Lý thuyết trò chơi và ứng dụng trong kinh tế

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀM THỊ DƯỠNG LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI VÀ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀM THỊ DƯỠNG LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI VÀ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN VĂN MINH Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Lời cảm ơn iv Mở đầu Lý 1.1 1.2 1.3 thuyết trò chơi Khái niệm mở đầu Trò chơi ma trận Chiến lược đơn trò chơi ma trận 1.3.1 Chiến lược maximin người chơi thứ 1.3.2 Chiến lược minimax người chơi thứ hai 1.4 Các chiến lược hỗn hợp trò chơi ma trận 1.4.1 Phần thắng trung bình người chơi thứ 1.4.2 Nghiệm trò chơi chiến lược hỗn hợp 1.4.3 Chiến lược thừa 1.4.4 Phương pháp Quy hoạch tuyến tính 1.5 Trò chơi ma trận với tổng 1.5.1 Khái niệm mở đầu 1.5.2 Cân Nash chiến lược đơn 1.5.3 Cân Nash chiến lược hỗn hợp 1.5.4 Chiến lược maximin 1.5.5 Chiến lược thừa trò chơi ma trận kép 1.5.6 Trò chơi hợp tác 3 9 10 11 13 14 16 19 21 21 22 23 25 26 27 Các thí dụ ứng dụng Lý thuyết trò chơi 2.1 Các thí dụ 2.1.1 Ma trận có điểm yên ngựa 2.1.2 Ma trận điểm yên ngựa 31 31 31 32 ii 2.2 Các ứng dụng lý thuyết trò chơi 2.2.1 Khó tăng giá thị trường cạnh tranh hoàn hảo 2.2.2 Hiện tượng giới động vật 2.2.3 Giải trừ vũ khí hạt nhân 2.2.4 Tình lưỡng nan hai nghi can 2.2.5 Ứng dụng trò chơi hợp tác 41 41 42 43 45 46 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 iii Danh sách hình vẽ 1.1 Minh họa ví dụ 1.11 18 1.2 Trò chơi hợp tác 30 2.1 Ví dụ 2.3 34 2.2 Minh họa ví dụ 2.4 36 iv Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn thầy TS Nguyễn Văn Minh Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người thầy, người dìu dắt từ buổi hoàn thành luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, thầy, cô tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Nhân xin có lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán K8C (khóa 2014-2016) động viên giúp đỡ nhiều trình học tập, nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè Đã động viên tinh thần giúp đỡ vật chất kể từ ôn thi đến ngày hôm Thái Nguyên, tháng 11 năm 2016 Đàm Thị Dưỡng Học viên Cao học Toán K8c Chuyên ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Mở đầu Lý thuyết trò chơi nhánh toán học ứng dụng nghiên cứu tình huống, chiến thuật đối thủ lựa chọn chiến lược khác để cố gắng làm tối đa thắng lợi cho thân Ban đầu lý thuyết trò chơi phát triển công cụ để nghiên cứu hành vi kinh tế học, ngày lý thuyết trò chơi sử dụng nhiều nghành khoa học từ sinh học, quân sự,triết học, trị học, đạo đức học gần lý thuyết trò chơi thu hút ý nhà khoa học máy tính ứng dụng trí tuệ nhân tạo điều khiển học Năm 1950 đến năm 1951 John Nash phát triển định nghĩa chiến thuật tối ưu cho trò chơi sau biết đến "cân Nash" năm 1994 ông hai nhà kinh tế học khác đạt giải Nobel kinh tế đóng góp lĩnh vực lý thuyết trò chơi Trong khuôn khổ luận văn tác giả trình bày số khái niệm lý thuyết trò chơi số ứng dụng có tranh chấp kinh tế Nội dung Luận văn gồm chương • Chương 1.Trong chương tác giả trình bày khái niệm lý thuyết trò chơi như: trạng thái