Các quá trình levy là 1 trong những lớp của quá trình ngẫu nhiên có bước nhảy ngẫu nhiên gián đoạn xuất hiện tại các thời điểm ngẫu nhiên ... Quá trình Levy và ứng dụng trong tài chính: mô hình hóa lãi suất; định giá quyền chọn và rất nhiều ứng dụng khác trong tài chính ...
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HUỲNH NGỌC TRÂM ANH Q TRÌNH LÉVY VÀ ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH Chun ngành : XÁC SUẤT - THỐNG KÊ Mã số : 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC người hướng dẫn khoa học GS.TSKH Nguyễn Văn Thu TP.Hồ Chí Minh - 2009 Lời cảm ơn Con xin cảm ơn ba mẹ động viên, ủng hộ tinh thần vật chất suốt trình làm luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn em, GS.TSKH Nguyễn Văn Thu Thầy tận tình hướng dẫn, động viên giúp đỡ em hoàn thành luận văn Em xin cảm ơn PGS.TS Nguyễn Bác Văn, TS Tô Anh Dũng, TS Dương Tơn Đảm Các thầy nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ kiến thức giúp đỡ em suốt q trình học tập làm luận văn Tơi xin cảm ơn Th.S Nguyễn Hữu Thái bạn Hoàng Văn Hà hỗ trợ, giúp đỡ tài liệu cài đặt sử dụng phần mềm MikTex trình soạn thảo luận văn Tôi xin cảm ơn bạn khóa Cao học 16 nhiệt tình giúp đỡ tơi Tơi mong nhận góp ý, dẫn quý thầy cô bạn để luận văn hồn thiện TP.Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2009 Học viên Huỳnh Ngọc Trâm Anh Mục lục Lời cảm ơn Mục lục Các ký hiệu Lời nói đầu I Lý thuyết 11 Giới thiệu 12 Quá trình Lévy 1.1 Độ đo xác suất 1.1.1 Không gian đo không gian xác suất 1.1.2 Biến ngẫu nhiên kỳ vọng 1.1.3 Kỳ vọng có điều kiện 1.1.4 Tính độc lập tích độ đo 1.1.5 Sự hội tụ biến ngẫu nhiên 1.1.6 Các trình biến phân hữu hạn 1.1.7 Hàm đặc trưng 1.1.8 Quá trình ngẫu nhiên 1.1.9 Trường ngẫu nhiên 1.2 Phân phối khả phân vô hạn 1.2.1 Tích chập độ đo 1.2.2 Định nghĩa khả phân vô hạn 1.2.3 Các ví dụ khả phân vô hạn 1.2.4 Công thức Lévy-Khintchine 1.2.5 Sự chuyển hướng: Lý thuyết số tương đối 1.3 Quá trình Lévy 1.3.1 Các trình phụ thuộc 1.3.2 Các ví dụ trình Lévy 1.3.3 Nửa nhóm tích chập độ đo xác suất 1.3.4 Q trình Lévy tắc 1.3.5 Bản trình Lévy 15 15 15 17 19 21 22 24 25 27 28 29 29 31 32 34 36 38 41 44 57 59 60 1.3.6 1.3.7 Sự phân tích Wiener-Hopf Thời điểm địa phương Martingale, thời điểm dừng độ đo ngẫu nhiên 2.1 Martingale 2.1.1 Bộ lọc q trình thích nghi với lọc 2.1.2 Martingale trình Lévy 2.1.3 Không gian martingale 2.2 Thời điểm dừng 2.2.1 Khai triển Doob-Meyer 2.2.2 Thời điểm dừng trình Lévy 2.3 Bước nhảy trình Lévy-Độ đo ngẫu nhiên Poisson 2.3.1 Độ đo ngẫu nhiên 2.3.2 Tích phân Poisson 2.4 Khai triển Lévy-Itô 2.5 Cấu trúc đan xen 2.5.1 Các trường hợp giới hạn 2.5.2 Sự đan xen 2.6 Nửa martingale II Ứng dụng tài 61 61 63 63 63 64 67 68 69 69 72 74 75 78 88 88 89 91 93 Giới thiệu mô hình thị trường Lévy 94 3.1 Các tài sản tài 94 3.2 Chứng khoán phái sinh (Derivative Securities) 95 3.2.1 Các quyền chọn 95 3.3 Độ chênh thị giá (Arbitrage) 96 3.3.1 Cặp đôi quyền chọn mua-quyền chọn bán (The Put-Call