Copula và ứng dụng trong tài chính

✣❸■ ❍➴❈ ◗❯➮❈ ●■❆ ❍⑨ ◆❐■ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ❚Ü ◆❍■➊◆ ❑❍❖❆ ❚❖⑩◆ ✲ ❈❒ ✲ ❚■◆ ❍➴❈ ỗ ỡ ự tr t ỵ tt ❳→❝ s✉➜t ✈➔ ❚❤è♥❣ ❦➯ t♦→♥ ❤å❝ ▼➣ sè ✿ ữớ ữợ r ❚rå♥❣ ◆❣✉②➯♥ ❍➔ ◆ë✐ ✲ ✷✵✶✶ Å Ð ½ à ụề ỉ ẵẵ ẵắ ẵ ắ ắẵ ắắ ắ ề ẵ ắ ề ểễé ểễ ềễ ề ú ú ì ễ ỉ ẵẵẵ ề ữẹ ề º º º º º º º º º º ẵẵắ ỉ ữ ú ểễé º º º º º º º ½º½º¿ Å Ø Ú Ị Ị ú Ú ØùỊ Ø ĨỚÐ ½º½º ĐƠ ềễ ề ỉ ệ ỉạể ẵẵ ểễé ụề ề Ù Ị ịỊ º º º º º º º ề ữẹ ì ễ ỉ º º º º º º º º º º ½º¾º½ Ì Ị ÕÙ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ º º º ẵắắ ểì Ø Ò Ø ù º º º º º º ẵắ ểì ễ ỉ Ù º º º º º º º º º ẵắ ặ ề ề ữẹ ễ Ø Ù º º º º º Ë Ð Úó Đ ĨỚÐ º º º º º º º º º º º º º ½º¿º½ È Ị Ơ ÐÐ ÔØ º º º º º º º º º ẵắ ểễé é ũề ế Ị ơỊ Ơ Ị Ơ ÐÐ Ờ º º ½º¿º¿ ĨỚÐ Ư Đ Ị º º º º º º º º º º º º ½º¿º ØƯ ØƯ ĨỚÐ º º º º º º º º º º ÐÙ Ị Ø Ị ị Úó ĨỚÐ Ã Ø Ù ØĐ Ơ Ị º º º º º º º º º Ð Ị Ị Ø Đ× º º ắắẵ ểễé ỉ ề ữẹ º º º ¾º¾º¾ È Ơ Ị Ị Ø ĨỚÐ Ð Ị Ø Đ× º º º º º º ắẵ é ề ễé ắắ ẩ Ị Ơ Ơ ĐĨĐ ỊØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ư Đ º º º º º º Ü ÑÙÑ Ð º º º º º º Ị ĨỚÐ ØƯĨỊ Ĩ Ð Ị Ư ệể ỉ è ềỉ ẵẵ ẵắ ỉệ ắẵ ắắ ỉỉ Ị Ơ Ú Ơ Ị Øù ØƯ Ư ÌƯ Ị ÔÖ Ö º º º º º º º º ÌƯ Ị Ơ Ð ịỊ Ø º º º º º º º º ØƯ Ị óÙ óÙ Ú Ư ƯĨ Ø ØƯ Ä Ø ÙÝ ØƯ ØƯ º º º º º Ơ Ị Ơ Ơ Ð Ị º º º ½ ƯĨ º º º º Ị º º º º º º º º º º Ò º º º Ð º º ùÒ º º º º º º º º º º º º º º º Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ×Ø Đ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ø ĨỊ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Åĵ º º º º º º º º º ẵ ẵ ẵ ắ ẵẳ ẵắ ẵắ ẵắ ẵ ẵ ắẳ ắẳ ắẵ ắ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¿½ ¿½ ¿½ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿º¿ ¿º¾º¿ Ị Ị Ú Ð ÷Ù ÄÅ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì Ị × Ø Ị ÕÙ Ị Ú ØùỊ ØĨ Ị Ư ƯĨ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì Ð ÷Ù Ø Đ Ĩ ắ ẳ ề ẵ ụề ỉ ẵẵ ề ĨỚÐ Ĩ Ơ Ị Ơ Ị óÙ óÙ Ú × ễ ỉ ẵẵẵ ẵẵẵẵ ề ữẹ ề é ề Ò Ù Ò òÒ Å Ø Ð Ò ´ Ý ẹ ỉ ụềà ề ề ỉệ ề ĩ ì Ø Ø Ị Ị Ị Ĩ Ý Ð Ð Ị Ị Ù Ị ịỊ Ý ơỊ Ị Ù Ị ịỊº Ị Ø Ø Ị ÷Ù ơỊ Ị Ù Ị ịỊ Ò Ó X, Y, Z, Ó ξ, η, ζ, º ØƯ Đ ơỊ Ị Ù Ị ịỊ Ị Ị Ø Ị Ú Ị Ị ỉ ề x, y, z, ẵẵẵắ Đ Ơ Ị Ơ Ĩ ơỊ Ị Ù Ị ịỊ ỉ ĩ ề ẹễ ềễ ề ì ẵẵà F (x) = P { < x} èệểề ề Ị ú ØƯịỊ x Ð ơỊ Đ F¸ x Ị Ị ØƯ Ø ¸ x Ø Ù (−∞, +∞)º Ì Đ Ø ưĐ x Ø Đ F (x) ùỊ Ð Ü ×Ù Ø ơỊ Ị Ù Ị ịỊ Ị Ị ØƯ Ị Ịx Ĩ ơỊ Ị Ù Ị ịỊ Ị Ị ØƯ ịỊ ØƯ xº û× Đ Fξ (x) û Đ Ơ Ị Ơ ơỊ Ị Ù Ị ịỊ ξ º ÌƯ Ị Ơ Ị Ị Ø Ø ÕÙ Ị Ị Ú û × ẵẵẵ ẩ ề ễ úá ề ỉ ξi ¸ i = 1, 2, , n Ð × ξ = (ξ1 , ξ2, , ξn ) ØƯĨỊ Ð Ú Ø Ị Ù Ị ịỊ n óÙº À Đ Ơ Ị Ơ Ị Ị ú Ị × Ù ơỊ Ị Ù Ị ịỊ Đ Ø Ú Ø Ị Ù Ị ịỊ Fξ (x1 , x2 , , xn ) = P {ξ1 < x1 , ξ2 < x2 , , ξn < xn }, xi ∈ R, i = 1, , n ½ Ỉ Ø Ị Ơ Ị ξi ¸ i = 1, , n Ú Ø Ò Ù Ò ịỊ Ð ƠÚ Ị ÙØ ø Fξ (x1 , x2 , , xn ) = P {ξ1 < x1 }.P {ξ2 < x2 } P {ξn < xn } = Fξ1 (x1 )Fξ2 (x2 ) Fξn (xn ) ÌƯĨỊ ØƯ Ị Ơ Ị ݸ Ị ξi f (x1 , x2 , , xn ) = ØƯĨỊ f, fξi é ữ ẵẵẵ ẩ ề ễ ỉ ẹẹ ỉ ỉ ø ∂ n F (x1 , x2 , xn ) = fξ1 (x1 ).fξ2 (x2 ) fξn (xn ) ∂x1 ∂x2 ∂xn ÑÑ Ø Ú Ø ξÚ Ø Fn (x) = Ù ØƠ ØØ n ØƯ Ị xº à РxØ í áỉ ề ề ẹễ ềễ ỉ ữẹ ỉễ ØØ Đ Ù Ø Ị ÙØ Ị Ị ĐƠ Ị ÷Đ Ị Ùº Ø Ị óÙ Ð Ị Ø Ị º Ø Ị Ị Ù óÙ ÙỊ Đ Ø ØùỊ ØÐ Ã Đ ÙØ Ị Ú Ơ ỊƠ Ø Ị ÷Đ Ø ơỊ ơỊ Đ Ơ Ị Ơ Ð ỉ íụỉ ề ỉứẹ ẵẵắ ỉ ửẹ f {xi < x} n f {xi < x} Ð × ØƯ Đ Ù xi Đ Ị Đ Fn (x) Ø Ĩ ơỊ × Ø xº À Đ × Ị Ý Ị Ị i ề ữẹ ì ỉ ẹ ề Ò òÒ (x1 , x2 , , xn )º ơỊ Ị Ù Ị ịỊ Ị Ị Ø Ü Ý Ị Đ× º ØƯĨỊ Ị Ơ ỊƠ Ị Ị Ø Đ Ø ÷Ù Úó ĨỚÐ Ị Ị ú ½º½º½º × S1 , , Sn Ð ỉ ễ ểề ề ệ ề Rá í R ữ Ð Ị Ø Ị Ø Đ Ư Ị [−∞, +∞]º × H Ð Đ Ø ĐØ Ú n ơỊ ØƯịỊ Đ óỊ Ü Ị DomH = S1 × · · · × Sn Ú Ĩ a ≤ b ´ØƯĨỊ a = (a1 , , an ), b = (b1 , , bn ) Ú ak bk ẹ k = 1, nàá ì B = [a, b] = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] Ð Đ Ø n¹ Ơ ûỊ ØƯĨỊ DomH º Ì Ị Ị ú Ø Øù ¹H BÐ VH (B) = sgn(c)H(c) ỉệểề c ẹ ỉì ặ í ỉệũề ỷề ề ck = ak ỉ ỉự ạH ẹ Ú sgn(c) Ð Ị Ị ØƯĨỊ k ¸ Ú Ð Đ ØƯĨỊ ØƯ Ị ƠỊ Đ Ø Ị¹ Ø Ð º Ô B = [a, b] Ð VH (B) = ∆ba H(t) = ∆bann ∆ba11 H(t) ØƯĨỊ ∆bakk H(t) = H(t1 , , tk−1, bk , tk+1 , , tn ) − H(t1 , , tk−1 , ak , tk+1, , tn ) ¾ Ị Ị Ị¸ Ị H(x1 , , xn ) = P (X1 ≤ x1 , , Xn ≤ xn ) Ð ×Ù Ø Ị Ø Đ Ø n ơỊ Ị Ù Ị ịỊ X1 , , Xn Ø ø Ø ĐƠ Ị Ô Ü VH (B) = P (a1 ≤ X1 ≤ b1 , , an ≤ Xn ≤ bn ) ề ề ỳ ẵẵắ ẹ ỉ ẹ n¹ Ơ B Ị ØƯịỊ Ơ Ø H n ơỊ ûỊ Ị Đ ØƯĨỊ Đ óỊ Ü Ð Ị Đº × Đ óỊ Ü Ị Đ Ø ĐØ S1 × Ã Ã Ã ì Sn ẹ Sk ẹ ỉễ Ị Ø Ý ´ ƯĨÙỊ µ Ị H(t) = Ú Đ t ØƯĨỊ Ị غ Ỉ Đ Sk Ư Ị Ú Ơ Ị Ø ÙÝịỊ Ú Ơ Ị Ơ ịỊ ÙÝịỊ Đ Ø óÙ Hk (x) = H(b1 , , bk−1 , x, bk+1 , , bn ) Ú x Ð Ơ ỊƠ ịỊ ÙÝịỊº Ð n¹Ø Ị Ị VH (B) ≥ Ĩ Ị DomH Ý Ø Ị Ø Øù H Ú n ơỊ Ị Ị Ø ak º DomH × Ĩ Ð Ị Ị Ø bk ¸ Ø HÐ Đ Hk ∈ Sk ¸ Ơ Ị Ơ Ü Ị DomH = Ị Ø Ị Ư Ị H Ĩ tk = ak Ø × k ø H Ơ Ị Ơ ịỊ Ú DomHk = Sk Ú Ú ịỊ ÙÝịỊ Đ ỉạ ú ề é ẵẵẵ ỉ ễ ệ ề Rá Ú × ĐH × S1 , , Sk Ð Ý n¹Ø Ị Ú Đ óỊ Ü Ị S1 × · · · × S n º Ì ứ H é ỉ ề ỉ ể ẹ ì Ø Ð Ị (t1 , , tk−1 , x, tk+1 , , tn ) Ú (t1 , , tk−1, y, tk+1, , tn ) Ị Đ ØƯĨỊ Đ óỊ Ü Ị DomH Ú x ≤ y ¸ Ø ø H(t1 , , tk−1 , x, tk+1 , , tn ) ≤ H(t1 , , tk−1 , y, tk+1, , tn ) ề é ẵẵắ ì S1 , , Sk Ð Ø Ơ Ư ề Rá ì í nạỉ ề ễ ề Ơ ịỊ ÙÝịỊ Ú Đ óỊ Ü Ị S1 × · · · × S n º à ưĐ x = (x1 , , xn ) Ú y = (y1 , , yn ) ØƯĨỊ S1 × × Sn Ø ø ĐH ¸ Ị Ø n |H(x) − H(y)| ≤ n k=1 |Hk (xk ) − Hk (yk )| Ò Ò ỳ ẵẵ ỉ R ì ể è é ẹ ỉ ẹễ ềễ nạ ú é ẹ ỉ íá ềạỉ Ò Ú H(+∞, , +∞) = 1º ểH ề é ẵẵẵ ề ề ẹễ ềễ áẹ ½º½º¿ Å Ø Ú ÑH Ú ú ½º½º¿ Ø ø ịỊ ÙÝịỊ Đ Ø Ị Ø ÷Ù F1 , , Fn º Ò Ò ú Ú ØùÒ Ø ĐƠ Đ óỊ Ü ỊƠ Ị n¹ óÙ ĨỚÐ ĨỚÐ N óÙ Ð Đ N ơỊ Ø [0, 1]N Ú Ĩ [0, 1]¸ Ú Đ ĨỚÐ Ð Đ Ø ĐƠ ỊƠ Ị óÙ óÙ ´ĐÙÐØ Ú Ư Ø ×ØƯ ÙØ ĨỊ ÙỊ Ø ĨỊµ Ü Ị ØƯịỊ øỊ Ð ƠƠ Ị Ị Ú IN = [0, 1]N ¸ Ị ỉ ữề ì ễ ỉ ể ề Ù Đ Ø N ơỊ Ị Ù Ị ịỊº ĨỚÐ é ẹ ữỉ ề ú ỉựề ỉ ỉ Ú Ø ĨỚÐ Ø ø Ị Ø ØùỊ ØĨ Ị × Ơ Ø Ù ơỊ Ị Ù Ị ũề ỉệũề ữễ ễ ề ì ể ệ ề µ Ú × Ø Ị ÕÙ Ị ´ ĨƯƯ Ð ỉ ểềà ề ề ỳ ẵẵ ặ éì ề ẵ ề ề ỉựề ẵ úề ĩ ỉì ề ểẹ ềà àá ỉệ ề Å Ø ĨỚÐ N ¹ Đ C DomC = IN = [0, 1]N ; ¿ óÙ Ð Đ Ø ĐC ¾º À Đ C Ý ´ ƯĨÙỊ µ Ú ịỊ ¿º À Ñ C u, ∀u ∈ I Ñ N ¹Ø Ị ÙÝịỊ Cn ¸ Ø Đ Ị Cn (u) = C(1, , 1, u, 1, , 1) = Ư Ị Ø N ¹ ĨỚÐ C ¸ N ≥ 3¸ Đ Ơ Ị Ơ ịỊ ÙÝịỊ k ¹ óÙ C N Ð k ¹ ểễé ặ ẹ ỉ ẹ ỉ N ĨỚÐ Ð Đ Ø Đ C Ø [0, 1] Ú Ĩ [0, 1] Ú Ị Ị ØùỊ Ø× Ù Ị ½º Å u ∈ [0, 1]N ¸ C(u) = Ị Đ Ø Ø Ị Ø Ø Ø u Ị ẵ ỉệ ệ uk ề ắ iá VC ([a, b]) ≥ a Ú b ØƯĨỊ [0, 1]N × Ĩ Ĩ ≤ bi Ú Đ Ø u Ð Ú C(u) = uk Å Ø ĨỚÐ Ø Ò Ò Ò Ð Ñ Ø Ñ Ú Ò Ò ØùỊ Ø Ư ịỊ º ÌƯĨỊ ØƯ Ị Ơ Ư ũề ể ỉựề ỉ ắá ImC = I¸ Ú C Ị Ð Ơ Ị Ơ óÙ Ị óÙ óÙº Ỉ F1 , , FN Ð ĐƠ ỊƠ Đ Ø óÙ Ø ø C(F1 (x1 ), , Fn (xn ), , FN (xN )) Ð ĐƠ ỊƠ Ị óÙ óÙ Ú Ơ Ị Ơ ịỊ ÙÝịỊ F1 , , FN ¸ Úø un = Fn (xn ) Ð Đ Ø ơỊ Ị Ù Ị ịỊ Ú Ơ Ị Ơ óÙº À Đ ĨỚÐ Ð Đ Ø Ị Ø ù Ơ Ü Ý Ị Ơ ỊƠ ề ú ú ề é ẵẵ ì C é ẹ Ø N ¹ ĨỚÐ º Ã Ú Đ u Ú v ØƯĨỊ [0, 1]N N |C(v) − C(u)| ≤ ỊỊ Ơ C Ð Ð ịỊ Ø k=1 |vk − uk | óÙ ØƯịỊ [0, 1]N Ị Ð ½º½º º ề é ậ é ệ ẵ ểF é Đ Ø ĐƠ ỊƠ N¹ ịỊ ÙÝịỊ Ð ịỊ Ø F1 , , FN º à F Đ Ø õỊ ĨỚÐ F (x1 , , xn , , xN ) = C(F1 (x1 ), , Fn (xn ), , FN (xN )) Ø óÙ ễ ề í ề ỉ ẵắà ề ề é Ë Ð ƯÐ Ú Đ Ø Ú Ø Ị Ù ề ũề N úá ỉ ứ ễ ề ễ Ø Ù ơỊ Ị Ù Ị ịỊ ØƯĨỊ Ü Ị ĨỚÐ Ú Ø Ø Ư Ị Ư Ơ Ị Ơ ỊƠ ịỊ ÙÝịỊ ´ Ơ Ị Ị Ý Ơ Ú Ị Ù Ø ø ĨƠ ỊƠ ÙỊ N ¹ óÙµº Ĩ Ú Ý Ị Ð Ë Ð Ư Ư Ø Ð ÕÙ Ị ØƯ Ị ¸ Úø Ị ÙỊ Ơ Ơ Ị Øù Ù ØƯ Ơ Ø Ù Ơ ỊƠ Ị óÙ óÙ Đ Ị Ị ịỊ Ù Ơ Ị Ơ ịỊ ÙÝịỊº × F Ð ĐƠ ỊƠ Đ Ø óÙ¸ Ị Ø Ị Ị ú ĐỊ F Ð F −1 (t) = inf{x ∈ R|F (x) ≥ t} Ú t ∈ [0, 1]¸ ÕÙÝ inf ∅ = −∞ Ị Ð ½º½º º Ø F1 , , Fn Ú ØƯĨỊ [0, 1]n × H Ð ểễé C ẹễ ềễ nạ íC ỉ ẹ Ị óÙ Ú Ơ Ị Ơ ịỊ ÙÝịỊ Ð ịỊ ú ữề ẵắà ỉ u C(u1 , , un ) = H(F1−1 (u1 ), , Fn1 (un )) ẻự ẵẵẵ ề Ø Ü Ø ĐƠ ỊƠ ÙĐ Ð ÐĨ ×Ø óÙ F (x1 , x2 ) = (1+ e +e ) ¸ Ü Ị ØƯịỊ R º Ị Ø Ø ÝƯ Ị Ơ ỊƠ ịỊ ÙÝịỊ Ð F1 (x1 ) = R F (x1 , x2 )dx2 = (1+e−x1 )−1 Ú F2 (x2 ) = R F (x1 , x2 )dx1 = (1+e−x2 )−1 º À Đ ĨỚÐ Ø Ò Ò −x1 −x2 −1 C(u1 , u2 ) = F (F1−1 (u1), F2−1 (u2 )) = u1 u2 u1 + u2 u1 u2 ẵà èí ề ũềá Ị Ơ Ð Ị ĨØ Ị ÐÙ Ị õ Ị Ị Ị Ư Đ Ø ĨỚÐ º Ì Ú íá ề ú ỉể ề ỉ ựề ề ì Ị ĨƠ ỊƠ Ị óÙ óÙ Ị Ị Ĩ Đ ÐÙ Ị Đ Ø Ơ Ị Ơ Ø ù ễ ửẹ ỉ ẹ ỉì ữ ề ề é ũề ữ é ì ỉ ỉ ì ề ề ÌƯĨỊ Ị óÙ Ị Ị ¸Ơ ỊƠ Ị Ð Ơ ỊƠ Ù×× Ị óÙ óÙ Ĩ Đ Ø Ơ Ị ễ éể ề ỉựề ỉể ềá Ị Ý Ị Ị Ù×× Ø Ị Ị Ø ù Ơº ÌƯĨỊ ØƯ Ị Ơ Ị Ø Ị ĨỚÐ Ð Đ Ø Ị º Å øỊ ØĨ Ị Ø Ø Ị ¶ Ø Ị Ø Ị Ị Ø Ơ ềễ ũề íũề ẹ ệ ề é ìỉệ ỉ ểềà ¶ Ø Ë Ò Ò Ò Ò Ò ú Ø ù Ơ ĨỚÐ õỊ Ù ØƯ × Ơ Ø Ù ØƯĨỊ Ị Ø º ưĐỊ ưĐ Ị ݸ Ị Ø Ü Ø Úù Ø ØƯ Ị ØƯ Ĩ Đ ÐĨ ÄĨỊ ĨỊ ´ Ð ÷Ù Ð Ý ØƯịỊ ì ỉ ỉỉễ ằằẹ ể ẻự ẵẵắ ề ỉ ì ề é ữ ỉ ỉệ ểề ĨỊ Å Ø Ð Ü Ị µ Ú Ị Ø Ü Ø Ị Đ ´ е Ị ´ Ùµ Ị ề ặ ứ ẩ é ẵ àá ể ỉ ề ẵ ề ẹ ½ º Ị Ø Ø Ư Ø × ỊÐ ễ ềễ ìì èệểề ỉệ ề ễ ề íá ẹ ề ẵẵ é éạẵ ặ ẩ é ẵẳẳ éạẵ ẳ ắ ẵẳẳ ề ẵẵ ỉệ ề ỉ ứề ½º½ ĨÚ Ư Ị ÀøỊ ½º¾ Ơ ỊƠ Ơ Ị ỉ ẹ ỉ ứề ẵ ỉ ề èệểề ẳ ¼º¿ ½º¼¼ Ị ÕÙ Ị ρ Ị ØƯ Ĩ Đ ÐĨ ÄĨỊ ĨỊ ÷Ị Ị Ơ Đ Ơ Đ Ị ẹ ẵ ỉ ề ỉệ ề ễ ềễ é ì ỉ ỉệ ề ỉ ề ế ề ể ặ ẳ ¼º¿ ¼º¿ ½º¼¼ È ¼º¿¿ ¼º¿¼ ¼º¿½ ¼º¿½ ½º¼¼ Ð ÷Ù ÄÅ õỊ Ø Ị Ü Ð ×Ù ỉ é ỉ ề ề ể éé ễì Ú ØỊ Ý ±Ú ± Ú Ü ×Ù Ø Đ ẹ ỉ ứề ụ ì ũ éé ễì ú Ĩ Ð ×Ù Ø Ø × Ịº Ù×× Ị ÙỊ Ð Ị Ị Úø ơỊ Ø Ị ơĐ Ø ÝƠ ù Ị Ĩ Ị ĨÚ Ư Ị ÐÐ Ơ× ĨĐ ỉề í ứề ẵẵà é ẹ ỉ ẫẫ Ð Ø ÙÝ Đ Ø Ị Ý ØƯ Ị Đ ÷Đ × × ÐÐ Ơ× º óÙ ĨØ Ý Ø ụỉ ìì ề ề ễ ề ì ỉ ì ØỊ Ý × Ơ Ø Ù Ú Đ Ð ịỊ ìì ắạ úá ẻ ỉ ụỉ ĩ íệ ì ịÙ ± ØƯịỊ Đ ØỊ º ÷Ú ÝØ Ĩ ĨỚÐ í ỉ ỉệứề íẹ ỉ ỉ ì ể Ị Ð Đ Ø Ị × Ơ ÜơƠ Ø Ø Ơ Ơº ØùỊ Ø Ý ơỊ Ị Ị Ø Úó ĨỚÐ Ị Ú Ýº Å Ø ØƯĨỊ ề ề ỉựề ứề ẵẵ ỉ ụỉ ìì ứề ẵắ ỉ ụỉ ìì ỉ ụề ể ỉ ềé ¸ ÌƯ Ị Ơ óÙ ÌƯĨỊ ØƯ Ị Ơ óÙ¸ Ð Ø ÙÝ Ú ØùỊ Ø (3.25) ØƯ ỊịỊ Ị Ø Ú Ð ØƯ Ø ø õ óÙ ÷Ị ề ỉựề ỉể ề ứ ỉựề é ể ắà ề Ø C(u1, u2 ) = D(˜ u1 , u˜2) u˜1 u˜2 , u˜1 + u˜2 u˜1 + u˜2 ln u2 ln u1 , = exp ln(u1 u2 )B ln(u1 u2 ) ln(u1 u2 ) ln u1 = exp ln(u1 u2 )A ln(u1 u2 ) = exp − (˜ u1 + u2 )B ắ A(w) = B(w, w)¸ ØÙÝ Ị ịỊ A Ð Ð Ú A(0) = A(1) = Ú Ø Ð max(w, − w) ≤ A(w) ≤ Ị Ø Ü Ø ĨỚÐ ÙĐ Ð Ị Ị ú Ơ Ị ØƯ ¸ Ị Ø − ln D(˜ u) = 1 α α 21 α α α 21 α α α u1 + u˜2 ) = (w1 +w2 ) Ú A(w) = [w +(1−w) α ]º (˜ u1 + u˜2 ) ¸ B(w1 , w2 ) = u˜1 + u˜2 ) /(˜ ûƯ ỉệ ểễé ỉ ì ề ễ ỉ ể A(w) Ò Ò τ =4 I (1 − w)d ln A(w) = 12 I èệ ệ ẳà A(w) = 1á ( = ể ểễé ẹ éàá τ = = Ø Ò Ò A(w) = max(w, − w) Ị ơỊ ĨỚÐ ln u1 Ý C(u1 , u2 ) = exp ln(u1 u2 ) max ln(u = min(u1 , u2 )º , ln u2 u2 ) ln(u1 u2 ) ØƯ ƠƠ Ị dw − [A(w) + 1]2 Ø ØƯịỊ Ð Ơ¸ Ø Ù Ị ỉ í ẩ ề ỉệứề ắ ì ề ưĐ ØƯ Ð Ơ ØƯ º Ỵù −α −α ểễé ẹ é ểệ ậ ẹễìểề C(u1 , u2) = (u1 + u2 − 1) Ú α ≥ 0¸ 1−C (1−u)w ,(1−u)1−w lim u→0 lim u→0 = lim u u+0(u) u ì ỉ ề ụề ẵá ẹ ì ểễé ẹễ ỉ ề ẹ ỉ ỉệ ựề ề ì [1, ) [0, 1] exp − u ˜α1 + u ˜α2 u ˜1 u ˜2 u1 u2 exp α u˜1 +˜ u2 é ẹ ểì Ô ìé ệạấ ìì [0, ) [0, ∞) Å Ư× C+ [0, 1]2 α u1 u2 exp u ˜−α ˜−α +u exp[−˜ u1 ϑ(u1 , u2 ; α) − u ˜2 ϑ(u2 , u1 ; α)] 1−α2 u1−α u2 min(uα1 , uα2 ) min(u1 , u2 ) é é ééạầé Ị = Úó Đ óỊ C ØƯ C(u1 , u2 ) u1 u2 ÙÑ ÙÑ 1−(1+αu+0(u))− α u u→0 ⊥ = lim ĨỚÐ Ã Đ Ð ĨƯ ¹ Ë ẹễìểề ỉ C u u0 À Ø Đ × ĨỚÐ Ú 1− (1−u)−αw +(1−u)−α(1−w) −1 Ị Ø Ü Ø Ị Ø Ĩ Đ Ị óÙ ØƯ ĨỚÐ A(u) 1 α −1 wα + (1 − w)α αw2 − αw + 1 α −1 − w−α + (1 − w)−α α wξ(w; α) + (1 − w)ξ(1 − w; α) max(1 − α1 w, − α2 (1 − w)) max(w, − w) u1 ln w Ú ϑ(u1 , u2 ; α) = Φ α1 + 21 α ln ln Ú ξ(w, α) = Φ α1 + 21 α ln ln(1−w) º À Đ Ơ ln u2 Ø Ù Ø øỊ ¿º¾ Ị Ø Ư Ị ĨỚÐ ØùỊ Ø Ü Ị ¸Ú ơỊ Ị Ù Ị ịỊ Ð Øû Ĩ Đ Ị Ø Ò Ò Ú Ýº Ò Ø Ò Ø Ù Ø Ị Ü Ị º Đ Ơ Ø Ù Ú (p1 , p2 ) ∈ [0, 1]2 º Ì Ü Ị ĐƠ Ø