Trong luận văn này, chúng ta đã hiểu được cách tìm điểm cân bằng Nash cho các chiến lược thuần túy và chiến lược hỗn hợp. Sử dụng bài toán quy hoạch bậc hai để tìm điểm cân bằng Nash dạng hỗn hợp. Trong mô hình thực tế, ta đã xét mô hình Cornout, Bertrand, đấu giá cho 2 người tham gia và sử dụng một số phương pháp để giải bài toán tìm điểm cân bằng. Trong luận văn này, sử dụng code và phần mềm Mathlab để mô phỏng các mô hình nêu trên.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NGUYỄN THỊ THANH VUI LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NGUYỄN THỊ THANH VUI LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2014 CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA- ĐHQG-HCM Cán hướng dẫn khoa học: TS Lê Xuân Đại Cán chấm nhận xét 1: Cán chấm nhận xét 2: Luận văn thạc sĩ bảo vệ trường Đại Học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày tháng năm Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn sửa chữa (nếu có) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập - Tự - Hạnh Phúc ———————— ————————– NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: NGUYỄN THỊ THANH VUI MSHV: 11240509 Ngày, tháng, năm sinh: 18-06-1988 Nơi sinh: Quảng Ngãi Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng Mã số: 60 46 36 I TÊN ĐỀ TÀI: LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI VÀ ỨNG DỤNG NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: NGHIÊN CỨU VỀ LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI TĨNH VỚI THÔNG TIN ĐẦY ĐỦ, TRÒ CHƠI TĨNH VỚI THÔNG TIN KHÔNG ĐẦY ĐỦ VÀ ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT NÀY ĐỂ TÌM ĐIỂM CÂN BẰNG CHO MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 19/06/2014 III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 7/12/2014 IV CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS Lê Xuân Đại Tp HCM, ngày .tháng năm 20 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN TS LÊ XUÂN ĐẠI CHỦ NHIỆM NGÀNH ĐÀO TẠO PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY TRƯỞNG KHOA TS HUỲNH QUANG LINH Lời cảm ơn Đầu tiên, em xin gửi đến Thầy hướng dẫn em, TS Lê Xuân Đại, lời cảm ơn chân thành sâu sắc tận tình hướng dẫn em suốt trình học tập, định hướng đường tìm hiểu thực luận văn Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào Tạo Sau Đại Học, đặc biệt thầy cô môn Toán Ứng Dụng- Khoa Khoa Học Ứng Dụng trường Đại Học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn đến gia đình, người thân bạn bè động viên giúp đỡ để luận văn hoàn thành Nguyễn Thị Thanh Vui LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc Học viên thực luận văn NGUYỄN THỊ THANH VUI MỤC LỤC Danh mục hình vẽ, đồ thị Lời mở đầu Chương Lý thuyết trò chơi 1.1 Giới thiệu Lý thuyết trò chơi 1.2 Biễu diễn trò chơi 1.3 Các loại trò chơi 1.4 Ứng dụng lý thuyết trò chơi số lĩnh vực 14 1.5 Chiến lược túy, chiến lược hỗn hợp trò chơi 17 Chương Trò chơi tĩnh với thông tin đầy đủ, trò chơi tĩnh với thông tin không đầy đủ 21 2.1 Trò chơi tĩnh với thông tin đầy đủ 21 2.2 Trò chơi tĩnh với thông tin không đầy đủ 52 Chương Một số ứng dụng lý thuyết trò chơi 58 3.1 Cạnh tranh sản lượng - Mô hình Cournot 58 3.2 Cạnh tranh giá - Mô hình Bertrant 67 3.3 Đấu giá 