parity) 96 3.4 Ước lượng tham số 97 3.5 Mơ hình thị trường Lévy 98 3.5.1 Độ đo martingale tương đương 99 3.5.2 Mơ hình số S&P 500 với q trình Lévy 101 Sự vận dụng mơ hình ngược 4.1 Định giá quyền chọn trung hòa rủi ro (Risk-neutral option pricing) 4.2 Công thức định giá quyền chọn Châu Âu thông thường 4.2.1 Công thức Black-Schole 4.2.2 Sử dụng phép biến đổi Fourier nhanh (FFT) để định giá quyền chọn 4.3 Sự vận dụng mơ hình 4.4 Các kết vận dụng 4.4.1 Sự lựa chọn liệu 4.4.2 Kết vận dụng mơ hình 102 102 103 103 104 106 107 107 108 Kỹ thuật mô 5.1 Sự mơ q trình ngẫu nhiên 5.1.1 Sự mô chuyển động Brown tiêu chuẩn 5.1.2 Sự mô trình Poisson 5.2 Sự mơ q trình Lévy 5.2.1 Phép xấp xỉ Poisson phức hợp 5.3 Sự mô trình đặc biệt 5.3.1 Quá trình Gamma 5.3.2 Quá trình VG 5.3.3 Quá trình TS 5.3.4 Quá trình IG 5.3.5 Quá trình NIG 112 112 112 112 113 113 115 115 116 117 118 119 Định giá quyền chọn ngoại lai 6.1 Quyền chọn với rào cản quyền chọn nhìn lại (Barrier and Lookback options) 6.1.1 Giới thiệu 6.1.2 Giá quyền chọn với rào cản Black-Scholes giá quyền chọn nhìn lại 6.1.3 Quyền chọn nhìn lại quyền chọn với rào cản thị trường Lévy 6.2 Các quyền chọn ngoại lai khác 6.2.1 Quyền chọn mua bán vô thời hạn kiểu Mỹ 6.2.2 Quyền chọn vô thời hạn kiểu Nga 6.2.3 Quyền chọn Touch-and-Out 6.3 Định giá quyền chọn ngoại lai kỹ thuật mô Monte Carlo 6.3.1 Giới thiệu 6.3.2 Định giá Monte Carlo sử dụng trình Lévy 6.4 Kết 122 Kết luận 132 A S&P 500 giá quyền chọn mua 133 122 122 124 126 128 128 129 129 129 129 130 131 B Hàm Bessel 134 B.1 Hàm Bessel 134 B.2 Hàm Bessel cải tiến 135 C Quá trình Lévy C.1 Hàm đặc trưng C.1.1 Phân phối số tự nhiên C.1.2 Phân phối nửa đường thẳng dương C.1.3 Phân phối đường thẳng thực C.2 Bộ ba Lévy C.2.1 γ C.2.2 Độ đo Lévy ν 136 136 136 136 136 137 137 137 D Paul Lévy (1886-1971) 138 Tài liệu tham khảo 139 CÁC KÝ HIỆU Rd không gian Euclide d-chiều Phần tử Rd vectơ x = (x1 , x2 , , xd ) với xi ∈ R, ≤ i ≤ d Tích vơ hướng Rd hai vectơ x = (x1 , x2 , , xd ) y = (y1 , y2 , , yd ) d (x, y) = xi yi i=1 Chuẩn Euclide (độ lớn vectơ) d x2i |x| = (x, x) = i=1 Tập tất ma trận giá trị thực d × d ký hiệu Md (R) Nếu S ⊆ Rd phần bù trực giao S S ⊥ = {x ∈ Rd ; (x, y) = với ∀ y ∈ S} Quả cầu mở bán kính r có tâm thuộc Rd ký hiệu Br (x) = {y ∈ Rd ; |y − x| < r} ˆ = B1 (0) ta viết B Ta viết R+ = [0, ∞), R = R ∪ {−∞, ∞} Dấu u ký hiệu sgn(u), sgn(u) = Cho z ∈ C, (z) u |u| u = 0, với sgn(0) = (z) ký hiệu phần thực phần ảo z, theo thứ tự Phần bù A ký hiệu Ac A¯ bao đóng A B(Rd ) σ-đại số Borel Rd Cho B ∈ B(Rd ), B(B) σ-đại số tập Borel B B(B) viết BB δa độ đo xác suất tập trung a µ|B hạn chế độ đo µ tập B n µ1 ∗ µ2 tích chập hai độ đo hữu hạn µ1 µ2 ; µn = µ∗ n lần tích chập µ Khi n = 0, µn hiểu δ0 Cho a, b ∈ R, a ∧ b = min{a, b} a ∨ b = max{a, b} d X = Y có nghĩa X Y có phân phối đồng x ∈ B x ∈ /B 1B (x) hàm tiêu B, 1B (x) = #A số phần tử tập A f (x) = g(x) f (x) ∼ g(x) x → a có nghĩa lim x→a Nếu f : Rd → R lims↑t f (s) = l có nghĩa