Ù × A1 Ú A2 Ð p1 w + p1 w + p2 (1 − w) (1 − p1 )w ((1 − p1 )w + (1 − p2 )(1 − w))A2 (1 − p1 )w + (1 − p2 )(1 − w) A(w) = (p1 w + p2 (1 − w))A1 Ị p1 = p2 = p¸ Ị Ø Ø Ù A(w) = pA1 (w) + (1 − p)A2 (w)º ÌƯ ÀøỊ ¿º¾ À Đ Ơ Ị ݸ ĨỚÐ Ü Ị ĨỚÐ ¸ Ị Ø Ø Ù Ü Ị ºỴ Ø Ù ĐƠ Ø Ù Ị ơỊ ĨỚÐ Ø Ị Ị α Ị Ơ ´Ûµ A1 Ú A2 pα w α + pα2 (1 − w)α A(w) = (p1 w + p2 (1 − w)) (p1 w + p2 (1 − w)) + ((1 − p1 )w + (1 − p2 )(1 − w)) = p1 w + p2 (1 w) ẵà ÙÑ Ð Ú Øù α + (p2 − p1 )w + (1 p2 ) ắà ể C(u1 , u2) = exp − (pα1 u˜α1 + pα2 u˜α2 ) α − (1 − p1 )˜ u1 − (1 − p2 )˜ u2 = C G (up11 , up22 )C ⊥ (u1−p , u1−p ) ữ ỉ ỉ ỉ ề ế ỉ ỉ ểễé é ũề ụỉ ẵà C(u1 , u2 ) = C1 (up11 , up22 )C2 (u1−p , u1−p ) Ị Ị¸ ĨỚÐ ệì ééạầé ề é ỉ ễ ỉự ĨỚÐ Ú ĨỚÐ Ư Ø ØƯịỊ C(u1 , u2) = C ⊥ (u1−α , u1−α )C + (uα1 , uα2 ) Ò Ø Ø Ù ĐƠ Ø Ù ´¿º¿ µ Ð α2 (1 − w) α1 w , (α1 w + α2 (1 − w)) (α1 w + α2 (1 − w)) + ((1 − α1 )w + (1 − α2 )(1 − w)) = max(1 − α1 w, − α2 (1 − w)) ´¿º¿ µ A(w) = (α1 w + α2 (1 − w)) max Ị Ø Ư Ị Ị α Ø ơỊ ơỊ ∞ Ð Ý Ị Ø Ü Ø ØƯ Ị Ơ Ị óÙ óÙ¸ Ø Ø Ị ÕÙ Ø Ø Ị ịỊ Ú N ≥ Ü Ị Ú ĨỚÐ ÐĨ ×Ø Ị Ü Ị º Ø Ù ểễé ẹ éá ẹ ỉ C(u1 , , un , , uN ) = exp − (˜ uα1 + u˜αn + u˜αN ) α N α α À Đ Ơ Ø Ù Ø Ò Ò Ò Ð B(w) = º Ù Ø ịỊ Ø Ị ÕÙ Ø n=1 wn Ị ơỊ ĨỚÐ Ư Đ Ị¸ ØÙÝ Ị ịỊ Ị Ị Ð ịỊ ÕÙ Ị ø¸ Úø Đ Ư Ị N (N −1) Ơ Ị Ơ Ị óÙ óÙ Ị Ý Ð Ø Đ × Ịº È Ị Ð Ị Ị Ø Ø ịỊ ÙÝịỊ óÙº Ø Đ Ư Ị Đ Ø Ơ Ị Ơ Ơ Ơ¸ Ị Ị¸ α α2 α2 α21 α1 α1 C(u1 , u2, u3 ) = exp − (˜ u1 + u˜2 ) + u˜3 Ð Đ Ø ØƯ ĨỚÐ Ị α2 > α1 ≥ 1º α1 À Đ Ơ Ø Ù B(w) = (w1α2 + w2α2 ) α2 + w3α1 ÷Ị ØƯĨỊ Ø Ị ế ỉ ỉ ắắ ễ ề ễ ễ È Ơ Ü Ơ Üû Ý exp ln(u1u2 )A Ĩ ln u1 ln(u1 u2 ) A(w) = exp w ỉ F(z)z 1z èí ề ũềá ỉ ẹì Ị Ý Ø Ð Ị Ị Ø Đ× Z = ØĐ ØƠ ỊƠ Ơ ỊƠ Ị Ø α1 Ø Ñ Ò F(z) = z + (1 − z)A−1 (z)∂z A(z)¸ U1 Ú U2 Ü Ị ØƯ ĨỚÐ C (u1 , u2 ) = ln U1 ln U1 +ln U2 Úø A(0) = A(1) = 1¸ Ị ØƯ Ø Ị A(w) = exp w dz º Ò Ø Ò Ø Ù ˆ ØƯĨỊ Ð Ø ÙÝ Ơ A(w) Ơ ề ễ ỉ ề ữẹ F ắ àá ĩ ỉ Ð Ị ØƯịỊ × Đ Ù + + Ị ØƯịỊ Đ Ù ơỊ (X1 , X2 ) Ð Ị Ơ ơỊ Ị Ị Ø F(z)−z 1−z dz Đ× Fº Ë ề ữ ề (X1 , X2 )á ẩ Ơ Ü Ơ Üû Ø Đ × Ơ ÌƯĨỊ Ị Ơ Ị ØĨ Ị Ơ ÅÄ Ø Ĩ Ø Ị ửẹá ễ ề ễ ề G ề + + + + + G(χ+ , , χn , , χN ) = C G1 (χ1 ), , Gn (χn ), , GN (χN ) Ý C Ð Đ Ø ĨỚÐ ØƯ Ú Gn Ð G(x) = exp ẻễ ềễ GEV(à, , ) ĩ ề x−µ − 1+ξ σ ´¿º¿ µ Ü Ị ØƯịỊ ∆ = {x : + ξ( x−µ )}º Ơ Ị Ơ Đ Ø óÙ Ị Ø Đ σ × Ð Ø Ơ ØƯ ØƯ Ø Ị ÕÙ Ø Ú Ò Ø Ø Ò Ò ξ = α−1 > 0¸ −1 ξ = −α < Ú ξ −→ Ĩ Ơ Ị Ơ Ð ịỊ ÕÙ Ị Ư ظ Ï ÙÐи ÙĐ Ðº È Ị Ơ ƠÁ Å Ĩ ÅÄ Ø × Ị Ð Ị Ø Đ × ắ ệ ỉ ềỉ ề ỉựề ỉể ề èệểề ỉệ ề ễ ề íá ễ é éể ịỊ ÙÝịỊ Đ Ø óÙ Ð l(χ+ n ; θ) = − ln σ − Å Ø τ 1+ξ χ+ − µ ln + ξ n ξ σ ưĐ Ư Ø ÕÙ Ị ØƯ Ị Ð ịỊ ÕÙ Ị ụề ề ể ì ễ ỉ ỉ ữẹ Ị Ðк ¸ È Ơ Ü Ơ Üû ÕÙ ØỊ ØƯ Ị Ù − 1+ξ Ị Ù ØƯịỊ Ĩ χ+ n ì ỉ é ¼µ Ị ĨỚÐ º Ì Ø Ù Ị Ø ù ĨỊ ưĐ Ì Ý Úø × Ị Ø Ĩ Ø Ị ưи Ơ Ơ Ü Ơ Üû