(LUẬN văn THẠC sĩ) biến đổi tích phân fourier và ứng dụng trong thống kê toán học

Chuỗi Fourier

Định nghĩa chuỗi Fourier

Trước hết luận văn sẽ nhắc lại về chuỗi Fourier và một số tính chất quan trọng của nó.

Trong giáo trình giải tích hàm số một biến, chúng ta đã được giới thiệu về chuỗi Fourier của hàm khả tích và nghiên cứu sơ bộ về tính hội tụ của nó Định nghĩa 1.1.1 trình bày chuỗi hàm dạng a0, mở đầu cho việc tìm hiểu sâu hơn về chuỗi Fourier trong các ứng dụng toán học.

Chuỗi lượng giác được định nghĩa bởi biểu thức (a₀ + Σ(aₙ cos(nx) + bₙ sin(nx))), trong đó a₀, aₙ, bₙ (với n = 1, 2, ) là các hằng số Giả sử f(x) là một hàm liên tục trên khoảng (-∞, +∞) và có chu kỳ 2π Các hệ số a₀, aₙ, bₙ được xác định theo công thức: a₀ = 1/π.

Khi đó chuỗi lượng giác (1.1) với các hệ số được xác định theo công thức (1.2),(1.3),(1.4) được gọi là chuỗi Fourier của hàm f(x) và ký hiệu f(x) ∼ a 0

Chú ý rằng hàm f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π, do đó, trong các công thức (1.2), (1.3) và (1.4), chúng ta có thể thay thế tích phân từ -π đến π bằng tích phân trên bất kỳ đoạn nào có độ dài 2π.

Nếu f(x) là hàm chẵn thì từ các công thức (1.2),(1.3),(1.4) ta có b n 0(n= 1,2, ) còn a 0 = 2 π

Nếu f(x) là hàm lẻ thì a 0 = 0, a n = 0(n= 1,2, ) còn b n = 2 π

Chuỗi Fourier được định nghĩa cho hàm số tuần hoàn f(x) với chu kỳ 2π và khả tích trên đoạn [-π, π] Các hệ số Fourier được xác định qua công thức f(n) =ˆ 1.

−π f(x)e −inx dx, n∈ Z, (1.6) được gọi là hệ số Fourier của hàm f(x) Chuỗi hàm

X n=−∞ fˆ(n)e inx (1.7) được gọi là chuỗi Fourier của hàm f(x).

Thông thường ta ký hiệu hệ số Fourier của f(n)ˆ là c n và chuỗi Fourier của hàm f(x) được viết dưới dạng f(x)∼

Nếu chuỗi Fourier của hàm f hội tụ về đúng hàm f(x) thì f(x) +∞

Trường hợp tổng quát, nếu f : [a, b] →C và tuần hoàn với chu kỳ L = b−a thì hệ số Fourier và chuỗi Fourier được xác định như sau: fˆ(n) = 1

(1.9) Định nghĩa 1.1.3 Cho hàm f khả tích và tuần hoàn với chu kỳ 2π Với mỗi số tự nhiên N, tổng riêng thứ N của chuỗi Fourier của f được xác định bởi

X n=−N fˆ(n)e inx Tiếp theo ta trình bày về tính duy nhất và sự hội tụ đều của chuỗi Fourier.

Tính duy nhất và hội tụ đều của chuỗi Fourier

Đầu tiên ta sẽ nói về tính duy nhất của chuỗi Fourier.

Giả sử f và g là hai hàm khả tích trên [−π, π], tuần hoàn với chu kỳ 2π và có hệ số Fourier lần lượt là fˆvà gˆ được xác định theo công thức (1.6) fˆ(n) = 1

Nếu ta có hàm f = g thì f(n) = ˆˆ g(n) với mọi n ∈ Z Nhưng ngược lại, nếu các hệ số Fourier fˆ(n) = ˆg(n) thì chưa chắc f = g Ví dụ f(x) =x 3 + 2 6=g(x) = x+ 2 trên [−π, π], nhưng ta lại có

−π g(x)dx= 4π. Định lý 1.1.1 [7] Giả sử f là hàm khả tích trên [−π, π], tuần hoàn với chu kỳ 2π và fˆ(n) = 0 với mọi n ∈ Z Khi đó, nếu f liên tục tại x 0 thì f(x 0 ) 0.

Hệ quả 1.1.1 [7] Nếu f liên tục trên [−π, π] và fˆ(n) = 0 với mọi n∈ Z thì f = 0.

Theo định lý về tính duy nhất của chuỗi Fourier, nếu f và g là hai hàm liên tục trên đoạn [-π, π] và có hệ số Fourier lần lượt là f(n)ˆ và g(n)ˆ được xác định theo công thức fˆ(n) = 1, thì hai hàm này sẽ trùng nhau.

Khi đó, ta có f = g khi và chỉ khi fˆ(n) = ˆg(n).

Chuỗi Fourier hội tụ đều cho hàm liên tục f trên đoạn [−π, π] với chu kỳ 2π Theo định lý 1.1.3, nếu f(x) có dạng P∞ n=−∞fˆ(n)e inx và các hệ số thỏa mãn điều kiện P∞, thì chuỗi Fourier sẽ hội tụ đều.

−∞|f(n)|ˆ < ∞ thì chuỗi Fourier hội tụ đều đến hàm f, tức là

Chứng minh Ta nhắc lại rằng nếu một dãy của hàm liên tục hội tụ đều thì giới hạn của nó cũng liên tục Ta có

Theo giả thiếtP∞ n=−∞|fˆ(n)|< ∞nên theo dấu hiệu Weierstrass thìS N (f)(x) hội tụ đều đến hàm liên tục g(x) và suy ra g(x) ∞

Hơn nữa, hệ số Fourier của hàm g(x) đúng bằngfˆ(n) do đó fˆ(n) = ˆg(n)hay fˆ(n)−ˆg(n) = 0 Khi đó, áp dụng Hệ quả 1.1 cho hàm liên tụcf −g ta được f −g = 0 hay f = g Vậy

Định lý 1.1.4 khẳng định rằng nếu hàm f là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π và khả vi, liên tục cấp k trên khoảng [−π, π], thì các hệ số Fourier f(n) được đánh giá bởi fˆ(n) = O(1/|n|^k) khi |n| → ∞ Điều này có nghĩa là tồn tại một hằng số C > 0 sao cho fˆ(n) ≤ |n|^C k Đặc biệt, khi k ≥ 2, chuỗi Fourier sẽ hội tụ đều trên khoảng [−π, π].

Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ đi tìm hiểu về tích phân Fourier và mối liên hệ của nó với chuỗi Fourier.

Tích phân Fourier

Khái niệm về biến đổi tích phân

Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm f(x) xác định trên [a, b] Khi đó

K(x, k)f(x)dx (1.10) được gọi là biến đổi tích phân của hàm f, trong đó K(x, k) được gọi là nhân của biến đổi, là hàm số với hai biến x và k

Toán tử F, hay còn gọi là toán tử biến đổi tích phân, thực hiện phép biến đổi tích phân cho hàm F(k), với k là biến biến đổi Đối với hàm nhiều biến, biến đổi tích phân cũng được xác định tương tự.

K(x, k)f(x)dx, (1.11) trong đó x = (x₁, x₂, , xₙ) và k = (k₁, k₂, , kₙ) với S ⊂ Rⁿ, thể hiện ý tưởng của toán tử biến đổi tích phân Toán tử này tương tự như toán tử vi phân tuyến tính D ≡ d/dx, khi tác động lên hàm số f(x) để tạo ra một hàm số mới f₀(x).

Thông thường, f 0 (x)được gọi là đạo hàm hay ảnh của f(x)đối với phép biến đổi tuyến tính D.

Có nhiều loại biến đổi tích phân quan trọng, bao gồm biến đổi Fourier, Laplace, Hankel và Melin Những biến đổi này được xác định bởi các nhân K(x, k) khác nhau cùng với các giá trị a và b khác nhau.

Dễ thấy F là toán tử tuyến tính vì với các hằng số α, β bất kỳ, f(x) và g(x) xác định trên [a, b] ta có

Công thức tích phân Fourier

Một hàm f(x) được gọi là thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong khoảng

(i) f(x) chỉ có hữu hạn điểm gián đoạn hữu hạn trong khoảng −a < x < a và không có điểm gián đoạn vô hạn.

(ii) f(x) chỉ có một số hữu hạn các điểm cực đại và cực tiểu trong khoảng

Từ lý thuyết của chuỗi Fourier ta biết rằng nếu f(x) thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong khoảng −a < x < a thì nó có thể biểu diễn như là chuỗi Fourier phức tạp f(x) ∞

X n=−∞ a n exp(inπx/a), (1.13) trong đó các hệ số a n được xác định bởi a n = 1 2a

Biểu diễn này có chu kỳ 2a, nhưng vế phải của (1.13) không thể biểu diễn f(x) ngoài khoảng −a < x < a, mặc dù f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2a Do đó, bài toán trên khoảng hữu hạn dẫn đến chuỗi.

Bài toán Fourier trên trục thực từ −∞ đến ∞ dẫn đến công thức tích phân Fourier Chúng ta sẽ tìm một biểu diễn tích phân cho hàm không tuần hoàn f(x) trong khoảng (−∞, ∞) khi a tiến tới vô cực Đặt k_n = nπa và δk = (k_{n+1} − k_n) = πa, sau đó thay thế hệ số a_n vào (1.13), ta thu được biểu thức f(x) = 1.

Khi a tiến tới vô cực, biến số k trở thành một biến liên tục và δk chuyển thành dk Do đó, tổng có thể được thay thế bằng tích phân trong giới hạn này, dẫn đến kết quả f(x) = 1.

Công thức tích phân Fourier được biểu diễn dưới dạng ∞ f(ξ)e −ikξ dξ e ikx dk Mặc dù có nhiều lập luận chưa chặt chẽ để chứng minh công thức này, nhưng nó vẫn được coi là chính xác và hợp lý cho các hàm khả vi liên tục từng đoạn trong khoảng hữu hạn và khả tích tuyệt đối trên toàn trục thực.

Một hàm f(x) được gọi là khả tích tuyệt đối trên (−∞,∞) nếu

Công thức (1.16) được chứng minh là hợp lý trong điều kiện tổng quát hơn, như thể hiện trong Định lý 1.2.1 (Định lý tích phân Fourier) Nếu hàm f(x) thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên khoảng (−∞,∞) và có khả tích tuyệt đối trên cùng khoảng này, thì tích phân Fourier (1.16) sẽ hội tụ đến giá trị 1/2 [f(x+ 0) + f(x−0)] tại các điểm gián đoạn hữu hạn x.

Nếu hàmf(x) liên tục tại x thì f(x+ 0) =f(x−0) = f(x) Khi đó công thức (1.18) trở thành công thức (1.16).

Biểu diễn nhân tố mũ exp[ik(x−ξ)] trong (1.16) dưới dạng hàm lượng giác cho phép sử dụng tính chẵn lẻ của hàm cosine và hàm sine theo biến k Do đó, (1.16) có thể được viết lại thành f(x) = 1/π.

Công thức tích phân Fourier có thể được biểu diễn dưới dạng ∞ f(ξ) cosk(x−ξ)dξ Trong lĩnh vực vật lý, hàm f(x) giảm rất nhanh khi |x| tiến tới vô cực, điều này đảm bảo sự tồn tại của các tích phân lặp.

Bây giờ ta giả sử rằng f(x) là hàm chẵn và khai triển hàm cosine trong (1.19) ta thu được f(x) = f(−x) = 2 π

Nó được gọi là công thức tích phân Fourier cosine.

Tương tự, với f(x) là hàm lẻ, ta thu được công thức tích phân Fourier sine f(x) = −f(−x) = 2 π

Trong chương tiếp theo, chúng ta sẽ khám phá biến đổi tích phân Fourier và các tính chất liên quan đến nó, dựa trên những kiến thức đã được nghiên cứu về chuỗi Fourier và tích phân Fourier.

Biến đổi tích phân Fourier và các tính chất cơ bản

Định nghĩa và ví dụ

Biến đổi Fourier là một khái niệm quan trọng trong toán học và kỹ thuật, được định nghĩa thông qua công thức tích phân Fourier (1.16) Định nghĩa 2.1.1 cho biết rằng biến đổi Fourier của hàm f(x) được ký hiệu bằng một ký hiệu đặc biệt.

F {f(x)}= F(k), k ∈ R, được xác định bởi tích phân

−∞ e −ikx f(x)dx, (2.1) trong đó F được gọi là toán tử biến đổi Fourier hay biến đổi Fourier và √ 1

Biến đổi Fourier phức được xác định từ công thức 2π 1 trong (1.16) Để hàm f(x) có biến đổi Fourier, điều kiện cần thiết là f(x) phải khả tích tuyệt đối trên khoảng (-∞, ∞) Sự hội tụ tuyệt đối của f(x) đảm bảo rằng tích phân trong (2.1) cũng hội tụ và đồng thời hội tụ đều theo k.

Biến đổi Fourier chỉ được định nghĩa cho các hàm khả tích tuyệt đối, điều này tạo ra một hạn chế lớn trong nhiều ứng dụng vật lý Nhiều hàm đơn giản và phổ biến như hàm hằng, hàm lượng giác sin(ax), cos(ax), hàm mũ và hàm x^n H(x) không có biến đổi Fourier, mặc dù chúng thường xuyên xuất hiện trong thực tiễn Tích phân (2.1) không hội tụ khi f(x) thuộc một trong những dạng này, cho thấy hạn chế của lý thuyết biến đổi Fourier Định nghĩa 2.1.2 cho biết biến đổi Fourier ngược, ký hiệu F^−1 {F(k)} = f(x), được xác định như thế nào.

−∞ e ikx F(k)dk, (2.2) trong đó F −1 được gọi là toán tử biến đổi Fourier ngược.

Cả F và F −1 đều là toán tử tích phân tuyến tính Trong ứng dụng, x thường được coi là biến không gian và k = (2π/λ) là biến bước sóng, với λ là bước sóng Tuy nhiên, trong kỹ thuật điện, x được thay thế bằng biến thời gian t và k được thay thế bằng tần số w = 2πν, trong đó ν là tần số tính bằng chu kỳ mỗi giây Hàm F(w) = F{f(t)} được gọi là phổ của hàm tín hiệu theo thời gian f(t) Trong lý thuyết kỹ thuật điện, biến đổi Fourier được định nghĩa theo cách này.

−∞ f(t)e −2πνit dt, (2.3) và biến đổi ngược của nó

F(w)e iwt dw, (2.4) trong đó w = 2πν được gọi là tần số góc.

Sau đây chúng ta sẽ đi xét một số ví dụ về biến đổi Fourier.

Ví dụ 2.1.1 Tìm biến đổi Fourier của exp(−ax 2 ).

4a), a >0 (2.5) Bằng định nghĩa ta có

−∞ e −a(x 2 +y 2 ) dxdy Đặt: x= rcosθ, y = rsinθ Khi đó

F {e −x 2 /2 }= e −k 2 /2 (2.6) Điều này chỉ ra rằng F {f(x)}= f(k) Đồ thị của hàm f(x) = exp(−ax 2 ) và biến đổi Fourier của nó ứng với a= 1 được minh họa bằng Hình 2.1.