lims→t, st f (s) = l Lời nói đầu Q trình Lévy q trình ngẫu nhiên có số gia dừng độc lập Tầm quan trọng trình Lévy lý thuyết xác suất thực tiễn xuất phát từ lý sau: VỀ MẶT LÝ THUYẾT • Các q trình Lévy lớp đơn giản q trình ngẫu nhiên có quỹ đạo mẫu liên tục phải có số (đếm được) bước nhảy ngẫu nhiên gián đoạn xuất thời điểm ngẫu nhiên • Các q trình Lévy bao gồm số trình quan trọng: chuyển động Brown, trình Poisson, trình Poisson phức hợp, trình phụ thuộc, trình tương đối, trình Riemann zeta • Các q trình Lévy hình thành lớp đặc biệt nửa martingale q trình Markov dạng Feller • Tiếng ồn Các q trình Lévy mơ hình tốt "tiếng ồn" hệ động lực ngẫu nhiên Nhập vào + Tiếng ồn = Xuất Một lớp lớn trình Markov xây dựng nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên điều khiển tiếng ồn Lévy • Cấu trúc Robust Hầu hết ứng dụng trình Lévy lấy giá trị khơng gian Euclide ta thay khơng gian Hilber, khơng gian Banach, nhóm compact địa phương, đa tạp Các phương án lượng tử hóa trình Lévy khơng giao hốn nhóm lượng tử VỀ MẶT ỨNG DỤNG Gồm có: • Sự nhiễu qua phương trình Burger (Bertoin) • Các ví dụ lý thuyết trường lượng tử (Albeverio, Gottshalk, Wu) • Tính nhớt dẻo (Bouleau) • Chuỗi thời gian (Brockwell) • Tài (có hàng ngàn ứng dụng) Sự bùng nổ lớn hoạt động lĩnh vực toán tài Hai phạm vi hoạt động là: • Định giá quyền chọn • Mơ hình hóa lãi suất Luận văn chia làm hai phần Phần I gồm hai chương đầu trình bày lý thuyết sở trình Lévy Phần II gồm bốn chương sau trình bày ứng dụng q trình Lévy tài Phần I LÝ THUYẾT Chương trình bày tóm tắt lý thuyết xác suất độ đo Giới thiệu q trình Lévy phân phối khả phân vơ hạn Nghiên cứu mối liên hệ trình Lévy, phân phối khả phân vơ hạn nửa nhóm tích chập độ đo xác suất liên tục yếu Chương giới thiệu khái niệm quan trọng lọc, q trình thích nghi martingale Thiết lập tính Markov mạnh cho trình Lévy chứng minh q trình Lévy có càdlàg Kết quan trọng chứng minh khai triển Lévy-Itô trình Lévy dựa martingale Giới thiệu cấu trúc đan xen, qua quỹ đạo trình Lévy nhận giới hạn hầu chắn dãy chuyển động Brown với độ dịch chuyển có bước nhảy ngẫu nhiên rời rạc xuất thời điểm ngẫu nhiên Phần II ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH Chương giới thiệu khái niệm tài sản sở, chứng khoán phái sinh, quyền chọn, độ chênh thị giá Giới thiệu mơ hình thị trường Lévy, giá cổ phiếu theo trình Lévy mũ Trình bày phép biến đổi Esscher hiệu chỉnh trung bình để tìm độ đo martingale tương đương Chương sử dụng cách tiếp cận ngược để vận dụng mơ hình q trình Lévy NIG, CGMY Meixner; ta đặt giá quyền chọn lý thuyết dự đốn mơ hình vào số S&P 500 thực Giới thiệu mơ hình định giá quyền chọn trung hòa rủi ro Trình bày công thức Black-Schole phép biến đổi Fourier nhanh (FFT) để định giá quyền chọn Châu Âu thông thường Cuối chương trình bày kết vận dụng Chương trình bày kỹ thuật mơ Ta sử dụng phương pháp tổng quát xấp xỉ trình Lévy trình Poisson phức hợp Các trình Lévy đặc biệt mô cách sử dụng vài tính chất chúng, ví