Dự báo các quá trình ITO

Cơ sở lý thuyết các quá trình ITO dựa trên chuyển động Brown. Công thức ITO được sử dụng trong xác định, tính toán các quá trình ITO. Cơ sở lý thuyết quan trọng trong bài toán dự báo các quá trình ITO là tính Markov và Martingale. Ngoài ra, luận văn còn trình bày phương pháp Monter Carlo để dự báo các quá trình ITO. Các ứng dụng trong các mô hình tài chính: Chuyển động Brown hình học, mô hình Black Schole và mô hình Vasicek.

1 TÓM TẮT Luận văn trình bày sở lí thuyết trình Itô dựa chuyển động Brown Công thức Itô sử dụng xác định, tính toán trình Itô Cơ sở lí thuyết quan trọng toán dự báo trình Itô tính Markov martingale Ngoài ra, luận văn trình bày phương pháp Monte carlo để dự báo cho trình Itô cách mô trình Itô phương pháp xấp xỉ Tiếp theo, luận văn trình bày ứng dụng mô hình tài chính: Chuyển động Brown hình học, mô hình Black-Schole mô hình Vasicek Mục lục LÍ THUYẾT CƠ SỞ 1.1 1.2 1.3 Biến Ngẫu Nhiên 1.1.1 Không gian xác suất 1.1.2 Biến ngẫu nhiên, phân phối xác suất 1.1.3 Kì vọng 1.1.4 Kì vọng có điều kiện 11 1.1.5 Biến ngẫu nhiên nhiều chiều 12 1.1.6 Sự hội tụ biến ngẫu nhiên 13 1.1.7 Luật số lớn 14 1.1.8 Định lí giới hạn trung tâm 15 Quá trình ngẫu nhiên 15 1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên rời rạc 15 1.2.2 Quá trình ngẫu nhiên liên tục 16 1.2.3 Quá trình Markov 16 1.2.4 Quá trình ngẫu nhiên lọc 17 1.2.5 Martingale 17 Xấp xỉ Monte Carlo 18 1.3.1 Giới thiệu 18 1.3.2 Kĩ Thuật giảm phương sai 20 QUÁ TRÌNH ITÔ 24 2.1 Chuyển động Brown 24 2.2 Tích phân Itô 28 2.2.1 Tích phân Itô hàm sơ cấp 29 2.2.2 Tích phân Itô tổng quát 31 2.3 Quá trình Itô 33 2.4 Công thức Itô 33 2.5 Công thức Itô nhiều chiều 37 2.6 Sự mô trình Itô 38 2.6.1 Mô trình ngẫu nhiên 38 2.6.2 Mô trình Itô 40 Ước lượng tham số cho trình Itô 41 2.7.1 Phương pháp cực đại hàm Likelihood 41 2.7.2 Phương pháp phi tham số 45 2.7 DỰ BÁO CÁC QUÁ TRÌNH ITÔ 47 3.1 Mô hình dự báo trình ngẫu nhiên 47 3.2 Dự báo trình Itô 47 3.3 Phương trình Backward Kolmogorov 53 3.4 Liên hệ phương trình KBE công thức Itô 55 3.5 Phương pháp Monte carlo dự báo trình Itô 57 ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH TÀI CHÍNH 4.1 4.2 4.3 60 Mô hình chuyển động Brown hình học 60 4.1.1 Mô trình GBM 61 4.1.2 Ước lượng tham số 63 4.1.3 Kết số 64 Mô hình Black-Schole 68 4.2.1 Giới thiệu 68 4.2.2 Công thức định giá Black-Schole 70 4.2.3 Phương pháp Monte Carlo định giá quyền chọn 73 Mô hình Vasicek 76 4.3.1 Giới thiệu 76 4.3.2 Mô 78 4.3.3 Ước lượng tham số 78 4.3.4 Định giá trái phiếu mô hình Vasicek 82 4.3.5 Kết số 86 Chương LÍ THUYẾT CƠ SỞ 1.1 Biến Ngẫu Nhiên 1.1.1 Không gian xác suất Không gian xác suất Không gian xác suất (Ω, F, P ) gồm ba thành phần, • Ω không gian mẫu • F σ− đại số Ω, họ tập Ω thỏa mãn tính chất sau: (i) ∅, Ω ∈ F (ii) A ∈ F =⇒ Ac ∈ F (iii) A1 , A2 , ∈ F =⇒ ∞ i=1 Ai ∈F Cặp (Ω, F) gọi không gian đo • P độ đo xác suất không gian đo (Ω, F), hàm số P : F −→ [0, 1] cho (i) P (∅) = 0, P (Ω) = (ii) Nếu A1 , A2 , ∈ F {A}∞ i=1 rời đôi (Ai ∩ Aj = ∅ i = j) ∞ P( ∞ Ai ) = i=1 P (Ai ) i=1 suy A ⊂ B =⇒ P (A) ≤ P (B) Tập F Ω cho F ∈ F gọi F− đo P (F )=”xác suất mà kiện F xảy ra” Trong trường hợp P (F ) = 1, ta nói "F xảy với xác suất 1" "hầu chắn"( a.s ) Tập Borel Kí hiệu B σ− đại số nhỏ chứa tất tập mở R, gọi Borel σ−đại số R phần tử B ∈ B gọi tập Borel B chứa tất tập mở, tất tập đóng, tất hợp đếm tập đóng, tất giao đếm hợp đếm được, 1.1.2 Biến ngẫu nhiên, phân phối xác suất Định nghĩa 1.1 Một biến ngẫu nhiên ,kí hiệu X, hàm thực Ω X : Ω −→ R Ta thường kí hiệu biến ngẫu nhiên X, Y, Z, Giá trị chúng kết lần quan sát Ω Biến ngẫu nhiên X gọi F−đo X −1 (B) = {ω ∈ Ω; X(ω) ∈ B} ∈ F ∀B ∈ B Cho X : Ω −→ R biến ngẫu nhiên, σ− đại số F X sinh X σ− đại số nhỏ Ω chứa tất tập X −1 (U ); U mở ⊂ R ta có F X = {X −1 (B); B ∈ B} Rõ ràng, X F X − đo Cho A ∈ F B ∈ F A B độc lập với P (A ∩ B) = P (A)P (B) Cho G H σ−đại số F G H độc lập với P (A ∩ B) = P (A)P (B), ∀A ∈ F, B ∈ G Hai biến ngẫu nhiên X Y gọi độc lập với σ−đại số chúng sinh σ(X), σ(Y ) độc lập với Biến ngẫu nhiên X độc lập với σ−đại số H X sinh σ−đại số σ(X) độc lập với H Hàm phân phối xác suất (còn gọi hàm phân phối) biến ngẫu nhiên X FX (x) = P ({ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x}) Biến ngẫu nhiên X F-đo A(x) = {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x} ∈ F Như vậy, hàm phân phối FX (x) = P ({ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x}) = P (A(x)) xác định A(x) ∈ F Biến ngẫu nhiên rời rạc liên tục Biến ngẫu nhiên rời rạc lấy giá trị khoảng rời rạc đếm {x1 , x2 , , } ⊂ R, tức X(ω) ∈ {x1 , x2 , , } với ω ∈ Ω Hàm khối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc hàm p : {x1 , x2 , } → [0, 1] cho p(x) = P (X = x) Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm phân phối xác suất FX (x) = p(xi ) xi β), sau độ biến động trở thành âm để lãi suất đẩy lên gần gũi với mức trung bình Tương tự, lãi suất thấp lãi suất dài hạn có nghĩa là, (r < β), sau độ biến động trở thành dương để lãi suất đẩy lên gần mức trung bình β Hệ số α > xác định tốc độ đẩy lãi suất theo hướng mức độ trung bình Giả định trở lại trung bình đồng nghĩa với tượng kinh tế cho lãi suất biến động theo thời gian để kéo lãi suất trở lại giá trị trung bình dài hạn Khi lãi suất tăng, kinh tế chậm lại, có nhu cầu vay vốn xu hướng tự nhiên dẫn đến lãi suất giảm Trường hợp ngược lại lập luận cách tương tự Để thu công thức đóng cho X(t) ta xác định trình Yt Yt = Xt − β Do đó, Yt nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên sau: dY (t) = −αY (t)dt + σdW (t) (4.14) Phương trình gọi phương trình Langevin