1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Copula và ứng dụng trong tài chính

64 11 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 64
Dung lượng 1,4 MB

Nội dung

✣❸■ ❍➴❈ ◗❯➮❈ ●■❆ ❍⑨ ◆❐■ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ❚Ü ◆❍■➊◆ ❑❍❖❆ ❚❖⑩◆ ✲ ❈❒ ✲ ❚■◆ ❍➴❈ ỗ ỡ ự tr t ỵ tt ❳→❝ s✉➜t ✈➔ ❚❤è♥❣ ❦➯ t♦→♥ ❤å❝ ▼➣ sè ✿ ữớ ữợ r ❚rå♥❣ ◆❣✉②➯♥ ❍➔ ◆ë✐ ✲ ✷✵✶✶ Å Ð ½ à ụề ỉ ẵẵ ẵắ ẵ ắ ắẵ ắắ ắ ề ẵ ắ ề ểễé ểễ ềễ ề ú ú ì ễ ỉ ẵẵẵ ề ữẹ ề º º º º º º º º º º ẵẵắ ỉ ữ ú ểễé º º º º º º º ½º½º¿ Å Ø Ú Ị Ị ú Ú ØùỊ Ø ĨỚÐ ½º½º ĐƠ ềễ ề ỉ ệ ỉạể ẵẵ ểễé ụề ề Ù Ị ịỊ º º º º º º º ề ữẹ ì ễ ỉ º º º º º º º º º º ½º¾º½ Ì Ị ÕÙ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ º º º ẵắắ ểì Ø Ò Ø ù º º º º º º ẵắ ểì ễ ỉ Ù º º º º º º º º º ẵắ ặ ề ề ữẹ ễ Ø Ù º º º º º Ë Ð Úó Đ ĨỚÐ º º º º º º º º º º º º º ½º¿º½ È Ị Ơ ÐÐ ÔØ º º º º º º º º º ẵắ ểễé é ũề ế Ị ơỊ Ơ Ị Ơ ÐÐ Ờ º º ½º¿º¿ ĨỚÐ Ư Đ Ị º º º º º º º º º º º º ½º¿º ØƯ ØƯ ĨỚÐ º º º º º º º º º º ÐÙ Ị Ø Ị ị Úó ĨỚÐ Ã Ø Ù ØĐ Ơ Ị º º º º º º º º º Ð Ị Ị Ø Đ× º º ắắẵ ểễé ỉ ề ữẹ º º º ¾º¾º¾ È Ơ Ị Ị Ø ĨỚÐ Ð Ị Ø Đ× º º º º º º ắẵ é ề ễé ắắ ẩ Ị Ơ Ơ ĐĨĐ ỊØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ư Đ º º º º º º Ü ÑÙÑ Ð º º º º º º Ị ĨỚÐ ØƯĨỊ Ĩ Ð Ị Ư ệể ỉ è ềỉ ẵẵ ẵắ ỉệ ắẵ ắắ ỉỉ Ị Ơ Ú Ơ Ị Øù ØƯ Ư ÌƯ Ị ÔÖ Ö º º º º º º º º ÌƯ Ị Ơ Ð ịỊ Ø º º º º º º º º ØƯ Ị óÙ óÙ Ú Ư ƯĨ Ø ØƯ Ä Ø ÙÝ ØƯ ØƯ º º º º º Ơ Ị Ơ Ơ Ð Ị º º º ½ ƯĨ º º º º Ị º º º º º º º º º º Ò º º º Ð º º ùÒ º º º º º º º º º º º º º º º Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ×Ø Đ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ø ĨỊ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Åĵ º º º º º º º º º ẵ ẵ ẵ ắ ẵẳ ẵắ ẵắ ẵắ ẵ ẵ ắẳ ắẳ ắẵ ắ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¿½ ¿½ ¿½ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿º¿ ¿º¾º¿ Ị Ị Ú Ð ÷Ù ÄÅ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì Ị × Ø Ị ÕÙ Ị Ú ØùỊ ØĨ Ị Ư ƯĨ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì Ð ÷Ù Ø Đ Ĩ ắ ẳ ề ẵ ụề ỉ ẵẵ ề ĨỚÐ Ĩ Ơ Ị Ơ Ị óÙ óÙ Ú × ễ ỉ ẵẵẵ ẵẵẵẵ ề ữẹ ề é ề Ò Ù Ò òÒ Å Ø Ð Ò ´ Ý ẹ ỉ ụềà ề ề ỉệ ề ĩ ì Ø Ø Ị Ị Ị Ĩ Ý Ð Ð Ị Ị Ù Ị ịỊ Ý ơỊ Ị Ù Ị ịỊº Ị Ø Ø Ị ÷Ù ơỊ Ị Ù Ị ịỊ Ò Ó X, Y, Z, Ó ξ, η, ζ, º ØƯ Đ ơỊ Ị Ù Ị ịỊ Ị Ị Ø Ị Ú Ị Ị ỉ ề x, y, z, ẵẵẵắ Đ Ơ Ị Ơ Ĩ ơỊ Ị Ù Ị ịỊ ỉ ĩ ề ẹễ ềễ ề ì ẵẵà F (x) = P { < x} èệểề ề Ị ú ØƯịỊ x Ð ơỊ Đ F¸ x Ị Ị ØƯ Ø ¸ x Ø Ù (−∞, +∞)º Ì Đ Ø ưĐ x Ø Đ F (x) ùỊ Ð Ü ×Ù Ø ơỊ Ị Ù Ị ịỊ Ị Ị ØƯ Ị Ịx Ĩ ơỊ Ị Ù Ị ịỊ Ị Ị ØƯ ịỊ ØƯ xº û× Đ Fξ (x) û Đ Ơ Ị Ơ ơỊ Ị Ù Ị ịỊ ξ º ÌƯ Ị Ơ Ị Ị Ø Ø ÕÙ Ị Ị Ú û × ẵẵẵ ẩ ề ễ úá ề ỉ ξi ¸ i = 1, 2, , n Ð × ξ = (ξ1 , ξ2, , ξn ) ØƯĨỊ Ð Ú Ø Ị Ù Ị ịỊ n óÙº À Đ Ơ Ị Ơ Ị Ị ú Ị × Ù ơỊ Ị Ù Ị ịỊ Đ Ø Ú Ø Ị Ù Ị ịỊ Fξ (x1 , x2 , , xn ) = P {ξ1 < x1 , ξ2 < x2 , , ξn < xn }, xi ∈ R, i = 1, , n ½ Ỉ Ø Ị Ơ Ị ξi ¸ i = 1, , n Ú Ø Ò Ù Ò ịỊ Ð ƠÚ Ị ÙØ ø Fξ (x1 , x2 , , xn ) = P {ξ1 < x1 }.P {ξ2 < x2 } P {ξn < xn } = Fξ1 (x1 )Fξ2 (x2 ) Fξn (xn ) ÌƯĨỊ ØƯ Ị Ơ Ị ݸ Ị ξi f (x1 , x2 , , xn ) = ØƯĨỊ f, fξi é ữ ẵẵẵ ẩ ề ễ ỉ ẹẹ ỉ ỉ ø ∂ n F (x1 , x2 , xn ) = fξ1 (x1 ).fξ2 (x2 ) fξn (xn ) ∂x1 ∂x2 ∂xn ÑÑ Ø Ú Ø ξÚ Ø Fn (x) = Ù ØƠ ØØ n ØƯ Ị xº à РxØ í áỉ ề ề ẹễ ềễ ỉ ữẹ ỉễ ØØ Đ Ù Ø Ị ÙØ Ị Ị ĐƠ Ị ÷Đ Ị Ùº Ø Ị óÙ Ð Ị Ø Ị º Ø Ị Ị Ù óÙ ÙỊ Đ Ø ØùỊ ØÐ Ã Đ ÙØ Ị Ú Ơ ỊƠ Ø Ị ÷Đ Ø ơỊ ơỊ Đ Ơ Ị Ơ Ð ỉ íụỉ ề ỉứẹ ẵẵắ ỉ ửẹ f {xi < x} n f {xi < x} Ð × ØƯ Đ Ù xi Đ Ị Đ Fn (x) Ø Ĩ ơỊ × Ø xº À Đ × Ị Ý Ị Ị i ề ữẹ ì ỉ ẹ ề Ò òÒ (x1 , x2 , , xn )º ơỊ Ị Ù Ị ịỊ Ị Ị Ø Ü Ý Ị Đ× º ØƯĨỊ Ị Ơ ỊƠ Ị Ị Ø Đ Ø ÷Ù Úó ĨỚÐ Ị Ị ú ½º½º½º × S1 , , Sn Ð ỉ ễ ểề ề ệ ề Rá í R ữ Ð Ị Ø Ị Ø Đ Ư Ị [−∞, +∞]º × H Ð Đ Ø ĐØ Ú n ơỊ ØƯịỊ Đ óỊ Ü Ị DomH = S1 × · · · × Sn Ú Ĩ a ≤ b ´ØƯĨỊ a = (a1 , , an ), b = (b1 , , bn ) Ú ak bk ẹ k = 1, nàá ì B = [a, b] = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] Ð Đ Ø n¹ Ơ ûỊ ØƯĨỊ DomH º Ì Ị Ị ú Ø Øù ¹H BÐ VH (B) = sgn(c)H(c) ỉệểề c ẹ ỉì ặ í ỉệũề ỷề ề ck = ak ỉ ỉự ạH ẹ Ú sgn(c) Ð Ị Ị ØƯĨỊ k ¸ Ú Ð Đ ØƯĨỊ ØƯ Ị ƠỊ Đ Ø Ị¹ Ø Ð º Ô B = [a, b] Ð VH (B) = ∆ba H(t) = ∆bann ∆ba11 H(t) ØƯĨỊ ∆bakk H(t) = H(t1 , , tk−1, bk , tk+1 , , tn ) − H(t1 , , tk−1 , ak , tk+1, , tn ) ¾ Ị Ị Ị¸ Ị H(x1 , , xn ) = P (X1 ≤ x1 , , Xn ≤ xn ) Ð ×Ù Ø Ị Ø Đ Ø n ơỊ Ị Ù Ị ịỊ X1 , , Xn Ø ø Ø ĐƠ Ị Ô Ü VH (B) = P (a1 ≤ X1 ≤ b1 , , an ≤ Xn ≤ bn ) ề ề ỳ ẵẵắ ẹ ỉ ẹ n¹ Ơ B Ị ØƯịỊ Ơ Ø H n ơỊ ûỊ Ị Đ ØƯĨỊ Đ óỊ Ü Ð Ị Đº × Đ óỊ Ü Ị Đ Ø ĐØ S1 × Ã Ã Ã ì Sn ẹ Sk ẹ ỉễ Ị Ø Ý ´ ƯĨÙỊ µ Ị H(t) = Ú Đ t ØƯĨỊ Ị غ Ỉ Đ Sk Ư Ị Ú Ơ Ị Ø ÙÝịỊ Ú Ơ Ị Ơ ịỊ ÙÝịỊ Đ Ø óÙ Hk (x) = H(b1 , , bk−1 , x, bk+1 , , bn ) Ú x Ð Ơ ỊƠ ịỊ ÙÝịỊº Ð n¹Ø Ị Ị VH (B) ≥ Ĩ Ị DomH Ý Ø Ị Ø Øù H Ú n ơỊ Ị Ị Ø ak º DomH × Ĩ Ð Ị Ị Ø bk ¸ Ø HÐ Đ Hk ∈ Sk ¸ Ơ Ị Ơ Ü Ị DomH = Ị Ø Ị Ư Ị H Ĩ tk = ak Ø × k ø H Ơ Ị Ơ ịỊ Ú DomHk = Sk Ú Ú ịỊ ÙÝịỊ Đ ỉạ ú ề é ẵẵẵ ỉ ễ ệ ề Rá Ú × ĐH × S1 , , Sk Ð Ý n¹Ø Ị Ú Đ óỊ Ü Ị S1 × · · · × S n º Ì ứ H é ỉ ề ỉ ể ẹ ì Ø Ð Ị (t1 , , tk−1 , x, tk+1 , , tn ) Ú (t1 , , tk−1, y, tk+1, , tn ) Ị Đ ØƯĨỊ Đ óỊ Ü Ị DomH Ú x ≤ y ¸ Ø ø H(t1 , , tk−1 , x, tk+1 , , tn ) ≤ H(t1 , , tk−1 , y, tk+1, , tn ) ề é ẵẵắ ì S1 , , Sk Ð Ø Ơ Ư ề Rá ì í nạỉ ề ễ ề Ơ ịỊ ÙÝịỊ Ú Đ óỊ Ü Ị S1 × · · · × S n º à ưĐ x = (x1 , , xn ) Ú y = (y1 , , yn ) ØƯĨỊ S1 × × Sn Ø ø ĐH ¸ Ị Ø n |H(x) − H(y)| ≤ n k=1 |Hk (xk ) − Hk (yk )| Ò Ò ỳ ẵẵ ỉ R ì ể è é ẹ ỉ ẹễ ềễ nạ ú é ẹ ỉ íá ềạỉ Ò Ú H(+∞, , +∞) = 1º ểH ề é ẵẵẵ ề ề ẹễ ềễ áẹ ½º½º¿ Å Ø Ú ÑH Ú ú ½º½º¿ Ø ø ịỊ ÙÝịỊ Đ Ø Ị Ø ÷Ù F1 , , Fn º Ò Ò ú Ú ØùÒ Ø ĐƠ Đ óỊ Ü ỊƠ Ị n¹ óÙ ĨỚÐ ĨỚÐ N óÙ Ð Đ N ơỊ Ø [0, 1]N Ú Ĩ [0, 1]¸ Ú Đ ĨỚÐ Ð Đ Ø ĐƠ ỊƠ Ị óÙ óÙ ´ĐÙÐØ Ú Ư Ø ×ØƯ ÙØ ĨỊ ÙỊ Ø ĨỊµ Ü Ị ØƯịỊ øỊ Ð ƠƠ Ị Ị Ú IN = [0, 1]N ¸ Ị ỉ ữề ì ễ ỉ ể ề Ù Đ Ø N ơỊ Ị Ù Ị ịỊº ĨỚÐ é ẹ ữỉ ề ú ỉựề ỉ ỉ Ú Ø ĨỚÐ Ø ø Ị Ø ØùỊ ØĨ Ị × Ơ Ø Ù ơỊ Ị Ù Ị ũề ỉệũề ữễ ễ ề ì ể ệ ề µ Ú × Ø Ị ÕÙ Ị ´ ĨƯƯ Ð ỉ ểềà ề ề ỳ ẵẵ ặ éì ề ẵ ề ề ỉựề ẵ úề ĩ ỉì ề ểẹ ềà àá ỉệ ề Å Ø ĨỚÐ N ¹ Đ C DomC = IN = [0, 1]N ; ¿ óÙ Ð Đ Ø ĐC ¾º À Đ C Ý ´ ƯĨÙỊ µ Ú ịỊ ¿º À Ñ C u, ∀u ∈ I Ñ N ¹Ø Ị ÙÝịỊ Cn ¸ Ø Đ Ị Cn (u) = C(1, , 1, u, 1, , 1) = Ư Ị Ø N ¹ ĨỚÐ C ¸ N ≥ 3¸ Đ Ơ Ị Ơ ịỊ ÙÝịỊ k ¹ óÙ C N Ð k ¹ ểễé ặ ẹ ỉ ẹ ỉ N ĨỚÐ Ð Đ Ø Đ C Ø [0, 1] Ú Ĩ [0, 1] Ú Ị Ị ØùỊ Ø× Ù Ị ½º Å u ∈ [0, 1]N ¸ C(u) = Ị Đ Ø Ø Ị Ø Ø Ø u Ị ẵ ỉệ ệ uk ề ắ iá VC ([a, b]) ≥ a Ú b ØƯĨỊ [0, 1]N × Ĩ Ĩ ≤ bi Ú Đ Ø u Ð Ú C(u) = uk Å Ø ĨỚÐ Ø Ò Ò Ò Ð Ñ Ø Ñ Ú Ò Ò ØùỊ Ø Ư ịỊ º ÌƯĨỊ ØƯ Ị Ơ Ư ũề ể ỉựề ỉ ắá ImC = I¸ Ú C Ị Ð Ơ Ị Ơ óÙ Ị óÙ óÙº Ỉ F1 , , FN Ð ĐƠ ỊƠ Đ Ø óÙ Ø ø C(F1 (x1 ), , Fn (xn ), , FN (xN )) Ð ĐƠ ỊƠ Ị óÙ óÙ Ú Ơ Ị Ơ ịỊ ÙÝịỊ F1 , , FN ¸ Úø un = Fn (xn ) Ð Đ Ø ơỊ Ị Ù Ị ịỊ Ú Ơ Ị Ơ óÙº À Đ ĨỚÐ Ð Đ Ø Ị Ø ù Ơ Ü Ý Ị Ơ ỊƠ ề ú ú ề é ẵẵ ì C é ẹ Ø N ¹ ĨỚÐ º Ã Ú Đ u Ú v ØƯĨỊ [0, 1]N N |C(v) − C(u)| ≤ ỊỊ Ơ C Ð Ð ịỊ Ø k=1 |vk − uk | óÙ ØƯịỊ [0, 1]N Ị Ð ½º½º º ề é ậ é ệ ẵ ểF é Đ Ø ĐƠ ỊƠ N¹ ịỊ ÙÝịỊ Ð ịỊ Ø F1 , , FN º à F Đ Ø õỊ ĨỚÐ F (x1 , , xn , , xN ) = C(F1 (x1 ), , Fn (xn ), , FN (xN )) Ø óÙ ễ ề í ề ỉ ẵắà ề ề é Ë Ð ƯÐ Ú Đ Ø Ú Ø Ị Ù ề ũề N úá ỉ ứ ễ ề ễ Ø Ù ơỊ Ị Ù Ị ịỊ ØƯĨỊ Ü Ị ĨỚÐ Ú Ø Ø Ư Ị Ư Ơ Ị Ơ ỊƠ ịỊ ÙÝịỊ ´ Ơ Ị Ị Ý Ơ Ú Ị Ù Ø ø ĨƠ ỊƠ ÙỊ N ¹ óÙµº Ĩ Ú Ý Ị Ð Ë Ð Ư Ư Ø Ð ÕÙ Ị ØƯ Ị ¸ Úø Ị ÙỊ Ơ Ơ Ị Øù Ù ØƯ Ơ Ø Ù Ơ ỊƠ Ị óÙ óÙ Đ Ị Ị ịỊ Ù Ơ Ị Ơ ịỊ ÙÝịỊº × F Ð ĐƠ ỊƠ Đ Ø óÙ¸ Ị Ø Ị Ị ú ĐỊ F Ð F −1 (t) = inf{x ∈ R|F (x) ≥ t} Ú t ∈ [0, 1]¸ ÕÙÝ inf ∅ = −∞ Ị Ð ½º½º º Ø F1 , , Fn Ú ØƯĨỊ [0, 1]n × H Ð ểễé C ẹễ ềễ nạ íC ỉ ẹ Ị óÙ Ú Ơ Ị Ơ ịỊ ÙÝịỊ Ð ịỊ ú ữề ẵắà ỉ u C(u1 , , un ) = H(F1−1 (u1 ), , Fn1 (un )) ẻự ẵẵẵ ề Ø Ü Ø ĐƠ ỊƠ ÙĐ Ð ÐĨ ×Ø óÙ F (x1 , x2 ) = (1+ e +e ) ¸ Ü Ị ØƯịỊ R º Ị Ø Ø ÝƯ Ị Ơ ỊƠ ịỊ ÙÝịỊ Ð F1 (x1 ) = R F (x1 , x2 )dx2 = (1+e−x1 )−1 Ú F2 (x2 ) = R F (x1 , x2 )dx1 = (1+e−x2 )−1 º À Đ ĨỚÐ Ø Ò Ò −x1 −x2 −1 C(u1 , u2 ) = F (F1−1 (u1), F2−1 (u2 )) = u1 u2 u1 + u2 u1 u2 ẵà èí ề ũềá Ị Ơ Ð Ị ĨØ Ị ÐÙ Ị õ Ị Ị Ị Ư Đ Ø ĨỚÐ º Ì Ú íá ề ú ỉể ề ỉ ựề ề ì Ị ĨƠ ỊƠ Ị óÙ óÙ Ị Ị Ĩ Đ ÐÙ Ị Đ Ø Ơ Ị Ơ Ø ù ễ ửẹ ỉ ẹ ỉì ữ ề ề é ũề ữ é ì ỉ ỉ ì ề ề ÌƯĨỊ Ị óÙ Ị Ị ¸Ơ ỊƠ Ị Ð Ơ ỊƠ Ù×× Ị óÙ óÙ Ĩ Đ Ø Ơ Ị ễ éể ề ỉựề ỉể ềá Ị Ý Ị Ị Ù×× Ø Ị Ị Ø ù Ơº ÌƯĨỊ ØƯ Ị Ơ Ị Ø Ị ĨỚÐ Ð Đ Ø Ị º Å øỊ ØĨ Ị Ø Ø Ị ¶ Ø Ị Ø Ị Ị Ø Ơ ềễ ũề íũề ẹ ệ ề é ìỉệ ỉ ểềà ¶ Ø Ë Ò Ò Ò Ò Ò ú Ø ù Ơ ĨỚÐ õỊ Ù ØƯ × Ơ Ø Ù ØƯĨỊ Ị Ø º ưĐỊ ưĐ Ị ݸ Ị Ø Ü Ø Úù Ø ØƯ Ị ØƯ Ĩ Đ ÐĨ ÄĨỊ ĨỊ ´ Ð ÷Ù Ð Ý ØƯịỊ ì ỉ ỉỉễ ằằẹ ể ẻự ẵẵắ ề ỉ ì ề é ữ ỉ ỉệ ểề ĨỊ Å Ø Ð Ü Ị µ Ú Ị Ø Ü Ø Ị Đ ´ е Ị ´ Ùµ Ị ề ặ ứ ẩ é ẵ àá ể ỉ ề ẵ ề ẹ ½ º Ị Ø Ø Ư Ø × ỊÐ ễ ềễ ìì èệểề ỉệ ề ễ ề íá ẹ ề ẵẵ é éạẵ ặ ẩ é ẵẳẳ éạẵ ẳ ắ ẵẳẳ ề ẵẵ ỉệ ề ỉ ứề ½º½ ĨÚ Ư Ị ÀøỊ ½º¾ Ơ ỊƠ Ơ Ị ỉ ẹ ỉ ứề ẵ ỉ ề èệểề ẳ ¼º¿ ½º¼¼ Ị ÕÙ Ị ρ Ị ØƯ Ĩ Đ ÐĨ ÄĨỊ ĨỊ ÷Ị Ị Ơ Đ Ơ Đ Ị ẹ ẵ ỉ ề ỉệ ề ễ ềễ é ì ỉ ỉệ ề ỉ ề ế ề ể ặ ẳ ¼º¿ ¼º¿ ½º¼¼ È ¼º¿¿ ¼º¿¼ ¼º¿½ ¼º¿½ ½º¼¼ Ð ÷Ù ÄÅ õỊ Ø Ị Ü Ð ×Ù ỉ é ỉ ề ề ể éé ễì Ú ØỊ Ý ±Ú ± Ú Ü ×Ù Ø Đ ẹ ỉ ứề ụ ì ũ éé ễì ú Ĩ Ð ×Ù Ø Ø × Ịº Ù×× Ị ÙỊ Ð Ị Ị Úø ơỊ Ø Ị ơĐ Ø ÝƠ ù Ị Ĩ Ị ĨÚ Ư Ị ÐÐ Ơ× ĨĐ ỉề í ứề ẵẵà é ẹ ỉ ẫẫ Ð Ø ÙÝ Đ Ø Ị Ý ØƯ Ị Đ ÷Đ × × ÐÐ Ơ× º óÙ ĨØ Ý Ø ụỉ ìì ề ề ễ ề ì ỉ ì ØỊ Ý × Ơ Ø Ù Ú Đ Ð ịỊ ìì ắạ úá ẻ ỉ ụỉ ĩ íệ ì ịÙ ± ØƯịỊ Đ ØỊ º ÷Ú ÝØ Ĩ ĨỚÐ í ỉ ỉệứề íẹ ỉ ỉ ì ể Ị Ð Đ Ø Ị × Ơ ÜơƠ Ø Ø Ơ Ơº ØùỊ Ø Ý ơỊ Ị Ị Ø Úó ĨỚÐ Ị Ú Ýº Å Ø ØƯĨỊ ề ề ỉựề ứề ẵẵ ỉ ụỉ ìì ứề ẵắ ỉ ụỉ ìì ỉ ụề ể ỉ ềé ¸ ÌƯ Ị Ơ óÙ ÌƯĨỊ ØƯ Ị Ơ óÙ¸ Ð Ø ÙÝ Ú ØùỊ Ø (3.25) ØƯ ỊịỊ Ị Ø Ú Ð ØƯ Ø ø õ óÙ ÷Ị ề ỉựề ỉể ề ứ ỉựề é ể ắà ề Ø C(u1, u2 ) = D(˜ u1 , u˜2) u˜1 u˜2 , u˜1 + u˜2 u˜1 + u˜2 ln u2 ln u1 , = exp ln(u1 u2 )B ln(u1 u2 ) ln(u1 u2 ) ln u1 = exp ln(u1 u2 )A ln(u1 u2 ) = exp − (˜ u1 + u2 )B ắ A(w) = B(w, w)¸ ØÙÝ Ị ịỊ A Ð Ð Ú A(0) = A(1) = Ú Ø Ð max(w, − w) ≤ A(w) ≤ Ị Ø Ü Ø ĨỚÐ ÙĐ Ð Ị Ị ú Ơ Ị ØƯ ¸ Ị Ø − ln D(˜ u) = 1 α α 21 α α α 21 α α α u1 + u˜2 ) = (w1 +w2 ) Ú A(w) = [w +(1−w) α ]º (˜ u1 + u˜2 ) ¸ B(w1 , w2 ) = u˜1 + u˜2 ) /(˜ ûƯ ỉệ ểễé ỉ ì ề ễ ỉ ể A(w) Ò Ò τ =4 I (1 − w)d ln A(w) = 12 I èệ ệ ẳà A(w) = 1á ( = ể ểễé ẹ éàá τ = = Ø Ò Ò A(w) = max(w, − w) Ị ơỊ ĨỚÐ ln u1 Ý C(u1 , u2 ) = exp ln(u1 u2 ) max ln(u = min(u1 , u2 )º , ln u2 u2 ) ln(u1 u2 ) ØƯ ƠƠ Ị dw − [A(w) + 1]2 Ø ØƯịỊ Ð Ơ¸ Ø Ù Ị ỉ í ẩ ề ỉệứề ắ ì ề ưĐ ØƯ Ð Ơ ØƯ º Ỵù −α −α ểễé ẹ é ểệ ậ ẹễìểề C(u1 , u2) = (u1 + u2 − 1) Ú α ≥ 0¸ 1−C (1−u)w ,(1−u)1−w lim u→0 lim u→0 = lim u u+0(u) u ì ỉ ề ụề ẵá ẹ ì ểễé ẹễ ỉ ề ẹ ỉ ỉệ ựề ề ì [1, ) [0, 1] exp − u ˜α1 + u ˜α2 u ˜1 u ˜2 u1 u2 exp α u˜1 +˜ u2 é ẹ ểì Ô ìé ệạấ ìì [0, ) [0, ∞) Å Ư× C+ [0, 1]2 α u1 u2 exp u ˜−α ˜−α +u exp[−˜ u1 ϑ(u1 , u2 ; α) − u ˜2 ϑ(u2 , u1 ; α)] 1−α2 u1−α u2 min(uα1 , uα2 ) min(u1 , u2 ) é é ééạầé Ị = Úó Đ óỊ C ØƯ C(u1 , u2 ) u1 u2 ÙÑ ÙÑ 1−(1+αu+0(u))− α u u→0 ⊥ = lim ĨỚÐ Ã Đ Ð ĨƯ ¹ Ë ẹễìểề ỉ C u u0 À Ø Đ × ĨỚÐ Ú 1− (1−u)−αw +(1−u)−α(1−w) −1 Ị Ø Ü Ø Ị Ø Ĩ Đ Ị óÙ ØƯ ĨỚÐ A(u) 1 α −1 wα + (1 − w)α αw2 − αw + 1 α −1 − w−α + (1 − w)−α α wξ(w; α) + (1 − w)ξ(1 − w; α) max(1 − α1 w, − α2 (1 − w)) max(w, − w) u1 ln w Ú ϑ(u1 , u2 ; α) = Φ α1 + 21 α ln ln Ú ξ(w, α) = Φ α1 + 21 α ln ln(1−w) º À Đ Ơ ln u2 Ø Ù Ø øỊ ¿º¾ Ị Ø Ư Ị ĨỚÐ ØùỊ Ø Ü Ị ¸Ú ơỊ Ị Ù Ị ịỊ Ð Øû Ĩ Đ Ị Ø Ò Ò Ú Ýº Ò Ø Ò Ø Ù Ø Ị Ü Ị º Đ Ơ Ø Ù Ú (p1 , p2 ) ∈ [0, 1]2 º Ì Ü Ị ĐƠ Ø Ù × A1 Ú A2 Ð p1 w + p1 w + p2 (1 − w) (1 − p1 )w ((1 − p1 )w + (1 − p2 )(1 − w))A2 (1 − p1 )w + (1 − p2 )(1 − w) A(w) = (p1 w + p2 (1 − w))A1 Ị p1 = p2 = p¸ Ị Ø Ø Ù A(w) = pA1 (w) + (1 − p)A2 (w)º ÌƯ ÀøỊ ¿º¾ À Đ Ơ Ị ݸ ĨỚÐ Ü Ị ĨỚÐ ¸ Ị Ø Ø Ù Ü Ị ºỴ Ø Ù ĐƠ Ø Ù Ị ơỊ ĨỚÐ Ø Ị Ị α Ị Ơ ´Ûµ A1 Ú A2 pα w α + pα2 (1 − w)α A(w) = (p1 w + p2 (1 − w)) (p1 w + p2 (1 − w)) + ((1 − p1 )w + (1 − p2 )(1 − w)) = p1 w + p2 (1 w) ẵà ÙÑ Ð Ú Øù α + (p2 − p1 )w + (1 p2 ) ắà ể C(u1 , u2) = exp − (pα1 u˜α1 + pα2 u˜α2 ) α − (1 − p1 )˜ u1 − (1 − p2 )˜ u2 = C G (up11 , up22 )C ⊥ (u1−p , u1−p ) ữ ỉ ỉ ỉ ề ế ỉ ỉ ểễé é ũề ụỉ ẵà C(u1 , u2 ) = C1 (up11 , up22 )C2 (u1−p , u1−p ) Ị Ị¸ ĨỚÐ ệì ééạầé ề é ỉ ễ ỉự ĨỚÐ Ú ĨỚÐ Ư Ø ØƯịỊ C(u1 , u2) = C ⊥ (u1−α , u1−α )C + (uα1 , uα2 ) Ò Ø Ø Ù ĐƠ Ø Ù ´¿º¿ µ Ð α2 (1 − w) α1 w , (α1 w + α2 (1 − w)) (α1 w + α2 (1 − w)) + ((1 − α1 )w + (1 − α2 )(1 − w)) = max(1 − α1 w, − α2 (1 − w)) ´¿º¿ µ A(w) = (α1 w + α2 (1 − w)) max Ị Ø Ư Ị Ị α Ø ơỊ ơỊ ∞ Ð Ý Ị Ø Ü Ø ØƯ Ị Ơ Ị óÙ óÙ¸ Ø Ø Ị ÕÙ Ø Ø Ị ịỊ Ú N ≥ Ü Ị Ú ĨỚÐ ÐĨ ×Ø Ị Ü Ị º Ø Ù ểễé ẹ éá ẹ ỉ C(u1 , , un , , uN ) = exp − (˜ uα1 + u˜αn + u˜αN ) α N α α À Đ Ơ Ø Ù Ø Ò Ò Ò Ð B(w) = º Ù Ø ịỊ Ø Ị ÕÙ Ø n=1 wn Ị ơỊ ĨỚÐ Ư Đ Ị¸ ØÙÝ Ị ịỊ Ị Ị Ð ịỊ ÕÙ Ị ø¸ Úø Đ Ư Ị N (N −1) Ơ Ị Ơ Ị óÙ óÙ Ị Ý Ð Ø Đ × Ịº È Ị Ð Ị Ị Ø Ø ịỊ ÙÝịỊ óÙº Ø Đ Ư Ị Đ Ø Ơ Ị Ơ Ơ Ơ¸ Ị Ị¸ α α2 α2 α21 α1 α1 C(u1 , u2, u3 ) = exp − (˜ u1 + u˜2 ) + u˜3 Ð Đ Ø ØƯ ĨỚÐ Ị α2 > α1 ≥ 1º α1 À Đ Ơ Ø Ù B(w) = (w1α2 + w2α2 ) α2 + w3α1 ÷Ị ØƯĨỊ Ø Ị ế ỉ ỉ ắắ ễ ề ễ ễ È Ơ Ü Ơ Üû Ý exp ln(u1u2 )A Ĩ ln u1 ln(u1 u2 ) A(w) = exp w ỉ F(z)z 1z èí ề ũềá ỉ ẹì Ị Ý Ø Ð Ị Ị Ø Đ× Z = ØĐ ØƠ ỊƠ Ơ ỊƠ Ị Ø α1 Ø Ñ Ò F(z) = z + (1 − z)A−1 (z)∂z A(z)¸ U1 Ú U2 Ü Ị ØƯ ĨỚÐ C (u1 , u2 ) = ln U1 ln U1 +ln U2 Úø A(0) = A(1) = 1¸ Ị ØƯ Ø Ị A(w) = exp w dz º Ò Ø Ò Ø Ù ˆ ØƯĨỊ Ð Ø ÙÝ Ơ A(w) Ơ ề ễ ỉ ề ữẹ F ắ àá ĩ ỉ Ð Ị ØƯịỊ × Đ Ù + + Ị ØƯịỊ Đ Ù ơỊ (X1 , X2 ) Ð Ị Ơ ơỊ Ị Ị Ø F(z)−z 1−z dz Đ× Fº Ë ề ữ ề (X1 , X2 )á ẩ Ơ Ü Ơ Üû Ø Đ × Ơ ÌƯĨỊ Ị Ơ Ị ØĨ Ị Ơ ÅÄ Ø Ĩ Ø Ị ửẹá ễ ề ễ ề G ề + + + + + G(χ+ , , χn , , χN ) = C G1 (χ1 ), , Gn (χn ), , GN (χN ) Ý C Ð Đ Ø ĨỚÐ ØƯ Ú Gn Ð G(x) = exp ẻễ ềễ GEV(à, , ) ĩ ề x−µ − 1+ξ σ ´¿º¿ µ Ü Ị ØƯịỊ ∆ = {x : + ξ( x−µ )}º Ơ Ị Ơ Đ Ø óÙ Ị Ø Đ σ × Ð Ø Ơ ØƯ ØƯ Ø Ị ÕÙ Ø Ú Ò Ø Ø Ò Ò ξ = α−1 > 0¸ −1 ξ = −α < Ú ξ −→ Ĩ Ơ Ị Ơ Ð ịỊ ÕÙ Ị Ư ظ Ï ÙÐи ÙĐ Ðº È Ị Ơ ƠÁ Å Ĩ ÅÄ Ø × Ị Ð Ị Ø Đ × ắ ệ ỉ ềỉ ề ỉựề ỉể ề èệểề ỉệ ề ễ ề íá ễ é éể ịỊ ÙÝịỊ Đ Ø óÙ Ð l(χ+ n ; θ) = − ln σ − Å Ø τ 1+ξ χ+ − µ ln + ξ n ξ σ ưĐ Ư Ø ÕÙ Ị ØƯ Ị Ð ịỊ ÕÙ Ị ụề ề ể ì ễ ỉ ỉ ữẹ Ị Ðк ¸ È Ơ Ü Ơ Üû ÕÙ ØỊ ØƯ Ị Ù − 1+ξ Ị Ù ØƯịỊ Ĩ χ+ n ì ỉ é ¼µ Ị ĨỚÐ º Ì Ø Ù Ị Ø ù ĨỊ ưĐ Ì Ý Úø × Ị Ø Ĩ Ø Ị ưи Ơ Ơ Ü Ơ Üû