Phương pháp toán lý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM TÀI LIỆU GIẢNG DẠY: PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ BIÊN SOẠN: HỒ XUÂN HUY AN GIANG, 05- 2010 Lời nói đầu Phương pháp Tốn Lý LỜI NĨI ĐẦU Phương pháp toán học dùng vật lý học đại đa dạng bao gồm khối lượng kiến thức như: hàm thực, hàm biến phức, phương trình vi phân, phép biến đổi tích phân, đại số tuyến tính, phương trình đạo hàm riêng,… Các tài liệu giảng dạy cho ngành: vật lý, toán ngành kỹ thuật,…trong phương trình tốn lý phân loại theo dạng phương trình đạo hàm riêng : phương trình Hyperbolic, phương trình Parabolic, phương trình Elliptic Tài liệu trình bày nội dung: khái niệm trường vơ hướng trường vectơ, tốn tử vi phân, định lý tích phân, phương trình đạo hàm riêng cấp hai, dạng phương trình tốn lý bản, dạng biễu diễn chuỗi Fourier, phương trình truyền sóng, phương trình dao động màng, phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace, phương pháp hàm Green, phép biến đổi Laplace, hàm đặc biệt, đa thức, Trong chương, ngồi phần lí thuyết, tài liệu cịn trọng đến dạng tốn Tài liệu biên soạn quan điểm cho sinh viên tự nghiên cứu Khi lên lớp, sinh viên giảng viên hệ thống lại kiến thức cốt lõi, giải đáp thắc mắc khai thác thêm tập mẫu, giúp sinh viên tự đọc, lĩnh hội dễ dàng Để đo lường chiếm lĩnh tri thức, cuối chương có tập đáp số Nội dung tài liệu giảng dạy cho sinh viên hệ Đại học ngành Sư phạm Vật lý Tác giả có nhiều cố gắng trình biên soạn cho nội dung kiến thức mang tính khoa học thực tiễn, nhiên khơng tránh khỏi thiếu sót Tài liệu có sử dụng số nội dung sách mục “tài liệu tham khảo”.Tác giả mong nhận nhiều ý kiến đóng góp đọc giả để tài liệu hoàn thiện Tác giả Giới thiệu học phần Phương pháp Toán Lý PHẦN I: GIỚI THIỆU HỌC PHẦN Giới thiệu chung Vật lý học cách tổng quát khoa học nghiên cứu "vật chất" "sự tương tác".Đây ngành khoa học tự nhiên nghiên cứu dạng vận động tổng quát giới vật chất để nắm qui luật, định luật chất vận động vật chất giới tự nhiên Con người hiểu biết điều để tìm cách chinh phục giới tự nhiên bắt phục vụ người Đối tượng nghiên cứu vật lý bao gồm vật chất, lượng, không gian thời gian Vật lý có quan hệ mật thiết với toán học Các lý thuyết vật lý bất biến biểu diễn dạng quan hệ toán học, xuất toán học thuyết vật lý thường phức tạp ngành khoa học khác Sự khác biệt vật lý tốn học chỗ, vật lý ln gắn liền với giới tự nhiên, toán học lại biểu diễn mơ hình trừu tượng độc lập với giới tự nhiên Tuy vậy, khác biệt lúc rõ ràng Thực tế có ngành nghiên cứu thuộc lĩnh vực trung gian toán học vật lý, Tốn vật lý - ngành khoa học phát triển cấu trúc toán học để phục vụ cho lý thuyết vật lý Do vậy, học phần Phương pháp Toán lý sở để sinh viên học tốt môn khoa học tự nhiên khác hoá học, sinh học, học lý thuyết, sức bền vật liệu, điện kỹ thuật, kỹ thuật điện tử -viễn thông, kỹ thuật nhiệt… Mục tiêu 2.1 Kiến thức Học phần nhằm cung cấp cho sinh viên số kiến thức phương trình đạo hàm riêng Nội dung trọng tâm học phần dành để nghiên cứu số toán (bài toán biên, toán hỗn hợp,…) gắn với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp II Các kiến thức tốn học: Giải tích véc tơ, số phức, đạo hàm riêng, loại tích phân áp dụng toán vật lý Trình bày tổng quan phương trình vật lý –toán từ dạng tổng quát đến dạng phương trình cụ thể: phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace, điều kiện phụ cho dạng phương trình Phương pháp hàm Green,Lý thuyết thặng dư phép biến đổi Laplace để giải số toán mạch điện 2.2 Kỹ Sinh viên nắm vững phương pháp giải toán (bài tốn biên, tốn hỗn hợp,…) phương trình vật lý toán, nhằm áp dụng vào giải vấn đề thực tế vật lý kỹ thuật.Vận dụng phương trình cho tốn vật lý bản, ứng dụng nhiều vật lý đại Ứng dụng kiến thức tốn học có sử dụng vật lý, phép biến đổi đặc biệt để giải tốn có điều kiện phụ Sinh viên nhận dạng phương trình