Một số định lí giới hạn trong lý thuyết xác suất và ứng dụng trong thống kê

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TÓM TẮT BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP BỘ D cD ho MỘT SỐ ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỐNG KÊ Mã số: B2020-DNA-9 g an aN Chủ nhiệm đề tài: TS Lê Văn Dũng Đà Nẵng, 2022 BO GIAO DUC VA DAO TAO • 11.;_1 HOC DA NANG e: ' • • TOM TAT BAO cAo TONG KET DE TAI KHOA HQC VA CONG NGH.¢ CAP BQ D ho MOT SO DINH Li GIOI HAN TRONG LY THUYET xAc suAT vA UNG DUNG TRONG THONG KE KHCN & MT TRUONG BAN TS Tntdng Le Bich Tram Da Ning, 2022 Chu nhi�m c1i tai (ky, h ten) g l\.oJA f1tl8R� , � tai an Xac nhan cua CO'T,gua ,c , aN cD Ma sA: B2020-DNA-9 BO arAo ouc vA oAo T�o D�I HQC DA NANG THONG TIN KET QUA NGHIEN CUU aN cD ho D Thong tin chung: - Tend� tai: M(>t sf> dinh li gi6i h� ly thuy8t xac smit va ung dµng th6ng ke - Ma sf>: B2020-DNA-9 - Chu nhi�m: TS Le Van Dung - Thanh vien tham gia: TS.T� Cong San, PGS.TS Le Van Thanh,TS.TonThit Tu,ThS Nguy�n Thi Hai Y8n, NCS.Tnln Dong Xuan,ThS Nguy�n Thi Thu An - Ca quan chu tri: D?i h9c Da N�ng - Thm gian thvc hi�n tu 01/2020d8n 12/2021 Myc tieu: - Cacdinh li gi6i h� va cac ung d\lng th6ng ke, phvc V\l cong tac giang d?y va nghien cuu cua cac giang vien giang d�y hQc phful Ly thuy8t xac suit va th6ng ke - ThiSt l�p m{>t sf> k8t qua vS lu�t s6 16n vadinh Ii gi6i h?n trung tam d6i v6i day bi8n ng�u nhien c6 mo men VO h� va ung d\lflg th6ng ke Tinh men va sang t,o: Thu duqc m(>t sf> kSt qua m6i v� cac dinh Ii gi6i h�n ly thuySt xac suit va ung d\lllg th6ng ke Tom ti\t k�t qua nghien cU'U: Hc va ung dvng m(>t s6 mo hinh th6ng ke Ten san ph§m: - 03 cong trinhdang tren t?p chi SCIE, Q2: an [1] L.V Dung, T.C Son &TonThat Tu (2021) Convergence in mean and central limit theorems for weighted sum of martingale difference random vectors with infinite rth moments, Statistics, 55(2), 386-408 g [2] T.C Son & L.V Dung (2021) Central limit theorems for weighted sums of dependent random vectors in Hilbert spaces via the theory of the regular variation, Journal of Theoretical Probability [3] L.V Dung & T.C Son (2021) Complete moment convergence for m-ANA random variables and statistical applications, Journal ofStatistical Computation and Simulation - 01 cong trinhdang tren t�p chi nu6c: [1] T.D Xuan, N.T Quyen, N.T.T An & L.V Dung (2021) Convergence in probability for the estimator of nonparametric regression model based on pairwise independent errors with heavy tails, Tqp chi Khoa h()c va Cong ngh? Dqi h9c Duy Tan, 45(2), 51-57 - I Giao trinh "Ly thuy8t xac suit" - 01Th�c si: Nguy�n Trlln Quy�n - 01 Nghien cuu sinh: Trftn Dong Xuan MỞ ĐẦU Tổng quan tình hình nghiên cứu nước g an aN cD ho D Trong định lý giới hạn lý thuyết xác suất luật số lớn định lý giới hạn trung tâm đóng vai trị quan trọng nghiên cứu thống kê ứng dụng thống kê Các định lí giới hạn dãy biến ngẫu nhiên có phương sai hữu hạn nhiều nhóm nghiên cứu nước cơng bố Điển hình nhóm nghiên cứu Trường Đại học Vinh GS Nguyễn Văn Quảng phụ trách Tuy vậy, định lí luật số lớn, định lí giới hạn trung tâm dãy biến ngẫu nhiên có phương sai vơ hạn có 01 báo nhóm nghiên cứu công bố năm 2018 Các kết nghiên cứu định lí giới hạn dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phương sai vơ hạn nhiều tác giả giới nghiên cứu Còn dãy biến ngẫu nhiên martingale có phương sai vơ hạn chưa nhiên cứu nhiều Bên cạnh việc ứng dụng lý thuyết xác suất nghiên cứu tốn thống kê, kinh tế, tài thời gian gần nhiều tác giả cơng bố tạp chí có uy tín Trong thời gian gần đây, số kết luật số lớn định lí giới hạn trung tâm dãy biến ngẫu nhiên có mơ men vơ hạn cơng bố tạp chí có uy tín Journal of Theoretical Probability, Journal of Applied