Để giải phương trình này, đặt Z(t) = Y (t)eαt Bởi công thức tích phân phần t t Y (s)d(eαs ) + Zt = x0 + eαs dY (s)+ < Y, eα > (t) 77 Lấy vi phân hai vế dZ(t) = Y (t)αeαt dt + eαt dY (t) + d < Y, eα > (t) = αY (t)eαt dt + eαt [−αtY (t)dt + σdW (t)] = σeαt dW (t) Bằng cách lấy tích phân ta t σeαs dW (s) Z(t) = x0 + Thay Z(t) = Y (t)eαt vào ta t Y (t) = x0 e−αt + σe−αt eαt dW (s) Thay X(t) = Y (t) + β vào ta t X(t) = X(0)e−αt + β(1 − e−αt ) + σe−αt eαs dW (s) Với u ≤ t t X(t) = x0 e−αt + βα t e−α(t−s) ds + σ 0 t = x0 e−αt + βα u e−α(t−s )ds + βα +σ e−a(t−s) dW (s) (4.15) hay X(u) = x0 e u e−α(t−s) dW (s) + σ u u −αu e−α(t−s) ds u t e−α(t−s) dW (s) + βα e −α(u−s) u ds + σ e−α(u−s) dW (s) chuyển vế u βα e −α(t−s) u ds + σ e−α(t−s) dW (s) = e−α(u−t) (X(u) − x0 e−αu ) (4.16) Sử dụng phương trình ta có X(t) từ t − u từ phương trình (4.15) X(t) = X(u)e −α(t−u) t + αβ e −α(t−s) t ds + σ u e−α(t−s) dW (s) (4.17) e−α(t−s) dW (s) (4.18) u cuối ta X(t) = X(u)e −α(t−u) + β(1 − e −α(t−u) t )+σ u 78 Mô hình Vasicek bên cạnh lợi phân tích, có số thiếu sót Vì lãi suất ngắn hạn có phân phối chuẩn, với có xác suất để X(t) âm điều không hợp lý theo quan điểm kinh tế Bởi lãi suất danh nghĩa rơi xuống không ngoại trừ người giữ tiền mặt Nó không thời gian dài giá giảm liên tục đáng kể Trung bình phương sai trình là: E(X(t)|X0 ) = β + (x0 − β)exp(−αt) σ2 (1 − exp(−2αt)) 2α Trong mô hình Vacsicel, lãi suất X(t) có phân phối chuẩn V ar(X(t)|X0 ) = lim E(X(t)|X(0)) = µ t→+∞ lim V ar(X(t)|X0 ) = t→+∞ 4.3.2 σ2 2α Mô Phương pháp Euler để mô cho trình Ornstein Uhlenbeck X(0) = x0 (4.19) √ Xi+1 = Xi + α(β − Xi )∆t + σ ∆tzi zi ∼ N (0, 1) 4.3.3 Ước lượng tham số Phương pháp hồi qui bình phương nhỏ Mô hình hồi qui AR: Xi = c + bXi−1 + δ i ∼ N (0, 1) (4.20) 79 c = µ(1 − e−α∆t ) b = e−α∆t δ = σ (1 − 2−2α∆t ) 2α Phương pháp hồi qui bình phương bé cho tham số c, b δ Bằng việc giải ba phương trình nhận tham số α = − ln(b)/∆t β = c/(1 − b) σ = δ/ (b2 − 1)∆t/2 ln(b) Phương pháp cực đại hàm likelihood Ta áp dụng phương pháp cực đại likelihood trực tiếp để xác định tham số α, β σ cho mô hình Hàm mật độ xác suất có điều kiện đại lượng ngẫu nhiên có qui luật phân phối chuẩn tắc f (x) = √ e−x /2 2π Mật độ xác suất chuyển giá trị quan sát Xi+1 cho quan sát Xi trước với khoảng thời gian ∆t cho f (∆t, Xi , Xi+1 ; α, β, σ) =  = √ 2πσ (1 − e−2α∆ ) 2α   (Xi − Xi−1 e−α∆t − β(1 − e−α∆t ))2   exp  −  2σ Hàm log-likelihood Để đơn giản , ta đặt σ =σ 21 − e−2α∆t 2α 2α (1 − e−2α∆ ) 80 Hàm log-likelihood quan sát X0 , X1 , , Xn có từ hàm mật độ có điều kiện n ln f (Xi |Xi−1 ; α, β, σ) L(α, β, σ) = i=1 = −n ln(2π) − n ln(σ) − 2 2σ n Xi − Xi−1 e−α∆t − β(1 − e−α∆t ) i=1 Đạo hàm riêng hàm âm log-likelihood tương ứng với tham số α, β σ tương ứng ∂L(α, β, σ) − = − σ ∂α − ∂L(α, β, σ) = − ∂β σ n [(Xi − β)(Xi−1 − β) − e−αδt (Xi−1 − µ)2 ]e−α∆t ∆t i=1 n [Xi − Xi−1 e−α∆t − β(1 − e−α∆t )] i=1 ∂L(α, β, σ) n − − = σ σ2 ∂ σ2 n [Xi − µ − e−α∆t (Xi−1 − µ)]2 i=1 Giá trị cực trị tham số, xác định điều kiện Gradient hàm log-likelihood phải ∂L(α, β, σ) = ∂α ∂L(α, β, σ) − = ∂β ∂L(α, β, σ) − = ∂σ − Giải hệ ba phương trình ta n i=1 [Xi − Xi−1 e−α∆t ] n(1 − e−α∆t ) n (Xi − β)(Xi−1 − β) α = − ln i=1 n ∆ i=1 (Xi−1 − β) n σ = [Xi − β − e−α∆ (Xi−1 − β)]2 n i=1 β = 81 Giải hệ ba phương trình cách thay α vào điều kiện β n Si−1 Sx = i=1 n Sy = Si i=1 n Si−1 Sxx = i=1 n Sxy = S−1 Si i=1 n Si2 Syy = i=1 Ta Sy − e−α∆t Sx µ = n(1 − eα∆t ) Sxy − βSx − µSy + nβ α = − ln ∆t Sxx − 2βSx + nβ thay α vào β cho ta Sy − nβ = 1− Sxy − βSx − βSy + nβ Sxx − 2βSx + nβ Sx Sxy − βSx − βSy + nβ Sxx − 2βSx + nβ biến đổi nβ = Sy (Sxx − 2βSx + nβ ) − (Sxy − βSx − βSy + nβ )Sx (Sxx − 2βSx + nβ ) − (Sxy − βSx − βSy + nβ ) Kết quả; Sy Sxx − Sx Sxy n(Sxx − Sxy ) − (Sx2 − Sx Sy ) Sxy − βSx − βSy + nβ α = ln ∆t Sxx − 2βSx + nβ σ2 = [Syy − 2e−2α∆t Sxx − 2β(1 − α)(Sy − e−α∆t Sx ) + nβ (1 − e−αβ )2 ] n β = Kết ước lượng tham số α = 0.3, β = 0.1 σ = 0.03 r0 = 0.03 82 Phương pháp α β LS 0.261 0.258 ML 0.0717 0.0717 app ML 4.3.4 σ 0.02237 0.02213 Định giá trái phiếu mô hình Vasicek Công thức tính giá trái phiếu Trái phiếu zero coupon loại trái phiếu mà người nắm giữ không trả lãi (coupon) định kì, thay vào trái phiếu lãi suất bán mức giá chiết khấu Người nắm giữ trái phiếu zero coupon toán lần, số tiền xác định, vào thời điểm xác định tương lai Một số loại trái phiếu zero coupon điều chỉnh theo lạm phát, nói cách khác số tiền toán tương lai có sức mua tương đương với sức mua mệnh giá trái phiếu Tuy nhiên trái phiếu loại điều chỉnh theo lạm phát hiếm, đại đa số trái phiếu lãi suất toán theo mệnh giá Do toán theo mệnh giá cố định nên giá trái phiếu lãi suất phụ thuộc vào thời hạn toán nó, gần thời hạn toán giá trái phiếu zero coupon cao Trái phiếu zero coupon ngắn hạn thường có thời hạn toán năm gọi "tín phiếu" Tín phiếu Kho bạc Mỹ loại trái phiếu động có tính khoản cao giới Các quĩ hưu trí công ty bảo hiểm ưa chuộng loại trái phiếu zero coupon có thời hạn dài thời hạn dài đồng nghĩa với việc giá trái phiếu đặc biệt nhạy cảm với thay đổi lãi suất thị trường, bù trừ rủi ro lãi suất cho khoản vay dài hạn hãng Các nhà đầu tư tài chuyên gia sử dụng trái phiếu zero coupon để phân tích cách xác đường lợi suất Loại trái phiếu kết hợp ảnh hưởng dòng tiền khác tương lai ảnh hưởng lãi suất Bằng cách giới hạn dòng tiền số 83 tiền toán xác định, trái phiếu zero coupon giúp nhà phân tích tách rời ảnh hưởng riêng lãi suất quãng thời gian khác Chẳng hạn, sử dụng trái phiếu zero coupon phân tích giá hợp đồng hoán đổi Các đường hoa lợi quan hệ lãi suất (hoặc chi phí vay) thời gian cho vay cho loại tiền tệ Trong mô hình Vasicek, giả sử không gian xác suất (Ω, F, P ) với lọc tự nhiên {F(t)} sinh chuyển động Brown Lãi suất ngắn hạn theo trình Ornstein-Uhlenbeck drt = α(β − rt )dt + σdW (t) Theo phương pháp này, dựa vào (r(u)) trình Markov Nói cách khác để xác định r(T ) từ t cần giá trị r(t) Giá trái phiếu zero-coupon thời điểm mệnh giá 1$ kì hạn T cho T B(t, T, rt ) = E exp − r(u)du F(t)] (4.21) r(u)du rt ] (4.22) t T = E exp − t Ta có u ru = e−α(u−t) rt + β(eα(u−t) − 1) + σ eα(s−t) dW (s) t Với rt tham số Do T t ∂ru (rt ) = e−α(u−t) ∂rt ∂ru (rt ) du = ∂rt T e−α(u−t)du = t (1 − e−α(T −t) ) α ∂B(t, T, rt ) = E − ∂rt T t ∂ru (rt ) du exp (ru (rt )) ∂rt = − (1 − e−α(T −t) )E exp − α = −A(t, T )B(t, T, rt ) T ru (rt ) t (4.23) 84 A(t, T ) = Như vậy, (1 − e−α(T −t) ) α (4.24) ∂B = −AB Do đó, ∂rt B(t, T, rt ) = C(t, T ) exp(−A(t, T )rt ) với hàm C độc lập với rt Xét t exp − T ru (rt )du B(t, T, rt ) = E exp − ru du |F(t) Lưu ý E exp − T ru du |F(t) martingale tính chất tháp Theo công thức Itô, thu exp − t ru (rt )du t −ru B(t, T, rt ) u exp − rs ds B(u, T, ru )du ∂ t u B(u, T, ru )du + exp − rs ds ∂u ∂ t u + exp − rs ds B(u, T, ru )(α(β − ru )du + σdW (u)) ∂ru t ∂2 u + exp − rs ds B(u, T, ru )σ du ∂ru2 = B(0, T, r0 ) + (4.25) Vì maringale, tổng tất số hạng du phải Do đó, rt B(t, T, rt ) + ∂ ∂ B(t, T, rt ) + B(t, T, rt )(α(β − rt )) ∂t ∂rt + σ2 ∂ B(t, T, rt ) = ∂rt2 (4.26) Phương trình (4.26) phương trình đạo hàm riêng cho giá trái phiếu mô hình Vasicek Hơn nữa, phương trình backward parabolic với B(T, T, rt ) = với rt Ta có B(t, T, rt ) = C(t, T ) exp(−A(t, T )rt ) 85 ta nhận ∂B ∂C ∂A = exp(−A(t, T )rt ) − C rr exp(−A(t, T )rt ) ∂t ∂t ∂t ∂B = −AC exp(−A(t, T )rt ) ∂rt ∂ 2B = A2 C exp(−A(t, T )rt ) ∂rt2 Thay vào phương trình (4.26) ta có ∂C ∂A exp(−Art ) − C rt exp(−Art ) ∂t ∂t σ2 −AC exp(−Art )(α(β − rt )) + A C exp(−Art ) = −rt C exp(−Art ) + Do đó, ∂A σ2 ∂C −C rt − AC(α(β − rt )) + A C = −rt C + ∂t ∂t Bây giờ, B(t, T, 0) = C(t, T ) đặt rt = ta nhận (4.27) σ2 ∂C − αβAC + A C = ∂t Giải phương trình với C(T, T ) = 1, ta C(t, T ) = exp − αβ α T (1 − e−α(T −u) )du + t = exp −β(T − t) + + σ2 2α2 T (1 − e−α(T −u) )2 du t β σ2 (1 − e−α(T −t) ) + (T − t) α 2α σ2 σ2 −2α(T −t) (1 − e ) − (1 − e−α(T −t) ) 3 4α α Đặt D(t, T ) = ln C(t, T ) = (β − σ2 σ A(t, T )2 )[A(t, T ) − (T − t)] − 2α2 4α Vậy B(t, T, rt ) = exp(−A(t, T ))rt + D(t, T ) A(t, T ) cho (4.24) 86 Định giá trái phiếu phương pháp Monte carlo Thuật toán định giá trái phiếu phương pháp Monte Carlo: Mô trình (rt ) lãi suất theo trình Ornstein Uhlenbeck Xấp xỉ tích phân r(i) = T t ru(i) du theo quĩ đạo trình mô Giá trái phiếu tính trung bình exp −r(i) B(t, T ) = N 4.3.5 N exp{−r(i) } i=1 Kết số Áp dụng mô hình Vasicek với tham số mô hình α = 0.03, β = 0.3 σ = 0.03 r0 = 0.03 với t = T = 10 Hình 4.6: Mô 10 quĩ đạo trình Ornstein Uhlenbeck với tham số α = 0.03, β = 0.3, σ = 0.03 r0 = 0.03 từ thời điểm t = đến t = 10 với bước thời gian ∆t = 0.05 87 Đường hoa lợi Phương trình đường hoa lợi cho − ln(B(t, T )) = y(T ) T Hình 4.7: Các đường hoa lợi với r0 = 0; 0.2; 0.5 Định giá trái phiếu So sánh công thức giá trái phiếu cách sử dụng xấp xỉ Monte Carlo mô Euler với công thức cho giá trái phiếu Với r0 = 0.03, α = 0.03, β = 0.3 σ = 0.03 Giá trái phiếu theo công thức 0.9614 kết xấp xỉ Monte Carlo cho bảng sau: Số mô Monte Carlo sai số 1,000 0.9619 × 10−4 10,000 0.9616 × 10−4 100,000 0.9614 88 KẾT LUẬN Quá trình ngẫu nhiên Itô công cụ hữu ích cho việc mô hình hóa giá tài sản, lãi suất, tài Ngoài trình ứng dụng rộng rãi lĩnh vực ứng dụng khoa học công nghệ, xã hội, vật lí, sinh học, Trong luận văn trình bày lý thuyết trình ngẫu nhiên, trình Itô Công thức Itô để tính toán trình Itô Bài toán dự báo trình Itô mô hình dựa vào tính Markov trình Itô Dựa vào tính Markov, tính martingale, ta chứng minh công thức Black-schole công thức định giá trái phiếu Ngoài ra, luận văn trình bày phương pháp Monte Carlo để dự báo trình Itô xác định giá quyền chọn, giá trái phiếu, vài kĩ thuật giảm phương sai sử dụng phương pháp Monte carlo Do phạm vi nghiên cứu thời gian thực có giới hạn nên đề tài chưa thể nêu lên phân tích hết nội dung liên quan đến vấn đề nghiên cứu Vẫn số lỗi ngôn từ chưa chuẩn hóa theo ngôn ngữ tiếng Việt Chưa giải triệt để toán cụ thể tài với liệu thực tế Với kết đạt hạn chế trên, hướng hoàn thiện đề tài thể nội dung sau: - Bổ sung số vấn đề liên quan đến mô phỏng, ước lượng để có ứng dụng rộng - Xây dựng toán tài cụ thể với liệu thực tế mô hình lý thuyết xây dựng 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1- Alison Etheridge (2002).A Course in Financial Calculus Cambridge University Press 2- Bernt Oksendal (1998) Stochastic Differential Equations An Introduction with Applications Fifth Edition, Correct Printing, Springer-Verlag Heidelberg New York 3- E.Allen (2007).Modeling with Itô Stochastic Differenttial Equations Springer 4- Philip E.Protter (2004) Stochastic Modelling And Applied Probability: Stochastic Integration and Differenttial Equations Springer 5- Huyên Pham(2009).Continuous –time Stochastic Control and Optimization with Financial application Springer 6- Trần Hùng Thao (2004) Nhập môn Toán Học Tài Chính Nhà xuất khoa học Kỹ Thuật Hà Nội 7- Nguyễn Duy Tiến , Vũ Viết Yên (2009) Lý Thuyết Xác Suất.Nhà Xuất Bản Giáo Dục 8- Đặng Hùng Thắng (2006).Quá Trình Ngẫu Nhiên Và Tính Toán Ngẫu Nhiên Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội 9- Yor, M (2001) Exponential Functionals of Brownian Motion and Related Processes Springer-Verlag, New York 10- Dieter Sondermann (2006) Introduction to Stochastic Calculus for