chấp nhận được, trạng thái cân Một trường hợp riêng quan trọng có ý nghĩa thực tiễn lớn trình bày tương đối đầy đủ, Trò chơi ma trận Trò chơi ma trận có hai loại, trò chơi ma trận đơn trò chơi ma trận kép Khái niệm điểm yên chiến lược đơn điểm yên chiến lược hỗn hợp trò chơi ma trận đơn Cuối chương tác giả trình bày trò chơi ma trận kép Khái niệm trạng thái Cân Nash nói tới Đây trạng thái đặc trưng trò chơi ma trận kép, cho ta sở toán học để giải thích số tượng tự nhiên, kinh tế, quân sự, ngoại giao • Chương Trong chương tác giả trình bày số ví dụ ứng dụng lý thuyết trò chơi kinh tế số lĩnh vực khác thông qua ví dụ cụ thể Một trường hợp điển hình trạng thái cân Nash tình lưỡng nan hai nghi can Rất nhiều trường hợp tự nhiên xã hội đưa toán Mặc dù cố gắng thực luận văn chắn luận văn thiếu sót Tác giả kính mong góp ý thầy cô, bạn anh chị đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Thái Nguyên, tháng 11 năm 2016 Đàm Thị Dưỡng Học viên Cao học Toán K8c Chuyên ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Chương Lý thuyết trò chơi 1.1 Khái niệm mở đầu Lý thuyết trò chơi lý thuyết toán học mô tả giải tình tranh chấp bên Ví dụ 1.1 -) Chơi cờ, xổ số, thi đấu thể thao -) Chiến tranh quân sự, cạnh tranh kinh tế, cạnh tranh người với thiên nhiên Mỗi chơi -) Có hai đấu thủ (trò chơi đôi); -) Có n đấu thủ (chơi tập thể) Định nghĩa 1.1 Cuộc chơi gọi đối kháng quyền lợi bên tham gia trái ngược Phần thắng người dẫn đến thiệt hại người khác Cuộc chơi gọi không đối kháng, nhóm số người chơi có lợi ích chung lợi ích riêng Trong suốt chơi, bước đi, bên tìm cách chơi cho -) Phần thắng cho thân lớn (kể trò chơi đối kháng không đối kháng) -) Tổn thất cho thân nhỏ (trò chơi đối kháng không đối kháng) -) Tổn thất cho đối phương lớn (trò chơi đối kháng) Định nghĩa 1.2 [Chiến lược người chơi] Là tập hợp quy tắc, chọn lựa người chơi xác định hành vi người chơi bước chơi, phụ thuộc vào trạng thái xảy trình chơi Nó phụ thuộc vào kết bước hành vi đối phương gây Giả sử có N người chơi trò chơi Gọi Ti; i = N tập hợp chiến lược có người chơi thứ i Quá trình chơi thể chỗ: người chơi i chọn cho chiến lược ti ∈ Ti suốt trình chơi Kết đạt trạng thái s, người chơi thứ i thu phần thắng Vi (s) Trò chơi tiến hành theo nhiều bước, mà bước thứ j người i áp dụng chiến lược tij ∈ Ti , người chơi i thu phần thắng Vi (sj ) Lại áp dụng chiến lược ti,j+1 ∈ Ti bước j + Tổng hợp tất phần thắng người chơi i bước phần thắng người suốt trình chơi Định nghĩa 1.3 [Trạng thái chấp nhận được] Trạng thái s trò chơi gọi chấp nhận người chơi i, trạng thái ′ người chơi i đổi từ chiến lược sử dụng ti sang chiến lược ti khác không tăng thêm thắng lợi cho thân Định nghĩa 1.4 [Trạng thái cân bằng] Trạng thái s gọi trạng thái cân bằng, trạng thái chấp nhận với người chơi Khái niệm trạng thái cân giống khái niệm điểm Pareto kinh tế thị trường (hiệu Pareto xảy phân bố xác định tài nguyên lợi ích thành viên, mà thành viên muốn tăng thêm lợi ích cho làm giảm lợi lợi ích thành viên khác) Trong trò chơi không liên hiệp trình giải trò chơi trình tìm trạng thái cân Định nghĩa 1.5 [Trò chơi với tổng số] Trò chơi gọi trò chơi với tổng số bước chơi tổng phần thắng tất người chơi không đổi số C Nói cách khác, tồn số 37 Khi ma trận ma trận phụ hợp Ad  A11 A21  A12 A22  A1m A2m  Am1 Am2   Amm i) Ma trận A không suy biến m aij qj = v, ∀i = m (2.3) j=1 Đây hệ m phương trình với m ẩn q1 , , qm A ma trận không suy biến, hệ 2.3 nghiệm.Viết lại hệ (2.3) dạng (2.4) A.q = v1T đây, ma trận/vector: = [1, 1, , 1]1×n Chú ý q = 0, v = 0, ngược lại A suy biến Từ giải nghiệm q = vA−11T (2.5) Vì q1 + q2 + + qm = suy 1q = Nhân trái hai vế (2.5) với 1, nhận = 1q = v1A−11T Suy v= (2.6) A−11T 1A−11T (2.7) 1A−11T Thay v từ (2.6) vào (2.5), ta q= Nếu tất thành phần q không âm, (2.6) phương án tối ưu người chơi P2 Tương tự trên, ta tìm chiến lược tối ưu cho người chơi P1 1A−1 p= 1A−1 1T (2.8) 38 ii) Ma trận A suy biến Vì ma trận nghịch đảo ma trận phụ hợp có liên hệ A−1.det(A) = Ad , từ suy Ad 1T det(A) 1Ad ;q = ;v = p= T T 1Ad 1Ad 1Ad 1T (2.9) Định lý 2.1 Giả sử 1Ad 1T = hai vector p,q xác định từ (2.9) thành phần âm, (2.9) nghiệm toán Nhận xét 2.2 Nghiệm viết dạng (2.9) áp dụng trường hợp ma trận A suy biến, khối lượng tính toán lớn phải tính ma trận phụ hợp Ad Nếu ma trận A không suy biến, nên áp dụng (2.6)-(2.8), ma trận A−1 tìm phương pháp Gauss Ví dụ 2.5 Giải trò chơi "Oẳn-tù-tỳ", biết ma trận trò chơi −1 −1 1 −1 Giải Mỗi người chơi có ba chiến lược đơn giấy, búa kéo Các chiến lược đơn có vai trò Ma trận trò chơi ma trận vuông cấp suy biến, ta áp dụng (2.9) Tính đại lượng Ma trận phụ hợp 1 Aj = 1 1 Định thức ma trận det(A) = Từ tìm hai vector chiến lược 1 p = [ , , ]; 3 1 q = [ , , ] 3 39 Hai vector p, q thành phần âm, chúng phương án tối ưu cho người chơi Kết cục hai người hòa, giá trò chơi v = Ví dụ 2.6 Hãy tìm chiến lược tối ưu cho bên, với ma trận trò chơi −2 A = −2 −1 −1 Giải ( 4, −2, 7, 0) = −2 (−2, 1, 4, −1) = −2 ( 1, 0, −1, 2) = −1 v = max (−2, −2, −1) = −1 max ( 4, −2, 1) = max (−2, 1, 0) = max ( 7, 4, −1) = max ( 0, −1, 2) = v = (4, 1, 7, 2) = v < v , ma trận điểm yên ngựa, chiến lược tối ưu chiến lược đơn Ta tìm chiến lược tối ưu chiến lược hỗn hợp Ma trận A có: aij = −2, đặt C = 2, đưa ma trận A dạng có phần tử không âm cách cộng vào phần tử ma trận A lượng C = 2, ta + −2 + + + ′ A = −2 + + + −1 + = + + −1 + 2 + Cặp toán đối ngẫu là: Với người chơi thứ (bài toán gốc) f = x1 + x2 + x3 → 6x1 + 3x3 ≥ 3x2 + 2x3 ≥ 9x1 + 6x2 + x3 ≥ 2x1 + x2 + 4x3 ≥ x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ Với người chơi thứ hai (bài toán đối ngẫu) g = y1 + y2 + y3 + y4 → max 6y1 + 9y3 + 2y4 ≤ 3y2 + 6y3 + y4 ≤ 3y1 + 2y2 + y3 + 4y4 ≤ y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0, y4 ≥ Ta giải toán người chơi thứ thứ hai Nhưng giải toán người chơi thứ hai đơn giản hơn, biến phụ cộng vào, có ma trận đơn vị Dạng tắc toán thứ hai g ′ = −y1 −y2 −y3 −y4 +0y5 +0y6 +0y7 → 6y1 +9y3 +2y4 +y5 = +3y2 +6y3 +y4 +y6 = (2.10) 3y1 +2y2 +y3 +4y4 +y7 = yj ≥ j = 40 J cJ yJ 0 1 c1 = −1 6 -1 c2 = −1 c3 = −1 1 c4 = −1 c5 = 0 1/3 c6 = 0 0 c7 = 0 0 1/3 1/3 -3 10/3 1/3 0 -1 15 2/3 -14/3 1/3 1/3 10/9 1/3 -2/9 -4/9 -1/9 1/3 -2/3 -1 -1 1/9 -1 0 -1/3 -2 4/3 1/3 -1/3 Bảng 2.1: Bảng đơn hình ví dụ 2.6 Mọi số ước lượng ∆j ≤ 0; j = Vậy phương án tối ưu toán tắc 19 , 31 , 0, 0, 13 , 0, Từ suy phương án tối ưu toán g → max 1 y = (y1, y2, y3, y4) = , , 0, vector y thỏa mãn lỏng ràng buộc thứ toán đối ngẫu, x1 = 0, y1 = 1/9 > 0; y2 = 1/3 > hai ràng buộc đầu toán gốc phải thỏa mãn chặt, ta có hệ phương trình 6x1 + 3x3 = 1; 3x2 + 2x3 = 1, x1 = 0, giải ta (x1, x2, x3) = 0; 1/9; 1/3) Vì max yj = max u1 = j=1 umin = − g ′ = c = nên giá chơi là: umin − = 94 − = 41 = vmax − Chiến lược tối ưu người chơi thứ 19 19 ; p3 = = p1 = = 0; p2 = 94 34 41 Chiến lược tối ưu người chơi thứ hai q1 = 2.2 19 19 = ; q2 = ; q3 = 0; q4 = 94 34 Các ứng dụng lý thuyết trò chơi Lý thuyết trò chơi nói chung, trò chơi ma trận nói riêng có tính ứng dụng cao Nó sử dụng để giải thích Toán học tượng xã hội loài vật xã hội loài người Dùng lý thuyết trò chơi, ta giải thích tượng xảy kinh tế, trị, ngoại giao, quốc phòng sau ta xét số toán cụ thể 2.2.1 Khó tăng giá thị trường cạnh tranh hoàn hảo Giả sử thị trường mua bán mặt hàng với giá ổn định Giả sử thị trường có nhiều người bán nhiều người mua Kể người bán người mua, không đủ mạnh đề thao túng giá thị trường Xét tình có người bán (ký hiệu P1 ) muốn tăng giá bán người bán lại (ký hiệu P2 ) có đồng ý tăng giá hay không Ta xét lợi ích P1 với giả thiết sau Nếu P1 tăng giá bán P2 tăng giá, P1 tăng thêm đơn vị tiền nhờ giá tăng, lượng khách mua không tăng Nếu P1 tăng giá bán P2 không tăng giá, P1 không bán hàng giá cao thị trường, bị lỗ đơn vị tiền Nếu P1 không tăng giá bán P2 không tăng giá bán; thị trường thay đổi, tiền tăng thêm Nếu P1 không tăng giá bán P2 tăng giá, P1 bán nhiều hàng giá thấp thị trường, tăng thêm đơn vị tiền Đây trò chơi có hai người chơi P1 P2 Trò chơi tóm tắt bảng Từ ta có ma trận phần thắng người bán P1 −1 A= 42 P1 Tăng giá Không tăng giá Tăng giá 1 P2 Không tăng giá -1 Bảng 2.2: Phần thắng người bán tăng giá Từ ma trận ta nhận thấy người bán hàng lựa chọn chiến lược không tăng giá an toàn tự tăng giá Mặc dù người bán muốn tăng giá bán giá không tăng Chú thích 2.1 Mục 2.2.1 giải thích giá muối ăn Việt Nam tăng, giá thấp Sở dĩ có tượng số dân làm muối nước ta đông, họ bàn bạc với để tăng giá bán Không người dân tự ý tăng bán hàng 2.2.2 Hiện tượng giới động vật Đàn trâu rừng đông, bị đàn sư tử đuổi, đàn trâu biết chạy, mạnh chạy, không trâu quay lại chống cự Để giải thích tượng này, ta có vài giả thiết i) Coi đàn trâu có 10 con, có sư tử ii) Mỗi trâu đàn chạy nhanh nhau, chiến đấu khỏe nhau, có nghĩa xác suất bị sư tử bắt iii) Một trâu thua sư tử, từ hai trâu thắng sư tử iv) Sư tử đuổi đàn trâu vồ trâu Sư tử không vồ thứ hai chừng chưa ăn hết trâu thứ Ta giải thích tượng thiên nhiên lý thuyết trò chơi Đây trò chơi mà P1 trâu đàn trâu; P2 trâu lại Đây trò chơi ma trận đơn, thỏa mãn điều kiện -) Có hai "người" chơi, trâu đàn (P1 ), trâu lại người chơi thứ hai (P2 ) 43 -) Người chơi P1 có hai chiến lược đơn bỏ chạy đánh lại -) Nếu P1 thoát chết, có trâu chín lại phải chết Ta lập bảng tóm tắt chơi sau Từ ta có ma trận phần thắng, P2 P1 Bỏ chạy Đánh lại Bỏ chạy 9/10 Đánh lại 1 Bảng 2.3: Xác suất sống trâu tức ma trận sống sót trâu P1 A= 10 1 Ma trận A có hàng thứ lớn hàng thứ hai, suy hàng thứ hai hàng thừa, trâu chọn