Ø Ĩ Ø ề ửẹ ề ề ỉ é ữ ỉ ề ì Ø Ð Ịº ÉÙ ØỊ ưĐ Ị Ð Đ Ø ỉ ề ũề ỉ ữề é ề ì {(X1,t , , Xn,t , , XN,t ), t = 1, , T } Ð Đ Ø Đ Ù Ø Ư Ø Yn,t ơỊ Xn,t Ú Yt Ø Ị ưĐ Ì Ú Ơ Ị Ơ ịỊ ÙÝịỊ Fn ¸ ơỊ N Ò Ú Ø (Yn,t )1 º Ò Ø Ü Ø ÕÙ ØỊ ưĐ Nt = (Y1 , , YT ) ØƯịỊ RN Đ Ø +º Ú Ø ụỉá NT ỉ ỉ ẹ ỉ ế ỉệứề ẩể ììểề Ø Ù Ị Ị Ø N Ú Ĩ Λ¸ Đ Ø Đ Ị ØùỊ Ø Ø Ù Ị Ị Ø Λ([0, y]c) = tΛ([0, ty]c) Ú [0, y]c = RN Ò + \[0, y]º Ø Ò P { T Yt ∈ / [0, y]c} −→ exp(−Λ([0, y]c ))º À Đ ÐĨ ¹ Ơ Ð Ð T l(θ) = −Λ([0, y]c) + Ú t=1 T yt ∈[0,y]c λ yt T ẵà ẹ é ũề ụỉ Ò Ü Ò λ(y) = (−1)N ∂yN(1) , ,y(N) Λ([0, y]c) Ú y = Ð ÷Ù ÕÙ ØỊ Yt º (y(1) , , y(N ) )¸ Ú yt , t = 1, , T Ð Đ Ø Đ Ù ÕÙ Ị × Ø Ị Ø Ù ØƯịỊ Xn Ð È Ư ØĨ GP(σn , n )á ụề é ữ ệ ỉ ỉ ề  −1 t− Ị xn,t ≤ xn n (xn,t ) = − ln(Fn (xn,t )) −1 yn,t = −ξ xn,t −xn t+ Ị xn,t > xn n (xn,t ) = − ln − (1 − Fn (xn )) + ξn σn + Ì ØÚ Ý Đ ÐĨ ¹ Ơ Ð ØƯ Ø Ị T l(θ) = −Λ([0, y]c ) + Ú T t=1 yt λ [0,y]c yt t T ắà c [0, y]c = ([0, t− (x1 )] × × [0, tN (xN )] ) Ú T ςt = N 1 (1 − Fn (xn,t ))−ξn yn,t − exp − σ yn,t n=1 n ỊΛ ưÐ ĐØ Ä Ị Đ ØÐ Ơ Λ([0, y]c ) = − ln C exp − ¿º¾º¿ Ị Ị Ø Ø −χ− ¸ Ð Ị Ơ Ị Ø ỉ ềễ ẹì ỉệ 1+n è ề ềễ ẹ ỉ é ẳẳắắ ẳẳẳ ẳ ẻ é ể ề ỉ éạẵ ẳẳẵ ẳẳẳ 0.275( ỉệểề ề ẹà ẵẳẳ ề ề è ễ ẹì é ữ ẵẳ ắ ẳ èệểề ỉệ ểễé ẹì ì ẳẳắ ẳẳẵ 0.095( ) ) ỉ ặ ẳẳẵ ẳẳẵắ ẳ ) éạẵ ắ ẳ ạẵẳ ẵẵ ụề ỉ ũề ề ỉ ỉ + é ẳẳắ ẳẳẵẳ 0.188( é ¹ º ¹ º ¹½½º ¹½½º ½ ¹½ º½ ¹½ ắ éạẵ ẳẳẵ ẳẳẳ 0.239( ẳ é ề ề ỉệ ề ặ ạẵẵẳẵ ạẵ ắ ạắẳẳắ ạắ ạắ ạắ ẩ ạẵắắ ạẵ ạắ ạắẳ ắ ể ỉệự ụỉ ế ì ẳẳắ ẳẳẵẵ 0.142( ) ẳ ạẵẵắ ạẵắ ạẵ ẳ ạẵ ề ) ặ ẳẳ ẳẳẵ 0.026( ẩ ẳẳ ẳẳẵắ ẳ ắ ỉ ề ề é ỉệểề ứề ì ề ỉệ Ị ØỊ ưĐ ØƯ Ị ÜÙ Ø Đ Ø óÙ Ị Ð Ị Ð ĨĐ Ø Ù Ù Ø Ị ệ ì ẵ ề ỉệểề ỉ yn,t exp 1 , , exp − , , exp − y(1) y(n) y(N ) ề è ẩ ) ẩ ẳẳắ ¼º¼½½ ¼º ¼ Ø ưÜ Ý ƠÜ Ù Ì Ị ỉệểề ề ẹà ẵẳ ắ ẳ ẵẳẳ ề é ẵẳ ẵắắ ẵ ắ ẵ éạẵ ẵẳ ắẳ ẵẵẵắ ẵắ ẵ ụề ỉ ũề ắ ẵẳ ẵắ ẵ ẵ ẵắ ể ỉệự ề ặ ẵẵẵẳ ½¾º¾ ½¾º ½¿º Ị Ị Ø Ü Ø ØƯ Ị Ơ óÙ¸ Ị Đ Ơ Ø Ù ÙĐ Ðº Ë Ị Ơ Ị Ơ Ơ Á Ÿ ØƯ Ð Ị Ø Đ× Ã Ị ÐÐ Ü Ị Ị ¿º º À Ị Ị Ị Ø Ĩ Ị Ø Ð ỉự ểễé ẻ ẹ ỉ ề í é ì ễ ỉ ểễé éá àá éáẩ àá éạẵ éạẵ áẩ àá áặ àá áẩ ặ áẩ ỉ ửá ì ễ ể éá éạẵ àá éáặ àá éáẩ àá éạẵ áặ ặ áẩ µº ÀøỊ ¿º¿ Å Ø GEV ½ Ĩ Ø ẩ ẵẵẵ ẵ ắẵẳ ắ ắ ¿ Ĩ ĨỚÐ αÚ Ø Ị Ị τ Ĩ Ø éữ ễ é ề ỉ ề àá éạẵ áặ àá ỉ ề ứề ỉ ụỉ ế M L é éạẵ ặ éạẵ ắ ẵẵ ẵẳ ắ ặ ẵ ắ ẵ ẵắẵắ ẩ ẵ ắ ẵẵ ẵ ẵẳẳ ẵ ẳẳ éạẵ ẳ é éạẵ ặ éạẵ ẳẵ ắẵ ẵẳ ẵẳ ẳ ặ ẩ ẵắ ẵ ẵẵẵ ẵẵ ẵẳ ẵẵẳ ½º½½ ½º½ Ị Ø ÕÙ Ị × Ø ØƯ ÜÙ Ø ÷Ị Ị óÙ Ị º ÉÙ Ị ÕÙ Ị Ị Ø ØƯ Ị ÙÐÐ Ĩ − Ĩ (−χ− , ) ấ é éạẵ ặ ẳẵ ẳẳ ụỉ ế M L é éạẵ ặ GEV éạẵ ắẳ ặ ẳẵ ẳắ ẳẵ ẳẳ ẵẳẵẵ ặ ẵ ẵẳ ẳ ắ ẳ ẩ ẵ ẵ ắ ẳẳẳắ ẵ ẩ ẳắ ẳẵ ¼ ¼º¼¼ ¼º¿¿¿ + Ó (χ+ , χ2 ) ấ é éạẵ ặ éạẵ ề ễ é ễ ửẹ ú ề ỉụá ễ ắ ẳ ẳẵ ẳ ặ ẵẳ ẵắ ẳ ề ễ ễỉ ẩ ẵ ẳẵ ẵ ắ ẵắ ỉ ửá ỉệ ề ỉ ệ é éạẵ ặ éạẵ ẳ ặ ẳẳ ẵ ẳắắ ẳẳ ẳẵ ẳẳ Ị ¿º ÌƯ Ị Ơ óÙ Ø ưÐ Ð Ị ề ề ẹ ỉ ẩ ẳẵẳ ẳẳắ ẳẵẳ ẳẵ ắ ú ữề ỉự ề áỉ ĩ ì ỉ ì é + + + + + P {χ+ > χ1 , χ2 > χ2 } = − P {χ1 ≤ χ1 } − P {χ2 ≤ χ2 } + P {χ1 ≤ χ1 , χ2 ≤ χ2 } = − F1 (χ1 ) − F2 (χ2 ) + C(F1 (χ1 ), F2 (χ2 )) = C(F1 (χ1 ), F2 (χ2 )) Ú C Ð Đ× Ị × Ø ề ỉ ì té ỉ ề ữề ỉự Ò Ü Ò {(χ1 , χ2 ) ∈ R |u1 = F1 (χ1 ), u2 = F2 (χ2 ), C(F1 (χ1 ), F2 (χ2 )) < t } Ị Ø õỊ øỊ ¿º Ú øỊ ¿º ¸ ữề ỉự ề éá éạẵ éá é ỉệ ề ễ ú ể ề ẹ Ù Ø Ị Ị ØƯĨỊ Ð ×Ù Ø Ø × Ịº Ị Ø Ø Ý øỊ Ĩ ÕÙ Ị Ù Úø ØƯ Ø Đ × αº Ư Ị Ơ Ị Ơ Ơ ÐÙ Ị Ø Ĩ Đ Ị Đ ÙØ Ị Ù¸ Ị Ị Ị Đ Ị Ị Ĩ Ð ×Ù Ø Ø Ị Ø Ú Ị Đ Ĩ Ð ×Ù Ø Ø º Ị ØùỊ ØĨ Ị ÷Ị Øù Ị Ĩ Ị Ơ ỊØ ¸ Ị Ø ỉ ứề ể ễ éá éạẵ àá Ò Ù Ð ×Ù Ø Ø × Ò Ð Ò ẹá ữề ỉự ề ìể ì ề ỉệ ề ễ é ễ ứề ữề ỉự ề éá éạẵ µ ¿ ÀøỊ ¿º ÀøỊ ¿º Ị Ø ÙĐ Ð ề ễ ĩ ề ỉ ự ễá ữề ỉự ữề ỉự ề ề éá ễ éá éạẵ µ Ú Ø Ị Ị Đ Ư Ị ØƯĨỊ Đ øỊ ØƯ ØƯ Ị óÙ óÙ¸ Ù Ø ịỊ¸ ĨỚÐ Ð × Ð ĨỊ Ø Ø Ị غ ÜÙ Ø ÷Ị ĨỚÐ Ị Ị Ị ĨỚÐ Ị Ü Ị ÐĨ ×Ø Ø Ø Ị Ĩ Ơ Ø ´ и éạẵ ứề ệ ề ứề ¿º Ị ÅÄ Ơ Ð Ð Ị Ơ øỊ óÙ ĨỚÐ Ị óÙ ĨỚÐ ÐĨ ×Ø óÙ Ð Ø Ị ÕÙ Ø Ú ÷ Ị Ü Ị Ĩ Ị ÅÄ Ð α ˆ = 1.049 Ú α ˆ = 3.043 Ú º ÌÙÝ Ị ịỊ¸ ĨỚÐ Ị Ý Ĩ Đ Ơ exp − (˜ uα2 + u4 ) ẩ ã ỉ éá éạẵ ễá ề ể ẹẹ ØÚ Ị ØƯịỊ Ù ØƯ Ơ Ø Ù º Ị Ø Ü ØĐ Ơ ¸ Úø Ú ÕÙ óÙ Ị Ø Ị ĨỚÐ Ị óÙ α α2 α2 α21 α1 α1 N u1 + u˜2 ) + u˜4 Ò C (u1 , u2 , u3, u4 , u5 ) = exp − (˜ − u˜3 − u˜5 º ưĐ Ị Ø ÄÊ ỊƠ ịỊ ÙÝịỊ éạẵ áặ é C N (u1 , 1, 1, u4, 1) = exp − (˜ uα1 + u˜α4 ) α1 Ị Ơ Ơ Ð óÙ Ị Ý Ĩ Ø Ĩ ØƯ Ì Ị × Ị Ơ Ù ØƯ Ø Ị Ơ Ø ơƠ Ơ Ø Ù Ị Ơ ÕÙ Ị Ú Ơ ÐÙ Ị ỉựề ỉể ề ệ ỉự ú ểễé é éáặ µ Ú C N (1, u2, 1, u4 , 1) = éáặ éạẵ áặ ễ Ơ ÐÙ Ị ØùỊ ƯĨ Ü ĨỚÐ Ơ ØĨ Ị ệ ề ỉệểề ề ệể ữề ì ì Ð ơỊ Ị Ù Ị ịỊ Đ Ø Ø Ị Ø Øº Ò Ø Ò Ò Ò ú ζ k (t) Ð ÕÙ ØỊ Ị Ù Ị ịỊ ζ Ĩ Đ ØùỊ ØĨ Ị Ư ƯĨ k (k = 1, K) ã ệ ệểá ề ũề Nk (t) Ị Ø Ø × ơỊ Ø Ø ỊtÐ Đ Ø ơỊ Ị Ù • ÉÙ ØỊ Ø Ò Ø Ø (t) Ò Ò ú Ò × Ù K k (t) = (t) k=1 K Nk (t) ζjk (t) = k=1 j=1 ã ẻ ÒØ ùÒ Ú Ñ ØÒ ÝαØ Ò Ü Ò Ò × Ù EC = F−1 (α) Ỉ Ơ Ú Ị ó Ị Ị Ơ Ơ ÐÙ Ị Ð Ị Ị¸ Ø ø Ị óÙ Ú Ị ó × Ị Ý × Ị ØƯĨỊ Ø Ø õỊº Å Ø Ị ØùỊ ØĨ Ị Ư ƯĨ Ø Ị ÕÙ Ị Ø Ị× Ư ƯĨ Ð Ù E[Nk1 (t)Nk2 (t)] = E[Nk1 (t)] ì E[Nk2 (t)] Nk (t) é ỉ ÙỊ Ø ơỊ Ị Ù Ị ịỊ ÈĨ ××ĨỊ P Ú ØƯ ØỨỊ øỊ λk º Ø Ị Ị Ð Đ Ư Ị Ơ ỊƠ ÈĨ ××ĨỊ Ị óÙ ú ể ềìểềá ểỉị é ệì ề ề ẵ µº × N11 , N12 Ú N22 Ð ơỊ Ị Ù Ị ịỊ ÈĨ ××ĨỊ Ð ƠÚ ØƯ ØỨỊ øỊ λ11 , λ12 Ú λ22 º ÌƯĨỊ ØƯ Ị Ơ óÙ¸ Ơ Ị Ơ Ị Ø ØƯịỊ ơỊ N1 = N11 + N12 Ú N2 = N22 + N12 º Ò Ø N1 ∼ P(λ1 = λ11 + λ12 ) Ú N2 ∼ P(λ2 = λ22 + λ12 )º ÌÙÝ Ị ịỊ Ü ×Ù Ø Ị Ø × Ð min(n1 ,n2 ) P (N1 = n1 , N2 = n2 ) = n=0 Ì Ị ÕÙ Ị È Ư×ĨỊ Ø Ò λn111 −n λn122 −n λn12 e−(λ11 +λ22 +λ12 ) (n1 − n)!