dụ q trình Gamma, trình VG, trình TS, trình IG, trình NIG Kết luận Quá trình Lévy cơng cụ tuyệt vời cho việc mơ hình hóa q trình giá tốn tài Q trình Lévy ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ như: vật lý, sinh học, thông tin liên lạc, đê điều, vấn đề xếp hàng, hồ chứa nước, bảo hiểm rủi ro Luận văn trình bày nét tiêu biểu trình Lévy; nghiên cứu mối quan hệ trình Lévy phân phối khả phân vô hạn Luận văn giới thiệu đặc trưng quan trọng trình Lévy nửa nhóm tích chập độ đo xác suất liên tục yếu xem xét liên hệ với q trình Lévy Ta thiết lập tính Markov mạnh cho q trình Lévy chứng minh q trình Lévy có càdlàg Kết quan trọng ta chứng minh khai triển Lévy-Itơ q trình Lévy dựa martingale Hơn ta dạng biểu diễn khai triển Lévy-Itơ q trình Lévy thành chuyển động Brown với độ dịch chuyển (thành phần liên tục), tích phân Poisson (các bước nhảy lớn) tích phân Poisson bù (các bước nhảy nhỏ) Điểm thú vị luận văn giới thiệu cấu trúc đan xen, nhờ quỹ đạo trình Lévy nhận giới hạn hầu chắn dãy chuyển động Brown với độ dịch chuyển có bước nhảy ngẫu nhiên không liên tục xuất thời điểm ngẫu nhiên Trong phần ứng dụng ta tập trung định giá quyền chọn sử dụng trình Lévy Bằng phương pháp định lượng đồ thị ta thấy trình Lévy đặc biệt (NIG, CGMY, Meixner) phù hợp với liệu số S&P 500 (phụ lục A) chuyển động Brown Ta sử dụng phép biến đổi Fourier nhanh (FFT) để định giá quyền chọn tốt công thức Black-Schole dễ tìm hàm đặc trưng cho hầu hết trình Lévy Ta kiểm tra việc lựa chọn liệu Kết cho thấy việc sử dụng giá đặt mua, giá chào bán trung bình giá đặt mua giá chào bán tốt giá đóng cửa Các kết vận dụng trình Lévy đặc biệt (NIG, CGMY, Meixner) mô tả giá thị trường tốt chuyển động Brown Cuối ta sử dụng kỹ thuật mô kết vận dụng kết hợp với kỹ thuật Monte Carlo để định giá quyền chọn ngoại lai Châu Âu Vì thời lượng có hạn nên luận văn chưa trình bày hết tính chất phân phối, quỹ đạo, mơmen q trình Lévy Các ứng dụng phân tích Wiener-Hopf ứng dụng trình Lévy lĩnh vực khác xin dành cho nghiên cứu 132 Phụ lục A S&P 500 giá quyền chọn mua Ta thu thập 100 giá quyền chọn mua cho số S&P 500 thời điểm đóng cửa thị trường vào ngày 01 − 06 − 2007 từ Yahoo Finance Chỉ số giá lúc đóng cửa S0 = 1536.34 Ta chọn lãi suất không rủi ro 0.05 hoa lợi cổ tức 0.019 Ta sử dụng giá trung bình giá đặt mua giá chào bán Thực thi 1300 1325 1350 1375 1400 1425 1450 1475 1500 1525 1550 1575 1600 1650 1700 1800 1900 2000 15 − 06 2007 239.1 214.2 189.3 164.5 139.7 114.9 90.4 66.05 42.85 22.25 6.95 1.275 1.15 20 − 06 2007 244.5 220.0 195.6 171.4 147.4 123.7 100.5 78.2 56.9 38.3 22.25 10.75 4.5 21 − 09 2007 254.0 230.4 207.1 184.1 161.5 139.4 118.1 97.7 78.4 60.6 44.4 31.0 20.1 6.6 133 21 − 12 2007 268.5 246.0 223.9 202.2 181.0 160.4 140.4 121.2 103.0 85.8 69.9 55.4 42.6 22.8 10.3 1.25 21 − 03 2008 239.6 198.5 178.8 159.6 141.1 123.4 106.5 90.7 75.9 62.4 39.6 22.9 20 − 06 2008 296.4 275.6 255.2 235.2 215.6 196.6 178.0 160.1 142.8 126.3 110.6 95.7 81.9 57.4 37.9 13.2 19 − 12 2008 322.9 303.2 283.9 265.0 246.5 228.3 210.7 193.5 176.8 160.8 145.3 116.3 67.8 34.2 14.4 5.0 Phụ lục B Hàm Bessel B.1 Hàm Bessel (1) (2) Các hàm Bessel dạng J±v (z), dạng Nv (z) dạng Hv (z) Hv (z) nghiệm phương trình vi phân: 2d w z dz +z dw + (z − v )w = dz Hàm Jv (z) viết dạng chuỗi sau: ∞ Jv (z) = (z/2) v k=0 (−z /4)k , k!