chiến lược đơn hàng thứ Thí dụ giải thích tượng thiên nhiên, đàn trâu bỏ chạy trước sư tử Chú thích 2.2 Thực tự nhiên, giả thiết ii) không xảy Trong đàn trâu có yếu nhất, làm mồi cho sư tử Đó chọn lọc tự nhiên giúp cho đàn trâu lại khỏe mạnh 2.2.3 Giải trừ vũ khí hạt nhân Ta xét ví dụ cân Nash Đó xét tính khả thi Hiệp định giải trừ vũ khí hạt nhân hai cường quốc Giả sử có hai quốc gia, ký hiệu P1 P2 có khả sản xuất sở hữu vũ khí hạt nhân Bản thân nước nhận thấy sở hữu vũ khí hạt nhân giúp cho nước mạnh hơn, an toàn kể thời bình xảy chiến tranh Nhưng sản xuất sở hữu vũ khí hạt nhân tốn khâu sản xuất bảo quản, giữ gìn.Vì hai nước ký Hiệp định giải trừ vũ khí hạt nhân, thỏa thuận với hủy bỏ số vũ khí hạt nhân có không sản xuất Tuy nhiên, sau ký Hiệp định, nước ngấm ngầm toan tính cho 44 riêng Nhờ Lý thuyết trò chơi ta xét hành xử nước kết cục đàm phán Vấn đề an toàn quốc gia cần lượng hóa Có lượng hóa nói "Quốc gia an toàn quốc gia kia" thuật ngữ "an toàn " có nghĩa Từ việc lượng hóa, ta có: Nếu hai nước vũ khí hạt nhân, độ an toàn cho nước 2 Nếu nước có vũ khí hạt nhân, nước không có; nước có vũ khí hạt nhân có độ an toàn 3, nước có độ an toàn 0, nước vũ khí hạt nhân bị đe dọa Nếu hai nước có vũ khí hạt nhân, độ an toàn cho nước Điều có lý, hai nước có vũ hạt nhân, độ an toàn cho nước thấp hai Bảng tóm tắt trò chơi Các ma trận trò chơi P2 P1 Không Có Không (2,2) (3,0) Có (0,3) (1, 1) Bảng 2.4: Độ an toàn cho quốc gia (A, B) = (2, 2) (0, 3) 2 ;A = ;B = (3, 0) (1, 1) Xét ma trận kép (A; B) ta thấy cặp phần tử (a22 , b22) trạng thái cân Nash Đây trạng thái nước biết chắn nước có vũ khí hạt nhân, an toàn cho nước phải có Xét riêng ma trận A, phần tử a22 = điểm yên ngựa A Đây chiến lược maximin nước P1 , chiến lược sử dụng nước P2 có vũ khí hạt nhân hay không Xét riêng ma trận B , phần tử b22 = điểm yên ngựa ma trận B , chiến lược maximin P2 lựa chọn P1 Từ phân tích rút P1 dù biết hay P2 có vũ khí 45 hạt nhân hay không, hàng chiến lược ưu tiên P1 ; tương tự vậy, P2 dù biết hay P1 có vũ khí hạt nhân hay không, cột chiến lược ưu tiên P2 Cuối hai nước sở hữu vũ khí hạt nhân Kết không tối ưu cho nước, vừa phí tốn kém, vừa có độ an toàn quốc gia thấp, lựa chọn bất đắc dĩ cho nước, giải thích vũ khí hạt nhân giới không giảm mà có xu hướng tăng 2.2.4 Tình lưỡng nan hai nghi can Có hai người bị nghi tham gia vụ trộm Người ta giam người nơi, không cho liên hệ với nhau, đặt điều kiện cho người Nếu hai khai, người bị phạt giam năm Nếu người không khai, người khai, người khai bị giam năm, người không khai bị phạt 10 năm Nếu hai không khai, người bị giam năm Giải Tóm tắt trò chơi bảng P1 Khai Không khai P2 Khai Không khai (-4;-4) (-1;-10) (-10;-1) (-2;-2) Bảng 2.5: Tình lưỡng nan nghi can Đây trò chơi có hai người chơi hai nghi can Vì phần thắng năm phạt giam, số năm bị phạt mang dấu âm (A, B) = (− 4, −4) (−1, −10) − −1 −4 −10 ; A = −10 −2 ; B = −1 − (−10, −1) (−2, − 2) Tìm a11 = max (−4, −10) = −4; a12 = max (−1, −2) = −1; b11 = max (−4, −10) = −4; b22 = max (−1, −2) = −1 46 Dễ thấy trò chơi có điểm cân Nash 1, = (−4, −4), nghĩa người bị phạt giam năm Đây lựa chọn tốt cho hai nghi can, lựa chọn tốt