Hình 2.1: Đồ thị hàm f(x) = exp(−ax 2 ) và F(k) với a= 1.

Ví dụ 2.1.2 Tìm biến đổi Fourier của exp(−a|x|).

Ta sẽ đi chứng minh

Ta chú ý rằng f(x) = exp(−a|x|)giảm nhanh về 0 và không khả vi tại x = 0. Đồ thị của f(x) = exp(−a|x|) và biểu diễn Fourier của nó ứng vớia = 1 được minh họa bằng Hình 2.2.

Ví dụ 2.1.3 Tìm biến đổi Fourier của f(x)

Hình 2.2: Đồ thị hàm f(x) = exp(−a|x|) và F(k) với a= 1. trong đó H(x) là hàm Heaviside được định nghĩa bởi

(2.10) ở đây a là số thực cố định Như vậy hàm Heaviside H(x−a) gián đoạn hữu hạn tại x= a.

Ví dụ 2.1.4 Tìm biến đổi Fourier của hàm đặc trưng χ [−a,a] (x), trong đó χ [−a,a] (x) = H(a− |x|) 

Đồ thị của hàm f(x) = χ [−a,a] (x) và biến đổi Fourier của nó ứng với a = 1.

Hình 2.3: Đồ thị của hàm f(x) =χ [−a,a] (x) và F(k) với a = 1.

Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng

Để xác định biến đổi Fourier của một hàm suy rộng một cách tự nhiên, ta xem xét f(x) như một hàm suy rộng Ưu điểm của phương pháp này là mọi hàm suy rộng đều có biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược, trong khi đó, biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược của các hàm thông thường tạo thành một tập con của các hàm suy rộng.

Một hàm được coi là tốt khi nó là một hàm giá trị thực hoặc phức g(x) xác định cho mọi x ∈ R và có khả năng vi phân vô hạn lần tại mọi điểm Đặc biệt, mỗi đạo hàm của hàm này phải tiến tới 0 khi |x| → ∞ với tốc độ nhanh hơn bất kỳ lũy thừa dương nào của (x − 1) Nói cách khác, với mỗi số nguyên dương N và n, giới hạn lim phải thỏa mãn điều kiện trên.

|x|→∞x N g (n) (x) = 0, thì hàm g(x) được gọi là một hàm tốt.

Lớp hàm tốt, ký hiệu là S, đóng vai trò quan trọng trong giải tích Fourier nhờ vào các định lý nghịch đảo, tích chập và phép lấy vi phân Những hàm này cho phép rút ra các dạng đơn giản mà không gặp vấn đề về sự hội tụ Đặc điểm giảm nhanh về 0 và khả vi vô hạn của hàm tốt đảm bảo rằng biến đổi Fourier của nó cũng là một hàm tốt.

Một hàm tốt đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết hàm suy rộng, với một dạng đặc biệt là hàm tốt có giá bị chặn, mang lại ý nghĩa lớn trong nghiên cứu Ngoài ra, hàm tốt còn sở hữu nhiều tính chất quan trọng khác.

• Tổng của hai hàm tốt là một hàm tốt.

• Tích và tích chập của hai hàm tốt cũng là một hàm tốt.

• Đạo hàm của một hàm tốt là một hàm tốt.

Một hàm tốt thuộc lớp các hàm khả tích Lebesgue L^p với mọi 1≤ p≤ ∞ Mặc dù tích phân của một hàm tốt không nhất thiết phải là tốt, nhưng nếu φ(x) là một hàm tốt, thì hàm g xác định bởi g(x) = ∫ φ(t) dt từ -∞ đến x sẽ có những tính chất nhất định.

−∞ φ(t)dt là hàm tốt khi và chỉ khi R∞

Những hàm tốt trong không gian R không chỉ cần tính liên tục mà còn phải thỏa mãn các điều kiện liên tục đều và liên tục tuyệt đối Tuy nhiên, một hàm tốt không nhất thiết phải có khai triển Taylor trong mọi khoảng Ví dụ, ta có thể xem xét một hàm tốt với giá trị bị chặn g(x).

Hàm g được coi là hàm tốt vì khả vi vô hạn tại x = ±1 Tuy nhiên, hàm này không có khai triển Taylor trong mọi khoảng, vì khi thực hiện khai triển Taylor với x nằm trong khoảng |x| > 1, giá trị của nó sẽ dần tiến tới 0.

Các hàm như exp(−x²), xexp(−x²), (1+x²)⁻¹ exp(−x²), và sech²(x) được coi là những hàm tốt, trong khi exp(−|x|) không khả vi tại x = 0 Ngoài ra, hàm (1+x²)⁻¹ không phải là hàm tốt vì nó giảm quá chậm khi |x| tiến tới vô cực.

Một dãy các hàm tốt{f n (x)}được gọi là đều nếu với bất kỳ hàm tốtg(x) nào có n→∞lim

−∞ f n (x)g(x)dx (2.12) tồn tại Ví dụ, f n (x) = n 1 φ(x) là dãy hàm đều cho bất kỳ hàm tốt φ(x) nào, nếu n→∞lim

Hai dãy đều của hàm tốt là tương đương nếu với bất kỳ hàm tốt g(x) nào giới hạn (2.12) tồn tại và giống nhau cho mỗi dãy.

Hàm suy rộng f(x) là một dãy các hàm tốt chính quy, và hai hàm suy rộng được coi là bằng nhau nếu các dãy xác định chúng tương đương Hàm suy rộng chỉ được xác định thông qua các tác động lên tích phân của những hàm tốt.

Khi xét tích phân \(-\infty f_n(x)g(x)dx\), ta có thể sử dụng giới hạn \(\lim_{n \to \infty} hf_n, gi\) với mọi hàm tốt \(g(x)\) Ký hiệu \(hf, gi\) thể hiện tác động của hàm suy rộng \(f(x)\) lên hàm tốt \(g(x)\), đồng thời đại diện cho số các hàm \(f\) liên hợp với \(g\) Nếu \(f\) là một hàm thông thường, thì \((1 + x^2)^{-N} f(x)\) sẽ là một hàm khả tích trên khoảng \((-∞, ∞)\) với mỗi \(N\) Trong trường hợp này, hàm suy rộng \(f\) tương đương với hàm thông thường được xác định thông qua một dãy các hàm tốt \(f_n(x)\), sao cho với mọi hàm tốt \(g(x)\), ta có giới hạn khi \(n\) tiến tới vô cùng.

Ví dụ hàm suy rộng tương đương với 0 có thể biểu diễn được bởi một trong hai dãy φ n n (x) và φ n n (x) 2

Hàm chuẩn I(x) xác định bởi

−∞ g(x)dx (2.16) với mọi hàm tốt g(x) Từ hàm tốt ta xác định được hàm chuẩn {exp(− x 4n 2 )}.

Do đó hàm chuẩn là hàm suy rộng và tương đương với hàm thông thường f(x) = 1.

Hàm suy rộng H(x) tương đương với chuẩn thông thường

(2.18) vì hàm suy rộng được xác định thông qua tác động trên tích phân của những hàm tốt, giá trị của hàm H(x) tại x = 0 không có nghĩa.

Hàm dấu sgn(x) cho bởi

−∞ g(x)dx (2.19) với mọi hàm tốt g(x) Do đó, sgn(x) có thể đồng nhất với hàm thông thường

Hàm suy rộng H(x) tương đương với chuẩn thông thường sgn(x) 

Thực ra, sgn(x) = 2H(x)−I(x) có thể xem như từ

Năm 1926, Dirac giới thiệu hàm delta δ(x) có tính chất sau δ(x) = 0, x 6= 0,

Hàm delta Dirac δ(x) xác định với mọi hàm tốt φ(x)

Không có hàm thông thường nào tương đương với hàm delta.