Ø Ĩ Ø ề ửẹ ề ề ỉ é ữ ỉ ề ì Ø Ð Ịº ÉÙ ØỊ ưĐ Ị Ð Đ Ø ỉ ề ũề ỉ ữề é ề ì {(X1,t , , Xn,t , , XN,t ), t = 1, , T } Ð Đ Ø Đ Ù Ø Ư Ø Yn,t ơỊ Xn,t Ú Yt Ø Ị ưĐ Ì Ú Ơ Ị Ơ ịỊ ÙÝịỊ Fn ¸ ơỊ N Ò Ú Ø (Yn,t )1 º Ò Ø Ü Ø ÕÙ ØỊ ưĐ Nt = (Y1 , , YT ) ØƯịỊ RN Đ Ø +º Ú Ø ụỉá NT ỉ ỉ ẹ ỉ ế ỉệứề ẩể ììểề Ø Ù Ị Ị Ø N Ú Ĩ Λ¸ Đ Ø Đ Ị ØùỊ Ø Ø Ù Ị Ị Ø Λ([0, y]c) = tΛ([0, ty]c) Ú [0, y]c = RN Ò + \[0, y]º Ø Ò P { T Yt ∈ / [0, y]c} −→ exp(−Λ([0, y]c ))º À Đ ÐĨ ¹ Ơ Ð Ð T l(θ) = −Λ([0, y]c) + Ú t=1 T yt ∈[0,y]c λ yt T ẵà ẹ é ũề ụỉ Ò Ü Ò λ(y) = (−1)N ∂yN(1) , ,y(N) Λ([0, y]c) Ú y = Ð ÷Ù ÕÙ ØỊ Yt º (y(1) , , y(N ) )¸ Ú yt , t = 1, , T Ð Đ Ø Đ Ù ÕÙ Ị × Ø Ị Ø Ù ØƯịỊ Xn Ð È Ư ØĨ GP(σn , n )á ụề é ữ ệ ỉ ỉ ề  −1 t− Ị xn,t ≤ xn n (xn,t ) = − ln(Fn (xn,t )) −1 yn,t = −ξ xn,t −xn t+ Ị xn,t > xn n (xn,t ) = − ln − (1 − Fn (xn )) + ξn σn + Ì ØÚ Ý Đ ÐĨ ¹ Ơ Ð ØƯ Ø Ị T l(θ) = −Λ([0, y]c ) + Ú T t=1 yt λ [0,y]c yt t T ắà c [0, y]c = ([0, t− (x1 )] × × [0, tN (xN )] ) Ú T ςt = N 1 (1 − Fn (xn,t ))−ξn yn,t − exp − σ yn,t n=1 n ỊΛ ưÐ ĐØ Ä Ị Đ ØÐ Ơ Λ([0, y]c ) = − ln C exp − ¿º¾º¿ Ị Ị Ø Ø −χ− ¸ Ð Ị Ơ Ị Ø ỉ ềễ ẹì ỉệ 1+n è ề ềễ ẹ ỉ é ẳẳắắ ẳẳẳ ẳ ẻ é ể ề ỉ éạẵ ẳẳẵ ẳẳẳ 0.275( ỉệểề ề ẹà ẵẳẳ ề ề è ễ ẹì é ữ ẵẳ ắ ẳ èệểề ỉệ ểễé ẹì ì ẳẳắ ẳẳẵ 0.095( ) ) ỉ ặ ẳẳẵ ẳẳẵắ ẳ ) éạẵ ắ ẳ ạẵẳ ẵẵ ụề ỉ ũề ề ỉ ỉ + é ẳẳắ ẳẳẵẳ 0.188( é ¹ º ¹ º ¹½½º ¹½½º ½ ¹½ º½ ¹½ ắ éạẵ ẳẳẵ ẳẳẳ 0.239( ẳ é ề ề ỉệ ề ặ ạẵẵẳẵ ạẵ ắ ạắẳẳắ ạắ ạắ ạắ ẩ ạẵắắ ạẵ ạắ ạắẳ ắ ể ỉệự ụỉ ế ì ẳẳắ ẳẳẵẵ 0.142( ) ẳ ạẵẵắ ạẵắ ạẵ ẳ ạẵ ề ) ặ ẳẳ ẳẳẵ 0.026( ẩ ẳẳ ẳẳẵắ ẳ ắ ỉ ề ề é ỉệểề ứề ì ề ỉệ Ị ØỊ ưĐ ØƯ Ị ÜÙ Ø Đ Ø óÙ Ị Ð Ị Ð ĨĐ Ø Ù Ù Ø Ị ệ ì ẵ ề ỉệểề ỉ yn,t exp 1 , , exp − , , exp − y(1) y(n) y(N ) ề è ẩ ) ẩ ẳẳắ ¼º¼½½ ¼º ¼ Ø ưÜ Ý ƠÜ Ù Ì Ị ỉệểề ề ẹà ẵẳ ắ ẳ ẵẳẳ ề é ẵẳ ẵắắ ẵ ắ ẵ éạẵ ẵẳ ắẳ ẵẵẵắ ẵắ ẵ ụề ỉ ũề ắ ẵẳ ẵắ ẵ ẵ ẵắ ể ỉệự ề ặ ẵẵẵẳ ½¾º¾ ½¾º ½¿º Ị Ị Ø Ü Ø ØƯ Ị Ơ óÙ¸ Ị Đ Ơ Ø Ù ÙĐ Ðº Ë Ị Ơ Ị Ơ Ơ Á Ÿ ØƯ Ð Ị Ø Đ× Ã Ị ÐÐ Ü Ị Ị ¿º º À Ị Ị Ị Ø Ĩ Ị Ø Ð ỉự ểễé ẻ ẹ ỉ ề í é ì ễ ỉ ểễé éá àá éáẩ àá éạẵ éạẵ áẩ àá áặ àá áẩ ặ áẩ ỉ ửá ì ễ ể éá éạẵ àá éáặ àá éáẩ àá éạẵ áặ ặ áẩ µº ÀøỊ ¿º¿ Å Ø GEV ½ Ĩ Ø ẩ ẵẵẵ ẵ ắẵẳ ắ ắ ¿ Ĩ ĨỚÐ αÚ Ø Ị Ị τ Ĩ Ø éữ ễ é ề ỉ ề àá éạẵ áặ àá ỉ ề ứề ỉ ụỉ ế M L é éạẵ ặ éạẵ ắ ẵẵ ẵẳ ắ ặ ẵ ắ ẵ ẵắẵắ ẩ ẵ ắ ẵẵ ẵ ẵẳẳ ẵ ẳẳ éạẵ ẳ é éạẵ ặ éạẵ ẳẵ ắẵ ẵẳ ẵẳ ẳ ặ ẩ ẵắ ẵ ẵẵẵ ẵẵ ẵẳ ẵẵẳ ½º½½ ½º½ Ị Ø ÕÙ Ị × Ø ØƯ ÜÙ Ø ÷Ị Ị óÙ Ị º ÉÙ Ị ÕÙ Ị Ị Ø ØƯ Ị ÙÐÐ Ĩ − Ĩ (−χ− , ) ấ é éạẵ ặ ẳẵ ẳẳ ụỉ ế M L é éạẵ ặ GEV éạẵ ắẳ ặ ẳẵ ẳắ ẳẵ ẳẳ ẵẳẵẵ ặ ẵ ẵẳ ẳ ắ ẳ ẩ ẵ ẵ ắ ẳẳẳắ ẵ ẩ ẳắ ẳẵ ¼ ¼º¼¼ ¼º¿¿¿ + Ó (χ+ , χ2 ) ấ é éạẵ ặ éạẵ ề ễ é ễ ửẹ ú ề ỉụá ễ ắ ẳ ẳẵ ẳ ặ ẵẳ ẵắ ẳ ề ễ ễỉ ẩ ẵ ẳẵ ẵ ắ ẵắ ỉ ửá ỉệ ề ỉ ệ é éạẵ ặ éạẵ ẳ ặ ẳẳ ẵ ẳắắ ẳẳ ẳẵ ẳẳ Ị ¿º ÌƯ Ị Ơ óÙ Ø ưÐ Ð Ị ề ề ẹ ỉ ẩ ẳẵẳ ẳẳắ ẳẵẳ ẳẵ ắ ú ữề ỉự ề áỉ ĩ ì ỉ ì é + + + + + P {χ+ > χ1 , χ2 > χ2 } = − P {χ1 ≤ χ1 } − P {χ2 ≤ χ2 } + P {χ1 ≤ χ1 , χ2 ≤ χ2 } = − F1 (χ1 ) − F2 (χ2 ) + C(F1 (χ1 ), F2 (χ2 )) = C(F1 (χ1 ), F2 (χ2 )) Ú C Ð Đ× Ị × Ø ề ỉ ì té ỉ ề ữề ỉự Ò Ü Ò {(χ1 , χ2 ) ∈ R |u1 = F1 (χ1 ), u2 = F2 (χ2 ), C(F1 (χ1 ), F2 (χ2 )) < t } Ị Ø õỊ øỊ ¿º Ú øỊ ¿º ¸ ữề ỉự ề éá éạẵ éá é ỉệ ề ễ ú ể ề ẹ Ù Ø Ị Ị ØƯĨỊ Ð ×Ù Ø Ø × Ịº Ị Ø Ø Ý øỊ Ĩ ÕÙ Ị Ù Úø ØƯ Ø Đ × αº Ư Ị Ơ Ị Ơ Ơ ÐÙ Ị Ø Ĩ Đ Ị Đ ÙØ Ị Ù¸ Ị Ị Ị Đ Ị Ị Ĩ Ð ×Ù Ø Ø Ị Ø Ú Ị Đ Ĩ Ð ×Ù Ø Ø º Ị ØùỊ ØĨ Ị ÷Ị Øù Ị Ĩ Ị Ơ ỊØ ¸ Ị Ø ỉ ứề ể ễ éá éạẵ àá Ò Ù Ð ×Ù Ø Ø × Ò Ð Ò ẹá ữề ỉự ề ìể ì ề ỉệ ề ễ é ễ ứề ữề ỉự ề éá éạẵ µ ¿ ÀøỊ ¿º ÀøỊ ¿º Ị Ø ÙĐ Ð ề ễ ĩ ề ỉ ự ễá ữề ỉự ữề ỉự ề ề éá ễ éá éạẵ µ Ú Ø Ị Ị Đ Ư Ị ØƯĨỊ Đ øỊ ØƯ ØƯ Ị óÙ óÙ¸ Ù Ø ịỊ¸ ĨỚÐ Ð × Ð ĨỊ Ø Ø Ị غ ÜÙ Ø ÷Ị ĨỚÐ Ị Ị Ị ĨỚÐ Ị Ü Ị ÐĨ ×Ø Ø Ø Ị Ĩ Ơ Ø ´ и éạẵ ứề ệ ề ứề ¿º Ị ÅÄ Ơ Ð Ð Ị Ơ øỊ óÙ ĨỚÐ Ị óÙ ĨỚÐ ÐĨ ×Ø óÙ Ð Ø Ị ÕÙ Ø Ú ÷ Ị Ü Ị Ĩ Ị ÅÄ Ð α ˆ = 1.049 Ú α ˆ = 3.043 Ú º ÌÙÝ Ị ịỊ¸ ĨỚÐ Ị Ý Ĩ Đ Ơ exp − (˜ uα2 + u4 ) ẩ ã ỉ éá éạẵ ễá ề ể ẹẹ ØÚ Ị ØƯịỊ Ù ØƯ Ơ Ø Ù º Ị Ø Ü ØĐ Ơ ¸ Úø Ú ÕÙ óÙ Ị Ø Ị ĨỚÐ Ị óÙ α α2 α2 α21 α1 α1 N u1 + u˜2 ) + u˜4 Ò C (u1 , u2 , u3, u4 , u5 ) = exp − (˜ − u˜3 − u˜5 º ưĐ Ị Ø ÄÊ ỊƠ ịỊ ÙÝịỊ éạẵ áặ é C N (u1 , 1, 1, u4, 1) = exp − (˜ uα1 + u˜α4 ) α1 Ị Ơ Ơ Ð óÙ Ị Ý Ĩ Ø Ĩ ØƯ Ì Ị × Ị Ơ Ù ØƯ Ø Ị Ơ Ø ơƠ Ơ Ø Ù Ị Ơ ÕÙ Ị Ú Ơ ÐÙ Ị ỉựề ỉể ề ệ ỉự ú ểễé é éáặ µ Ú C N (1, u2, 1, u4 , 1) = éáặ éạẵ áặ ễ Ơ ÐÙ Ị ØùỊ ƯĨ Ü ĨỚÐ Ơ ØĨ Ị ệ ề ỉệểề ề ệể ữề ì ì Ð ơỊ Ị Ù Ị ịỊ Đ Ø Ø Ị Ø Øº Ò Ø Ò Ò Ò ú ζ k (t) Ð ÕÙ ØỊ Ị Ù Ị ịỊ ζ Ĩ Đ ØùỊ ØĨ Ị Ư ƯĨ k (k = 1, K) ã ệ ệểá ề ũề Nk (t) Ị Ø Ø × ơỊ Ø Ø ỊtÐ Đ Ø ơỊ Ị Ù • ÉÙ ØỊ Ø Ò Ø Ø (t) Ò Ò ú Ò × Ù K k (t) = (t) k=1 K Nk (t) ζjk (t) = k=1 j=1 ã ẻ ÒØ ùÒ Ú Ñ ØÒ ÝαØ Ò Ü Ò Ò × Ù EC = F−1 (α) Ỉ Ơ Ú Ị ó Ị Ị Ơ Ơ ÐÙ Ị Ð Ị Ị¸ Ø ø Ị óÙ Ú Ị ó × Ị Ý × Ị ØƯĨỊ Ø Ø õỊº Å Ø Ị ØùỊ ØĨ Ị Ư ƯĨ Ø Ị ÕÙ Ị Ø Ị× Ư ƯĨ Ð Ù E[Nk1 (t)Nk2 (t)] = E[Nk1 (t)] ì E[Nk2 (t)] Nk (t) é ỉ ÙỊ Ø ơỊ Ị Ù Ị ịỊ ÈĨ ××ĨỊ P Ú ØƯ ØỨỊ øỊ λk º Ø Ị Ị Ð Đ Ư Ị Ơ ỊƠ ÈĨ ××ĨỊ Ị óÙ ú ể ềìểềá ểỉị é ệì ề ề ẵ µº × N11 , N12 Ú N22 Ð ơỊ Ị Ù Ị ịỊ ÈĨ ××ĨỊ Ð ƠÚ ØƯ ØỨỊ øỊ λ11 , λ12 Ú λ22 º ÌƯĨỊ ØƯ Ị Ơ óÙ¸ Ơ Ị Ơ Ị Ø ØƯịỊ ơỊ N1 = N11 + N12 Ú N2 = N22 + N12 º Ò Ø N1 ∼ P(λ1 = λ11 + λ12 ) Ú N2 ∼ P(λ2 = λ22 + λ12 )º ÌÙÝ Ị ịỊ Ü ×Ù Ø Ị Ø × Ð min(n1 ,n2 ) P (N1 = n1 , N2 = n2 ) = n=0 Ì Ị ÕÙ Ị È Ư×ĨỊ Ø Ò λn111 −n λn122 −n λn12 e−(λ11 +λ22 +λ12 ) (n1 − n)!