71 Kết luận 85 Tài liệu tham khảo 86 Phụ lục 87 DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Hình 1.1: Ví dụ trò chơi Hình 2.1: Đồ thị hàm số y = − 2q y = 2q − 34 Hình 2.2: Đồ thị biễu diễn cân Nash hỗn hợp cho toán "Đồng xu phù hợp" 38 Hình 2.3: Đồ thị hàm số y = − 2q y = − q 38 Hình 2.4: Đồ thị hàm số y = r y = − 2r 39 Hình 2.5: Đồ thị biểu diễn cân Nash cho toán "Cuộc chiến hai giới" 39 Hình 3.1: Đồ thị biểu diễn phản ứng tốt hai công ty mô hình Cournot 63 Hình 3.2: Đồ thị thể giao dịch đấu giá 84 Hình 3.3: Đồ thị thể giao dịch xảy cân tuyến tính ⇔ vb ≥ vs + 84 Lời mở đầu Toán học môn khoa học có lịch sử hình thành từ lâu đời, sở cho nhiều ngành khoa học Lý thuyết toán học ứng dụng nhiều lĩnh vực khác kinh tế, vật lý, tin học, Lý thuyết trò chơi (game theory) xem nhánh toán học ứng dụng kinh tế học ứng dụng nhằm nghiên cứu tình bên tham gia trò chơi áp dụng chiến lược định nhằm đưa định tối ưu hóa kết nhận Ban đầu lý thuyết trò chơi phát triển công cụ để nghiên cứu hành vi kinh tế học Ngày nay, lý thuyết sử dụng nhiều ngành khoa học khác Sinh học, Triết học, Chính trị học Căn vào thông tin thời gian hành động người chơi, người ta phân chia trò chơi thành bốn loại trò chơi : trò chơi tĩnh với thông tin đầy đủ, trò chơi động với thông tin đầy đủ, trò chơi tĩnh với thông tin không đầy đủ, trò chơi động với thông tin không đầy đủ Tương ứng với bốn loại trò chơi bốn khái niệm điểm cân Trong phần luận văn này, tìm hiểu lý thuyết trò chơi tĩnh với thông tin đầy đủ trò chơi tĩnh với thông tin không đầy đủ Áp dụng định lý Nash (1950,1951), để tìm điểm cân Nash, Bayesian Nash Từ đó, mô ứng dụng vào mô hình kinh tế mô hình độc quyền song phương Cournot, Bertrand, đấu giá Vì toán tối ưu (tìm giá trị lớn nhất) nên toán tìm cân Nash, Nash Bayesian giải thuật toán toán tối ưu tìm giá trị lớn Luận văn trình bày sau : Chương 1: Trình bày kiến thức lý thuyết trò chơi, phân loại ứng dụng lý thuyết trò chơi số lĩnh vực; dạng chuẩn tắc, dạng mở rộng, chiến lược túy, chiến lược hỗn hợp trò chơi Chương 2: Giới thiệu trò chơi tĩnh với thông tin đầy đủ, trò chơi tĩnh với thông tin không đầy đủ cách tìm cân Nash Chương 3: Giới thiệu mô hình độc quyền song phương Cournot, Bertrand, đấu giá Cuối kết luận hướng phát triển luận văn vị thay đổi hồ sơ thầu, b (vi ) đo đạc giá thầu phải thay đổi để đáp ứng với đơn vị thay đổi việc định giá Do đó, b(.) cần phải thỏa: −vi + (vi − b(vi )) =0 b (vi ) ⇔ b (vi )vi + b(vi ) = vi ⇔ d (b(vi )vi ) = vi dvi (3.7) Lấy nguyên hàm hai vế phương trình ta được: b(vi )vi = vi2 + C Vì không nhà thầu đấu thầu mức định giá họ nên b(vi ) ≤ vi ∀vi ⇒ b(0) ≤ Mặt khác hồ sơ dự thầu phải số không âm nên vi b(0) = ⇒ C = b(vi ) = 3.3.2 Đấu giá kín chọn giá thấp thứ hai (Second - price sealed bid auction) Cuộc đấu giá giống với đấu giá trước vấn đề sau: • Hai nhà thầu N = {1, 2} • Các không gian hành động: S1 = {b1 ≥ 0} S2 = {b2 ≥ 0} • Giá trị hàng hóa với nhà thầu: ≤ v1 ≤ ≤ v2 ≤ hay không gian dạng nhà thầu T1 = [0, 1] T2 = [0, 1] • Chúng ta giả sử mức độ tin cậy nhà thầu giá trị đối phương phân phối [0, 1] Sự khác nhà thầu nộp giá thầu cao để lấy hàng hóa trả giá thầu cao thứ hai Do mức thưởng phạt người chơi 77 là: v1 − b2 , b1 > b2 u1 (b1 , b2 ) = v1 − b2 , b1 = b2 0, b1 < b2 v2 − b1 , b2 > b1 u2 (b1 , b2 ) = v2 − b1 , b2 = b1 0, b2 < b1 Các chiến lược đối xứng cho hai nhà thầu là hàm b(v1 ) b(v2 ) tăng ngặt khả vi ngặt Tương tự ta có : P {bi > b(vj )} = P b−1 (bi ) > vj = P vj < b−1 (bi ) = b−1 (bi ) Nếu biết vi lấy trung bình v−i kì vọng mức thưởng phạt người i là: b−1 (bi ) (vi − b(v−i ))dv−i Ev−i 78 =0 b (vi ) đấu giá : Do (vi − bi ) i ∈ {1, 2} nên cân Nash cho i ∈ {1, 2} b(vi ) = vi Vậy nhà thầu nộp hồ sơ dự thầu mức định giá họ 3.3.3 Một đấu giá đôi (Double auction) Trong nhiều chế giao dịch, người bán người mua nộp hồ sơ dự thầu (mặc dù giá nộp người bán thường gọi "yêu cầu" "thầu") Cơ chế gọi "cuộc đấu giá đôi", tên nhằm nhấn mạnh hai bên thị trường cạnh tranh Ta xem xét trường hợp giao dịch có người bán (chủ sở hữu hàng), người mua người có thông tin cá nhân mức định giá họ Người bán yêu cầu mức giá ps người mua đồng thời đề nghị mức giá pb Họ muốn giao dịch hàng hóa thông qua chế sau : • Nếu pb < ps giao dịch không xảy • Nếu pb ≥ ps giao dịch xảy với mức giá p = p b + ps Mức định giá người mua cho hàng hóa người bán vb , người bán vs Những mức định giá thông tin cá nhân vẽ từ phân phối đều, độc lập [0, 1] Khi mức thưởng phạt là: vb − pb + ps , pb ≥ ps ub = 0, p vs (pb ) Và ps ≤ pb (vb ) = ab + cb vb ⇒ vb ≥ Do mức thưởng phạt mong đợi là: Evs [ub (pb , ps , vb , vs )|vb ] = Evs vb − vb − = pb + ps (vs ) : pb ≥ ps (vs ) pb + ps (vs ) dF (vs ) {vs |ps (vs )≤pb } Vì vs ∼ F (vs ) = U ([0, 1]) nên : vb − pb + ps (vs ) dF (vs ) {vs |ps (vs )≤pb } vb − = {vs |ps (vs )≤pb } 81 pb + ps (vs ) dvs Vì ps (vs ) = as + cs vs nên: vb − pb + as + cs vs dvs {vs |ps (vs )≤pb } Mà {vs |ps (vs ) ≤ pb } = {vs |as + cs vs ≤ pb } = p b − as cs ⇒ vb − vs |vs ≤ pb + as + cs vs p b − as cs dvs cs vs2 p b − as | cs pb vs + as vs + = vb vs − p b − as p b + as + c s p b − as cs = vb − cs = vb − as + p b pb + 2 p b − as cs Do (3.8) trở thành: maxpb vb − as + p b pb + 2 p b − as cs Ta có: ∂ub (vb , pb , as , cs ) 3pb + as = vb − − (pb − as ) = ∂pb 4 ⇒ pb (vb ) = vb + as 3 (3.12) Do người bán chọn chiến lược tuyến tính phản ứng tốt người mua tuyến tính Tương tự, cho chiến lược người mua pb (vb ) = ab + cb vb Ta có pb phân phối [ab , ab + cb ] Tương tự ta có: 82 p s − ab cb = (ps + ab + cb vb ) − vs dvb (ps vb + ab vb + cb vb2 ) − vs vb |1ps − ab cb c b − p s + as (3ps + cb + ab − 4vs ) = cb Khi (3.9) trở thành: max ps p s + ab + c b ps + 2 − vs ab + c b − p s cb ⇒ ps = vs + (ab + cb ) 3 (3.13) Bước 3: Chứng tỏ phản ứng tốt có dạng giả định bước 1 as số 3 không phụ thuộc vào vb Tương tự cho hệ số biểu thức (3.13) Ta thấy biểu thức (3.12) hệ số Bước 4: Tính toán số Nếu người mua chọn chiến lược tuyến tính phản ứng tốt người bán tuyến tính Nếu chiến lược tuyến tính người chơi phản ứng tốt với từ (3.12) pb (vb ) = pb ta có: 2 as ab + cb vb = as + vb ⇒ cb = , ab = 3 3 ab + cb Và (3.13) ⇒ cs = , as = Do vậy, hình 3.2 chiến lược cân 3 : pb (vb ) = vb + 12 ps (vs ) = vs + 83 Hình 3.2: Đồ thị thể giao dịch đấu giá Xem lại giao dịch xuất đấu giá 2 1 pb ≥ ps ⇔ vb + ≥ vs + ⇒ vb ≥ vs + 12 4 Ở hình 3.3 cho thấy dạng người bán làm cho yêu cầu đề nghị cao người bán pb (1) = loại người mua bên 1 làm cho đề nghị đề