Probability, Statistics & Probability Letters, Acta Mathematica Hungarica, Vì vậy, thấy định lí giới hạn dãy nhiên ngẫu nhiên có mơ men cấp r vô hạn với < r ≤ vấn đề thời Hơn có nhiều mơ hình thống kê liên quan đến sai số ngẫu nhiên có phương sai vơ hạn ứng dụng trọng thực tế chưa nghiên cứu nhiều Trên sở kết nghiên cứu định lí giới hạn dãy biến ngẫu nhiên có mơ men hữu hạn công bố gần đây, mở rộng theo số hướng khác để thu kết cho dãy biến ngẫu nhiên có mơ men vô hạn Đồng thời áp dụng kết thu vào số mơ hình thống kê ứng dụng Tính cấp thiết đề tài Trong tốn dự báo kinh tế có nhiều mơ hình tốn xây dựng Chẳng hạn: 1) Mơ hình hồi quy tuyến tính: Yi = β0 + β1 Xi1 + + βk Xik + εi , i = 1, 2, , n 2) Mơ hình hồi quy phi tuyến: Yi = f (Xi ) + εi , i = 1, 2, , n 3) Mơ hình tự hồi quy: Xi = β0 + β1 Xi−1 + + βk Xi−k + εi , i = 1, 2, , n Mơ hình MA, ARMA, GARCH, Trong εi , i = 1, 2, , n sai số ngẫu nhiên Mục tiêu aN cD ho D Các tham số mơ hình ước lượng thông qua mẫu ngẫu nhiên Yêu cầu quan trọng ước lượng phải hội tụ (hầu chắn, theo xác suất, theo hàm phân phối) tham số lý thuyết Để đạt u cầu giả thiết đưa sai số ngẫu nhiên có kì vọng phương sai hữu hạn Trong trường hợp sai số ngẫu nhiên có phương sai vơ hạn, định lí hội tụ tham số có khơng cịn Đề tài chúng tơi nghiên cứu định lí giới hạn dãy nhiên ngẫu nhiên có mơ men cấp r vô hạn với < r ≤ (khi biến ngẫu nhiên có phương sai vô hạn) Trên sở kết nghiên cứu trên, xét ứng dụng vào số mơ hình thống kê dự báo với sai số ngẫu nhiên có phương sai vơ hạn Đề tài dự kiến thu số kết luật số lớn, định lí giới hạn trung tâm ứng dụng ước lượng tham số số mơ hình hồi quy, mơ hình trung bình trượt, có phương sai sai số ngẫu nhiên vơ hạn; ứng dụng lý thuyết xác suất toán thống kê, tài bảo hiểm Các định lí giới hạn lý thuyết xác suất ln vấn đề thời sự, nhiều nhà khoa học quan tâm có ảnh hưởng to lớn đến phát triển lý thuyết xác suất ứng dụng thống kê Các kết nghiên cứu cổ điển thường xét cho dãy biến ngẫu nhiên có mơ men hữu hạn Trong thời gian gần đây, số kết luật số lớn định lí giới hạn trung tâm dãy biến ngẫu nhiên có mơ men vô hạn công bố tạp chí có uy tín Journal of Theoretical Probability, Journal of Applied Probability, Statistics & Probability Letters, Acta Mathematica Hungarica, Nghiên cứu theo hướng này, chủ nhiệm đề tài nghiên cứu cộng nghiên cứu cơng bố 08 báo tạp chí quốc tế Q2 Q3 danh mục tạp chí SCIE Ngồi ra, ứng dụng lý thuyết xác suất tốn thống kê, tài bảo hiểm có tính thời Theo hướng nghiên cứu này, nhóm nghiên cứu công bố 06 báo tạp chí quốc tế Q1 Q2 danh mục tạp chí SCI SCIE g an Mục tiêu đề tài nhằm thực số nội dung sau: - Các định lí giới hạn ứng dụng thống kê phục vụ công tác giảng dạy nghiên cứu giảng viên giảng dạy học phần Lý thuyết xác suất thống kê toán khu vực miền Trung Tây Nguyên - Thiết lập số kết luật số lớn định lí giới hạn trung tâm dãy biến ngẫu nhiên có mơ men vơ hạn ứng dụng thống kê Cách tiếp cận Tiếp cận kết luật số lớn, định lí giới hạn trung tâm cơng bố tạp chí có uy tín giới, hợp tác nghiên cứu với Nhà tốn học có uy tín chuyên ngành xác suất thống kê nước giới Đề tài thừa kế kết định lí giới hạn dãy biến ngẫu nhiên có phương sai hữu hạn Làm rõ hạn chế phát triển định lí giới hạn dãy biến ngẫu nhiên có phương sai hữu hạn Tiếp cận ứng dụng thống kê dãy biến ngẫu nhiên có mơ men vơ hạn Tiếp cận ứng dụng lý thuyết xác suất tài chính, bảo hiểm 3 Đối tượng nghiên cứu phạm vi nội dung nghiên cứu 6.1 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài định lí giới hạn trung tâm luật số lớn dãy biến ngẫu nhiên có mơ men vơ hạn, ứng dụng lý thuyết xác suất thống kê, tài bảo hiểm 6.2 Phạm vi nội dung nghiên cứu Các định lí giới hạn lý thuyết xác suất, ứng dụng lý thuyết xác suất thống kê, tài