Finance A New Didactic Approach Springer 11- Steven Shreve (1997).Stochastic Calculus and Finance 12- Paul Glasserman (2003) Methods Monte Carlo in Fianancial Engineering Springer 13- Maghsoodi, Y (1998) Exact solution and doubly efficient approximations of jump-diffusion Ito equations, Stochastic Analysis and Applications 14-Fred Espen Benth ,Giulia Di Nunno, Tom Lindstrøm , Bernt Øksendal, 15 Tusheng Zhang The Abel Symposium 2005 Stochastic Analysis and Applications Springer 16- Adam Bobrowski (2005) Functional Alnalysis for Probability and Stochas- 90 tic Processes Cambridge University Press 17 -Fernando Zapatero Introduction to the Economics and Mathematics of Financial Markets 2004 Massachusetts Institute of Technology 18- Peijie Wang (2003) Financial Econometrics Methods and models Routledge 19- Hui-Hsiung Kuo (2005) Introduction to Stochastic Integration.Springer 20- steven m kay university of rhode island 2006 intuitive probability and random processes using matlab R springer 21- David Stirzaker (2005) St John’s College, Oxford Stochastic Processes and Models Oxford University Press [...]... được gọi là đường đi mẫu, một sự thực hiện hay một quĩ đạo của quá trình ngẫu nhiên tương ứng với ω ∈ Ω Ta có thể xem quá trình này là một hàm theo hai biến (t, ω) −→ X(t, ω) từ T × Ω vào R 1.2.3 Quá trình Markov Quá trình ngẫu nhiên (X(t)) là quá trình Markov nếu vị trí của quá trình ở thời điểm tn ∈ τ bất kì xác định vị trí tiếp theo của quá trình P (X(t) ∈ B|X(s) = x) = P (X(t) ∈ B|X(t1 ) = x1 , , X(tn... phối chuẩn 1.2 Quá trình ngẫu nhiên 1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên rời rạc Cho τ = {t0 , t1 , } là tập thời gian rời rạc Dãy biến ngẫu nhiên X(t0 ), X(t1 ), xác định trên không gian mẫu Ω gọi là quá trình ngẫu nhiên rời rạc Nếu chỉ cần giá trị của biến ngẫu nhiên X(tn ) = Xn để xác định biến ngẫu nhiên kế tiếp Xn+1 thì dãy biến ngẫu nhiên {Xn } gọi là quá trình Markov Giá trị rời rạc của quá trình Markov... hàm liên tục • Đẳng cự E(I 2 (t)) = E( • E 2.3 t 0 t 2 0 f (t)dt) f (s)dW (s) = 0 Quá trình Itô Định nghĩa 2.2 Cho (W (t)) là chuyển động Brown trên (Ω, F, P ) Một quá trình Itô là một quá trình ngẫu nhiên (X(t)) trên (Ω, F, P ) có dạng t X(t) = X(0) + t f (s)ds + 0 g(s)dW (s) (2.4) 0 trong đó f (t) và g(t) là các quá trình ngẫu nhiên thích nghi với bộ lọc sinh bởi chuyển động Brown thỏa t |f (s)|ds... (s, ω), g(s) = g(s, ω) (2.7) Quá trình trên cũng là quá trình Itô ∂ 2u ∂u ∂u và 2 Nếu (2.7) đúng trong trường hợp này, Giả sử rằng tồn tại u, , ∂t ∂x ∂x ta có thể thu được cho trường hợp tổng quát bằng sự hội tụ bởi các hàm un ∂ 2 un ∂un ∂un ∂u ∂u sao cho un , , và bị chặn với mỗi n và cùng hội tụ về u, , và ∂t ∂x ∂x2 ∂t ∂x ∂ 2u Giả sử rằng f (t, ω) và g(t, ω) là các quá trình sơ cấp Áp dụng khai triển... nhất