nghị thấp người bán ps (0) = 4 Hình 3.3: Đồ thị thể hiển giao dịch xảy cân tuyến tính ⇔ vb ≥ vs + 84 Kết luận Trong luận văn này, tìm hiểu cách tìm điểm cân Nash cho chiến lược túy chiến lược hỗn hợp Sử dụng toán qui hoạch bậc hai để tìm cân Nash dạng hỗn hợp Trong mô hình thực tế, ta xét mô hình Cournot, Bertrand, đấu giá cho hai người tham gia sử dụng số phương pháp thông dụng để giải toán tìm điểm cân phương pháp tìm giá trị lớn hàm biến Tuy nhiên, chưa phát triển mô hình cho nhiều người tham gia Do vậy, phần nghiên cứu sau này, phát triển theo hướng mô hình N người tận dụng cấu trúc đặc biệt toán để giải toán nhanh đơn giản 85 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1 ] Robert Aumann, Sergiu Hart, Handbook of Game Theory with Economic Applications Volume 2, North Holland, 1994 [2 ] Robert Gibbons, Game theory for Applied Economists, Princeton University, 1992 [3 ] James Fan, George Kesidis, Arlan Stutler, Game theory: Penn State Math 486 lecture Notes, 2010 - 2012 [4 ] Siegfried Carl, Seppo Heikkile, Fixed Point Theory in Order Sets and Applications, Springer, 2011 [5 ] Fernando Vega, Redondo, Economics and the theory of game, Cambridge, 2003 Tiếng Việt [6 ] Barry J.Nalebuff, Adam M.Brandenburger, Lý thuyết trò chơi kinh doanh, Nhà xuất tri thức, 2007 [7 ] Avinash K.Dixit, Bary J.Nalebuff, Tư chiến lược, Nhà xuất tri thức, 2006 [8 ] http://vi.wikipedia.org [9 ] Nguyễn Như Ý, Trần Thị Bích Dung, Câu hỏi - Bài tập - Trắc nghiệm Kinh tế vi mô, Nhà xuất thống kê, 2005 [10 ] http://www.lythuyettrochoi.wikispaces.com 86 Phụ lục Code Matlab mô tả ví dụ ứng dụng Mô hình Bertrant 87 Mô hình Cournot với thông tin đầy đủ 88 Mô hình Cournot với thông tin không đầy đủ 89 Mô hình đấu giá đôi 90 Cân Nash hỗn hợp cho ma trận × Bài toán (QP) tìm cân Nash hỗn hợp 91 [...]... không nhảy vào thị trường Cuba thì lợi nhuận của công ty N sẽ là 0 Chúng ta sẽ mô tả bài toán này bằng "cây trò chơi" : 7 Hình 1.1: Ví dụ về cây trò chơi 1.3 Các loại trò chơi Có một số phương pháp phân loại trò chơi Cách phân chia thứ nhất là căn cứ vào khả năng hợp đồng và chế tài hợp đồng của những người chơi thì có thể chia trò chơi làm hai loại: trò chơi hợp tác (cooperative games) và trò chơi bất... tĩnh và động Phối hợp cách phân chia thứ hai và thứ ba ta có 4 dạng thức trò chơi là: trò chơi động với thông tin đầy đủ, trò chơi tĩnh với thông tin đầy đủ, trò chơi tĩnh với thông tin không đầy đủ, trò chơi tĩnh với thông tin không đầy đủ Cách phân chia thứ tư là dựa trên tổng kết quả (payoff) của những người chơi mà ta phân chia thành trò chơi hai loại tổng bằng không và tổng khác không 1.3.1 Trò chơi. .. 1 Lý thuyết trò chơi 1.1 Giới thiệu Lý thuyết trò chơi Lý thuyết trò chơi bắt đầu hình thành và được áp dụng từ những ngày đầu của Thế chiến thứ hai, khi các lực lượng hải quân Anh chơi trò mèo vờn chuột với các tàu chiến ngầm của phát xít Đức và họ muốn nắm rõ hơn về trò chơi để có thể thắng được nhiều hơn Họ đã khám phá ra rằng những bước đi đúng hóa ra lại không phải là những gì mà các hoa tiêu và. .. là căn cứ vào thông tin của những người chơi thì các trò chơi được chia thành trò chơi với thông tin đầy đủ (complete information )và trò chơi với thông tin không đầy