cho hai, hai không khai, người bị phạt giam năm Tuy nhiên nghi can thay đổi chiến lược từ khai sang không khai, đơn phương không khai báo chịu mức án 10 năm, sai khác nhiều so với mức án năm 2.2.5 Ứng dụng trò chơi hợp tác Trong mục 2.2.1, 2.2.2 2.2.3 ta xét trường hợp hai người chơi bí mật lựa chọn Từ dẫn tới nhiều chiến lược lựa chọn lại không cho lợi ích lớn Trong mục ta xét trường hợp hai người chơi thỏa thuận với việc chọn chiến lược chia sẻ lợi ích kiếm nhờ hợp tác với Đây chiến lược cho phần thắng lớn cho hai người chơi Ví dụ 2.7 Xét trò chơi ma trận kép (0, 0) (6, 2) (−1, 2) (4, −1) (3, 6) ( 5, 5) a) Hãy tìm chiến lược maximin cho người chơi b) Tìm điểm cân Nash c) Tìm phần thắng hai người chơi hợp tác −1 2 Giải A = ; B = −1 a) Trong trường hợp người chơi P1 lựa chọn P2 , người chơi P1 phải tìm chiến lược chắn, chiến lược maximin Ký hiệu vector chiến lược người chơi thứ p = (p, − p) Khi đó, vector phần thắng v = (p, − p)A = −4p + 4; 3p + 3; −6p + 24 Tìm max −4p + 4; 3p + 3; −6p + = Từ suy v1∗ = p∈[0;1] 7 Ý nghĩa vector p trường hợp lựa chọn người chơi thứ hai, người chơi thứ sử dụng chiến lược đơn thứ 47 sử dụng chiến lược đơn thứ hai với tỷ lệ , có 7 phần thắng chắn Tương tự, người chơi P2 lựa chọn P1 , P2 phải tìm chiến lược maximin cho với ma trận B , ý người chơi P2 chọn cột Ma trận B có cột thứ hai lớn cột thứ cột thứ ba Ta phần tử b12 = điểm yên Từ suy v2∗ = Điều có nghĩa người chơi thứ hai người thận trọng phải chọn cột thứ hai với tỷ lệ 100%, phần thắng chắn với tỷ lệ b) Theo thuật toán tìm điểm cân Nash đơn, ta cân Nash đơn cặp phần tử 1, = (6, 2) Ý nghĩa là, cách đó, người chơi thứ biết người chơi thứ hai chọn cột thứ hai Khi tốt người chơi thứ chọn hàng thứ nhất, nhận phần thắng 6, chọn chiến lược khác, phần thắng không vượt Tương tự, người chơi thứ hai biết người chơi thứ chọn hàng thứ nhất, phải chọn cột thứ hai, nhận phần thắng Các chiến lược khác cho phần thắng không c) +) Bước max max(aij + bij ) = + = 10 đạt cặp chiến lược i j 2, Mỗi người nhận phần thắng +) Bước Giải trò chơi tổng không, với ma trận −3 C = A − B = −3 Trong ma trận C = A − B có cột thứ lớn cột thứ ba, cột thứ chiến lược thừa Trong trò chơi tổng không này, chiến lược tối ưu người chơi p∗ = (3/10; 7/10), q∗ = (0; 3/10; 7/10) Giá trò chơi δ = −9/10 Từ (1.23), tọa độ điểm M M((10 − 9/10)/2; (10 + 9/10)/2), 48 v1 = 4, 55v v2 = 5, 45 So với phần thắng sau đàm phán chưa dịch chuyển lợi ích (5, 5); phần lợi ích chia sẻ 0,45 từ P1 sang P2 Phần thắng chưa hợp tác D1∗ = p∗Aq∗T = 3/10(6.3/10 − 7/10) + 7/10.(3.3/10 + 5.7/10) = 3, 41 D2∗ = p∗Bq∗T = 3/10(2.3/10+2.7/10)+7/10(6.3/10+5.7/10) = 4, 31 Chú ý tam giác DRS tam giác vuông cân, tìm điểm M cách hạ vuông góc từ D∗ = (D1∗ ; D2∗ ) lên đường thẳng v1 + v2 = σ , tìm trung điểm đoạn thẳng RS Ví dụ 2.8 Xét trò chơi chia sẻ lợi ích với cặp ma trận (1, 5) (2, 2) (0, 1) (A, B) = (4, 2) (1, 0) (2, 1) (5, 0) (2, 3) (0, 0) Giải −4 −1 1 2 1 ;C = A− B = ,B = A= −1 0 Ma trận C = A − B có hai điểm yên ngựa c22 = c23 = Ta xét điểm: I) Điểm yên c23 = Chiến lược maximin người p = (0, 1, 0); q = (0, 0, 1) D1 = pAqT = 2; D2 = pBqT = Điểm D = (D1 , D2 ) = (2, 1); max max