sinh bởi các biến ngẫu nhiên X(s) với 0 ≤ s ≤ t F X (t) là thông tin thu được từ các đường đi của X giữa 0 và t Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với bộ lọc Cho X = (X(t))t≥0 là một quá trình ngẫu nhiên xác định trên một không gian xác suất (Ω, F, P ) được lọc với bộ lọc F Khi đó X được gọi là thích nghi với bộ lọc (hay F(t)-thích nghi) nếu X(t) là F(t)-đo được với mỗi t ≥ 0 Nếu X là quá trình thích... Avogadro Năm 1923 Nobert Wiener định nghĩa và xây dựng chuyển động Brown một cách chặt chẽ lần đầu tiên Quá trình ngẫu nhiên được lấy tên là quá trình 24 25 Wiener để tỏ lòng tôn kính ông Năm 1965 sự nghiên cứu của Samuel son về chuyển động Brown cho thấy một công cụ mô phỏng trong tài chính Hình 2.1: Một quĩ đạo của chuyển động Brown Định nghĩa 2.1 Một quá trình ngẫu nhiên W = (W (t))t≥0 lấy giá trị trong... (s)|ds < ∞ E 0 và t g 2 (s)ds < ∞ E 0 2.4 Công thức Itô ∂ 2u ∂u ∂u , và tồn ∂t ∂x ∂x2 tại và liên tục Cho X(t) là một quá trình Itô với vi phân ngẫu nhiên Định lý 2.4 Cho hàmsố u(t, x) sao cho các đạo hàm riêng dX(t) = f (t)dt + g(t)dW (t) Khi đó quá trình Y (t) = u(t, X(t)) cũng là quá trình Itô với vi phân ngẫu nhiên là dY (t) = du(t, X(t)) = 1 ut (t, X(t)) + ux (t, X(t))f (t) + uxx (t, X(t))g 2 (t)... ∈ {0, 1, 2, 3, } Đặt pi,j = P (Xn+1 = j|Xn = i), i ≥ 0, j ≥ 0 16 là xác suất chuyển từ i sang j 1.2.2 Quá trình ngẫu nhiên liên tục Một quá trình ngẫu nhiên {X(t), t ∈ τ } xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P ) trong đó τ = [0, T ] là một khoảng thời gian và quá trình này xác định trên tất cả các điểm thời gian trong khoảng này Như vậy với mỗi t ∈ T cố định, chúng ta có biến ngẫu nhiên ω −→ Xt... và các Dj là độc lập  2 k I 2 (t) =  f (tj )Dj  j=0 k f 2 (tj )Dj2 + 2 = j=0 f (ti )f (tj )Di Dj i 0 Cho f là một quá trình ngẫu nhiên( không cần thiết là một quá. .. giảm được bằng cách lựa chọn c sao cho Cov(X, Y ) V ar(Y ) ∗ V ar(Xc ) = 1 − ρ2xy V ar(X) c∗ = − trong đó ρXY là tương quan giữa X và Y Như vậy c phụ thuộc vào tương quan này Chương 2 QUÁ TRÌNH ITÔ 2.1 Chuyển động Brown Lịch sử của chuyển động Brown bắt đầu năm 1828 khi nhà thực vật người Scotland, Robert Brown quan sát các trạng thái lơ lững trên mặt nước dưới kính hiển vi và ông thấy các hạt phấn ... tham số 45 2.7 DỰ BÁO CÁC QUÁ TRÌNH ITÔ 47 3.1 Mô hình dự báo trình ngẫu nhiên 47 3.2 Dự báo trình Itô 47 3.3 Phương trình Backward Kolmogorov ... phương trình vi phân ngẫu nhiên Chương DỰ BÁO CÁC QUÁ TRÌNH ITÔ 3.1 Mô hình dự báo trình ngẫu nhiên Giả sử trình ngẫu nhiên (Xt ) có giá trị quan sát đến thời điểm s {X(u); ≤ u ≤ s} Mô hình dự báo. .. hay quĩ đạo trình ngẫu nhiên tương ứng với ω ∈ Ω Ta xem trình hàm theo hai biến (t, ω) −→ X(t, ω) từ T × Ω vào R 1.2.3 Quá trình Markov Quá trình ngẫu nhiên (X(t)) trình Markov vị trí trình thời