đủ (incomplete information)hoặc là trò chơi với thông tin hoàn hảo (perfect information) và thông tin không hoàn hảo (imperfect information) Cách phân chia thứ ba là căn cứ vào thời gian hành động của mỗi người chơi, các trò chơi được... vào năm 2005 hai nhà lý thuyết gia trò chơi này đạt giải thưởng Nobel về kinh tế 1.2 Biễu diễn trò chơi 1.2.1 Biểu diễn trò chơi dạng chuẩn tắc Dạng chuẩn tắc của một trò chơi gồm ba thành phần 4 1 N là tập hợp những người chơi trong trò chơi 2 Các chiến lược có thể thực hiện mỗi người chơi 3 Mức thưởng phạt nhận được của mỗi người chơi cho mỗi sự kết hợp các chiến lược có thể được chọn bởi người chơi. .. thực tế trước khi nó được viết ra giấy và trở thành một lý thuyết mang tính hệ thống [6] Lý thuyết trò chơi chưa thực sự tồn tại cho đến khi nhà toán học John Von Neumann và nhà kinh tế Oscar Morgenstern xuất bản cuốn sách Lý thuyết trò chơi và các hành vi kinh tế vào năm 1944, tác phẩm này chứa đựng lời giải tối ưu cho những trò chơi tổng bằng không với trò chơi hai người Từ đó dẫn đến một số lượng... học, lý thuyết trò chơi đã được sử dụng để hiểu được nhiều hiện tượng khác nhau Nó được sử dụng lần đầu để giải thích sự tiến hóa (và bền vững) của tỉ lệ giới tính khoảng 1 : 1 Thêm vào đó, những nhà sinh vật học đã sử dụng lý thuyết trò chơi tiến hóa và ESS để giải thích sự nổi lên của của liên lạc giữa muôn thú (Maynard Smith và Harper, 2003) Sự phân tích của các trò chơi tín hiệu và các trò chơi. .. thuộc vào phối hơp hành động của tất cả mọi người Còn trong các trò chơi động người đi sau có biết một số (nhưng không nhất thiết toàn bộ ) thông tin về các 12 nước đi trước Một ví dụ cổ điển về loại trò chơi này là bài toán "Người tù Dilemma" sẽ được giới thiệu ở chương 2 Trò chơi động diễn ra trong nhiều giai đoạn, và một số người chơi sẽ phải hành động ở mỗi một giai đoạn Trò chơi động khác với trò chơi. .. Vào năm 1965, Reinhard Selten giới thiệu khái niệm lời giải của các cân bằng lí tưởng của các trò chơi con, làm chính xác thêm cân bằng Nash Vào năm 1967, John Harsanyi phát triển các khái niệm thông tin đầy đủ và trò chơi Bayesian Năm 1994 ba nhà tiên phong trong lý thuyết trò chơi là John Nash, John Harsanyi, Reinhard Selten đã được nhận giải Nobel về kinh tế Trong những năm 1970, lý thuyết trò chơi. .. 2 > 1 và 1 > 0) Do đó người chơi 2 sẽ không chơi "phải" Do đó nếu người chơi 1 biết điều này thì người chơi 1 sẽ loại " phải" ra khỏi không gian chiến lược của người chơi 2 Trò chơi bây giờ được thu gọn trong bảng: Trái Giữa Trên 1,0 1,2 Dưới 0,3 0,1 23 Ở bảng này "dưới" bị áp đảo ngặt bởi "trên" cho người chơi 1 Do đó người chơi 1 sẽ không chơi "dưới" Người chơi 2 biết người 1 sẽ đi như vậy và cũng ... Chng Lý thuyt trũ chi 1.1 Gii thiu Lý thuyt trũ chi 1.2 Biu din trũ chi 1.3 Cỏc loi trũ chi 1.4 ng dng ca lý thuyt... cú lch s hỡnh thnh t rt lõu i, l c s cho nhiu ngnh khoa hc Lý thuyt ca toỏn hc c ng dng nhiu lnh vc khỏc nh kinh t, vt lý, tin hc, Lý thuyt trũ chi (game theory) c xem nh l mt nhỏnh ca toỏn hc... phng Cournot, Bertrand, u giỏ Cui cựng l kt lun v hng phỏt trin ca lun Chng Lý thuyt trũ chi 1.1 Gii thiu Lý thuyt trũ chi Lý thuyt trũ chi bt u hỡnh thnh v c ỏp dng t nhng ngy u ca Th chin th hai,