đặc biệt để áp dụng phương pháp giải tốn thích hợp Giới thiệu học phần Phương pháp Toán Lý 2.3 Thái độ Hình thành cho sinh viên có thái độ học tập tích cực, tự lực giải tập vật lý, làm sở để học tốt học phần vật lý Tạo sở để học tốt nghiên cứu ngành kỹ thuật sở chuyên ngành Rèn luyện phương pháp suy luận khoa học, tư logich, phương pháp nghiên cứu toán ứng dụng Có ý thức kỷ luật tác phong sư phạm, có tinh thần làm việc theo nhóm, có ý thức tập thể cao Góp phần xây dựng giới quan khoa học tác phong khoa học cần thiết cho tương lai Phương pháp nghiên cứu Để học tốt học phần này, sinh viên cần : 3.1.Thu thập nghiên cứu tài liệu sau: - Đặng Đình Ang, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Phép biến đổi tích phân, NXB Giáo dục, 2001 - Đậu Thế Cấp, Hàm biến phức - lí tuyết ứng dụng, NXB Giáo dục, 1999 - Nguyễn Minh Chương, Hà Tiếu Ngoạn, Nguyễn Minh Trí, Lê Quang Trung, Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo dục, 2000 - Nguyễn Ngọc Giao, Phép tính tốn tử, ĐHTH TP.HCM, 1996 - Vũ Gia Tê, Tốn cao cấp A3, Học viện Cơng nghệ bưu viễn thơng, 2006 - Nguyễn Nhật Khanh, Các giảng phương trình Vật lí – tốn, NXB ĐHQG TP.HCM, 2003 - Phan Quốc Khánh, Toán chuyên đề, NXB ĐHQG TP.HCM, 2000 - Bùi Tuấn Khang, Giáo trình toán chuyên đề, Đại học Đà Nẵng, 2004 - Đỗ Đình Thanh, Phương pháp tốn lí, NXB Giáo dục, 1987 - Vũ Văn Thanh, Nguyễn Nhật Khanh, Phương trình đạo hàm riêng Vật lí, NXB ĐHQG TP.HCM, 2002 - Phan Huy Thiện, Phương pháp tốn lí, NXB Giáo dục,2006 3.2 Đặt mục tiêu, thời hạn nghiên cứu - Đặt mục mục tiêu thời hạn cho thân, cố gắng thực chúng Cùng với lịch học, lịch hướng dẫn giảng Lịch học mô tả tuần học (tự học) kỳ học đánh dấu số lượng công việc cần làm Lưu ý ngày sinh viên phải nộp luận, kiểm tra, liên hệ với giảng viên thi kết thúc học phần - Xây dựng mục tiêu chương trình chi tiết Tính tốn thời lượng thời gian nghiên cứu để “Tiết kiệm thời gian” Giới thiệu học phần Phương pháp Toán Lý 3.3 Nghiên cứu nắm kiến thức đề cốt lõi Sinh viên nên đọc qua sách hướng dẫn học tập trước nghiên cứu giảng môn học tài liệu tham khảo khác Nên nhớ việc học thông qua đọc tài liệu việc đơn giản so với việc truy cập mạng Internet hay sử dụng hình thức học tập khác Sử dụng bút quang để đánh dấu đề mục nội dung, công thức quan trọng tài liệu 3.4 Tham gia đầy đủ buổi hướng dẫn học tập Thông qua buổi hướng dẫn học tập này, giảng viên giúp sinh viên nắm nội dung tổng thể môn học giải đáp thắc mắc; đồng thời sinh viên trao đổi, thảo luận sinh viên khác lớp Thời gian bố trí cho buổi hướng dẫn khơng nhiều, đừng bỏ qua buổi hướng dẫn lên kế hoạch Chủ động liên hệ với bạn học giảng viên 3.5 Tự ghi chép lại phần Nếu đọc khơng khó cho việc ghi nhớ Việc ghi chép hoạt động tái kiến thức, kinh nghiệm cho thấy giúp ích nhiều cho việc hình thành thói quen tự học tư nghiên cứu 3.6.Trả lời câu hỏi ôn tập sau chương Cuối chương, sinh viên cần tự trả lời tất câu hỏi Hãy cố gắng vạch ý trả lời chính, bước phát triển thành câu trả lời hồn thiện Đối với tập, sinh viên nên tự giải trước tham khảo hướng dẫn, đáp án Đừng ngại ngần việc liên hệ với bạn học giảng viên để nhận trợ giúp Chương I: Các phép toán Phương pháp Toán Lý PHẦN II: KIẾN THỨC TOÁN HỌC CƠ BẢN CHƯƠNG I: CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN Trong vật lý, đặc biệt kỹ thuật thường gặp khái niệm trường: Trường nhiệt độ, từ trường, điện trường, Khái niệm trường toán học tổng quát hoá trường hợp cụ thể Chẳng hạn: mặt mức, gradient, đặc trưng trường vector Cần nắm vững phương pháp tính tích phân xác định mơ tả miền xác định hàm nhiều biến, tốn tử -phương trình trị riêng, chuỗi Fuorier, tích phân Fuorier, Hầu hết toán kỹ thuật liên quan đến trường vector liên quan đến tích phân đường, tích phân mặt: tính cơng lực, tính thơng lượng trường Tính tích phân đường dẫn đến tính tích phân xác định, tính tích phân mặt dẫn đến