Hàm delta Dirac không thuộc lớp các hàm toán học thông thường, nhưng lại có vai trò quan trọng trong thực tế, đặc biệt trong vật lý và kỹ thuật Hàm δ(x) được coi là hàm suy rộng, đại diện cho một điểm khối lượng tại gốc, tương tự như hàm mật độ khối lượng Mỗi hạt riêng lẻ có thể được xem như là giới hạn của dãy các hàm phân bố liên tục, ngày càng tập trung lại Ví dụ, dãy δ n (x) = rn π exp(−nx²) cho n = 1, 2, 3, minh họa cho khái niệm này.

Ta thấy δ n (x)→0 khi n→ ∞ với mọi x6= 0 và δ n (0) → ∞ khi n → ∞ chỉ ra trong Hình 2.4 với mọi n= 1,2,3,

Hàm delta Dirac, ký hiệu là δ(x), có tích phân từ âm vô cực đến dương vô cực bằng 1, tức là −∞ δ(x)dx = 1 Điều này cho thấy rằng hàm delta Dirac có thể được coi là giới hạn của một dãy hàm thông thường Cụ thể, ta có thể biểu diễn δ(x) dưới dạng giới hạn khi n tiến đến vô cực của hàm rn π exp(−nx²) Thêm vào đó, hàm δ(x) còn có thể được xác định thông qua những tính chất cơ bản của nó.

Hình 2.4: Dãy các hàm delta δ n (x). ở đây hàm f(x) liên tục với mọi khoảng chứa x =a Rõ ràng

−∞ δ(x−a)dx =f(a), (2.26) do đó (2.25) và (2.26) dẫn đến kết quả sau f(x)δ(x−a) = f(a)δ(x−a) (2.27)

Kết quả sau đây cũng đúng xδ(x) = 0, (2.28) δ(x−a) =δ(a−x) (2.29)

Kết quả trong (2.29) chỉ ra δ(x) là hàm chẵn.

Biến đổi Fourier của hàm delta Dirac là

Công thức biểu diễn tích phân này của hàm delta Dirac sử dụng sử dụng nhiều trong cơ học lượng tử Vì thế (2.33) có thể viết lại là δ(k) = 1

Hàm delta Dirac δ(x) được xác định nhờ hàm tốt g(x) hδ, gi ∞

Đạo hàm của hàm suy rộng được xác định thông qua đạo hàm của một dãy hàm tương đương tốt Theo định nghĩa, tích phân của hàm g(x) tại vô cùng cho phép chúng ta tính giá trị tại điểm g(0) Cụ thể, công thức ∞ δ(x)g(x)dx = g(0) thể hiện mối liên hệ giữa hàm delta Dirac và hàm g(x) trong quá trình tích phân.

−∞ f(x)g 0 (x)dx = −hf, g 0 i. Đạo hàm của hàm suy rộng f là một hàm suy rộng f 0 xác định bởi hf 0 , gi= −hf, g 0 i (2.36) với mọi hàm tốt g.

Tính nguyên hàm của hàm suy rộng trở nên đơn giản hơn khi sử dụng các hàm khả tích địa phương Mỗi hàm khả tích địa phương f đều có một hàm suy rộng tương ứng, được ký hiệu là hf, φi ∞.

−∞ f(x)φ(x)dx, (2.37) ở đây φ(x) là hàm thử từ R →C với giá bị chặn (φ(x) là khả tích vô hạn với đạo hàm của nó tại mọi cấp là tồn tại và liên tục).

Đạo hàm của hàm suy rộng f được xác định thông qua công thức hf 0, φi = −hf, φ 0 i, trong đó φ(x) là hàm thử và φ 0 (x) là hàm triệt tiêu tại vô cùng Điều này cho thấy mối liên hệ giữa đạo hàm của hàm suy rộng và tích phân, với điều kiện rằng tích phân từ -∞ đến ∞ của f(x)φ 0 (x)dx bằng -hf, φ 0 i.

Ta kiểm tra được H 0 (x) = δ(x), từ hH 0 , φi ∞

Một kết quả khác là hδ 0 , φi= −

Nó thỏa mãn đẳng thức f(x)δ(x) = f(0)δ(x).

Tiếp theo chúng ta xác định |x| =x.sgn(x) và tính đạo hàm của nó như sau Ta có d dx|x| = d dx{x.sgn(x)} =x d dx{sgn(x)}+ sgn(x)dx dx

= 2xδ(x) + sgn(x) = sgn(x), (2.39) ở đây do sgn(x) = 2H(x)−I(x) và xδ(x) = 0.

Tính chất cơ bản của biến đổi Fourier

Chứng minh (a) Theo định nghĩa ta có

(e) Theo định nghĩa biến đổi ngược Fourier f(x) = 1

−∞ e ikx F(k)dk =F −1 {F(k)}. Đổi thứ tự của x và k đồng thời thay k bởi −k, ta có f(−k) = 1

Cuối cùng ta chứng minh phần (f), vì F(k) = F {f(x)} nên theo định nghĩa ta có

−∞ f(ξ)G(ξ)dξ. Định lý được chứng minh. Định lý 2.3.2 Nếu f(x) là một hàm khả vi liên tục từng khúc và khả tích tuyệt đối thì

Chứng minh Từ định nghĩa ta có

|f(x)|dx =const Phần (i) được chứng minh.

Chứng minh phần (ii), ta có

Do lim h→0|e −ihx −1|= 0 với mọi x ∈R, nên h→0lim |F(k+h)−F(k)| ≤ lim h→0

|e −ihx −1||f(x)|dx = 0. Điều này chứng tỏ F(k) là hàm liên tục (đpcm). Định lý 2.3.3 (Bổ đề Rieman - Lebesgue, [6]) Nếu F(k) = F {f(x)} thì

|k|→∞lim |F(k)| = 0 (2.48) Chứng minh Từ e −ikx =−e −ikx−iπ ta có

Chuyển qua giới hạn, ta có lim

−∞ f(x)−f x− π k dx = 0. Định lý được chứng minh. Định lý 2.3.4 Nếu f(x) là hàm khả vi liên tục và f(x) → 0 khi |x| → ∞ thì

F {f 0 (x)}= (ik)F {f(x)}= (ik)F(k) (2.49) Chứng minh Theo định nghĩa ta có

Sử dụng công thức tích phân từng phần, ta có

=(ik)F(k). Định lý được chứng minh.

Nếu f(x) có đạo hàm cấp n liên tục và f (k) (x) → 0 khi |x| → ∞ với k = 1,2, , n−1 thì biến đổi Fourier của đạo hàm cấp n là

Kết quả của Định lý 3.4 về đạo hàm cấp cao cho thấy rằng các điều kiện trong (2.49) và (2.50) là cần thiết cho đạo hàm riêng của hàm hai biến hoặc nhiều biến Cụ thể, nếu xem xét hàm u(x, t) là hàm phụ thuộc vào biến không gian x và biến thời gian t, ta có thể áp dụng các điều kiện này để phân tích đạo hàm riêng.

Sau khi tìm hiểu về các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier, chúng ta sẽ chuyển sang một phần quan trọng khác trong nghiên cứu tích phân Fourier, đó là tích chập của biến đổi Fourier Tích chập của hai hàm khả tích f(x) và g(x) được ký hiệu là (f ∗ g)(x).