bảo hiểm g an aN cD ho D CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong tồn nội dung đề tài chúng tơi ln giả thiết (Ω, F, P ) không gian xác suất đầy đủ Cho (an ; n ≥ 1) (bn ; n ≥ 1) dãy số dương Chúng tơi kí hiệu an ≍ bn cho khái niệm < lim inf an /bn ≤ lim sup an /bn < ∞; an = o(bn ) có nghĩa limn→∞ an /bn = 0; kí hiệu an ∼ bn sử dụng cho limn→∞ an /bn = Các khái niệm kí hiệu với nghĩa tương tự hai hàm số dương Hàm tiêu tập hợp A kí hiệu I(A) Trong toàn báo cáo đề tài này, số C không thiết giống lần xuất Hàm biến đổi chậm D 1.1 ho Định nghĩa 1.1 ([3]) Cho a ≥ Hàm đo f (x) xác định [a; ∞) gọi biến đổi chậm vô cực cD f (tx) → t → ∞ với mọil x > f (t) log+ x, log+ (log+ x), aN Với x > ta kí hiệu log+ x = max{1, ln x}, ln x hàm logarit tự nhiên Clearly, log+ x , hàm biến đổi chậm log+ (log+ x) an Kết sau gọi Định lí Karamata g Bổ đề 1.2 ([3]) Cho f ∈ RV (r) bị chặn địa phương [x0 ; ∞) với x0 ≥ Khi 1) Với σ ≥ −(r + 1), x xσ+1 f (x)/ tσ f (t)dt → σ + r + x → ∞ x0 2) Với σ < −(r + 1), ∞ x σ+1 tσ f (t)dt → −(σ + r + 1) x → ∞ f (x)/ x Cho ℓ(x) hàm biến đổi chậm vơ cực Theo Định lí 1.5.13 [3], tồn hàm biến đổi chậm vô cực ℓ# (x) thỏa mãn ℓ(x)ℓ# (xℓ(x)) → ℓ# (x)ℓ(xℓ# (x)) → x → ∞ Hàm ℓ# (x) gọi liên hợp Bruijn ℓ(x), (ℓ, ℓ# ) gọi cặp liên hợp biến đổi chậm (có thể xem [3]) Chẳng hạn với ℓ(x) = log+ (x) ta có ℓ# (x) = 1/ log+ (x) Bổ đề sau suy từ Định lí 1.5.12 Mệnh đề 1.5.15 [3] 1 Bổ đề 1.3 Cho a, b > 0, let f (x) = xab ℓa (xb ) g(x) = x ab ℓ# b (x a ) ℓ(x) hàm biến đổi chậm vô cực Khi f (g(x)) ∼ g(f (x)) ∼ x 1.2 Các khái niệm hội tụ Định nghĩa 1.4 [18] Dãy biến ngẫu nhiên (Xn ; n ≥ 1) hội tụ đầy đủ biến ngẫu nhiên X với ε > 0, ∞ P (|Xn − X| > ε) < ∞ n=1 c Kí hiệu Xn → − X n → ∞ Định nghĩa 1.5 [18] Dãy biến ngẫu nhiên {Xn ; n ≥ 1} gọi hội tụ hầu chắn đến biến ngẫu nhiên X P (ω : lim Xn (ω) = X(ω)) = n→∞ h.c.c Khi ta viết Xn −−−→ X n → ∞ Mệnh đề 1.6 Các điều kiện sau tương đương: h.c.c (1) Xn −−−→ X n → ∞; (2) lim P ( ∞ k=n [ω : |Xk (ω) − X(ω)| > ε]) = với ε > 0; n→∞ (3) lim P (ω : supk≥n |Xk (ω) − X(ω)| > ε]) = với ε > D n→∞ ho Từ mệnh đề ta suy hội tụ đầy đủ kéo theo hội tụ hầu chắn Định nghĩa 1.7 [18] Dãy biến ngẫu nhiên (Xn ; n ≥ 1) hội tụ theo xác suất biến ngẫu nhiên X với ε > 0, cD lim P (|Xn − X| > ε) = n→∞ P aN Kí hiệu Xn − → X n → ∞ an Định nghĩa 1.8 [18] Dãy biến ngẫu nhiên (Xn ; n ≥ 1) hội tụ theo trung bình biến ngẫu nhiên X lim E(|Xn − X|) = n→∞ g L Kí hiệu Xn −→ X n → ∞ Định lý 1.9 (Bất đẳng thức Markov) [18] Cho biến ngẫu nhiên X Giả sử E(|X|r ) < ∞ với r > Khi dó với x > ta có, P (|X| > x) ≤ L E(|X|r ) xr P Từ bất đẳng thức Markov ta có Xn −→ X dẫn đến Xn − → X Định nghĩa 1.10 [18] Dãy biến ngẫu nhiên (Xn ; n ≥ 1) hội tụ theo phân phối biến ngẫu nhiên X nếu, lim P (Xn ≤ x) = P (X ≤ x) với x ∈ c(FX ), n→∞ c(FX ) tập hợp điểm liên tục hàm phân phối xác suất FX (x) = P (X ≤ x) D Kí hiệu Xn − → X n → ∞ 6 1.3 Biến ngẫu nhiên đôi độc lập Định nghĩa 1.11 Hai biến ngẫu nhiên X Y gọi độc lập với x, y ∈ R ta có: P ({X < x} ∩ {Y < y}) = P ({X < x})P ({Y < y}) Định nghĩa 1.12 Dãy biến ngẫu nhiên (Xn ; n ≥ 1) gọi đôi độc lập với i ̸= j ta có: P ({Xi < x} ∩ {Xj < y}) = P ({Xi < x}).P ({Xj < y}) ∀ x, y ∈ R 1.4 Một số khái niệm biến ngẫu nhiên phụ thuộc Một khái niệm phụ thuộc có nhiều ứng dụng biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm (NA), khái niệm giới thiệu Alam Saxena [1] Sau đó, khái niệm nghiên cứu kĩ Joag-Dev Proschan [21] Định nghĩa 1.13 Một dãy hữu hạn biến ngẫu nhiên (Xi ; ≤ i ≤ n) gọi phụ thuộc âm (NA) với tập rời A, B ⊂ {1, 2, , n}, ta có D Cov(f (Xi , i ∈ A), g(Xj , j ∈ B)) ≤ cD ho với f g hàm không giảm theo tọa độ cho hiệp phương sai vế bên trái tồn Một dãy vô hạn biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi phụ thuộc âm với n ≥ 1, {X1 , X2 , , Xn } is dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm aN Khái niệm ρ∗ -mixing dược đưa Bradley [4] Dãy biến ngẫu nhiên {Xn ; n ≥ 1} gọi ρ∗ -mixing ρ∗ (s) = sup{ρ(S, T ); S, T ⊂ N : dist(S, T ) ≥ s} → s → ∞, ρ(S, T ) = sup{ | Cov(X, Y )| V ar(X)V ar(Y ) g an : X ∈ L2 (σ(Xi : i ∈ S)), Y ∈ L2 (σ(Xi : i ∈ T ))} Zhang Wang [35] đưa khái niệm biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm tiệm cận (ANA) sau Định nghĩa 1.14 Dãy biến ngẫu nhiên {Xn ; n ≥ 1} gọi phụ thuộc âm tiệm cận (ANA) ρ− (s) = sup{ρ− (S, T ); S, T ⊂ N : dist(S, T ) ≥ s} → s → ∞, (1.1) ρ− (S, T ) = ∨ sup{ Cov(f (Xi , i ∈ S), g(Xj , j ∈ T )) V ar(f (Xi , i ∈ S))V ar(g(Xj , j ∈ T )) : f, g ∈ C} C tập tất hàm không giảm Zhang Wang [35] khái niệm biến ngẫu nhiên ANA bao hàm khái niệm ρ∗ -mixing NA Họ đưa ví dụ dãy biến ngẫu nhiên ANA NA ρ∗ -mixing Wu cộng [34] mở rộng khái niệm sang m-ANA sau 7 Định nghĩa 1.15 Dãy biến ngẫu nhiên (Xn ; n ≥ 1) gọi m-ANA (trong m số nguyên dương cho trước) với n ≥ với i1 , i2 , , in cho |ik − il | ≥ m với ≤ k ̸= l ≤ n, ta có Xi1 , Xi2 , , Xin dãy biến ngẫu nhiên ANA Lấy x+ = max{x, 0} x− = − min{x, 0} Dễ dàng chứng minh {Xn ; n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên m-ANA, {Xn+ ; n ≥ 1} {Xn− ; n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên m-ANA Nội dung từ Mục 1.5 đến Mục 1.8 tham khảo tài liệu [22] 1.5 1.5.1 Vectơ ma trận Vectơ Cho vectơ x có tọa độ (x1 , x2 , , xd ) ∈ Rd , dạng ma trận x viết dạng:   x1  x2    xd D [x1 x2 xd ]T , Ma trận cD 1.5.2 ho kí hiệu xT ma trận chuyển vị x aN Ma trận A = [aij ]m×d bảng số chữ nhật   a1d a2d   amd g an a11 a12  a21 a22  am1 am2 Mệnh đề 1.16 Cho A ma trận đối xứng cấp d × d Khi đó, A có d cặp giá trị riêng, vectơ riêng Mệnh đề 1.17 Nếu A ≥ giá trị riêng số thực khơng âm - Căn bậc hai ma trận Cho A ma trận vuông cấp d, đối xứng, xác định không âm Gọi (λ1 , e1 ), (λ2 , e2 ), , (λd , ed ) d cặp giá trị riêng, vectơ riêng A Đặt P = [e1 e2 ed ]T , Λ = diag( λ1 , , λd ) Khi ma trận A1/2 = P T ΛP thỏa mãn A1/2 A1/2 = A Do đó, A1/2 gọi ma trận bậc hai A - Chuẩn ma trận A = (aij )m×n định nghĩa m 1/2 n a2ij ∥A∥ = i=1 j=1 1.6 Vectơ ngẫu nhiên ma trận ngẫu nhiên Vectơ ngẫu nhiên X = [X1 X2 Xd ]T vectơ mà thành phần X1 , X2 , Xd biến ngẫu nhiên Tương tự ma trận X = [Xij ]m×d mà thành phần Xij mà biến ngẫu nhiên X gọi ma trận ngẫu nhiên 1.6.1 Vectơ trung bình ma trận hiệp phương sai Cho X = [X1 X2 Xd ]T vectơ ngẫu nhiên Vectơ E(X) = [E(X1 ) E(X2 ) E(Xd )]T gọi vectơ trung bình X, E(Xi ) giá trị trung bình (kì vọng) biến ngẫu nhiên Xi Đặt σij = E ((Xi − E(Xi ))(Xj − E(Xj ))) Ma trận cov(X) = Σ = [σij ]d×d gọi ma trận hiệp phương sai X Chú ý Σ mà ma trận đối xứng, xác định không âm 1.7 Định lí giới hạn trung tâm D Định nghĩa 1.18 Vectơ ngẫu nhiên X = (X1 , X2 , , Xd ) gọi có phân bố chuẩn d chiều X có hàm mật độ xác suất đồng thời ho f (x) = (2π)d/2 Σ1/2 −1 e− (x−µ)Σ (x−µ)T , x ∈ Rd , (1.2) aN cD µ = (m1 , , µd ) ∈ Rd Σ = [σij ]d×d ma trận đối xứng xác định dương tham số X Kí hiệu X ∼ Nd (µ; Σ) Trong trường hợp µ = Σ = Id N (0; Id ) gọi phân phối chuẩn tắc an g Định lý 1.19 (Định lí giới hạn trung tâm) Nếu (Xn ; n ≥ 1) dãy vectơ ngẫu nhiên d chiều độc lập phân phối xác suất có vectơ kì vọng ma trận hiệp phương sai Σ cho E(∥Xk ∥2 ) < ∞ ∥Fn − Φd ∥∞ = sup |Fn (x) − Φd (x)| → n → ∞ x∈Rd 1.8 Martingale Cho không gian xác suất (Ω, F, P ), G σ -trường F (G ⊂ F ) Ta nói vectơ ngẫu nhiên X tương thích với G X G -đo Cho (Fn ; n ≥ 1) dãy σ -trường F , dãy gọi không giảm Fm ⊂ Fn với m ≤ n Định nghĩa 1.20 Cho (Fn ; n ≥ 1) dãy σ -đại số không giảm F , (Xn ; n ≥ 1) dãy vectơ ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P ) Dãy (Xn , Fn ; n ≥ 1) gọi