tính tích phân bội hai, lần yêu cầu người học phải có kĩ tính tích phân xác định ý nghĩa vật lí đại lượng Sử dụng tốt cơng cụ tốn học để làm tăng khả ứng dụng, chẳng hạn tính khối lượng vật thể hai chiều, ba chiều, từ tính khối tâm, mơ men qn tính vật thể §1 TRƯỜNG VƠ HƯỚNG VÀ TRƯỜNG VECTOR Trường vơ hướng 1.1.Mặt mức Cho trường vô hướng u(x,y,z),với (x,y,z) ∈ Ω Các điểm (x,y,z) ∈ Ω thỏa mãn phương trình: u( x, y,z ) = C, C số (1.1) gọi mặt mức trường vô hướng ứng với giá trị C Rõ ràng mặt mức khác (ứng với giá trị C khác nhau) khơng giao nhau, miền Ω bị phủ kín mặt mức Nếu Ω ⊂ R ta có khái niệm đường mức (đường đẳng trị) cho phương trình: u( x, y ) = C Chẳng hạn điện tích q đặt gốc tọa độ gây nên trường điện u( x, y,z ) = q x2 + y + z Khi đó, mặt mức có phương trình: q x2 + y + z 2 ⎛q⎞ hay x + y + z = ⎜ ⎟ = R Đó mặt cầu đồng tâm O ⎝C ⎠ 2 1.2.Gradient Cho trường vô hướng u(x,y,z), (x,y,z) ∈ Ω u(x,y,z) hàm khả vi Ω ⎛ ∂u ∂u ∂u ⎞ , , ⎟ , ( x, y,z ) ∈ Ω ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ Khi grad u( x, y,z ) = ⎜ Vậy trường vô hướng u(x,y,z) sinh trường vector grad u (1.2) =C Chương I: Các phép tốn Phương pháp Tốn Lý Từ tính chất phép tính đạo hàm, ta suy tính chất sau Gradient: + grad( λu ) = λgradu, λ số + grad( u + v ) = gradu + gradv + grad u = ( vgradu − ugradv ) , v ≠ v v2 + gradf ( u ) = f '( u )gradu Trường vectơ r Miền Ω ⊂ R xác định trường vector F( x, y,z ) tồn điểm M ( x, y,z ) ∈ Ω xác định đại lượng vector: r r r r F( x, y,z ) = P( x, y,z )i + Q( x, y,z ) j + R( x, y,z )k = ( P,Q,R ) Chẳng hạn từ trường trường vector Vậy đặc trưng trường vector hàm vector Một trường vector xác định biết ba thành phần vector đặc trưng cho trường đó: P( x, y,z ),Q( x, y,z ),R( x, y,z ) , tức biết ba trường vô hướng uuuur r Ta dùng kí hiệu: r = ( x, y,z ) thay cho OM , M có tọa độ (x,y,z), r r dr = ( dx,dy,dz ) , dS = ( dydz,dzdx,dxdy) Các đặc trưng trường vector: 2.1.Đường dòng Cho trường vector: r r r r F( x, y,z ) = P( x, y,z )i + Q( x, y,z ) j + R( x, y,z )k , ( x, y,z ) ∈ Ω r Đường cong C ⊂ Ω gọi đường dòng trường vector F( M ) r điểm đường cong C mà tiếp tuyến với C có phương với F( M ) Chẳng hạn đường sức từ trường điện trường đường dịng Nếu đường dịng có phương trình: ⎧ x = x( t ) ⎪ ⎨ y = y( t ) ⎪ z = z( t ) ⎩ r P,Q,R thành phần F ta có hệ thức: x '(t ) y '(t ) z '(t ) = = P (x , y , z ) Q (x , y , z ) R (x , y , z ) (1.3) r Gọi (1.3) hệ phương trình vi phân họ đường dịng trường vector F( x , y ,z ) Chương I: Các phép toán Phương pháp Toán Lý r Chẳng hạn điện tích q đặt gốc tọa độ tạo điện trường E , theo định luật Culomb thì: ⎛ r qrr ⎜ qx qy qz E = =⎜ , , 3 r ⎜ ( x + y + z )2 (x + y + z )2 (x + y + z )2 ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Khi đó, hệ phương trình vi phân họ đường dịng là: dx dy dz = = x y z 2.2.Thông lượng trường vector r Thông lượng trường vector F ( x , y , z ) qua mặt cong định hướng S xác định công thức: rr r r Φ = ∫∫ F ndS = ∫∫ ( Pdydz + Qdzdx + Rdxdy ) = ∫∫ FdS (1.4) S S S r Trong n = (cosα , cosβ , cosγ ) vector đơn vị vector pháp tuyến mặt ur S định hướng; P,Q,R thành phần vector F 2.3.Dive (Divergence) r Ta gọi độ phân kì hay gọi tắt div trừơng vector F ( x , y , z ) điểm r M(x,y,z) đại lượng vô hướng, kí hiệu divF ( x , y , z ) , xác định công thức: r ∂P ∂Q ∂R divF ( x , y , z ) = + + (1.5) ∂x ∂y ∂z r r Vậy trường vector F sinh trường vô hướng div F Nếu miền V ⊂ Ω có biên S cơng thức Gauss – Ostrogradski có dạng: rr r (1.6) ∫∫ F ndS = ∫∫∫ divF (x , y , z )dxdydz S V r Nghĩa thông lượng trường vector F qua phía ngồi mặt S bao miền V tổng độ phân kì tất điểm miền V trường vector r Theo ý nghĩa học tích phân bội ba, suy divF ( x , y , z ) mật độ thông lượng điểm M(x,y,z) trường Từ ý nghĩa vật lí trường vận tốc, ta thấy thơng lượng trường vận tốc qua mặt kín S phía ngồi hiệu lượng vật chất từ chảy từ chảy vào qua S (chẳng hạn lượng nước) Nếu thông lượng Φ > , từ ý nghĩa vật lí, từ tính chất tích phân ta thấy miền V bao bọcr S phải có điểm nguồn Chính r ta gọi M điểm nguồn trường div F ( M ) > , ngược lại div F ( M ) < M điểm hút Chương I: Các phép tốn 2.4.Hồn lưu Phương pháp Tốn Lý r Cho trường vector F = ( P ,Q , R ) , vector xốy định theo cơng thức: r i r ⎛ ∂R ∂Q ⎞ r ⎛ ∂P ∂R ⎞ r ⎛ ∂Q ∂P ⎞ r ∂ rotF = ⎜ − − − ⎟i + ⎜ ⎟k = ⎟ j +⎜ ∂x ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ P r trường, kí hiệu rotF , xác r j r k ∂ ∂y Q ∂ ∂z R (1.7) r r Vậy trường vector F sinh trường vector rotF Giả sử có mặt cong S trường định hướng biên đường L trơn khúc Khi đó, cơng thức Stokes có dạng: r r rr r r Fd r = rotF ndS = rotF (1.8) ∫ ∫∫ ∫∫ dS L S S r Nghĩa hoàn lưu trường vector F dọc theo chu tuyến L mặt cong S thơng lượng vector xoáy qua mặt cong S trường r r r Từ ý nghĩa học, ta thấy ∫ Fd r công trường lực F ( x , y , z ) di L chuyển dọc theo L ur r r r Rota trường vector F = Pi + Q j + Rk cho ta trường vector mới, có giá trị hồn tồn xác định điểm Xét dịng nước chảy công sinh dọc đường cong kín ∫ ( f x dx + f y dy + f z dz) = cơng sinh "thuận L chiều" với dòng nước trái dấu theo đường cong ngược chiều dịng nước r trong, khơng có "xốy" (rotF = 0) Do đó, từ cơng thức Stokes, ta thấy hồn lưu theo chu tuyến kín L đặc trưng cho tính xốy trường mặt S có chu tuyến L, nói cách khác tính chất “xốy” trường theo chu tuyến Do đó, r r rotF ≠ ta nói M điểm xoáy trường, ngược lại rotF = ta nói M điểm khơng xốy Toán tử Hamilton 3.1 Vectơ tượng trưng ur ∂ r ∂ r ∂ r ∇= i + j+ k, ∂x ∂y ∂z (1.9) ∂ ∂ ∂ , tương ứng phép lấy đạo hàm theo biến tương ứng x,y ∂x ∂y ∂z z gọi toán tử Hamilton với 3.2.Tác động toán tử Hamilton lần nhận trường grad, div rot nói mục sau 10 Chương I: Các phép toán Phương pháp Toán Lý ur - Tích vectơ ∇ với trường vơ hướng u trường vectơ grad u ur ∂ r ∂ r ∂ r ∂u r ∂u r ∂u r (1.10) j + k )u = i+ j+ k ∇u = ( i + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z r r - Tích vơ hướng vec tơ ∇ với trường vec tơ F trường vec tơ div F r r r ∂X ∂Y ∂Z r ∂ r ∂ r ∂ r (1.11) j+ k )(X i +Y j + Zk ) = ∇F = ( i + + + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ur r r - Tích có hướng vec tơ ∇ với trường vec tơ F trường vec tơ rot F ur r r r r ∂ r ∂ r ∂ r j + k ) × ( Xi + Yj + Zk ) ∇× F = ( i + ∂x ∂y ∂z (1.12) ⎛ ∂Z ∂Y ⎞ r ⎛ ∂X ∂Z ⎞ r ⎛ ∂Y ∂X ⎞ r =⎜ − − − ⎟k ⎟i + ⎜ ⎟ j +⎜ ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ 3.3.Tác động toán tử Hamilton hai lần nhận toán tử vi phân cấp hai - Với trường vô hướng (D ,u ) thuộc lớp C ur ∂u r ∂u r ∂u r ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u div(∇u ) = div( i + j + k) = + + = Δu ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂2 ∂2 ∂2 + + gọi toán tử Laplace ∂x ∂y ∂z ur ur ur Vậy : Δu = div( grad u ) = ∇(∇u ) = (∇) u r - Với trường vec tơ (D , F ) thuộc lớp C Toán tử Δ = (1.13) r ⎡⎛ ∂Z ∂Y ⎞ r ⎛ ∂X ∂Z ⎞ r ⎛ ∂Y ∂X ⎞ r ⎤ div (rot F ) = div ⎢⎜ − − − ⎟i + ⎜ ⎟k ⎥ = ⎟ j +⎜ ∂z ⎠ ∂x ⎠ ∂y ⎠ ⎦ ⎝ ∂z ⎝ ∂x ⎣⎝ ∂y r ur ur r Vậy: div(rot F ) = ∇(∇ × F ) = r - Với trường vec tơ (D , F ) thuộc lớp C r ⎡⎛ ∂Z ∂Y ⎞ r ⎛ ∂X ∂Z ⎞ r ⎛ ∂Y ∂X ⎞ r ⎤ − − − rot (rot F ) = rot ⎢⎜ ⎟k ⎥ ⎟i + ⎜ ⎟ j +⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y z z x x y ⎝ ⎠ ⎠ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎣ uur r r Vậy: rot (rot F ) = grad (div F ) − ΔF Một số trường đặc biệt 4.1.Trường 11 (1.14) (1.15) Phép biến đổi Laplace Phương pháp Toán Lý R=3 v0 C= Z1 = R + RCs V(s) L= 12 Z = Ls Hình 8.11 Bước 1: Chuyển giá trị R, L, C v ( t ) sang điện kháng điện tương ứng miền s Bước 2: Tìm điện kháng chung mạch Bước 3: Áp dụng công thức: V ( s ) = Z ( s ) I ( s ) để tìm I ( s ) Bước 4: Tìm biến đổi ngược I ( s ) ⇒ i ( t ) Giải Gọi Z1 điện kháng chung điện trở R tụ điện C Z điện kháng miền s cuộn cảm L 1 1 s = + = + −1 Z1 R ( Cs ) 12 Ta có: ⇔ Z1 = 12 s+4 