Tìm hiểu quá trình ổn định, quá trình ergodic và ứng dụng

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN & TRUYỀN THÔNG - - BÁO CÁO Học phần: Quá trình ngẫu nhiên ứng dụng Đề tài 7: Tìm hiểu trình ổn định, trình ergodic ứng dụng Giảng viên: PGS TS: Nguyễn Thị Hoàng Lan Thành viên: Nguyễn Văn Thanh MSSV: 201122 74 Vũ Xuân Quỳnh Phạm Văn Tiến Phan Văn Tân Hoàng Anh Chiến Đinh Tuấn Hiệp Hà Nội, ngày 14 tháng 12 năm 2014 201120 05 201123 20 201121 17 201112 47 201125 98 Mục Lục Phân công công việc: I Quá trình ổn định(Nguyễn Văn Thanh) II Quá trình ổn định theo nghĩa hẹp(Nguyễn Văn Thanh) III Quá trìn ổn định theo nghĩa rộng(Phan văn Tân) IV Tính dừng Ergodic (Vũ Xuân Quỳnh) V Mô Phỏng MatLab(Phạm Văn Tiến) VI Chữa tập (Hoàng Anh Chiến – Đinh Tuấn Hiệp) I Quá trình ngẫu nhiên ổn định Khái niệm :    II Quá trình ngẫu nhiên ổn định (Stationary Stochastic Processes) trình ngẫu nhiên bất biến dịch theo số thời gian Quá trình ngẫu nhiên ổn định bậc tính chất thống kê X(ti) X(ti + c) với số Quá trình ổn định bậc tính chất thống kê cặp { X(t1), X(t2)} { X(t1+c), X(t2+c)} với số c Quá trình ngẫu nhiên ổn định theo nghĩa hẹp: Khái niệm Một trình ổn định theo nghĩa hẹp hay ổn định chặt bậc n (nth – other Strict –Sense Stationary – S.S.S ) thỏa mãn điều kiện sau với ti số c fx( x1, x2, ….xn, t1, t2,….tn)≡ fx( x1, x2, ….xn, t1+c, t2+c,….tn+c) (1.1) Trong fx hàm mật độ đồng thời biến X1 = X(t1), .Xi = X(ti), Xn = X(tn) Xi’ = X(ti + c)….X’n = X(tn + c) Tính chất trình ổn định theo nghĩa hẹp bậc : Từ (1.1) ta có fx(x, t) ≡ fx(x, t+c) Với c = -t ta có fx(x, t) ≡ fx(x) Nghĩa hàm mật độ bậc X(t) phụ thuộc t Như vậy: E[X(t)] = = , constant Tương tự , trình ổn định theo nghĩa chặt ta có từ quan hệ (1.1) sau fx(x1, x2, t1,t2) ≡ fx(x1,x2, t1+c,t2+c) Với c , c = -t2 ta đạt fx(x1, x2, t1,t2) ≡ fx(x1,x2, t1-t2) Như hàm mật độ bậc trình ngẫu nhiên ổn định theo nghĩa chặt phụ thuộc vào khác số thời gian τ = t1 – t2 Trong trường hợp hàm tự tương quan xác định : Rxx(t1,t2)= E{X(t1)X(t2)} =∫∫x1x2 fx (x1x2, τ = t1-t2) dx1dx2 =Rxx(t1,t2) = Rxx(τ) = Rxx(-τ), Nghĩa hàm tự tương quan trình ngẫu nhiên ổn định bậc theo nghĩa chặt phụ thuộc vào khác số thời gian τ = t1 – t2 Mặt khác điều kiện ổn định bậc bậc trình ngẫu nhiên ổn định thường khó khan để kiểm chứng Phần xét ổn định theo nghĩa hẹp (ổn định chặt ) xét ổn định theo nghĩa rộng.Wide-Sense Stationary (W.S.S) III Quá trình ổn định theo nghĩa rộng Định nghĩa WSS Một trình ngẫu nhiên X(t) gọi ổn định theo nghĩa rộng hay trình ổn định bậc thỏa mãn: - Trung bình theo thời gian số: E[X(t)] = μ - (2.1) Hàm tự tương quan phụ thuộc vào khoảng cách thời điểm: Rxx(tl,t2) = E[X(t + τ)X*(t)] = Rxx(τ) (2-2) với τ = tl – t2 Hàm Rxx(τ) viết dạng Rxx(τ) = E{X(t+ τ/2)X*( t- τ/2)} (2-3) Đặc biệt E{|X(t)|2}=R(0) Vì lượng trung bình trình ổn định không phụ thuộc vào t có giá trị R(0) - a) Ví dụ 1: Giả sử x(t) trình ổn định theo nghĩa rộng: μ(t) = R(τ) = 9+4e-0.2| τ| Ta xác định tham số liên quan biến z = x(5) , w = x(8): E[z] = E[w] =3 Rxx(τ)= 9+4e-0.2*3 Cxx(τ)= 4e-0.2*3 Từ công thức (2.2) cho ta hàm tương quan trình ngẫu nhiên theo nghĩa rộng phụ thuộc vào τ = t1-t2: C(τ) = R(τ)= | μ|2 hệ số hiệp phương sai bằng: - r(τ) = C(τ)/C(0) Vì vậy, C(τ) hàm tự hiệp phương sai r(τ) hệ số tự hiệp phương sai biến ngẫu nhiên x(t+ τ) x(t) - Hai tiến trình x(t) y(t) gọi trình WWS đồng thời trình WWS hiệp phương sai chéo phụ thuộc vào τ = t1 –t2: Rxy(τ) = E[x(t+ τ)y*(t)] Cxy(τ) = Rxy(τ) - ηxηy* b) Ví dụ 2: Nếu x(t) WWS s= = 1-t2)dt1dt2 = (2.5) c) Trường hợp đặc biệt: - Nếu C(τ) = q(τ) ( trình trắng) = 2Tq - Nếu tiến trình x(t) tương quan phụ thuộc a( a-dependent ) a a.* a % bình phương TỪNG PHẦN TỬ A 16 Với phép tính lũy thừa tương tự Chẳng hạn, với ví dụ ta viết a^2 a.^2 Cú pháp Trước MatLab không phân biệt chữ in, chữ thường (giống Fortran) Các phiên gần lại có phân biệt (theo ngôn ngữ C) Các từ khóa viết chữ thường 12 • • • Lệnh gán có dạng giống nhiều ngôn ngữ lập trình khác: tên_biến = giá_trị_biểu thức Thông thường máy in kết biến sau gán, ta không kết thúc lệnh gán dấu ; Ví dụ t = * % thị t = t = t + 1; % t có giá trị không hiển thị lên hình Khai báo hàm số (ví dụ hàm bình phương tên tham số vào x, tên tham số y: function y = binhPhuong(x) binhPhuong = x * x; end Cấu trúc rẽ nhánh, lặp: for i = 1:3 % ý vòng lặp theo dạng dãy disp(1/i) end i=0 while i < i = i + 1; disp(i) end % không cho hiển thị hình % hiển thị giá trị i Cú pháp đặc biệt (syntactic sugar) Để tăng tốc độ lập trình, thao tác từ dấu nhắc lệnh, MatLab cho phép nhiều kiểu cú pháp viết tắt Chẳng hạn để xem hướng dẫn lệnh plot hai câu lệnh sau tương đương: doc('plot') doc plot % thích: cách viết gọn, đồng thời bỏ dấu ngoặc tròn dấu nháy Một ví dụ số véc-tơ hàng không cần có dấu phẩy ngăn cách v1 = [2, 3, 4] v2 = [5 7] % hợp lệ! Và cách gọi file lệnh từ dấu nhắc dạng rút gọn đặc biệt Chẳng hạn ta cần chạy file tinhtong.m thư mục hành: >> tinhtong Tính vẽ đồ thị 13 Vẽ đồ thị tính trau chuốt MatLab; với nhiều kiểu đồ thị khác biểu đồ dạng đường, biểu đồ chấm điểm, lớp màu (patch) hai chiều, đường đồng mức đường cong, mặt cong ba chiều Ngoài MatLab cung cấp giao diện để người dùng trực tiếp biên tập hình vẽ, điền vào ghi theo ý muốn Vẽ đồ thị dạng đường Giả sử có dãy số liệu V đo theo thời gian t Trong MatLab, V t có dạng vec tơ có độ dài Khi lệnh vẽ đồ thị với trục hoành t trục tung V có dạng: plot(t, V) xlabel('t (s)') % viết tiêu đề trục ylabel('V (m/s)') Vẽ đồ thị dạng lớp màu Một cách hiệu