martingale thỏa mãn điều kiện sau: (i) Xn tương thích với Fn với n ≥ (ii) E(∥Xn ∥) < ∞ với n ≥ (iii) E(Xn+1 |Fn ) = Xn với n ≥ Dãy (Xn , Fn ; n ≥ 1) gọi hiệu martingale điều kiện (i), (ii) thực E(Xn+1 |Fn ) = với n ≥ CHƯƠNG MỘT SỐ ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỐNG KÊ 2.1 Luật số lớn dãy biến ngẫu nhiên đôi độc lập ứng dụng D Bổ đề 2.1 Cho {Xn ; n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên đôi độc lập thỏa mãn E(Xn ) = E(Xn2 ) < ∞ Khi đó, (a) E(| ni=1 Xn |) ≤ ni=1 E(|Xn |) (b) E(| ni=1 Xn |2 ) = ni=1 E(Xn2 ) cD ho Bổ đề 2.2 ([11]) Cho X biến ngẫu nhiên không âm Nếu P (X > x) ≍ x−r ℓ(x) với < r ≤ cho trước, ℓ(x) hàm biến đổi chậm vơ cực, (a) E(XI(X > x)) ≍ x1−r ℓ(x) (b) E(X α I(X ≤ x)) ≍ xα−r ℓ(x) if α > r > aN Bổ đề 2.3 (Bất đẳng thức Markov [7]) Giả sử biến ngẫu nhiên X có E(|X|r ) < ∞ với r > r ) Với x > 0, ta có P (|X| > x) ≤ E(|X| r x g an Bổ đề 2.4 ([7]) Cho r > Giả sử biến ngẫu nhiên X Y có E(|X|r ) < ∞ E(|Y |r ) < ∞ Khi đó, E(|X + Y |r ) ≤ 2r [E(|X|r ) + E(|Y |r )] Định lý 2.5 Cho < r < 2, < p ≤ r, cho {X, Xn ; n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên đơi độc lập, có phân phối xác suất với kì vọng P (|X| > x) ≍ x−r ℓ(x), ℓ(x) hàm biến đổi chậm vô cực thỏa mãn điều kiện ℓ(n1/p ) = o(nr/p−1 ) Cho {ani ; ≤ i ≤ n, n ≥ 1} mảng tam giác số thực thỏa mãn n a2ni = O(n) (2.1) i=1 Khi đó, n1/p n p ani Xi → − n → ∞ i=1 Ứng dụng Xét mơ hình hồi quy phi tham số: Yni = f (xni ) + εni , ≤ i ≤ n, (2.2) 10 xni điểm thiết kế cố định tập compact A ⊂ Rm , f (x) hàm hồi quy chưa biết, xác định A, εi sai số ngẫu nhiên Xét ước lượng hàm f (x): n fˆn (x) = (2.3) Wni (x)Yni , i=1 Wni (x) = W (x, xn1 , xnn ) hàm trọng số Với x ∈ A, sau giả thiết đưa hàm trọng số (A1) | ni=1 Wni (x) − 1| = o(1); (A2) | ni=1 |Wni (x)| = O(1); (A3) ni=1 |Wni (x)||f (xni ) − f (x)|I(∥xni − x∥ > a) = o(1) for any a > Định lý 2.6 Cho < r < 2, < p ≤ r Trong mơ hình (2.2), giả sử (ε, εi ; ≤ i ≤ n) dãy biến ngẫu nhiên đôi độc lập phân phối xác suất với kì vọng P (|ε| > x) ≍ x−r ℓ(x), ℓ(x) hàm biến đổi chậm vô cực thỏa mãn ℓ(n1/p ) = o(nr/p−1 ) Nếu n Wni (x) = O(n1−2/p ), (2.4) i=1 D với x ∈ c(f ), p fˆn (x) → − f (x) n → ∞, 2.2 cD ho c(f ) tập tất điểm liên tục hàm f (x) A aN Hội tụ đầy đủ dãy biến ngẫu nhiên m-ANA ứng dụng p k E E max 1≤k≤n i=1 k max 1≤k≤n i=1 n E(|Xi |p ), for < p < 2, ≤C Xk i=1 p Xk g an Bổ đề 2.7 ([13]) Cho {Xn ; n ≥ 1}là dãy biến ngẫu nhiên m-ANA với kì vọng E(|Xn |p ) < ∞ với p > Khi đó, tồn số dương C phụ thuộc m, p ρ− (·) cho với n ≥ 1, n ≤C E(|Xi |p ) + i=1 p/2 n E(|Xi |2 ) , for p ≥ i=1 Bổ đề 2.8 ([33]) Cho {Xi ; ≤ i ≤ n} {Yi ; ≤ i ≤ n} hai dãy biến ngẫu nhiên Khi đó, với 0< q < s, ϵ > a > 0, tồn số dương C phụ thuộc vào q cho q k E (Xi + Yi ) − ϵa max 1≤k≤n i=1 ≤C q + s ϵ s−q aq−s E max 1≤k≤n + max 1≤k≤n Xi i=1 q k + CE s k Yi i=1 Bổ đề 2.9 ([13]) Cho {Xi ; ≤ i ≤ n} {Yi ; ≤ i ≤ n} dãy biến ngẫu nhiên m-ANA không âm Giả sử {Xi ; ≤ i ≤ n} {Xi ; ≤ i ≤ n} độc lập với Khi {Xi Yi ; ≤ i ≤ n} dãy biến ngẫu nhiên m-ANA 11 Bổ đề 2.10 ([13]) Cho ≤ p < 2, r ≥ 1, β > 0, α > 0, 1/α + 1/β = 1/p, ℓ(x) hàm biến đổi chậm vô cực, ℓ(x) ≥ với x ≥ Hơn nữa, ℓ(x) hàm không tăng α = rp Cho {ani ; ≤ i ≤ n, n ≥ 1} mảng số dương cho n aαni = O(nℓ(n)) (2.5) i=1 Nếu X biến ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện (2.7) ,thì với s > max{α, (r − 1)β}, ∞ M= n=1 n nr−2 (nℓ(n))s/p asni E(|X|s I(ani |X| ≤ (nℓ(n))1/p )) < ∞ i=1 Bổ đề 2.11 ([13]) Cho ≤ p < 2, r ≥ 1, β > 0, α > với 1/α + 1/β = 1/p, ℓ(x) hàm biến đổi chậm vô cực, ℓ(x) ≥ với x ≥ Hơn nữa, ℓ(x) hàm không tăng α = rp Cho {ani ; ≤ i ≤ n, n ≥ 1} mảng số dương thỏa mãn (2.5) Nếu X biến ngẫu nhiên thỏa mãn (2.7), với < q < rp, ∞ N= D n=1 nr−2 aqni E(|X|q I(ani |X| > (nℓ(n))1/p )) < ∞ q/p (nℓ(n)) cD ho Định lý 2.12 Cho ≤ p < 2, r ≥ 1, β > 0, α > 0, 1/α + 1/β = 1/p, ℓ(x) hàm biến đổi chậm vô cực, ℓ(x) ≥ với x ≥ Hơn nữa, ℓ(x) hàm không tăng α = rp Cho {X, Xn ; n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên m-ANA, có phân phối xác suất có kì vọng 0, {Ani ; ≤ i ≤ n, n ≥ 1} mảng biến ngẫu nhiên m-ANA thỏa mãn n (E(|Ani |υ ))α/υ = O(nℓ(n)) aN (2.6) i=1 g an 2p(r−1) với υ > max{2, α, (r − 1)β, min{α,2,rp}−p } Giả sử {Xn ; n ≥ 1} {Ani ; ≤ i ≤ n, n ≥ 1} độc lập với Nếu  α < rp, E([|X|β ℓ# (|X|β )]r−1 ) < ∞ + β # β r−1 E([|X| ℓ (|X| )] log (|X|)) < ∞ α = rp,  rp # p r−1 E(|X| (ℓ (|X| )) ) < ∞ α > rp, (2.7) với < q < min{rp, 2} ϵ > 0, ∞ n=1 q k nr−2 E (nℓ(n))q/p Ani Xi − ϵ(nℓ(n))1/p max 1≤k≤n ∞ < ∞, i=1 (2.8) + k n r−2 P n=1 Ani Xi > ϵ(nℓ(n))1/p max 1≤k≤n < ∞ (2.9) i=1 Ví dụ 2.13 Cho {X, Xn ; n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên m-ANA, có phân phối xác suất với hàm mật độ xác suất chung c f (x) = |x|pr+1 (log+ |x|)s |x| > 1, trái lại, 12 r > 1, ≤ p < 2, s ≤ c số chuẩn hóa Áp dụng Định lí 2.12 với ℓ(x) = (log+ x)γ , với < q < min{rp, 2} ta có ∞ n=1 q k nr−2 E (n(log+ n)γ )q/p Ai Xi − ϵ(n(log+ n)γ )1/p max 1≤k≤n ∞ i=1 ϵ(n(log+ n)γ )1/p max 1≤k≤n < ∞ i=1 D Hệ 2.14 Cho ≤ p < 2, β > 0, α > 0, 1/α + 1/β = 1/p, ℓ(x) hàm biến đổi chậm vô cực, ℓ(x) ≥ với x ≥ Hơn nữa, ℓ(x) hàm không tăng α = 2p Cho {X, Xn ; n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên m-ANA, có phân phối xác suất với kì vọng 0, {Ani ; ≤ i ≤ n, n ≥ 1} mảng biến ngẫu nhiên m-ANA thỏa mãn (2.6)với r = Giả sử {Xn ; n ≥ 1} {Ani ; ≤ i ≤ n, n ≥ 1} độc lập với Nếu  α < 2p, E(|X|β ℓ# (|X|β )) < ∞ + β # β (2.10) E(|X| ℓ (|X| ) log (|X|)) < ∞ α = 2p,  2p # p E(|X| ℓ (|X| )) < ∞ α > 2p, ho n i=1 Ani Xi c → − (nℓ(n))1/p n → ∞ aN cD Hệ 2.15 Cho ≤ p < 2, α > p, ℓ(x) hàm biến đổi chậm vô cực, ℓ(x) ≥ với x ≥ Giả sử {X, Xn ; n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên m-ANA, có phân phối xác suất với kì vọng E(|X|p ) < ∞ Cho {An ; n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên m-ANA thỏa mãn n an (E(|Ai |υ ))α/υ = O(nℓ(n)) với υ > max{2, α} i=1 (2.11) g Giả sử {Xn ; n ≥ 1} {An ; n ≥ 1} độc lập với Khi k i=1 Ai Xi h.c.c −−−→ (nℓ(n))1/p n → ∞ Ứng dụng vào phương pháp bootstrap ∗ , , X ∗ Cho {Xi ; ≤ i ≤ n} tập biến ngẫu nhiên, gọi {Xn1 nmn } mẫu ngẫu nhiên ∗ , , X ∗ lấy theo phương pháp có hồn lại từ {Xi ; ≤ i ≤ n}, {Xn1 nmn } gọi mẫu bootstrap từ {Xi ; ≤ i ≤ n} với cỡ mẫu bootstrap mn (xem Efron [14]) Ta viết ∗ =X Xni Tni , Tn1 , , Tnmn biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối tập {1, 2, , n} đồng thời độc lập với {Xi ; ≤ i ≤ n} Trung bình mẫu bootstrap định nghĩa: ∗ Xn = mn mn i=1 Wni n ∗ Xni = mn = Wni Xi , i=1 mn I(Tnk = i) k=1 13 Định lý 2.16 Cho ≤ p < 2, α > 0, β > 0, 1/α + 1/β = 1/p, ℓ(x) biến đổi chậm vô cực, ℓ(x) ≥ với x ≥ Hơn nữa, ℓ(x) hàm không tăng α = 2p Giả sử {X, Xn ; n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên m-ANA, có phân phối xác suất cho  α < 2p, E(|X|β ℓ# (|X|β )) < ∞ + β # β (2.12) E(|X| ℓ (|X| )) log (|X|)) < ∞ α = 2p,  2p # p E(|X| (ℓ (|X| ))) α > 2p Nếu n = O(mn ) thì, n1−1/p ∗ c − E(X)) → − n → ∞ (X n (ℓ(n))1/β (2.13) Ứng dụng vào mơ hình hồi quy phi tham số Xét mơ hình hồi quy phi tham số với thiết kế ngẫu nhiên: Yni = f (Xni ) + εni , ≤ i ≤ n, (2.14) Xni ’s điểm thiết kết ngẫu nhiên tập compact A ⊂ Rd , εni ’s sai số ngẫu nhiên cho với n ≥ 1, (εn1 , εn2 , , εnn ) có phân phối xác suất với (ε1 , ε2 , , εn ) Xét ước lượng phi tham số hàm hồi quy f (x) định nghĩa D n ho fˆn (x) = Wni (x)Yni , (2.15) i=1 n i=1 |Wni (x)| (A3 ) n i=1 |Wni (x)|.