aij + bij = i j Đường thẳng v1 + v2 = σ = Trung điểm đoạn thẳng RS M = (7/2, 5/2) a) Nếu chiến lược hợp tác 2, = (4, 2), suy M = (4 − 1/2, + 1/2) P1 trả cho P2 lượng 1/2 b) Nếu chiến lược hợp tác 1, = (1, 5), suy M = (1 + 5/2, − 5/2) P2 trả cho P1 lượng 5/2 II) Điểm yên ngựa c22 = Chiến lược maximin người p′ = (0, 1, 0), q′ = (0, 1, 0); 49 D1 = p′ Aq′T = 1, D2 = p′ Bq′T = Điểm D′ = (D1′ , D2′ ) = (1, 0); Hạ đường vuông góc D′ M ′ xuống đường thẳng v1 + v2 = σ = Tính tọa độ M ′ = (7/2, 5/2) 50 Kết luận Luận văn thực nhiệm vụ đặt ra, Trình bày lại số khái niệm lý thuyết trò chơi Trình bày trò chơi ma trận bao gồm có trò chơi ma trận đơn trò chơi ma trận kép Ứng dụng lý thuyết trò chơi để giải số vấn đề có tranh chấp kinh tế, giải thích số tượng tự nhiên xã hội 51 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Khắc Minh, Vũ Hoàng Ngân (2004), Lý thuyết trò chơi ứng dụng, NXB Thống kê Hà nội [2] Nguyễn Khắc Minh (2002), Nhập môn lý thuyết trò chơi ứng dụng kinh tế-Kinh doanh, NXB Khoa học kỹ thuật Hà nội [3] Trần Vũ Thiệu (2004), Giáo trình tối ưu tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà nội [4] Tô Cẩm Tú (1997), Một số phương pháp tối ưu hóa kinh tế, NXB Khoa học kỹ thuật Hà nội Tiếng Anh [5] Robert Gibbons (1992), Game Theory for Applied Economists, https://wiwimaster.de/ /Game [6] Saul l Gass (1984), Linear Programming methods and applications, McGraw-Hill Book Company [7] Thomas S Ferguson (2000),Part II Two-Person Zero-Sum Games, https://www.math.ucla.edu/ tom/Game-Theory/mat.pdf [8] Thomas S Ferguson (2000),Part III Two-Person Zero-Sum Games, https://www.math.ucla.edu/ tom/Game-Theory/mat.pdf [...]... 1.2 Trò chơi ma trận Trong mục này ta xét trò chơi chỉ có hai người chơi Ta sẽ ký hiệu P1 là người chơi thứ nhất, P2 là người chơi thứ hai Ký hiệu T1 và T2 tương ứng là tập hợp các chiến lược đơn của P1 và P2 Định nghĩa 1.8 Trò chơi được gọi là trò chơi ma trận nếu thỏa mãn các điều kiện 1 Trò chơi có hai người chơi, 2 Mỗi người có hữu hạn chiến lược đơn, 3 Nếu người thứ nhất chọn chiến lược i trong. .. thay đổi gì so với chiến lược maximin trong trò chơi ma trận đơn Nhưng với người chơi P2 thì có sự khác biệt, đó là ở đây người chơi P2 cũng sử dụng chiến lược maximin chứ không phải minimax như trong trò chơi ma trận đơn Chú ý rằng người chơi P2 chọn cột còn P1 chọn hàng 1.5.5 Chiến lược thừa trong trò chơi ma trận kép Tương tự như trò chơi ma trận đơn, trò chơi ma trận kép cũng có khái niệm chiến lược... cách khác là trò chơi ma trận đơn là trường hợp riêng của trò chơi ma trận kép -) Khác với trò chơi ma trận đơn, trò chơi ma trận kép không có một người thắng, một người thua mà cả hai người đều là người thắng -) Trong suốt cuộc chơi, mỗi người chơi chỉ tìm chiến lược sao cho phần thắng của mình lớn nhất mà không quan tâm đến phần thắng của người kia Vì vậy, trò chơi ma trận kép là trò chơi không đối... gọi là trò chơi với tổng không Người ta cũng đã chứng minh được định lý sau đây (xem [4]) Định lý 1.1 Mọi trò chơi có tổng C = 0, luôn luôn đưa về trò chơi có tổng bằng không Ví dụ 1.2 Có N doanh nghiệp, gọi C là mức thuế mà Nhà nước ấn định cho các doanh nghiệp