−∞ f(x−ξ)g(ξ)dξ, (2.51) tích phân trong (2.51) là tồn tại, ở đây hệ số √ 1

Số 2π là một hằng số quan trọng trong nghiên cứu tích chập Hệ số này thường không ảnh hưởng đến tính chất của tích chập, do đó, chúng ta có thể chọn gộp hoặc không gộp vào hệ số √1.

2π một cách tự do trong luận văn này.

−∞f(x)g(t−x)dx có được bằng cách đổi biến. Chúng ta đưa ra một vài ví dụ về tích chập

Ví dụ 2.3.1 Tìm tích chập của

(b) f(x) = χ [a,b] (x) và g(x) =x 2 , ở đây hàm χ [a,b] (x)là hàm đặc trưng của khoảng[a, b] ⊂ Rcho bởi công thức χ [a,b] (x) 

(a) Ta có, theo định nghĩa thì

Chứng minh Theo định nghĩa, ta có

Bằng cách đổi biến, đặt : t−x = v, dx= −dv thì

Bổ đề được chứng minh. Định lý 2.3.5 (Định lý tích chập) NếuF {f(x)}= F(k)vàF {g(x)} =G(k) thì

F {f(x)∗g(x)} =F(k)G(k), (2.52) hay f(x)∗g(x) = F −1 {F(k)G(k)}, (2.53) hoặc tương đương với

Chứng minh Theo định nghĩa biến đổi Fourier ta có

−∞ e −ikη f(η)dη = G(k)F(k), ở đây trong chứng minh này, hệ số √ 1

2π được gộp vào trong định nghĩa của tích chập, định lý được hoàn toàn chứng minh.

Bổ đề 2.3.2 Tích chập có các tính chất đại số sau

(iv) Phần tử đơn vị f ∗√ 2πδ = f =√

2πδ∗f, ở đây α, β là các hằng số.

(ii) Nếu f ∗(g ∗h) tồn tại thì

Tương tự ta chứng minh tính phân phối bằng cách biến đổi α(f ∗h)(x) +β(g ∗h)(x) =α

Tính giao hoán của tích chập (2.54) có thể viết như

−∞ e ikx F(k)G(k)dk (2.55) Điều này đúng với mọi giá trị thực x Do đó cho x = 0 thì

|F(k)| 2 dk (2.58) đây chính là đẳng thức Parseval nổi tiếng.

Với cặp hàm khả tích f(x) và g(x), tích vô hướng hf, gi xác định bởi hf, gi ∞

−∞ f(x)g(x)dx (2.59) khi đó chuẩn ||f|| 2 là

Không gian L²(R) bao gồm các hàm giá trị phức Lebesgue bình phương khả tích với tích vô hướng được xác định trong (2.60) là một không gian định chuẩn Nhờ vào chuẩn này, đẳng thức Parseval được hình thành.

Trong vật lý thì ||f|| 2 là một độ đo năng lượng, còn ||F|| 2 đại diện cho phổ năng lượng của hàm f. Định lý 2.3.6 (Đẳng thức Parseval tổng quát, [6]) Nếu F {f(x)} = F(k) và F {g(x)} =G(k) thì

Chứng minh Ta bắt đầu từ vế phải của đẳng thức trên thì

Nói riêng, nếu g(x) = f(x) thì kết quả trên trùng với (2.57).

Bây giờ, chúng ta sử dụng một phương pháp trực tiếp để tính biến đổi Fourier của hàm sgn(x), đó là

F {sgn(x)} r2 π 1 ik. Biến đổi Fourier của H(x) từ (2.44) và (2.63)

Biến đổi Fourier - cosine và Fourier - sine

Định nghĩa 2.4.1 Từ công thức tích phân Fourier cosine (1.20) dẫn tới biến đổi Fourier cosine và được xác định như sau

Z ∞ 0 cos(kx)F c (k)dk, (2.65) trong đó F c là toán tử biến đổi biến đổi Fourier cosine và F c −1 là toán tử ngược của nó.

Tương tự, từ công thức tích phân Fourier sine (1.21) dẫn tới biến đổi Fourier sine và được xác định như sau

Z ∞ 0 sin(kx)F s (k)dk, (2.67) trong đó F s là toán tử biến đổi biến đổi Fourier cosine và F s −1 là toán tử ngược của nó.

Dưới đây là một vài tính chất của biến đổi Fourier cosine và Fourier sine. Định lý 2.4.1 Nếu F c {f(x)} =F c (k) và F s {f(x)} =F s (k), khi đó

Với những điều kiện thích hợp thì các tính chất sau là đúng

Thật vậy, ta đi chứng minh công thức (2.70) như sau.

Theo định nghĩa ta có

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt u = cos(kx), dv = f 0 (x)dx ta được

Tiếp theo ta chứng minh công thức (2.71) Ta có

Bằng phương pháp tích phân từng phần ta được

Tương tự ta chứng minh được công thức (2.72) và (2.73). Định lý 2.4.2 (Định lý tích chập đối với biến đổi Fourier cosine, [6]) Nếu

Z ∞ 0 f(ξ) [g(x+ξ) +g(|x−ξ|)]dξ (2.75) Chứng minh: Sử dụng định nghĩa của biến đổi Fourier ngược, ta có

Như vậy ta đã chứng minh được (2.74) Để chứng minh (2.75) ta sử dụng kết quả (2.69) của định lý trên, tức là

Z ∞ 0 f(ξ) [g(x+ξ) +g(|x−ξ|)]dξ. Đó chính là công thức (2.75).

Trong công thức (2.75) cho x= 0 , ta nhận được

Từ G c (k) =F c (k), và thay g(x) =f(x) trong biểu thức trên ta có

|f(x)| 2 dx (2.76) Đây chính là đẳng thức Parseval đối với biến đổi Fourier cosine.

Tương tự, bằng cách thay đổi thứ tự lấy tích phân và sử dụng biến đổi Fourier sine ngược ta thu được

Kết quả (2.77) hay(2.78) cũng được gọi là Định lý tích chập của biến đổi Fourier cosine.

Trong công thức (2.77) cho x= 0 ta được

Thayg(x) bởif(x) ta thu được Đẳng thức Parseval cho biến đổi Fourier sine

Ví dụ 2.4.1 Chứng minh rằng

(a) F c {e −ax } r2 π a (a 2 +k 2 ), (a >0) (2.80) (b) F s {e −ax } r2 π k (a 2 +k 2 ), (a > 0) (2.81) Chứng minh (a) Ta có

2F s −1 {exp(−sk)}Z ∞ 0 exp(−sk) sin(kx)dk

Lấy tích phân hai vế với vi phân của s từ s tới ∞

Z ∞ 0 e −sk k sin(kx)dk Z ∞ s xds x 2 +s 2

1 k exp(−sk) sin(kx)dk r2 π tan −1 x s

Ví dụ 2.4.3 Chứng minh rằng

Z ∞ 0 erfc(ax) sin(kx)dx

Z ∞ ax e −t 2 dt. Đổi thứ tự của tích phân, ta thu được

Tổng Poisson

Lớp các hàm L p (R) đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết biến đổi Fourier, với p là một số thực bất kỳ lớn hơn hoặc bằng 1 Không gian véc tơ này bao gồm tất cả các hàm f(x) nhận giá trị phức với biến thực x Nếu hàm f khả tích địa phương và |f| p thuộc L(R), thì f được xem là tích phân Lebesgue lũy thừa thứ p Tập hợp tất cả các hàm này được ký hiệu là L p (R), trong đó chuẩn L p của f được định nghĩa bởi ||f|| p.