(n2 − n)!n! ´¿º µ N1 Ú N2 Ð ρ = λ12 [(λ11 + λ12 )(λ22 + λ12 )]− Ú Ị ØƯ ρ = 0, λ11 + λ12 , λ22 + λ12 λ22 + 12 11 + 12 ẻ ỉệ Ị Ý Ị Ø û Đ ØƠ Ø Ù Ị º ÌƯĨỊ Ĩ Ø Ị Ư ƯĨ¸ Ị Ø Ị Ị Ú Ư ƯĨ Ð Đ Ị Ị Ø ØƯ ề ữ ỉ ề ệ ệểèí ề ũềá ễ ù Ø Ị Ư ƯĨ ØƯĨỊ Ị Ị Ị ùØ Ị Ị ÷Đ ØƯĨỊ Ơ Ơ Ü Ơ Üû Ị Ý Ú Ø Ị Ø Ị Ị ØÐ Ị ÷Đ Ø Ị ÕÙ Ịº Ë Ị Ơ Ơ Ü Ơ ĩỷ ề íá ỉ ỉ ửé ẹề ể ữỉ ỉệ º ÌƯĨỊ ØƯ Ị Ơ Ị ݸ Ị Ø λ12 = ρ λ1 λ2 λ11 = λ1 − ρ λ22 = λ2 − ρ ÌƯĨỊ ØƯ Ị Ơ K ¹ óÙ¸ Ü Ø K ơỊ Ị Ù Ị ịỊ λ1 2 ẳà ẹ ỉ ì ỉ ề ế ỉ ỉệ ề ễ ắạ ú ề é ễễ ề ễ ẩể ììểề èí ề ũềá ỉ ề Ị Ú Ơ Ơ ỊƠ ÈĨ ××ĨỊ Ị óÙ óÙ Ø ø Ị õ Ị ØùỊ ØĨ Ị Úø ÷ × Ø Ø Ơº ƠỊ Ý Đ Å Ø Ị Ị Ð Ị Ø × Ị Đ Ø ĨỚÐ C ¸ ØƯ Ị Ü ×Ù Ø Ĩ Đ Ø Ê ểềạặ ể íẹ ẹễ ềễ P {N1 = n1 , , Nk = nk , , NK = nK } = i1 =1 ··· n1 (−1) i1 +···+iK C n=0 iK =1 Ò ÕÙ Ò Ð Ò n K −λ1 K K n+1i e n+1i e K ẵà , , n! n! n=0 Ị Ð Đ Ø ĨỚÐ ììá ề ỉ ễ ềễ P(, ) ẩể ììểề ề óÙ óÙ Ø Ĩ Ø Ị ĨỚÐ Ù×× Ú Ø Đ × ρ Ú Ơ Ị Ơ ÈĨ ××ĨỊ Đ Ø óÙ P(λk )º Ị Ø Ư Ị Ø Đ× ĨỚÐ Ù×× ρ Ị Ị Đ ØƯ Ị Ø Ị ế ề ẩ ệìểềá ề ề ề ề ề ệ ỉ ựề ứề ẻ ề ề ỉụ Ú Đ Ø Ị Ý α Ĩ Ĩ Ø Ị Ư ƯĨ Ø ØùỊ ØĨ Ị Ø N = {N1 , , Nk , , NK } ØƯĨỊ Ơ ỊƠ ÈĨ ××ĨỊ Ị óÙ óÙ P(λ, ρ)º À Ị Ị ¸ Ị ØùỊ ØĨ Ị Ị ¸ Úø Ð Ị Ø Đ × λ Ú ρ Ð Ị Ơ Ø Ơ Ú Ô Ò Ô õ Ò Ø Ù Ú Ô Ò ễ ễ ểềỉ ệéể ứề ữ ỉ ỉ ẹì ĨỚÐ Ú Ø Ị ÕÙ Ị È Ư×ĨỊ ÃèÌ ÄÍ Ỉ ÌƯĨỊ ÐÙ Ị Ú Ị Ị Ý Đ ØỊ í ề ề ề ữẹá ề ề ỳ ề Ð Úó ĨỚÐ Ú Đ Ø Ú ÕÙ ùỊ Úó Ị Ị ĨỚÐ ØƯĨỊ Ø ùỊ º ĨỚÐ Ø Ø Ư Ð Đ øỊ Ơ Ø Ù Ù ØƯ º ĨỚÐ Ð Ð Đ Ø Ị Ư Ø Đ ề ỉệểề ỉ ựề ữỉ ỉệểề ẹ ứề é ×Ù Ø Ú ÕÙ Ị Ð Ư ƯĨº Ỉ Ị Ị Ơ ùỊ ÐÙ Ị Ú Ị Ĩ Đ ½º ặ ề ụề ỉ ề ú ĩ ì ỉá ỉ Ị ị Ú ĨỚÐ ¾º ÐÙ Ị ùỊ Ø Ị ị Úó ĨỚÐ º ¿º Ị Ị ØƯĨỊ Ø ùỊ Úó Ơ Ơ Ĩ Ð Ị Ư ƯĨ ÌÙÝ Ị ịỊ Ĩ Ø Ị Ị Ị óÙ¸ ỊịỊ ÐÙ Ị Ú Ị Ị Ị Ị Ø × Ø Ú Ị ơº Đ Ư Ø ĐĨỊ Ị Ị × ề ễá ễ ề ữề ế ỉ í ề ÐÙ Ị Ú Ị Ĩ Ị Ø ÷Ị Ø Ø ề è é ữ ỉ ẹ ẵ ỉ ắ ể ệ ẹể ỉịá ậỉ ề ểềá ể ệ ẵ ề ìểềá ấ ềềểề ìỉ ề ệì ỉí ẩệ ììá ầĩ ểệ ẵ ề ìỉá ẹ ệ º Ú Âº Å ÝÌ ¸ Đ Ư Ị ËØ Ø ×Ø ĨĨ Ĩ Đ Ø ĨỊ ĨÝ Ĩ Å ỉ ề ề ểễé ì ệ ềá ẳá ắ ẳạắ ẵ ề éì ẹ ỉ é ề ỉ ểềá ề ềỉ ệ ề ề ểềểẹ ỉệ ỉ ìỉệ ỉ ểềì ỉ ì ầĩ ểệ ề ểệẹ ềịá ệ ỉị ặẹ ệ é ĨĐỚØ Ø ĨỊ Ĩ ĐÙÐØ Ú Ư Ø Ø¹ƠƯĨ Ð ỉ ìá ễ ệỉ ẹ ềỉ ể ỉ ẹ ỉ ìá ẽ ì ề ỉểề ậỉ ỉ ề ệì ỉíá ẽểệ ề ẩ ễ ệ ẵ ẵ ể éỉ ề ễễé ểệ ềì ềá ẵ ểệ ềì ềá ậỉ ỉ ìỉ ì ệ ẩệể ỉ ể è ỉ éì ề ểề ễỉìá ÅĨỊĨ Ư Ơ × ĨỊ ËØ Ø ×Ø ĨƯÝ Ĩ ×Ơ Ư× ĨỊ ĐĨ ¸ Ð× ƠĐ Ị Ị º Ư × × ĨÛ × Ư ĨÙ× Û × Ø ệ ỉ ểìì ỉỉ ẩ éé Ư ØÞ Ú Âº Ê ĨÙÜ Ơ Ị Ị ĐĨ é ề ệì ỉ éá õ ểé ỉ ệ ỉá ấ ễễểệỉ è ẵẳ ặ éì ềá ấ ẻ ệé ặ ề ềỉệể ỉ ểề ỉể ểệ ẵ ểễé ểề ỉ ểề ỉệ ì ặểỉ ì ề ậỉ ỉ ìỉ ệ Ơ Ừ Ø ĨỊ ËØ Ø ×Ø ÕÙ Ư Đ ỉệ ề éề ệì ỉ ẹ ẵ ìệ × Ĩ Ơ Ị Ừ Đ ỊØ Ĩ º ĨĐĐ ệ é ề ỉ ề ề ế ìá ẵ ẵẵ ậ ỉị ệá ẽểé ÇỊ ỊĨỊƠ Ú Ư Ð × ỊỊ Ð× Ĩ ËØ ỉ ìỉ ìá ẵắ ậ é ệá éềìỉ ỉỉ ééá ểề ểề ậ ệ ỉị ề éỉ ệ ỉ ìễ ệì ểề ẹể éìá ễ ề ẹể ệ ễ íá ầ ềì ề ệì ỉíá ấ ì ệ ấ ễểệỉ ẵ é ề ẩ é ẩ ệ ìá ắắ ạắẵ ẵ ỉ é ệì ẹ ệ ì ạẳẵ ậễệ ề ệ ểệ ệ ểẹ ẵ ẹ ềì ểề ì é ệ ì ẵ ễ ề ễẹ ềề ề ééá ểề ểề ẵ ệ ìá è ẵ ề ề ệ ề ẽểệ ề ẩ ễ ệ ẵ ệ ề á é ỉí ỉ ểềì ẵ ậểề ẩ éỉ Ư Ø ×Ơ Ư× ĨỊ ĐĨ Ð× ỊƯ Ø Ị Ị Ë Ị ¹Ị Ú Ị ÂĨÙƯỊ Ð Ĩ ËØ ỉ ìỉ ì Ôệ ẵ ẽ ề ậậ Ư Ø ĨỊ Ĩ ĨƯƯ Ð Ø Ư × ƠĨỪ ểé ểẹẹ ỉỉ ểề è ểệí ể ấ ì ễệ ễệ ềỉ ẵ ẳ ệểẹ ìì ề ắẳẳẳ ểì ẹể éì ề ểễé ểệỉ ểẹạ é ểệ Ø Đ× Ë

Ngày đăng: 16/04/2021, 12:15

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w