này trong một kỳ ngân sách Đây là trò chơi với tổng là hằng C , mà những người chơi là các doanh nghiệp mà Nhà nước ấn định mức thuế Trò chơi. .. Chú ý rằng, trò chơi này có cân bằng Nash trong chiến lược đơn, đó là 2, 2 = (3, 2), nếu sử dụng cặp chiến lược 2, 2 phần thắng của P1 là 3 và của P2 vẫn là 2 So với chiến lược cân bằng Nash, phần thắng của P2 không đổi, nhưng phần thắng của P1 tăng từ 3/2 lên 3 1.5.6 Trò chơi hợp tác (Xem [8]) Cho đến đây, ta vẫn xét trò chơi mà thông tin về sự lựa chọn của mỗi người chơi được giấu kín, trò chơi như... Xét trò chơi với ma trận 5 −3 1 −3 1 −5 Giải Người chơi P1 có hai chiến lược đơn p(1) = (1, 0) : p(2) = (0, 1) : chỉ sử dụng hàng 1 chỉ sử dụng hàng 2 và một tập vô hạn chiến lược hỗn hợp T1 = {p = p1 p(1) + p2 p(2) 0 ≤ p1, p2 ≤ 1, p1 + p2 = 1} Người chơi thứ hai có ba chiến lược đơn q(1) = (1, 0, 0) : chỉ sử dụng cột 1 q(2) = (0, 1, 0) : chỉ sử dụng cột 2 q(3) = (0, 0, 1) : chỉ sử dụng cột 3 và một... người chơi thứ nhất; Ma trận B gọi là ma trận phần thắng của người chơi thứ hai Hai ma trận A và B còn được viết theo cặp như sau:   (a11, b11) (a12, b12) (a1n, b1n)  (a , b ) (a22 , b22) (a2n, b2n)  (A, B) =  21 21  (am1 , bm1) (am2 , bm2) (amn , bmn) 22 Chú ý 1.4 -) Khi A = −B trò chơi trở thành trò chơi đối kháng, đây là trường hợp duy nhất trò chơi ma trận kép là trò chơi đối... có 2 người chơi là trò chơi mà người này thắng bao nhiêu thì người kia thua bấy nhiêu, vì vậy trò chơi mà chỉ có hai người chơi luôn luôn là trò chơi đối kháng Định nghĩa 1.6 Chiến lược đơn là chiến lược xác định riêng biệt và người chơi có thể chọn với tần suất (xác suất) bằng 1 Định nghĩa 1.7 Chiến lược hỗn hợp là chiến lược kết hợp các chiến lược đơn, mà mỗi chiến lược đơn này được sử dụng với một... chiến lược hỗn hợp trong trò chơi ma trận Xét trò chơi, với ma trận là  a11  a21  am1 a12 a22 am2  a1n a23   amn 12 Ở mục trên ta đã xét trường hợp cả hai người chơi đều chỉ áp dụng chiến lược đơn, nghĩa là khi đã sử dụng hàng nào (cột nào), thì sử dụng hàng đó (cột đó) với tần suất 100% Nếu chỉ sử dụng chiến lược đơn sẽ không giải thích được ví dụ 2.2 vì ở ví dụ này, người chơi P1 có phần... vì người chơi P1 không sử dụng hàng thứ i của ma trận A, do đó các phần tử bi1 , bi2, , bin không bao giờ tham gia vào các chiến lược của người chơi P2 , và cũng xóa hàng i của ma trận B Lập luận tương tự nếu ma trận B có cột j là cột thừa Giải trò chơi ma trận kép là tìm chiến lược maximin cho mỗi người chơi Ví dụ 1.14 Giải trò chơi ma trận (2, 0) (1, 3) (0, 1) (3, 2) 2 1 hay là A = 0 3 0 3 và B = ... nhà kinh tế học khác đạt giải Nobel kinh tế đóng góp lĩnh vực lý thuyết trò chơi Trong khuôn khổ luận văn tác giả trình bày số khái niệm lý thuyết trò chơi số ứng dụng có tranh chấp kinh tế Nội... = −B trò chơi trở thành trò chơi đối kháng, trường hợp trò chơi ma trận kép trò chơi đối kháng Hay nói cách khác trò chơi ma trận đơn trường hợp riêng trò chơi ma trận kép -) Khác với trò chơi. .. Toán ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Chương Lý thuyết trò chơi 1.1 Khái niệm mở đầu Lý thuyết trò chơi lý thuyết toán học mô tả giải tình tranh chấp bên Ví dụ 1.1 -) Chơi