(n2 − n)!n! ´¿º µ N1 Ú N2 Ð ρ = λ12 [(λ11 + λ12 )(λ22 + λ12 )]− Ú Ị ØƯ ρ = 0, λ11 + λ12 , λ22 + λ12 λ22 + 12 11 + 12 ẻ ỉệ Ị Ý Ị Ø û Đ ØƠ Ø Ù Ị º ÌƯĨỊ Ĩ Ø Ị Ư ƯĨ¸ Ị Ø Ị Ị Ú Ư ƯĨ Ð Đ Ị Ị Ø ØƯ ề ữ ỉ ề ệ ệểèí ề ũềá ễ ù Ø Ị Ư ƯĨ ØƯĨỊ Ị Ị Ị ùØ Ị Ị ÷Đ ØƯĨỊ Ơ Ơ Ü Ơ Üû Ị Ý Ú Ø Ị Ø Ị Ị ØÐ Ị ÷Đ Ø Ị ÕÙ Ịº Ë Ị Ơ Ơ Ü Ơ ĩỷ ề íá ỉ ỉ ửé ẹề ể ữỉ ỉệ º ÌƯĨỊ ØƯ Ị Ơ Ị ݸ Ị Ø λ12 = ρ λ1 λ2 λ11 = λ1 − ρ λ22 = λ2 − ρ ÌƯĨỊ ØƯ Ị Ơ K ¹ óÙ¸ Ü Ø K ơỊ Ị Ù Ị ịỊ λ1 2 ẳà ẹ ỉ ì ỉ ề ế ỉ ỉệ ề ễ ắạ ú ề é ễễ ề ễ ẩể ììểề èí ề ũềá ỉ ề Ị Ú Ơ Ơ ỊƠ ÈĨ ××ĨỊ Ị óÙ óÙ Ø ø Ị õ Ị ØùỊ ØĨ Ị Úø ÷ × Ø Ø Ơº ƠỊ Ý Đ Å Ø Ị Ị Ð Ị Ø × Ị Đ Ø ĨỚÐ C ¸ ØƯ Ị Ü ×Ù Ø Ĩ Đ Ø Ê ểềạặ ể íẹ ẹễ ềễ P {N1 = n1 , , Nk = nk , , NK = nK } = i1 =1 ··· n1 (−1) i1 +···+iK C n=0 iK =1 Ò ÕÙ Ò Ð Ò n K −λ1 K K n+1i e n+1i e K ẵà , , n! n! n=0 Ị Ð Đ Ø ĨỚÐ ììá ề ỉ ễ ềễ P(, ) ẩể ììểề ề óÙ óÙ Ø Ĩ Ø Ị ĨỚÐ Ù×× Ú Ø Đ × ρ Ú Ơ Ị Ơ ÈĨ ××ĨỊ Đ Ø óÙ P(λk )º Ị Ø Ư Ị Ø Đ× ĨỚÐ Ù×× ρ Ị Ị Đ ØƯ Ị Ø Ị ế ề ẩ ệìểềá ề ề ề ề ề ệ ỉ ựề ứề ẻ ề ề ỉụ Ú Đ Ø Ị Ý α Ĩ Ĩ Ø Ị Ư ƯĨ Ø ØùỊ ØĨ Ị Ø N = {N1 , , Nk , , NK } ØƯĨỊ Ơ ỊƠ ÈĨ ××ĨỊ Ị óÙ óÙ P(λ, ρ)º À Ị Ị ¸ Ị ØùỊ ØĨ Ị Ị ¸ Úø Ð Ị Ø Đ × λ Ú ρ Ð Ị Ơ Ø Ơ Ú Ô Ò Ô õ Ò Ø Ù Ú Ô Ò ễ ễ ểềỉ ệéể ứề ữ ỉ ỉ ẹì ĨỚÐ Ú Ø Ị ÕÙ Ị È Ư×ĨỊ ÃèÌ ÄÍ Ỉ ÌƯĨỊ ÐÙ Ị Ú Ị Ị Ý Đ ØỊ í ề ề ề ữẹá ề ề ỳ ề Ð Úó ĨỚÐ Ú Đ Ø Ú ÕÙ ùỊ Úó Ị Ị ĨỚÐ ØƯĨỊ Ø ùỊ º ĨỚÐ Ø Ø Ư Ð Đ øỊ Ơ Ø Ù Ù ØƯ º ĨỚÐ Ð Ð Đ Ø Ị Ư Ø Đ ề ỉệểề ỉ ựề ữỉ ỉệểề ẹ ứề é ×Ù Ø Ú ÕÙ Ị Ð Ư ƯĨº Ỉ Ị Ị Ơ ùỊ ÐÙ Ị Ú Ị Ĩ Đ ½º ặ ề ụề ỉ ề ú ĩ ì ỉá ỉ Ị ị Ú ĨỚÐ ¾º ÐÙ Ị ùỊ Ø Ị ị Úó ĨỚÐ º ¿º Ị Ị ØƯĨỊ Ø ùỊ Úó Ơ Ơ Ĩ Ð Ị Ư ƯĨ ÌÙÝ Ị ịỊ Ĩ Ø Ị Ị Ị óÙ¸ ỊịỊ ÐÙ Ị Ú Ị Ị Ị Ị Ø × Ø Ú Ị ơº Đ Ư Ø ĐĨỊ Ị Ị × ề ễá ễ ề ữề ế ỉ í ề ÐÙ Ị Ú Ị Ĩ Ị Ø ÷Ị Ø Ø ề è é ữ ỉ ẹ ẵ ỉ ắ ể ệ ẹể ỉịá ậỉ ề ểềá ể ệ ẵ ề ìểềá ấ ềềểề ìỉ ề ệì ỉí ẩệ ììá ầĩ ểệ ẵ ề ìỉá ẹ ệ º Ú Âº Å ÝÌ ¸ Đ Ư Ị ËØ Ø ×Ø ĨĨ Ĩ Đ Ø ĨỊ ĨÝ Ĩ Å ỉ ề ề ểễé ì ệ ềá ẳá ắ ẳạắ ẵ ề éì ẹ ỉ é ề ỉ ểềá ề ềỉ ệ ề ề ểềểẹ ỉệ ỉ ìỉệ ỉ ểềì ỉ ì ầĩ ểệ ề ểệẹ ềịá ệ ỉị ặẹ ệ é ĨĐỚØ Ø ĨỊ Ĩ ĐÙÐØ Ú Ư Ø Ø¹ƠƯĨ Ð ỉ ìá ễ ệỉ ẹ ềỉ ể ỉ ẹ ỉ ìá ẽ ì ề ỉểề ậỉ ỉ ề ệì ỉíá ẽểệ ề ẩ ễ ệ ẵ ẵ ể éỉ ề ễễé ểệ ềì ềá ẵ ểệ ềì ềá ậỉ ỉ ìỉ ì ệ ẩệể ỉ ể è ỉ éì ề ểề ễỉìá ÅĨỊĨ Ư Ơ × ĨỊ ËØ Ø ×Ø ĨƯÝ Ĩ ×Ơ Ư× ĨỊ ĐĨ ¸ Ð× ƠĐ Ị Ị º Ư × × ĨÛ × Ư ĨÙ× Û × Ø ệ ỉ ểìì ỉỉ ẩ éé Ư ØÞ Ú Âº Ê ĨÙÜ Ơ Ị Ị ĐĨ é ề ệì ỉ éá õ ểé ỉ ệ ỉá ấ ễễểệỉ è ẵẳ ặ éì ềá ấ ẻ ệé ặ ề ềỉệể ỉ ểề ỉể ểệ ẵ ểễé ểề ỉ ểề ỉệ ì ặểỉ ì ề ậỉ ỉ ìỉ ệ Ơ Ừ Ø ĨỊ ËØ Ø ×Ø ÕÙ Ư Đ ỉệ ề éề ệì ỉ ẹ ẵ ìệ × Ĩ Ơ Ị Ừ Đ ỊØ Ĩ º ĨĐĐ ệ é ề ỉ ề ề ế ìá ẵ ẵẵ ậ ỉị ệá ẽểé ÇỊ ỊĨỊƠ Ú Ư Ð × ỊỊ Ð× Ĩ ËØ ỉ ìỉ ìá ẵắ ậ é ệá éềìỉ ỉỉ ééá ểề ểề ậ ệ ỉị ề éỉ ệ ỉ ìễ ệì ểề ẹể éìá ễ ề ẹể ệ ễ íá ầ ềì ề ệì ỉíá ấ ì ệ ấ ễểệỉ ẵ é ề ẩ é ẩ ệ ìá ắắ ạắẵ ẵ ỉ é ệì ẹ ệ ì ạẳẵ ậễệ ề ệ ểệ ệ ểẹ ẵ ẹ ềì ểề ì é ệ ì ẵ ễ ề ễẹ ềề ề ééá ểề ểề ẵ ệ ìá è ẵ ề ề ệ ề ẽểệ ề ẩ ễ ệ ẵ ệ ề á é ỉí ỉ ểềì ẵ ậểề ẩ éỉ Ư Ø ×Ơ Ư× ĨỊ ĐĨ Ð× ỊƯ Ø Ị Ị Ë Ị ¹Ị Ú Ị ÂĨÙƯỊ Ð Ĩ ËØ ỉ ìỉ ì Ôệ ẵ ẽ ề ậậ Ư Ø ĨỊ Ĩ ĨƯƯ Ð Ø Ư × ƠĨỪ ểé ểẹẹ ỉỉ ểề è ểệí ể ấ ì ễệ ễệ ềỉ ẵ ẳ ệểẹ ìì ề ắẳẳẳ ểì ẹể éì ề ểễé ểệỉ ểẹạ é ểệ Ø Đ× Ë