Giả sử f là hàm khả tích Lebesgue trên R Vì exp(−ikx) liên tục và bị chặn nên exp(−ikx)f(x) khả tích địa phương với mọi k ∈ R Hơn nữa,

|exp(−ikx)| ≤ 1 với mọi k và x thuộc R Xét tích trong hf, e ikx iZ ∞

|f(x)|dx= ||f|| 1 0, và phương trình hàm vẫn giữ tính đúng đắn cho s là số phức Hàm Θ có mối liên hệ chặt chẽ với hàm zeta Riemann ζ(s), được xác định cho Re(s) > 1.

Một tích phân đặc trưng của ζ(s)

Z ∞ 0 x s−1 e −nx dx = Γ(s) n s , Re(s)>0, trong đó Hàm gamma Γ(s) được định nghĩa bởi Γ(s) Z ∞ 0 e −t t s−1 dt, Re(s)> 0.

Theo công thức đã nêu, với Re(s) > 1, ta có thể biểu diễn Γ(s)ζ(s) dưới dạng tích phân: ∫₀^∞ x^(s−1) e^(-x) dx Sự liên kết giữa các hàm ζ(s), Θ(s) và Γ(s) được thể hiện qua đồng nhất thức ζ(s)Γ(s/2) = 1.

Ta thấy rằng tích phân phức trên đường biên đóng C phù hợp

C z s−1 e −z −1dz, và sử dụng định lý thặng dư Cauchy với tất cả không điểm của (e −z −1) tại z = 2πin, n= ±1,±2, ,±N sẽ được

Biến đổi Fourier đã được khám phá, và câu hỏi đặt ra là cách áp dụng của nó trong thống kê toán học Chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết về vấn đề này trong chương cuối.

Chương 3 Ứng dụng của biến đổi

Fourier trong thống kê toán học

Hàm đặc trưng của một biến ngẫu nhiên trong lý thuyết xác suất và thống kê toán học được định nghĩa thông qua biến đổi Fourier hoặc biến đổi Fourier - Stieltjes của hàm phân bố Nhiều kết quả quan trọng trong lĩnh vực này đã được chứng minh một cách đơn giản nhờ vào các hàm đặc trưng Do đó, biến đổi Fourier đóng vai trò then chốt trong lý thuyết xác suất và thống kê toán học.

Đại lượng ngẫu nhiên và các hàm cơ bản

Đại lượng ngẫu nhiên là một khái niệm trong thống kê, mô tả các kết quả không thể dự đoán trước khi thực hiện một loạt phép thử trong cùng một điều kiện Kết quả của các phép thử này có thể giống nhau hoặc khác nhau, thể hiện tính ngẫu nhiên của đại lượng.

Đại lượng ngẫu nhiên được chia thành hai loại: rời rạc và liên tục Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể liệt kê tất cả giá trị của nó bằng số tự nhiên, trong khi đại lượng ngẫu nhiên liên tục có giá trị trải dài trên một đoạn của trục số, không thể đánh số được Để đặc trưng cho cả hai loại đại lượng ngẫu nhiên, người ta sử dụng hàm phân bố, hay còn gọi là luật phân bố tích phân Hàm phân bố F(x) của biến ngẫu nhiên X được định nghĩa là F(x) = P(X < x) với mọi số thực x.

Từ định nghĩa ta suy ra được hàm phân bố thỏa mãn các tính chất sau (i) F(x) là hàm không giảm , tức là, F(x 1 )≤ F(x 2 ) nếu x 1 < x 2

(ii) F(x) chỉ liên tục trái tại điểm x, tức là, F(x−0) =F(x) nhưng

Nếu X là biến liên tục và nếu tồn tại hàm không âm f(x)sao cho với mọi số thực x ta có

Hàm mật độ xác suất f(x) của biến ngẫu nhiên X được định nghĩa qua tích phân từ âm vô cực đến x của hàm phân bố F(x) Hàm f(x) phải tuân thủ các tính chất nhất định để đảm bảo tính hợp lệ của nó trong thống kê.

(ii) Với a, b là số thực sao cho a < b,

(iii) Nếu f(x) liên tục tại x thì F 0 (x) = f(x).

Hàm thực không âm f(x) được xác định trên toàn trục thực và thỏa mãn các điều kiện (3.2) và (3.3) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X Đồng thời, hàm F(x) được định nghĩa bởi (3.1) cũng đáp ứng đầy đủ các tính chất của hàm phân bố Nếu X là một biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ f(x), thì φ(t) chính là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên đó.

X hay của hàm phân bố F(x) được xác định bởi công thức φ(t) = E(exp(itX)) Z ∞

−∞ f(x) exp(itx)dx, (3.4) trong đó E[g(X)] được gọi là giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên g(X).

Chú ý 3.1.1 [3] Đối với biến ngẫu nhiênX có phân bố rời rạc P(X = x k ) p k với k = 1,2, thì hàm đặc trưng được xác định bởi φ(t) ∞

Ví dụ 3.1.1 Xét phân bố Poisson p r = P(X = r) = λ r r! e −λ , r= 0,1,2, thì φ(t) = exp λ(e it −1)

Ví dụ 3.1.2 Xét phân bố mũ p r = P(X = r) = ( n r )p r (1−p) n−r

Mệnh đề 3.1.1 trình bày các tính chất của hàm đặc trưng φ(t) của biến ngẫu nhiên liên tục X Đầu tiên, hàm đặc trưng luôn thỏa mãn φ(0) = 1 Thứ hai, có mối quan hệ đối xứng với φ(−t) = ¯φ(t) Nếu kỳ vọng E|X| k tồn tại với k ≥ 1, thì đạo hàm bậc k của φ(t) tại t=0 sẽ bằng i k E(X k ) Hơn nữa, nếu φ, φ 1 , φ 2 , là các hàm đặc trưng tương ứng với các hàm phân phối F, F 1 , F 2 , thì sự hội tụ F n → F xảy ra khi và chỉ khi φ n (t) hội tụ về φ(t) với mọi t Cuối cùng, để hàm liên tục φ(t) trên R thỏa mãn φ(0) = 1 là hàm đặc trưng của một biến ngẫu nhiên, điều kiện cần và đủ là nó phải xác định dương cho mọi n ≥ 1 và các t 1 , , t n ∈ R, z 1 , , z n ∈ C tùy ý.

X j =1 φ(t i −t j )z i z¯ j ≥ 0. f) Nếu φ(t) khả tích tuyệt đối thì X có hàm mật độ f(x) và f(x) = 1

−∞ e −itx φ(t)dt, x ∈R. Nếu x, y là các điểm liên tục của F X thì

Trong thống kê toán học, hàm đặc trưng chỉ ra biến đổi Fourier của f(x) và biến đổi ngược của nó theo cách khác

Rõ ràng, hàm đặc trưng của F(x) là biến đổi Fourier của hàm mật độ f(x). Biến đổi Fourier của hàm phân bố được suy ra từ

F {F(x)}= it −1 φ(t) (3.4) Phép hợp thành của hai hàm phân bố F 1 (x) và F 2 (x) được xác định bởi

Bởi vậy, biến đổi Fourier của (3.5) trở thành it −1 φ(t) = F

Do đó φ(t) =φ 1 (t)φ 2 (t), (3.6) trong đóφ 1 (t)vàφ 2 (t)là hàm đặc trưng của các hàm phân bốF 1 (x)vàF 2 (x) tương ứng.

Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên

Luật phân bố của đại lượng ngẫu nhiên là đặc trưng quan trọng nhất để hiểu rõ về nó Tuy nhiên, việc xác định luật phân bố không phải lúc nào cũng khả thi Thay vào đó, người ta thường sử dụng các đặc trưng số để thể hiện những đặc điểm cơ bản của đường cong phân bố, bao gồm các mômen phân bố với các bậc khác nhau.