Γ(v + k + 1) Nv (z) thỏa Nv (z) = Jv (z) cos(vπ) − J−v (z) sin(vπ) Ta có Hv(1) (z) = Jv (z) + iNv (z), Hv(2) (z) = Jv (z) − iNv (z) Ta liệt kê số tính chất có ích hàm Bessel: J1/2 (z) = sin z, πz J−1/2 (z) = cos z, πz J3/2 (z) = J−3/2 (z) = sin z − cos z , πz z πz sin z + Jn+1/2 (z) = (−1)n N−n−1/2 (z), J−n−1/2 (z) = (−1)n−1 Nn+1/2 (z), 134 cos z , z n = 0, 1, 2, , n = 0, 1, 2, Phụ lục B B.2 Hàm Bessel cải tiến Các hàm Bessel cải tiến dạng I±v (z) dạng Kv (z) (còn gọi hàm MacDonald) nghiệm phương trình vi phân: 2d w z dz +z dw − (z + v )w = dz Hàm Iv (z) viết dạng chuỗi sau: ∞ Iv (z) = (z/2)v k=0 (z /4)k , k!Γ(v + k + 1) Kv (z) thỏa Kv (z) = π Iv (z) − I−v (z) sin(vπ) Hàm Bessel Kv viết dạng tích phân: Kv (z) = ∞ uv−1 exp(− z(u + u−1 ))du Ta liệt kê vài tính chất có ích: Kv (z) = K−v (z), Kv+1 (z) = 2v Kv (z) + Kv−1 (z), z K1/2 (z) = π/2z −1/2 exp(−z), v Kv (z) = − Kv (z) − Kv−1 (z) z 135 Phụ lục C Quá trình Lévy C.1 Hàm đặc trưng Ta đưa hàm đặc trưng cho phân phối khả phân vô hạn Ta xét phân phối số tự nhiên, nửa đường thẳng dương đường thẳng thực Hàm đặc trưng phân phối mở rộng tích exp(ium) hàm đặc trưng gốc C.1.1 Phân phối số tự nhiên Phân phối Poisson(λ) C.1.2 Phân phối nửa đường thẳng dương Phân phối Gamma(a, b) Exp(λ) IG(a, b) GIG(λ, a, b) TS(κ, a, b) C.1.3 φ(u) = E[exp(iuX1 )] exp(λ(exp(iu) − 1)) φ(u) = E[exp(iuX1 )] (1 − iu/b)−a (1√− iu/λ)−1 exp(−a( −2iu + b2 − b)) Kλ−1 (ab)(1 − 2iu/b2 )λ/2 Kλ (ab − 2iu/b2 ) exp(ab − a(b1/κ − 2iu)κ ) Phân phối đường thẳng thực Phân phối VG(σ, ν, θ) VG(C, G, M ) NIG(α, β, δ) CGMY(C, G, M, Y ) Meixner(α, β, δ) φ(u) = E[exp(iuX1 )] (1 − iuθν + σ νu2 /2)−1/ν (GM/(GM + (M − G)iu + u2 ))C exp(−δ( α2 − (β + iu)2 − α2 − β )) exp(CΓ(−Y )((M − iu)Y − M Y + (G + iu)Y − GY )) (cos(β/2)/ cosh((αu − iβ)/2))2δ 136 Phụ lục C C.2 C.2.1 Bộ ba Lévy γ γ Phân phối Poisson(λ) Gamma(a, b) IG(a, b) TS(κ, a, b) VG(C, G, M ) NIG(α, β, δ) CGMY(C, G, M, Y ) Meixner(α, β, δ) C.2.2 a(1 − exp(−b))/b (a/b)(2N (b) − 1) κ −κ x exp(− b1/κ x)dx a2κ Γ(1 − κ) C(M G)−1 (G(exp(−M ) − 1) − M (exp(−G) − 1)) 2δα sinh(βx)K1 (αx)dx π C (exp(−M x) − exp(−Gx))x−Y dx αδ tan(β/2) − 2δ ∞ sinh(βx/α) dx sinh(πx/α) Độ đo Lévy ν ν λδ(1) Phân phối Poisson(λ) Gamma(a, b) IG(a, b) TS(κ, a, b) VG(C, G, M ) NIG(α, β, δ) CGMY(C, G, M, Y ) Meixner(α, β, δ) a exp(−bx)x−1 1(x>0) dx (2π)−1/2 ax−3/2 exp(− 21 b2 x)1(x>0) dx κ x−κ−1 exp(− 12 b1/κ x)1(x>0) dx a2κ Γ(1 − κ) C|x|−1 (exp(Gx)1(x0) dx δαπ −1 |x|−1 exp(βx)K1 (α|x|)dx C|x|−1−Y (exp(Gx)1(x0) )dx δx−1 exp(βx/α) sinh−1 (πx/α)dx 137 Phụ lục D Paul Lévy (1886-1971) Tên gọi trình Lévy để vinh danh số nhà toán học vĩ đại kỷ 20: Paul