Vì Z1 nối tiếp Z nên điện kháng chung mạch là: Z = Z1 + Z = = Do đó: 12 + 4s s+4 s + 16 s + 12 ( s + 1)( s + 3) = s+4 s+4 I (s) = V (s) s+4 ( s + 1)( s + 3) Theo giả thuyết điện biểu diễn qua hàm bước nhảy đơn vị: v ( t ) = v0 ⎡⎣u ( t − 1) − u ( t − ) ⎤⎦ 210 Phép biến đổi Laplace Phương pháp Toán Lý ⎛ e − s e −2 s ⎞ biến đổi Laplace là: V ( s ) = v0 ⎜ − ⎟ (t dịch chuyển) s ⎠ ⎝ s ⇒ I (s) = v0 ( s + ) (e 4s ( s + 1)( s + 3) −s − e −2 s ) 1 ⎤ − s −2 s ⎡1 e −e = v0 ⎢ − − ⎣ 3s s + 24 s + ⎥⎦ ( Biến đổi ngược phần [ ] là: ) −t −3t − e + e 24 Nên biến đổi ngược I ( s ) là: 1 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ i ( t ) = v0 ⎜ − e −(t −1) + e −3( t −1) ⎟ u ( t − 1) − v0 ⎜ − e −(t − 2) + e −3( t − 2) ⎟ u ( t − ) 24 24 ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠ Kiểm tra:Ta thấy i ( t ) = t < với < t < điện v0 nối vào mạch số hạng đầu biểu thức i ( t ) tính đến Tại t = 2, điện v0 bị ngắt, số hạng sau i ( t ) tính đến Dịng điện i ( t ) trì thời gian tắt dần Nhận xét: Nếu điều kiện đầu khác tốn phức tạp hẳn lên Chẳng hạn điện tích tụ điện q ( ) = q0 ≠ thì: t ⎞ 1⎛ v ( t ) = ⎜ ∫ i ( r ) dr + q0 ⎟ C⎝0 ⎠ V (s) = ⎡ I ( s ) + q0 ⎤⎦ Cs ⎣ Khi mối quan hệ V ( s ) = Z ( s ) I ( s ) khơng cịn Để giải toán trường hợp ta phải xét phương trình vi phân cho đoạn mạch riêng BÀI TẬP ∫ Tính tích phân I = c a C đường tròn: z = ez , đó: ( z − 1)( z + 3) b C đường tròn: z = 10 ∞ dx ( x + 1) 2 Tính tích phân I = ∫ 211 Phép biến đổi Laplace Phương pháp Tốn Lý 2π Tính tích phân I = dx ∫ + sin x Tìm hàm gốc của: a X ( p ) = p2 + p + ( p − 2)( p + p + 8) b X ( p ) = p − 15 p − 11 ( p + 1)( p − 2)3 Tìm biến đổi Laplace hàm gốc sau: a sin t b cos 4ωt c e −2t ch3t Tìm nghiệm phương trình: x (4) + x "+ x = sin t thõa mãn điều kiện đầu: x(0) = x '(0) = x (3) (0) = Tìm nghiệm phương trình: x "+ x = et thõa mãn điều kiện đầu: x(1) = 1, x '(1) = Tìm nghiệm hệ phương trình vi phân: ⎧x ' = 2x − 3y ⎧ x(0) = với điều kiện đầu: ⎨ ⎨ ⎩ y ' = y − 2x ⎩ y (0) = Một tụ điện có điện dung C tích điện có điện lượng q0 Tại thời điểm t = mắc tụ vào hai mút cuộng dây có điện cảm L Tìm điện lượng q(t) tụ điện cường độ i(t) dòng điện mạch thời điểm t > 212 Hướng dẫn đáp số Phương pháp Toán Lý HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ Chương I r uuuuuur r qr r r r gradu = − , r = xi + y j + zk r ur divE = 0, ∀M ( x, y, z ) ≠ ur ur rot E = ,( E trường thế) a 60-18i , b 36+78i , c 20 a 56 + 16i, b 21 −7 i − i , c + 41 82 10 10 -972(1+i) u = x y , v =− 2 x +y x +y2 10 u = x − 3xy , v = 3x y − y 11 f ( x) ~ 12 + π ∞ f(x)=2∑ ∞ ∑ k =0 sin ( k + 1) x , x ∈ [ −π , π ] 2k + ( −1) n +1 n n =1 Chương II sin nx ∂Z ∂Z = eu [ x sin y + cos y ] = eu [ y sin v + cos v ] , ∂y ∂x 1+ y2 2(1 + y ) , y" = − y'= y2 y5 y = - sinx + 2x x3 y = + C1 ln x + C2 y = C1 x + C2 ( x + 1) a y = C1e x + C2 e −3 x b y = (C1 + C2 x)e x c y = (C1 cos − 3 x + C2 sin x )e 2 x3 x e b y = (2 x + x)e x a y = 26 ⎞ x ⎛ x c y = ⎜ + ⎟e ⎝ 17 289 ⎠ 213 Hướng dẫn đáp số Phương pháp Toán Lý x a y = sin x ⎛1 ⎞ b y = ⎜ cos x + s inx ⎟ 3e x 10 ⎝ 10 ⎠ ⎧ y ⎪⎪η = 92 64 32 288 10 ⎨ ⇒ uξξ + uηη + un − uη + u = ξ − η 7 7 7 ⎪ξ = x − y ⎩⎪ ⎧η 11 ⎨ ⎩ξ ⎧η 12 ⎨ ⎩ξ ⎧η 13 ⎨ ⎩ξ ⎧ξ 14 ⎨ ⎩η =x ⇒ uξξ + uηη − 8u = = y−x =x ⇒ uηη + 18uξ + 9uη − 2u = = x+ y = 3x ⇒ uξξ + uηη − 2uξ + uη − u = ξ − η = 2x − y = x + sin x + y η −ξ ⇒ uξη + (uξ − uη ) = = x − sin y − y 32 1 15 u ( x, y ) = x y + cos y − y + x − 6 a u ( x, y ) = F ( x − y ) + G ( x − y ) 16 b u ( x, y ) = ( x + y ) F ( x) + G ( x) Chương III u ( x, t ) = u ( x, t ) = 32 π ∞ ∑ (2n + 1) 4v πa n =0 ∞ ∑ k =1 sin (2n + 1)πx cos (2n + 1)πat l l kπc kπ cos l 2l sin kπx sin kπat 2 l l ⎛ k π ⎞ k ⎜⎜1 − ⎟⎟ l ⎠ ⎝ sin ∞ (2n + 1)πat + b sin (2n + 1)πat ⎤ sin (2n + 1)πx ⎡ u ( x, t ) = ∑ ⎢a n cos n ⎥⎦ 2l 2l 2l n =1 ⎣ l l (2n + 1)πx dx , b = (2n + 1)πx dx a n = ∫ f ( x ) sin F ( x ) sin n ∫ (2n + 1)πx 2l 2l l u ( x, t ) = ∞ nπat nπat ⎞ nπx ⎛ ( ) ( ) [ ] + + + bn sin f x tF x dx ⎜ a n cos ⎟ cos ∑ ∫ l0 l l ⎠ l n =1 ⎝ l nπx nπx 2 a n = ∫ f ( x ) cos F ( x ) cos dx , bn = dx ∫ l na l l Hớng dẫn: Các điều kiện biên v điều kiện ban đầu l: l l 214 Hướng dẫn đáp số Phương pháp Toán Lý ∂u (l , t ) ∂u ( x.0 ) ∂u (− l , t ) =0 , = , u ( x,0 ) = −εx , =0 ∂t ∂x ∂x ∞ nπx u ( x, t ) = ∑ (a n cos q n t + bn sin q n t ) sin l n =1 n 2π a 2 nπx h − h , a n = ∫ f ( x ) sin qn = dx , bn = an + l l qn lq n l l u ( x, t ) = A sin ω a sin x sin ωt ω l a A ωa ∞ + ∑ l n =1 (− 1)n −1 ⎛ nπa ⎞ ⎟ ⎝ l ⎠ sin ω2 −⎜ l ∫ F (x ) sin nπx dx l nπat n πx sin l l Hớng dẫn: Tìm u dới dạng u = v +w, w thoả mÃn phơng trình dao động dây với điều kiện w(0, t ) = , w(l , t ) = A sin t , v thoả mÃn phơng trình ®ã víi c¸c ®iỊu kiƯn v(0, t ) = , v(l , t ) = , v( x,0 ) = − w( x,0 ) , ∂v( x,0) ∂w( x,0) =− ∂t ∂t 10 u ( x, t ) = ∞ Q 8Ql x− ∑ E π E n =0 (− 1)n cos (2n + 1)πat sin (2n + 1)πx 2l (2n + 1)2 2l Chương IV u ( x, t ) = 64 Ab π6 ∞ u ( x, y , t ) = ∞ ∑∑ sin p =0 q =0 ∞ 4A u ( x, t ) = ∑∑ alm k =1 n =1 ∞ sin (2 p + 1)π x (2q + 1)π x sin π a b b cos (2 p + 1) + (2q + 1) t 3 b (2 p + 1) (2q + 1) kπ nπ sin 2 ∞ ∑a k , n =1 kn e ⎛ k2 n ⎞ − a 2π ⎜ + 22 ⎟ t ⎜p q ⎟ ⎠ ⎝ kπx nπ y ϕ ( x )sin sin dxdy ∫ ∫ pq 0 p q p q ⇒ a kn = 2 kπ x nπ y ⎛k⎞ ⎛ n ⎞ sin π a ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ t ⋅ sin sin 2 l m ⎝ l ⎠ ⎝m⎠ ⎛k⎞ ⎛ n ⎞ π ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ l ⎠ ⎝m⎠ 215 sin kπx nπy sin p q Hướng dẫn đáp số u ( x, y , t ) = u ( x, y , t ) = Phương pháp Toán Lý ∞ 64 Ab π ∑ sin (2n + 1)πx sin (2m + 1)πy b b 2 (2n + 1) (2m + 1) n =0 16 A(l1l2 ) ⎡⎣(−1)3 − 1⎤⎦ a (k1k2 ) π ∞ (k1l2 ) + (k2l1 ) 2 ∞ cos π ∑ ∑ Sin l l k1 =1 k2 =1 (2n + 1)2 + (2m + 1)2 πat b (k1l2 ) + (k2l1 ) at.Sin k1π kπ xSin y l1 l2 Chương V n ⎡ (2n + 1)2 π a t ⎤ ( (2n + 1)πx − 1) u ( x, t ) = ∑ exp ⎢− ⎥ sin 2 l π n =0 (2n + 1) l ⎦ ⎣ 4l u ( x, t ) = ∞ ⎡ (2n + 1)2 π a t ⎤ (2n + 1)πx exp ⎢− ⎥ sin ∑ l π n = (2n + 1) l ⎣ ⎦ 8c ∞ ⎡ μ n a 2t ⎤ p2 + μn μn x l μ x ∞ u ( x, t ) = ∑ exp ⎢− ϕ ( x ) sin n dx ⎥ sin ∫ 2 l n =1 p( p + 1) + μ n l l l ⎢⎣ ⎦⎥ ®ã μ1 , μ , l nghiệm dơng phơng trình tg = μ p p = hl > ∞ ⎡ (2n + 1)2 π a t ⎤ (2n + 1)πx , u ( x, t ) = u + ∑ a n exp ⎢− ⎥ cos 2l 4l n =0 ⎣ ⎦ (2n + 1)πx dx − (− 1)n 4u a n = ∫ ϕ ( x ) cos (2n + 1)π l 2l l với Hớng dẫn: Tìm u(x,t) có dạng u(x,t) = u0 + v(x,t) ⎛ n 2π a t ⎞ x ⎞ l A ⎡⎛ x ⎞ nπx ⎛ ⎛ x⎞ ⎛ x ⎞⎤ 2l A ∞ ⎟⎟ sin u ( x, t ) = At ⎜1 − ⎟ − ⎢⎜ ⎟ − 3⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟⎥ + ∑ exp⎜⎜ − l ⎠ 6a ⎣⎢⎝ l ⎠ l l ⎝ ⎝l⎠ ⎝ l ⎠⎦⎥ π a n =1 n ⎝ ⎠ H−íng dÉn: T×m u(x,t) dới dạng u(x,t) = u1(x,t) + u2(x,t) , u1(x,t) thoả mÃn phơng trình truyền nhiệt, thoả mÃn điều kiÖn u1(0,t) = At , u1(l,t) = ⎛ u ( x, t ) = A⎜1 − ⎝ ⎛ n 2π a t ⎞ 2ωA ∞ a n x⎞ nπx ⎜⎜ − ⎟⎟ sin , exp ⎟ sin ωt − ∑ l⎠ l π n =1 n l ⎝ ⎠ ⎛ nπa ⎞ ®ã a n = ∫ exp⎜ ⎟ τ cos ωτdτ l ⎝ ⎠ l u ( x, t ) = Ax −t Al e + l π ∞ (− 1)n ∑ n(n π n =1 2 − l2 ) ⎛ n 2π t ⎞ nπx exp⎜⎜ − − t ⎟⎟ sin l l ⎝ ⎠ 216 , Hướng dẫn đáp số Phương pháp Toán Lý ⎡ nπy n2 ⎞ ⎤ mπx 2⎛ m ⎜ u ( x, y, t ) = ∑ Amn exp ⎢− π ⎜ + ⎟⎟t ⎥ sin sin , p q q ⎠⎦ n , m =1 ⎝p ⎣ ∞ nπy mπx ϕ ( x, y ) sin = sin dxdy ∫ ∫ pq 0 p q p q ®ã Amn Chương VI ⎡ ⎛ ξ n (h − z ) ⎞ ⎤ sh ⎜ ⎟⎥ a ⎛ ξn r ⎞ ⎢ ⎝ ⎠⎥ ⎢ u (r , z ) = ∑ un (r , z ) = ∑ M nQ ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠ ⎢ sh ⎛ ξ n h ⎞ ⎥ n =1 n =1 ⎜ ⎟ ⎢⎣ ⎝ a ⎠ ⎥⎦ a ∞ nπ x nπ b nπ x u ( x, y ) = ∑ An sin dx sh , An = f ( x) sin ∫ nπ b a a a n =1 a.sh a 2ar sin ϕ ⎧V1 + V2 2(V1 − V2 ) arctag 2 , r < a ⎪⎪ + a −r π u (r , ϕ ) = ⎨ ⎪V1 + V2 + 2(V1 − V2 ) arctag 2ar sin ϕ , r > a ⎪⎩ r − a2 π ∞ (2k + 1)π y (2k + 1)π x u ( x, y ) = ∑ Bk sh sin , 2p 2p k =0 p (2k + 1)π x Bk = f ( x) sin dx (2k + 1)π s ∫0 2p psh 2p ∞ ∞ 2π u (r , ϕ ) = 2u1 π Chương VIII eπ i a I = I = I = arctag b I = r α π α −R π 2π α π α πϕ R r sin α + 2u2 π π R α r α sin arctag