|f (Xni ) − f (x)|I(∥Xni = O(1) h.c.c.; an (A2 ) aN cD Wni (x) = Wni (x, Xn1 , , Xnn ) trọng số ngẫu nhiên phụ thuộc vào x, Xni , , Xnn (xem [29]) Với x ∈ A, sau giả thiết hàm trọng số: (A1 ) | ni=1 Wni (x) − 1| = o(1) h.c.c.; − x∥ > a) = o(1) h.c.c với a > g Bằng cách áp dụng Hệ 2.14 ta thu kết sau Định lý 2.17 Cho ≤ p < 2, α > 0, β > 0, 1/α + 1/β = 1/p, ℓ(x) hàm biến đổi chậm vô cực, ℓ(x) ≥ với x ≥ Hơn nữa, ℓ(x) hàm không tăng α = 2p Trong mơ hình (2.14), giả sử {εn ; n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên m-ANA có kì vọng 0, bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên ε thỏa mãn  α < 2p, E(|ε|β ℓ# (|ε|β )) < ∞ + β # β (2.16) E(|ε| ℓ (|ε| ) log (|X|)) < ∞ α = 2p,  2p # p E(|ε| (ℓ (|ε| ))), α > 2p Giả sử {Wni (x); ≤ i ≤ n, n ≥ 1} mảng biến ngẫu nhiên m-ANA, độc lập với {εn ; n ≥ 1} Nếu có điều kiện (A1 )-(A3 ) n (E(|Wni |υ ))α/υ = O((nℓ(n))−α/β ) (2.17) i=1 2p với υ > max{2, α, β, min{α,2}−p }, với x ∈ c(f ), h.c.c fˆn (x) −−−→ f (x) n → ∞, c(f ) tập tất điểm liên tục hàm f (x) A (2.18) 14 2.3 Một số định lí giới hạn dãy vectơ ngẫu nhiên hiệu martingale ứng dụng Bổ đề 2.18 Cho (Xnj ; ≤ j ≤ mn , n ≥ 1) mảng hiệu martingale theo hàng tương thích với dãy σ -trường (Fnj ; ≤ j ≤ mn , n ≥ 1) Giả sử E(∥Xn ∥2 ) < ∞ với n Khi đó, tồn số dương C khơng phụ thuộc vào n cho   n n E(∥Xnj ∥2 ) ≤C Xnj E j=1 j=1 Mệnh đề 2.19 ([23]) Cho (Xnj ; ≤ j ≤ mn , n ≥ 1) mảng hiệu martingale theo hàng tương thích với dãy σ -trường (Fnj ; ≤ j ≤ n, n ≥ 1) Nếu L1 (a) max ∥Xnj ∥ −→ n → ∞, 1≤j≤mn mn P t Xnj Xnj − → I n → ∞, (b) j=1 Nd (0; I) n → ∞ D mn → j=1 Xnj − D Sn = aN cD ho Định lý 2.20 Cho < r ≤ (Xnj ; ≤ j ≤ mn , n ≥ 1) mảng vectơ hiệu martinge theo hàng tương thích với dãy σ -trường (Fnj ; ≤ j ≤ mn , n ≥ 1) Giả sử (Xnj ; ≤ j ≤ mn , n ≥ 1) bị chặn ngẫu nhiên vectơ ngẫu nhiên X Hr (x) = E(∥X∥r I(∥X∥ ≤ x) hàm biến đổi chậm vô cực Cho (Cnj ; ≤ j ≤ mn , n ≥ 1) mảng ma trận m × d số thực cho mn ∥Cnj ∥r Hr (∥Cnj ∥−1 ) < ∞ max ∥Cnj ∥ → n → ∞ sup n 1≤j≤mn Nếu < r < 2, an j=1 g mn L1 Cnj Xnj −→ n → ∞ j=1 Nếu r = thêm điều kiện mn P t t Cnj Xnj Xnj Cnj − → I n → ∞, j=1 mn D Cnj Xnj − → Nm (0; I) n → ∞ j=1 Với n ≥ 1, ta định nghĩa Dn : Dn = inf{s ≥ : n Hr (s) ≤ 1} sr Hệ 2.21 Cho < r ≤ (Xnj ; ≤ j ≤ n, n ≥ 1) mảng hiệu martingale theo hàng tương thích với dãy σ -trường (Fnj ; ≤ j ≤ n, n ≥ 1) Giả sử (Xnj ; ≤ j ≤ n, n ≥ 1) bị chặn ngẫu nhiên vectơ X Hr (x) = E(∥X∥r I(∥X∥ ≤ x)) hàm biến đổi chậm vô cực 15 Nếu < r < 2, n Dn L1 Xnj −→ n → ∞ j=1 Nếu r = thêm điều kiện n Dn2 Dn P t Xnj Xnj − → I n → ∞, j=1 n D Xnj − → Nd (0; I) n → ∞ j=1 Ví dụ 2.22 Cho (Xn = [Xn(1) , , Xn(d) ]t ; n ≥ 1) dãy vectơ hiệu martingale, (d) (1) Xn , , Xn biến ngẫu nhiên Pareto độc lập với hàm mật độ xác suất r 2|x|r+1 f (x) = , |x| > 1, trái lại D Trường hợp < r < n ho (n log + n)1/r L1 Xk −→ n → ∞ k=1 cD Trường hợp r = n D n log n aN Xj − → Nd (0; I) n → ∞ + j=1 g an Định lý 2.23 Cho(Xnj ; ≤ j ≤ mn , n ≥ 1) mảng hiệu martingale theo hàng biến ngẫu nhiên nhận giá trị khơng gian Rd tương thích với dãy σ -đại số (Fnj ; ≤ j ≤ mn , n ≥ 1) Giả sử (Xnj ; ≤ j ≤ mn , n ≥ 1) bị chặn ngẫu nhiên vectơ ngẫu nhiên X thỏa mãn P (∥X∥ ≥ x) ≍ x−r ℓ(x), < r ≤ ℓ(x) hàm biến đổi chậm vô cực Cho (Cnj ; ≤ j ≤ mn , n ≥ 1)là mảng ma trận kích thước m × d số thực cho mn ∥Cnj ∥r ℓ(∥Cnj ∥−1 ) → n → ∞ (2.19) j=1 Nếu < r < 2, mn P Cnj Xnj − → n → ∞ j=1 Nếu r = có thêm điều kiện mn P t t Cnj Xnj Xnj Cnj − → I n → ∞, j=1 mn D Cnj Xnj − → Nm (0; I) n → ∞ j=1 (2.20) 16 Hệ 2.24 Cho (Xnj ; ≤ j ≤ mn , n ≥ 1) mảng hiệu martingale theo hàng biến ngẫu nhiên nhận giá trị khơng gian Rd tương thích với dãy σ -đại số (Fnj ; ≤ j ≤ n, n ≥ 1) Giả sử (Xnj ; ≤ j ≤ n, n ≥ 1) bị chặn ngẫu nhiên vectơ ngẫu nhiên X thỏa mãn P (∥X∥ ≥ x) ≍ x−r ℓ(x), < r ≤ ℓ(x) hàm biến đổi chậm vô cực Cho (bn ; n ≥ 1) dãy số thực dương thỏa mãn nℓ(bn ) = n→∞ brn lim Nếu < r < 2, n bn P Xnj − → n → ∞ j=1 Nếu r = có thêm điều kiện b2n P t Xnj Xnj − → I n → ∞, j=1 n D → Nd (0; I) n → ∞ Xnj − j=1 D bn n cD ho Ví dụ 2.25 Cho (Xn = [Xn(1) , , Xn(d) ]t ; n ≥ 1) mảng hiệu martingale theo hàng biến ngẫu nhiên nhận giá trị khơng gian Rd tương thích với dãy σ -đại số tự nhiên, (1) (d) Xn , , Xn biến ngẫu nhiên Loggamma có phàm mật độ xác suất aN f (x, r, ν) = rν |x|−r−1 (log+ |x|)ν−1 /Γ(ν) n1/r (log+ n)ν−1 f (n) n L1 n→∞ g có an với |x| > 1, ν ≥ 1, < r < Áp dụng Hệ 2.24 với bn = n1/r (log+ n)ν−1 f (n), ≤ k ≤ n, lim f (n) = ∞, ta Xk −→ n → ∞ k=1 Ứng dụng Xét mơ hình hồi quy tuyến tính đơn giản y = βz + ε, y t = [y1 , , yd ], z ∈ R, β t = [β1 , , βd ] vectơ tham số, εt = [ε1 , , εd ] Với j = 1, 2, , n, ký hiệu zj giá trị biến độc lập, ynj giá trị biến phụ thuộc tương ứng, εnj sai số ngẫu nhiên Khi ta có ynj = βzj + εnj (2.21) Gọi βˆ ước lượng β theo phương pháp bình phương tối thiểu(xem Chương [22]): n βˆn = z2 j=1 zj ynj + + zn2 17 Gọi (bn ; n ≥ 1) dãy số dương cho bn → ∞ n → ∞ Đặt cnj = b n zj , z12 + +zn2 ta có n bn (βˆn − β) = cnj εnj j=1 Định lý 2.26 Trong mơ hình (2.21), giả sử n |cnj |r Hr (|cnj |−1 ) < ∞ max |cnj | → n → ∞ sup n 1≤j≤n j=1 Nếu < r < 2, L1 bn (βˆn − β) −→ n → ∞ Nếu r = thêm điều kiện n P c2nj εnj εtnj − → I n → ∞, j=1 D bn (βˆn − β) − → Nd (0, I) n → ∞ D Tiếp theo, chúng tơi xét mơ hình hồi quy phi tham số với thiết kế cố định: ho ynj = f (xnj ) + εnj , j = 1, 2, , n, (2.22) cD an aN f (x) = [f (1) (x), , f (d) (x)]t với f (1) (x), ,f (d) (x) hàm hồi quy chưa biết, xác định tập compact A ⊂ Rm ; xn1 , xn2 , , xnn điểm thiết kế cố định tập A; εn1 , εn2 , , εnn sai số ngẫu nhiên Giả sử (εnj ; ≤ j ≤ n) mảng hiệu martingle theo hàng tương thích với lọc σ -trường (Fnj ; ≤ j ≤ n) Một ước lượng hàm f (x) xác định n fˆn (x) = j=1 g wnj (x)ynj , wnj (x) = wnj (x, xn1 , , xnn ) hàm trọng số Chúng đưa số điều kiện hàm trọng số sau: (A1) | nj=1 wnj (x) − 1| = o(1); (A2) nj=1 |wnj (x)| = O(1); (A3) nj=1 |wnj (x)|∥f (xnj ) − f (x)∥I(∥xnj − x∥ > a) = o(1) for any a > Chú ý với điều kiện (A2), n |wnj (x)| Hr (|wnj (x)| sup n n −1 r ) ≤ E∥ε∥ sup n j=1 |wnj (x)| < ∞ j=1 Định lý 2.27 Trong mơ hình (2.22), giả sử (εnj ; ≤ j ≤ n, n ≥ 1) bị chặn ngẫu nhiên vectơ ngẫu nhiênε thỏa mãn Hr (x) = E(∥ε∥r I(∥ε∥ ≤ x)) hàm biến đổi chậm vô cực, với < r ≤ Với x ∈ c(f ), max |wnj (x)| → n → ∞ (2.23) 1≤j≤n Nếu < r < 2, L1 fˆn (x) −→ f (x) n → ∞ 18 Nếu r = thêm điều kiện n P wnj (x)εnj εtnj − → I n → ∞, j=1 D fˆn (x) − f (x) − → Nd (0, I) n → ∞, c(f ) tập tất điểm liên tục hàm f (x) A Lấy K : Rd → R+ hàm kernel cho K(x) = ∥x∥>1 Đặt nj K( x−x hn ) wnj (x) = n x−xni i=1 K( hn ) < hn → n → ∞ Hàm ước lượng kernel f định nghĩa n f˜n (x) = wnj (x)ynj = j=1 n x−xni i=1 K( hn ) n K( j=1 x − xnj )ynj hn D ho Định lý 2.28 Trong mơ hình (2.22), giả sử (εnj ; ≤ j ≤ n, n ≥ 1) bị chặn ngẫu nhiên vectơ ngẫu nhiên ε thỏa mãn Hr (x) = E(∥ε∥r I(∥ε∥ ≤ x)) hàm biến đổi chậm vô cực, với < r ≤ 2, f hàm Lipschitz A, với x ∈ A bất kì, cD max wnj (x) → n → ∞ 1≤j≤n aN Nếu < r < 2, L1 f˜n (x) −→ f (x) n → ∞ n P an Nếu r = thêm điều kiện g wnj (x)εnj εtnj − → I khin → ∞, j=1 D f˜n (x) − f (x) − → Nd (0, I) n → ∞  ... g an aN cD ho D Trong định lý giới hạn lý thuyết xác suất luật số lớn định lý giới hạn trung tâm đóng vai trò quan trọng nghiên cứu thống kê ứng dụng thống kê Các định lí giới hạn dãy biến ngẫu... tài định lí giới hạn trung tâm luật số lớn dãy biến ngẫu nhiên có mơ men vơ hạn, ứng dụng lý thuyết xác suất thống kê, tài bảo hiểm 6.2 Phạm vi nội dung nghiên cứu Các định lí giới hạn lý thuyết. .. E(Xn+1 |Fn ) = với n ≥ CHƯƠNG MỘT SỐ ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỐNG KÊ 2.1 Luật số lớn dãy biến ngẫu nhiên đôi độc lập ứng dụng D Bổ đề 2.1 Cho {Xn ; n ≥ 1}