Lévy Paul Lévy sinh Paris năm 1886 gia đình có nhiều nhà tốn học Ông học học viện bách khoa École, lấy tiến sĩ toán học Đại Học Paris trở thành giáo sư học viện bách khoa École năm 1913 Ơng số nhà tốn học tiên phong lý thuyết xác suất đại Ông có khám phá quan trọng lý thuyết q trình ngẫu nhiên Ơng chứng minh định lý giới hạn trung tâm cách sử dụng hàm đặc trưng, độc lập với Lindeberg, người sử dụng kỹ thuật tích chập Ơng góp phần nghiên cứu luật số lớn, định lý giới hạn trung tâm, trình Gauss, luật phân phối khả phân vơ hạn, luật phân phối ổn định Ông người đầu việc nghiên cứu trình với số gia dừng độc lập Các sách ơng Lecons d’analyse fonctionnelle (1922), Calcul des probabilités (1925), Théorie de l’addition des variables aléatoires (1937-1954) Processus stochastiques et mouvement brownien (1948) Trong suốt chiến tranh giới thứ I, ông phục vụ khoa nghiên cứu sử dụng pháo sử dụng kiến thức tốn học giải vấn đề liên quan đến việc bảo vệ chống lại công từ không Năm 1963, ông bầu thành viên danh dự hội tốn học London Một năm sau ơng bầu vào viện khoa học Académie Ông ngày 15-12-1971 Paris Để biết thêm thông tin Paul Lévy tìm trang web sau: http://www.cmap.polytechnique.fr/ rama/levy.html http://www.annales.org/archives/x/paullevy.html 138 Tài liệu tham khảo [1] Trần Hùng Thao (2003), Nhập mơn tốn học tài chính, Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2003), Lý thuyết Xác suất, Nxb Giáo dục, Hà Nội [3] Dương Tôn Đảm (2006), Quá trình ngẫu nhiên, phần mở đầu, Nxb ĐHQG TP Hồ Chí Minh [4] David Applebaum (2004), Lévy Processes and Stochastic Calculus, Cambridge University Press, Cambridge [5] Wim Schoutens (2003), Lévy Processes in Finance: Pricing Financial Derivatives, Wiley, New York [6] Wim Schoutens (2007), Exotic options under Lévy models: An overview, Journal of Compuational and Applied Mathematics 189, pp 526-538 [7] Wim Schoutens (2002), Meixner Process: Theory and application in Finance, EURANDOM Report, EURANDOM, Eindhoven [8] Carr P and Madan D.H (1998), Option valuation using the fast Fourier transform, Journal of Computational Finance 2, pp 61-73 [9] Ramma Cont and Peter Tankov (2007), Financial Modelling with Jump Process, Chapman & Hall, New York [10] Ken-Iti Sato (1999), Lévy Process and Infinitely Divisible Distributions, Cambridge University Press, Cambridge [11] Madan D.B and Yor M (2005), CGMY and Meixner subordinators are absolutely continuous with respect to one sided stable subordinators, Prépublication, Laboratoire de Probabilités et Modeles Aléatories [12] Steele J.M (2001), Stochastic Calculus and Financial Applications, SpringerVerlag [13] Yor M (1992), Some Aspects of Brownian Motion, part 1, Birkhăauser [14] Yor M (1997), Some Aspects of Brownian Motion, part 2, Birkhăauser 139 Ti liệu tham khảo [15] Einstein A (1956), Investigations on the Theory of the Brownian Movement, Dover [16] Nelson E (1967), Dynamical Theories of Brownian Motion, Princeton University