Mômen gốc bậc k của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X được tính bằng công thức m k [X] = Σ (x i^k * p i), trong đó x i là các giá trị có thể của X và p i là xác suất tương ứng Đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục, phép tổng các giá trị rời rạc x i được thay thế bằng phép tích phân trên toàn bộ giá trị liên tục x, với xác suất p i chuyển thành xác suất phần tử f(x)dx.

Như vậy, đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục m k [X] Z ∞

−∞ x k f(x)dx, k = 1,2,3, (3.8) với điều kiện tích phân này tồn tại.

Mômen gốc bậc nhấtm 1 [X] là kỳ vọng toán học của đại lượng ngẫu nhiên

X và được ký hiệu là M[X] hoặc m x Đối với đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

M[X] =X i x i p i Đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục

−∞ xf(x)dx. Đây cũng chính là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X.

Mômen gốc bậc k là kỳ vọng toán học của đại lượng ngẫu nhiên lũy thừa k, được biểu diễn bằng công thức m k [X] = M[X k ] Độ lệch của đại lượng ngẫu nhiên X so với kỳ vọng toán học của nó được gọi là đại lượng ngẫu nhiên quy tâm, ký hiệu là X˚.

Mụmen trung tõm bậc k của đại lượng ngẫu nhiờn X là à k [X], là mụmen gốc bậc k của đại lượng ngẫu nhiên quy tâm à k [X] = m k [ ˚X] = M[ ˚X k ] = M

Mômen trung tâm bậc k là kỳ vọng toán học của đại lượng ngẫu nhiên quy tâm lũy thừa k Đối với đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

(x i −m x ) k p i Đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục à k [X] Z ∞

Mômen trung tâm bậc nhất luôn luôn bằng không Thật vậy, đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục à 1 [X] =M[X −m x ] Z ∞

−∞ f(x)dx = m x −m x = 0. Đối với đại lượng ngẫu nhiên rời rạc à 1 [X] = X i

Mômen trung tâm bậc hai được gọi là phương sai của đại lượng ngẫu nhiên và ký hiệu là D[X] hay D x

Phương sai là một chỉ số quan trọng trong xác suất, đại diện cho kỳ vọng toán học của bình phương độ lệch của một đại lượng ngẫu nhiên so với giá trị kỳ vọng của nó Đối với các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, phương sai giúp đánh giá mức độ biến động và phân tán của dữ liệu, từ đó hỗ trợ trong việc phân tích và dự đoán các hiện tượng ngẫu nhiên.

(x i −m x ) 2 p i (3.13) Đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục

Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên phản ánh mức độ phân tán xung quanh kỳ vọng toán học, với đơn vị đo là bình phương của đại lượng đó Để biểu thị sự phân tán với cùng đơn vị, người ta sử dụng độ lệch chuẩn, được tính bằng căn bậc hai của phương sai, ký hiệu là σ[X] hoặc σ.

Mômen của một biến ngẫu nhiên k bất kỳ có thể được tính bằng cách ước lượng tích phân, nhưng việc ước lượng này trong trường hợp tổng quát gặp nhiều khó khăn Để giải quyết vấn đề này, hàm đặc trưng được xác định trong (3.2) có thể được sử dụng Bằng cách lấy vi phân k lần trong công thức (3.2) và đặt t=0, ta có thể thu được công thức đơn giản cho mômen m k.

Khi k = 1, kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X trở thành m 1 Z ∞

Như vậy, công thức (3.15) là sự nâng lên lũy thừa đạo hàm của hàm đặc trưng cho thấy sự tồn tại và ước tính của mômen của thứ k tùy ý.

Phương sai σ 2 của một biến ngẫu nhiên được cho bởi σ 2 Z ∞

Luật phân bố đều là một trong những loại phân bố quan trọng trong xác suất, trong đó đại lượng ngẫu nhiên liên tục có giá trị nằm trong một khoảng xác định và mật độ phân bố trong khoảng này là không đổi.

Mật độ phân bố đều được cho bởi công thức f(x) 

Hàm f(x) có các tính chất của mật độ phân bố Thật vậy, f(x)≥ 0 với mọi x và

Ta xác định hàm phân bố F(x) như sau

Ta xác định các đặc trưng số của phân bố đều Kỳ vọng toán học bằng m x Z ∞

2 Mômen trung tâm bậc k bằng: à k = 1 b−a

Với l = 1 ta nhận được giá trị của phương sai

Từ đó ta có độ lệch bình phương trung bình σ x =p

Trên thực tế thường gặp nhất là các đại lượng ngẫu nhiên mà mật độ phân bố của chúng có dạng f(x) = 1 σ√ 2πe −

Luật phân bố chuẩn, được mô tả bởi công thức (3.19), rất phổ biến trong thống kê Đại lượng ngẫu nhiên có mật độ phân bố theo luật này được gọi là đại lượng ngẫu nhiên phân bố chuẩn.

2σ 2 dx (3.20) Đổi biến trong tích phân (3.20) t= x−a σ√

Tích phân thứ nhất trong (3.22) bằng không do là tích phân của hàm lẻ trên miền đối xứng, trong khi tích phân thứ hai, là tích phân Poisson, có giá trị bằng √π Điều này dẫn đến m x = a, cho thấy rằng tham số a trong hàm (3.19) chính là kỳ vọng toán học của đại lượng ngẫu nhiên.

Sử dụng phép đổi biến (3.21) trong tích phân (3.23) ta được

Lấy tích phân từng phần (3.24) ta được

Do đó, tham số σ là độ lệch bình phương trung bình của đại lượng ngẫu nhiên.

Mật độ xác suất của luật phân bố chuẩn được xác định bởi hai tham số chính: kỳ vọng toán học của đại lượng ngẫu nhiên và độ lệch bình phương trung bình (hoặc phương sai).

Ta tính mômen trung tâm của phân bố chuẩn à k = 1 σ√ 2π

Sử dụng phép đổi biến (3.21) vào tích phân ta nhận được à k = (√

Lấy tích phân từng phần ta có à k = (k−1)(σ√

−∞ t k−2 e −t 2 dt, nên ta nhận được công thức truy hồi sau à k = (k−1)à 2 k−2

Với bất kỳ đại lượng ngẫu nhiên nào, các mômen trung tâm bậc lẻ đều bằng không, tức là vỡ à 0 = 1 và à 1 = 0 Ngược lại, các mômen trung tâm bậc chẵn có giá trị cụ thể, ví dụ như à 2 = σ 2 và à 4 = 3σ 4 Cụ thể, công thức cho các mômen trung tâm bậc chẵn được biểu diễn là à 2l = (2l−1)!!σ 2l.

Hàm phân bố của đại lượng ngẫu nhiên X phân bố chuẩn được xác định dưới dạng

Ví dụ 3.2.1 Tìm mômen của phân bố chuẩn xác định bởi hàm mật độ sau f(x) = 1 σ√ 2π exp

Hàm đặc trưng của phân bố chuẩn là biến đổi Fourier của f(x), tức là φ(t) = 1 σ√ 2π

Ta đổi biến x−m =y và sử dụng Ví dụ 1.1.1 sẽ được φ(t) = exp(itm) σ√ 2π

Phương sai của phân bố chuẩn được xác định bằng công thức σ² = m² - m₁² Đại lượng ngẫu nhiên X được coi là tuân theo luật phân bố Rơle khi hàm mật độ phân bố có dạng f(x).

Hàm phân bố Rơle được xác định như sau

Ta xác định đặc trưng số của phân bố Rơle m x = 1 σ 2

Sau khi lấy tích phân từng phần ta nhận được m x = −xe − x

Số hạng thứ nhất trong (3.31) bằng 0, số hạng thứ hai sau khi thay biến x = √

2σt sẽ dẫn đến tích phân Poisson Từ đó ta có m x =√

2 2σ 2dx2− π 2 σ 2 Hàm f(x) được xác định dưới dạng f(x) 

(3.32) được gọi là luật phân bố Măcxoen.