để biểu thị trường vật lí không gian hai chiều dùng lớp màu Chẳng hạn T ma trận chiều lưu giữ giá trị nhiệt độ kim loại hình chữ nhật, việc hiển thị phân phối nhiệt độ lớp màu thực dễ dàng: pcolor(T) Vẽ trường vec tơ Cũng đồ thị lớp màu, việc hiển thị trường vec tơ cần thiết ngành khoa học - vật lí Để vẽ trường véc-tơ hai chiều ma trận u v, dùng lệnh: quiver(u,v) Thực hành Matlab Xét ví dụ: Giả sử x(t) trình WSS: Ta xác định tham số liên quan biến z = x(5), w = x(8): E[z] = E[w] = Rxx(3) = Cxx(3)= 14 Vẽ hàm Code phần mềm Matlab: t2=8; t1=5; E=t2-t1; e=2.71828; teta=-2.5:0.5:2.5; for i=1:length(teta) b(i)=4*e^(-0.2*abs(teta(i))); a=E*E; rxx=a+b; end plot(teta ,rxx); title('Ham tu tuong quan theo Rxx'); ylabel('Rxx(T)'); xlabel('T'); Kết thu được: 15 Nhận xét: Từ đồ thị thu ta thấy Hàm hàm đối xứng phụ thuộc vào khoảng cách thời điểm t1, t2 (|t1-t2|=) Và hàm đạt giá trị cực đại =0 VI Tài liệu tham khảo Jochen Geiger, section 2: Renewal processes, Applied Stochastic Processes, 2007 Athanasios Papoulis, chapter 10: General Concepts, Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, third edition, McGraw-Hill, Inc 16 17 [...]... toán số và lập trình, do công ty MathWorks thiết kế MATLAB cho phép tính toán số với ma trận, vẽ đồ thị hàm số hay biểu đồ thông tin, thực hiện thuật toán, tạo các giao diện người dùng và liên kết với những chương trình máy tính viết trên nhiều ngôn ngữ lập trình khác Với thư viện Toolbox, MATLAB cho phép mô phỏng tính toán, thực nghiệm nhiều mô hình trong thực tế và kỹ thuật Hình ảnh chương trình Matlab... Toolbox, MATLAB cho phép mô phỏng tính toán, thực nghiệm nhiều mô hình trong thực tế và kỹ thuật Hình ảnh chương trình Matlab Ngôn ngữ lập trình Ngôn ngữ lập trình dùng trong hệ tính toán số cũng có tên gọi là MatLab Nó thuộc kiểu lập trình thủ tục (với một số đặc điểm của lập trình hướng đối tượng mới được bổ sung trong các phiên bản gần đây Các kiểu dữ liệu MatLab có đầy đủ các kiểu dữ liệu đơn giản như:... các lớp màu (patch) hai chiều, đường đồng mức và các đường cong, mặt cong ba chiều Ngoài ra MatLab còn cung cấp giao diện để người dùng trực tiếp biên tập hình vẽ, điền vào các ghi chú theo ý muốn Vẽ đồ thị dạng đường Giả sử có dãy số liệu V đo theo thời gian t Trong MatLab, V và t đều có dạng vec tơ có cùng độ dài Khi đó lệnh vẽ đồ thị với trục hoành là t và trục tung là V có dạng: plot(t, V) xlabel('t... rxx=a+b; end plot(teta ,rxx); title('Ham tu tuong quan theo Rxx'); ylabel('Rxx(T)'); xlabel('T'); Kết quả thu được: 15 Nhận xét: Từ đồ thị thu được ta thấy Hàm là hàm đối xứng và chỉ phụ thuộc vào khoảng cách giữa 2 thời điểm t1, t2 (|t1-t2|=) Và hàm đạt giá trị cực đại khi =0 VI Tài liệu tham khảo 1 Jochen Geiger, section 2: Renewal processes, Applied Stochastic Processes, 2007 2 Athanasios Papoulis, chapter... MatLab phân biệt hai toán tử: * dành cho phép nhân ma trận và * dành cho nhân từng cặp phần tử tương ứng của hai ma trận >> a = [2 3; 2 4] 2 3 2 4 >> a * a % chính là bình phương ma trận A 10 18 12 22 >> a.