Press, Princeton [17] Paley R E and Wiener N (1934), Fourier Transforms in the Complex Domain, American Mathematical Society [18] Karatzas I and Shreve S (1991), Brownian Motion and Stochastic Calculus (second edition), Springer-Verlag [19] Knight F.B (1981), Essentials of Brownian Motion and Diffusion, American Mathematical Society [20] Revuz D and Yor M (1999), Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer-Verlag [21] Kunita H (1990), Stochastic Flows and Stochastic Differential Equations, Cambridge University Press, Cambridge [22] Patterson S.J (1988), An Introduction to the Theory of the Riemann ZetaFunction, Cambridge University Press, Cambridge [23] Protter P (1992), Stochastic Integration and Differential Equations, SpringerVerlag [24] Rosenthal J.S (2000), A Fist Look at Rigorous Probability Theory, World Scientific [25] Jessen J and Wintner A (1935), Distribution functions and the Riemann zeta function, Trans Amer Math Soc 38, pp 48-88 [26] Bertoin J (1999), Subordinator: examples and applications, Ecole d’ Eté de Probabilités de St Flour XXVII , ed P Bernard, Lecture Notes in Mathematics 1717, Springer-Verlag, pp 4-79 [27] Bertoin J (1996), Lévy Processes, Cambridge Tracts in Mathematics, vol 121, Cambridge University Press [28] Bingham N.H., Goldie C.M and Teugels J.L (1987), Regular Variation, Cambridge University Press [29] Born M (1962), Einstein’s Theory of Relativity, Dover [30] Gnedenko B.V and Kolmogorov A.N (1968), Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables (second edition), Addison-Wesley [31] Berg C and Forst G (1975), Potential Theory on Locally Compact Abelian Groups, Springer-Verlag 140 Tài liệu tham khảo [32] Wiener N., Siegel A., Rankin B and Martin W.T (1966), Differential Space, Quantum Systems and Prediction, MIT Press [33] Wiener N (1923), Differential Space, J Math and Physics 58, pp 74-131 [34] Asmussen S and Rosi´ nski J (2001), Approximations of small jumps of Lévy processes with a view towards simulation, Journal of Applied Probability 38, pp 482-493 [35] Avram F., Kyprianou A.E and Pistorius M.R (2003), Exit problems for spectrally negative Lévy processes and applications to Russian options, Annals of Applied Probability (In the press.) [36] Barndorff-Nielsen O.E (1977), Exponentially decreasing distributions for the logarithm of particle size, Proceedings of the Royal Society of London A 353, pp 401-419 [37] Carr P., Geman H., Madan D.H and Yor M (2003), Stochastic volatility for Lévy processes, Mathematical Finance (In the press.) [38] Boyarchenko S.I and Levendorskii S.Z (2002), Perpetual American options under Lévy processes, SIAM Journal of Control and Optimization 40, pp 16631696 [39] Jăackel P (2002), Monte Carlo Methods in Finance, John Wiley & Sons, Ltd [40] Kou S.G and Wang H (2001), Option pricing under a jump diffusion model, Preprint [41] Michael J.R., Schucany W.R and Haas R.W (1976), Generating random variates using transformations with