Phân bố Măcxoen, giống như phân bố Rơle, được xác định bởi tham số σ Bằng cách áp dụng các phương pháp tương tự như với phân bố Rơle, chúng ta có thể thu được các biểu thức cho hàm đặc trưng, mômen và kỳ vọng của phân bố Măcxoen.

Ví dụ 3.2.2 Quay trở lại Ví dụ 2.1.1 ta tìm mômen với hàm đặc trưng φ(t) =exp λ(e it −1)

Ta có φ 0 (t) = iλe it e[ λ(e it −1) ]; φ 00 (t) = i 2 λe it e[ λ(e it −1) ] +i 2 λ 2 e 2it e[ λ(e it −1) ]

Khi đó, mômen tương ứng m 1 = (−i)φ 0 (0) =λe 0 e[ λ(e 0 −1) ] = λ; m 2 = (−i) 2 φ 00 (0) =λe 0 e[ λ(e 0 −1) ] 1 +λe 0

Ví dụ 3.2.3 Tương tự, ta tìm mômen trong Ví dụ 2.1.2 với hàm đặc trưng φ(t) 1 +p(e it −1) n

. Khi đó, mômen tương ứng được xác định như sau m 1 = −iφ 0 (0) =−i 2 npe 0

Một số định lý quan trọng và ví dụ

Định lý 3.3.1 [6] Hàm đặc trưng của tổng một số hữu hạn của biến ngẫu nhiên độc lập là bằng tích của các hàm đặc trưng.

Chứng minh Giả sử X 1 , X 2 , , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập và Z X 1 +X 2 +ã ã ã+X n Sau đú, giả sử φ 1 (t), φ 1 (t), , φ n (t), φ n (t) là hàm đặc trưng của X 1 , X 2 , , X n và Z tương ứng.

Khi đó ta có φ(t) = E[exp(itZ)] =E[exp{it(X 1 +X 2 +ã ã ã+X n )}]

(3.33) Định lý được chứng minh.

Ví dụ 3.3.1 Tìm hàm đặc trưng và độ lệch tiêu chuẩn của tổng của n biến ngẫu nhiên độc lập.

Giả sử X 1 , X 2 , , X n là n biến ngẫu nhiên độc lập với phân bố chuẩn

N(m r , σ r ), trong đó r = 1,2, , n Hàm đặc trưng tương ứng của các phân bố là φ r (t) = exp itm r − 1

Vì X 1 , X 2 , , X n độc lập, biến ngẫu nhiên Z = X 1 +X 2 + .+X n có hàm đặc trưng φ(t) = φ 1 (t)φ 2 (t) φ n (t)

(3.35) Đây chính là các hàm đặc trưng tương ứng của phân bố chuẩn N(m 1 + m 2 + .+m n ) và độ lệch tiêu chuẩn là (σ 2 1 +σ 2 2 + .+σ n 2 ) 1 2

Định lý Giới hạn trung tâm, hay còn gọi là Định lý Levy - Cramer, khẳng định rằng nếu {X n } là dãy biến ngẫu nhiên với hàm phân bố F n (x) và hàm đặc trưng φ n (t), thì dãy {F n (x)} hội tụ tới hàm phân bố F(x) khi và chỉ khi dãy {φ n (t)} hội tụ về hàm φ(t) liên tục tại điểm gốc Hàm giới hạn φ(t) chính là hàm đặc trưng của hàm phân bố giới hạn F(x), và sự hội tụ φ n (t)→φ(t) diễn ra đều trong mọi khoảng hữu hạn trên trục t Ngoài ra, Định lý giới hạn trung tâm trong xác suất cũng nhấn mạnh rằng hàm f(x) phải là hàm khả tích tuyệt đối không âm trong R để đảm bảo tính chất hội tụ.

Nếu f n = f ∗f ∗ .∗f là tích các tích chập n lần của f, khi đó n→∞lim

Z b a e −x 2 dx, − ∞< a < b < ∞ (3.36) Để chứng minh cho định lý trên ta sẽ tham khảo củaChandrasekharan (1989).Tiếp theo ta tìm hiểu một số ví dụ.

Ví dụ 3.3.2 Tìm hàm đặc trưng của phân bố gamma, phân bố đều tương ứng với các hàm mật độ sau

Lời giải (a) Theo công thức tính hàm đặc trưng nhờ hàm mật độ ta có φ(t) Z ∞

0 x p−1 e −x dx ∈ R Nên φ(t) Z ∞ 0 a p x p−1 e −ax e itx dx

Đặt u =x(a−it),nên dx= a−it du

Khi đó φ(t) Z ∞ 0 a p a−it u a−it p−1 e −u du

Ví dụ 3.3.3 Tìm phân bố Cauchy với hàm mật độ sau f(x) = 1 π λ [λ 2 + (x−à) 2 ]. Lời giải Từ công thức (3.2) ta có φ(t) Z ∞

Theo Ví dụ 2.1.2 ta đã có

F {exp(−λ|t|)} r2 π ã λ (λ 2 +x 2 ) =F(x). và từ Định nghĩa 2.1.2

Ví dụ 3.3.4 Tìm phân bố Laplace khi hàm mật độ tương ứng f(x) = 1

Lời giải Từ công thức (3.2) ta có φ(t) Z ∞

Sau đây ta tìm hàm mật độ khi biết hàm đặc trưng qua ví dụ dưới đây.

Ví dụ 3.3.5 Tìm hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X với hàm đặc trưng φ(t) = (1− |t|)H(1− |t|).

Lời giải Theo công thức (3.3) ta có f(x) = 1

Ta thấy rằng hàm đặc trưng là rất hữu dụng cho việc nghiên cứu các vấn đề trong thống kê toán học

Cuối cùng, ta thống kê về mômen và hàm đặc trưng của các phân bố thường gặp trong Bảng 3.1.

Phân bố Hàm môment M X (t) Hàm đặc trưng ϕ(t) Bernoulli P(X = 1) =p 1−p+pe t 1−p+pe it

Nhị thức B(n, p) (1−p+pe t ) n (1−p+pe it ) n

Poisson P(λ) e λ(e t −1) e λ(e it −1) Đều (liên tục) U(a, b) e t(b−a) tb −e ta e it(b−a) itb −e ita χ-bình phương χ 2 k (1−2t) −k/2 (1−2it) −k/2 Đều (rời rạc) U(a, b) e at −e (b+1)t

Cauchy Cauchy(à, θ) khụng tồn tại e ità−θ|t|

Bảng 3.1: Thống kê về mômen và hàm đặc trưng của các phân bố thường gặp.

Luận văn này trình bày một cách chi tiết về lý thuyết biến đổi tích phân Fourier và ứng dụng của nó trong giải quyết các bài toán thống kê Nội dung chính bao gồm định nghĩa biến đổi Fourier của hàm khả tích tuyệt đối, các tính chất cơ bản, cùng với đánh giá về một số biến đổi Fourier và các tính chất, định lý liên quan.

Dựa trên kết quả của biến đổi Fourier, chúng ta áp dụng để giải quyết các bài toán trong xác suất thống kê, bao gồm việc tìm hàm đặc trưng, hàm phân bố, mômen và phương sai Đây là những đóng góp chính trong luận văn.

1 Đưa ra được những tính chất cơ bản và có liên quan tới biến đổi Fourier, đồng thời chứng minh chi tiết các kết quả đó.

2 Trình bày ví dụ và bài tập.