* a % chỉ là bình phương TỪNG PHẦN TỬ của A 4 9 4 16 Với phép tính lũy thừa cũng tương tự Chẳng hạn, với ví dụ trên ta có thể viết lần lượt là a^2 và a.^2 Cú pháp Trước đây MatLab không phân biệt chữ in,... trường vec tơ Cũng như đồ thị lớp màu, việc hiển thị trường vec tơ rất cần thiết trong các ngành khoa học - vật lí Để vẽ trường véc-tơ hai chiều của các ma trận u và v, dùng lệnh: quiver(u,v) 2 Thực hành trên Matlab Xét ví dụ: Giả sử x(t) là quá trình WSS: Ta có thể xác định được các tham số liên quan của 2 biến z = x(5), w = x(8): E[z] = E[w] = 3 Rxx(3) = Cxx(3)= 14 Vẽ hàm Code trên phần mềm Matlab: t2=8;... tăng tốc độ lập trình, nhất là thao tác từ dấu nhắc lệnh, MatLab cho phép nhiều kiểu cú pháp viết tắt Chẳng hạn để xem hướng dẫn về lệnh plot thì hai câu lệnh sau là tương đương: doc('plot') doc plot % chú thích: cách viết gọn, đồng thời bỏ dấu ngoặc tròn và dấu nháy Một ví dụ nữa là các số trong một véc-tơ hàng không cần có dấu phẩy ngăn cách v1 = [2, 3, 4] v2 = [5 6 7] % cũng hợp lệ! Và ngay cả cách... 12 • • • Lệnh gán có dạng giống như nhiều ngôn ngữ lập trình khác: tên_biến = giá_trị_biểu thức Thông thường máy sẽ in ra kết quả của biến sau khi gán, nếu ta không kết thúc lệnh gán bởi dấu ; Ví dụ t = 2 * 3 % hiện thị t = 6 t = t + 1; % t có giá trị bằng 7 nhưng không hiển thị lên màn hình Khai báo hàm số (ví dụ như hàm bình phương tên tham số vào là x, tên tham số ra là y: function y = binhPhuong(x)... đặt trong dấu nháy đơn hoặc nháy kép, chẳng hạn "Viet Nam" Kiểu dãy (sequence) có dạng dau:buoc:cuoi bao gồm một véc-tơ gồm các phần tử bắt đầu từ số dau tăng dần theo từng buoc cho đến bằng (không vượt quá) số cuoi Kết quả cho ra một véc-tơ hàng: 1.2:0.2:1.7 %chú thích: tương đương với [1.2 1.4 1.6] 1.2:0.2:1.8 %chú thích: tương đương với [1.2 1.4 1.6 1.8] Kiểu ma trận đóng vai trò trung tâm trong MatLab ... Hiệp) I Quá trình ngẫu nhiên ổn định Khái niệm :    II Quá trình ngẫu nhiên ổn định (Stationary Stochastic Processes) trình ngẫu nhiên bất biến dịch theo số thời gian Quá trình ngẫu nhiên ổn định... công công việc: I Quá trình ổn định(Nguyễn Văn Thanh) II Quá trình ổn định theo nghĩa hẹp(Nguyễn Văn Thanh) III Quá trìn ổn định theo nghĩa rộng(Phan văn Tân) IV Tính dừng Ergodic (Vũ Xuân Quỳnh)... với số Quá trình ổn định bậc tính chất thống kê cặp { X(t1), X(t2)} { X(t1+c), X(t2+c)} với số c Quá trình ngẫu nhiên ổn định theo nghĩa hẹp: Khái niệm Một trình ổn định theo nghĩa hẹp hay ổn định