multiple roots, The American Statistician 30, pp 88-90 [42] Mordecki E (2002), Optimal stopping and perpetual options for Lévy processes, Finance and Stochastics 6, pp 473-493 [43] Pecherskii E.A and Rogozin B.A (1969), On joint distributions of random variables associated with fluctuations of a process with independent increments, Theory of Probability and Its Applications 14, pp 410-423 [44] Rosi´ nski J (2001), Series representations of Lévy processes from the perspective of point processes, In Lévy Processes - Theory and Applications (ed BarndorffNielsen O.E., Mikosch T and Resnick S.), pp 401-415 [45] Rydberg T (1997), The normal inverse Gaussian Lévy process: simulations and approximation, Communications in Statistics: Stochastic Models 13, pp 887910 [46] Shepp L and Shiryaev A.N (1994), A new look at the pricing of the Russian option, Theory of Probability and Its Applications 39, pp 103-120 141 Tài liệu tham khảo [47] Yor M and Nguyen L (2001), Wiener-Hopf Factorization and the Pricing of Barrier and Look-back Options under General Lévy Processes, Prépublication, Universités Paris [48] Broadie M., Glasserman P and Kou S.G (1997), A continuity correction for discrete barrier options, Mathematical Finance 7, pp 325-349 [49] Shreve S.E (2004), Stochastic Calculus for Finance II: Continous-Time Models, Springer-Verlag, New York [50] Gerber H.U and Shiu E.S.W (1994), Actuarial bridges to dynamic hedging and option pricing, Insurance: Mathematics and Economics 18(3), pp 183-218 [51] Eberlein E and Keller U (1995), Hyperbolic distributions in finance, Bernoulli 1, pp 281-299 [52] Barndorff-Nielsen O.E (1995), Normal inverse Gaussian distributions and the modelling of stock returns, Research Report no 300, Department of Theoretical Statistics, Aarhus University [53] Bă uhlmann H., Delbaen F., Embrechts P and Shiryaev A N (1996), Noarbitrage, change of measure and conditional Esscher transforms, CWI Quarterly 9(4), pp 291-317 [54] Geman H (2002), Pure jump Lévy processes for asset price modelling, Journal of Banking and Finance 26 [55] Biane P., Pitman J and Yor M (2001), Probability laws related to the Jacobi theta and Riemann zeta functions and Brownian excursions, Bulletin of the American Mathematical Society 38, pp 435-465 [56] Malliavin P (1995), Integration and Probability, Springer-Verlag 142 ... phương pháp tổng quát xấp xỉ trình Lévy trình Poisson phức hợp Các trình Lévy đặc biệt mô cách sử dụng vài tính chất chúng, ví dụ q trình Gamma, trình VG, trình TS, trình IG, trình NIG Chương... II ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH Chương giới thiệu khái niệm tài sản sở, chứng khoán phái sinh, quyền chọn, độ chênh thị giá Giới thiệu mơ hình thị trường Lévy, giá cổ phiếu theo trình Lévy mũ Trình. .. nhiên • Các q trình Lévy bao gồm số trình quan trọng: chuyển động Brown, trình Poisson, trình Poisson phức hợp, trình phụ thuộc, trình tương đối, trình Riemann zeta • Các q trình Lévy hình