận dụng:

Bài 5.1: Giải phơng trình : (x - 1)(x + 5)(x - 3)( x + 7) =297. Bài 5.2: Xác định m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt :

2

4 2

)( 1)( 3)( 5)

) (2 1)

a x x x m

b x m x m

   

   

Bài 5.3: Cho số a, b, c, d thoả m n điều kiện : Ã a b c d ad bc 2m Giải phơng trình : (x a x b x c x d )(  )(  )(  )m2 0

HDÉn: Ph¬ng trình đ cho tà ơng ứng với :

2 ( ) ( ) 0

x  a b x ab x   c d x cd m

Đặt tx2 (a b x ) Vì a b c d nên

Ta cã :

2 2

2 2

( )( ) ( )

( ) 4( ) ( )

t ab t cd m t ab cd t abcd m

ab cd abcd m ab cd m

         

       

Vì ad bc 2m nên (ab cd )2 4m2,  0 Vậy phơng trình vơ nghiệm

Dạng 6: Phơng trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c. 1.Phơng pháp giải:

Đặt 2

a b a b

t x   x t  

Ph¬ng trình trở thành:

4

( ) ( )

2

a b a b

t   t  c Khai triển rút gọn ta đợc phơng trình trùng phơng ẩn t.

Chó ý: (x y )4 x44x y3 6x y2 24xy3y4 2.Các tập vận dụng:

Bài 6.1: Giải phơng trình : (x + 3)4 + (x + 5)4 = Bài 6.1: Giải phơng trình :

4

)( 2) ( 4) 82

a x  x 

4

)( 2) ( 8) 272

b x  x 

)( 2) ( 1) 33 12

c x  x  

b)Đặt x + = y.

c) x = nghiệm Với x > 1, VT > VP Với x < 1, VT < VP Vậy x = nghiệm nhất. Dạng 6: Phơng trình dạng ax4bx3cx2bx a 0 (1) ( PT bậc cú h s i xng).

1.Phơng pháp giải:

* x = không nghiệm phơng tr×nh;

* Chia hai vế phơng trình cho x2, ta đợc:

2

1

( ) ( )

a x b x c

x x

   

* Đặt

2 2

2

1 1

( )

x t x t x t

x x x

        

Phơng trình trở thành:

2 2 0

at bt c  a (2).

- Gi¶i phơng trình tìm t, thay vao phơng trình

1

x t

x

 

để tìm x