π i(e4 − 5) 8e3 π π a x(t ) = e2t + 2e−2t cos2t − e −2t sin 2t − t 2t b x(t ) = − e + e + 4te 2t − t e 2t 3 217 2π r α πϕ α 2π −Rα Hướng dẫn đáp số Phương pháp Toán Lý a X ( p) = ⎞ 1⎛ p + b X ( p) = ⎜ + 2 2 ⎟ ( p + 1)( p + 9) ⎝ p p + 4ω p + 16ω ⎠ c X ( p) = p+2 ( p + 2) − (3 − t ) sin t − 3t cos t x(t ) = e ⎛ e⎞ x(t ) = et + ⎜1 − ⎟ cos(t − 1) + sin(t − 1) 2 ⎝ 2⎠ ⎧⎪ x(t ) = 5e −t + 3e 4t ⎨ −t 4t ⎪⎩ y (t ) = 5e − 2e q(t ) = q0 cos q t t ; i(t ) = − sin CL CL CL 218 Tài liệu tham khảo Phương pháp Toán Lý TÀI LIỆU THAM KHẢO Đặng Đình Ang, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Phép biến đổi tích phân, NXB Giáo dục, 2001 Đậu Thế Cấp, Hàm biến phức - lí tuyết ứng dụng, NXB Giáo dục, 1999 Nguyễn Minh Chương, Hà Tiếu Ngoạn, Nguyễn Minh Trí, Lê Quang Trung, Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo dục, 2000 Nguyễn Ngọc Giao, Phép tính tốn tử, ĐHTH TP.HCM, 1996 Vũ Gia Tê, Toán cao cấp A3, Học viện Cơng nghệ bưu viễn thơng, 2006 Nguyễn Nhật Khanh, Các giảng phương trình Vật lí – toán, NXB ĐHQG TP.HCM, 2003 Phan Quốc Khánh, Toán chuyên đề, NXB ĐHQG TP.HCM, 2000 Bùi Tuấn Khang, Giáo trình tốn chun đề, Đại học Đà Nẵng, 2004 Đỗ Đình Thanh, Phương pháp tốn lí, NXB Giáo dục, 1987 10 Vũ Văn Thanh, Nguyễn Nhật Khanh, Phương trình đạo hàm riêng Vật lí, NXB ĐHQG TP.HCM, 2002 11 Phan Huy Thiện, Phương pháp tốn lí, NXB Giáo dục,2006 12 Lê Đình Thịnh, Lê Trọng Vinh, Bài tập toán học cao cấp, NXB Giáo dục, 1994 13 Nguyễn Đình Trí, Nguyễn Trọng Thái, Phương pháp tốn lí,NXB Giáo dục,1977 14 Paul Dawkins, Complex Numbers Primer 15 R.Courant, D.Hilbert, Methods of mathematical physics, Lodon, 1953 16 JohanWevers, Physics Formulary, 2005 17 James Nearing, Mathematical Tools for Physics, Physics Department University of Miami, 2006 18 S Axler F.W Gehring K.A Ribet, Graduate Texts in Mathematics, 19 L Bers, M Schechter, Elliptic equations, in: L Bers, F John, M Schechter: 20 M Giaquinta, Multiple Integrals in the Calculus of Variations and Nonlinear Elliptic Systems, Princeton Univ Press, 1983 219 Mục lục Phương pháp Toán Lý MỤC LỤC Trang Lời nói đầu Phần I: Giới thiệu học phần Giới thiệu chung Mục tiêu Phương pháp nghiên cứu Phần II: Kiến thức toán học Chương I: Các phép toán §1 Khái niệm trường vơ hướng trường vectơ Trường vô hướng Trường vectơ Toán tử Hamilton 10 Một số trường đặc biệt 11 §2 Hệ tọa độ cong trực giao 16 Định nghĩa 16 Liên hệ tọa độ Descartes tọa độ cong trực giao 16 Các đặc trưng trường hệ tọa độ cong trực giao 17 Các hệ trực giao 20 §3 Số phức phép tính 21 Dạng đại số số phức 21 Các phép tính số phức 21 Dạng lượng giác số phức 22 §4 Tốn tử -phương trình trị riêng 24 Toán tử 24 Hàm riêng, trị riêng 26 §5 Chuỗi Fuorier 27 Định nghĩa 27 Khai triển Fourier hàm số 29 Định lí Dirichlet 31 Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier 32 Tính hội tụ chuỗi Fourier 33 §6 Tích phân Fuorier 33 Định nghĩa tích phân Fourier 33 Điều kiện đủ để biểu diễn f(x) theo tích phân Fourier 34 220 Mục lục Phương pháp Toán Lý Bài tập 35 Chương II: Phân loại phương trình tốn -vật lý 36 §1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai- phương trình đạo hàm riêng 36 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 36 Các khái niệm phương trình đạo hàm riêng 38 §2 Phương trình tắc 39 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 39 Phép đổi biến 39 Các dạng phương trình tắc 40 §3 Phương trình vật lý – toán 42 Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai 42 Các tốn phương trình vật lí – tốn 43 §4 Một số phương pháp tìm nghiệm phương trình vật lý – tốn 44 Phương pháp biến thiên tham số 44 Phương pháp sử dụng phép biến đổi Laplace 46 Phương pháp đưa dạng tắc 47 Phương pháp đốn nghiệm 48 Phương pháp ứng dụng phép biến đổi Fourier 49 Phương pháp hàm Green 49 Phương pháp tách biến 51 Bài tập 55 PHẦN III: Phương trình tốn -vật lý 57 Chương III: Phương trình truyền sóng 57 §1 Khái niệm phương trình truyền sóng 57 §2 Phương trình dao động sợi dây 61 Thiết lập phương trình dao động dây 61 Các trường hợp đặt biệt 63 Điều kiện phụ 64 Năng lượng dao động dây 65 Nghiệm phương trình sóng 65 §3 Phương trình dao động đàn hồi 67 Thiết lập phương trình dao động 67 Các điều kiện phụ 69 221 Mục lục Phương pháp Toán Lý §4 Dao động sợi dây dài vô hạn 69 §5 Dao động tự sợi dây hữu hạn 73 Dao động sợi dây với hai đầu dây gắn chặt, dao động khơng có ngoại lực tác dụng 73 Dao động sợi dây có đầu tự do, dao động khơng có ngoại lực tác dụng 79 Dao động sợi dây với hai đầu dây gắn chặt, dao động có ngoại lực 81 Bài tập 84 Chương IV: Phương trình dao động màng 86 §1 Thiết lập phường trình dao động màng 86 Phương trình dao động màng 86 Điều kiện phụ 88 §2 Dao động màng hình chữ nhật 89 Bài tốn 89 Ví dụ 92 §3 Dao động màng trịn 94 Phương trình Bessel tổng quát 94 Hàm Bessel 97 Dao động màng tròn 100 Bài tập 106 Chương V: Phương trình truyền nhiệt 107 §1 Phương trình truyền nhiệt vật rắn 107 Mơ tả phương trình truyền nhiệt 107 Các dạng phương trình truyền nhiệt hệ tọa độ Đề-Các 109 Điều kiện phụ 110 Phương trình khuếch tán 111 §2 Phương trình truyền nhiệt dài vô hạn Sự truyền nhiệt dài vơ hạn, khơng có nguồn nhiệt 113 113 Sự truyền nhiệt dài vơ hạn, khơng có nguồn nhiệt 116 Sự truyền nhiệt dài vơ hạn, có nguồn nhiệt §3 Sự truyền nhiệt hữu hạn 120 123 Sự truyền nhiệt hữu hạn, khơng có nguồn nhiệt 123 Sự truyền nhiệt hữu hạn, có nguồn nhiệt 132 Bài tập 135 222 Mục lục Phương pháp Tốn Lý Chương VI: Phương trình Laplace 136 §1 Phương trình Laplace hệ toạ độ trụ 136 Phương trình Laplace 136 Điều kiện phụ 137 Phương trình trạng thái dừng 138 §2 Phương trình Laplace toạ độ trụ 138 §3 Phương trình Laplace toạ độ cầu 141 §4 Truyền nhiệt toạ độ trụ 145 Toạ độ trụ xuyên tâm 145 Toạ độ trụ không xuyên tâm 147 Toạ độ trụ với độ dài hữu hạn 149 §5 Truyền nhiệt toạ độ cầu 152 §6 Bài toán dirichlet cho khối trụ 155 Bài tập 158 PHẦN IV: Kiến thức nâng cao 160 Chương VII: Phương pháp hàm Green 160 §1 Khái niệm hàm Green 160 §2 Phương pháp hàm Green 164 Phương pháp hàm Green 164 Hàm riêng, trị riêng cho hàm Green 165 Cơng thức Green cho phương trình Poisson 166 §3 Phương pháp Green cho toán Dirichlet 168 Hàm Green cho phương trình truyền nhiệt chiều 168 Bài toán truyền nhiệt dừng 170 Bài toán truyền nhiệt miền tròn 171 Phương pháp Green cho toán Dirichlet cầu 174 Chương VIII: Phép biến đổi Laplace 180 §1.Thặng dư - Phép biến đổi Laplace 180 Điểm bất thường 191 Khái niệm miền biên miền 180 Tính chất Miền 181 Hàm biến phức 182 Khái niệm thặng dư 183 Cơng thức tính thặng dư 183 223 Mục lục Phương pháp Toán Lý Sử dụng khái niệm tính chất thặng dư để tìm hàm gốc 184 Khái niệm phép biến đổi Laplace 185 Điều kiện tồn phép biến đổi Laplace 185 §2 Các tính chất hàm gốc hàm ảnh 185 Tính chất tuyến tính 185 Đạo hàm hàm gốc 186 Tích phân hàm gốc tịnh tiến hàm gốc 186 Tịnh tiến hàm ảnh 187 Đạo hàm tích phân hàm ảnh 187 Tích chập hàm gốc 188 Các định lý tích chập hàm gốc 189 §3.Các phép biến đổi Laplace 190 Biến đổi Laplace đạo hàm 190 Biến đổi Laplace hàm delta Dirac 191 Biến đổi Laplace hàm tuần hồn 192 §4 Ứng dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân 192 Phương trình vi phân tuyến tính hệ số số 192 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số số 194 §5 Ứng dụng biến đổi Laplace để giải toán mạch điện 195 Những khái niệm mạch điện 195 Hai định luật Kirchhoff 196 Các đại lượng đặc trưng cho mạch điện xoay chiều hình sin 196 Biểu diễn dịng điện hình sin số phức 197 Biên độ phức điện kháng phức 197 Điện kháng hàm truyền miền s 201 Một số toán mạch điện RLC 204 Bài tập 211 Hướng dẫn đáp số 213 Tài liệu tham khảo 219 Mục lục 220 224 ... số phương pháp để tìm nghiệm phương trình vật lý – toán: phương pháp biến thiên tham số, phương pháp sử dụng phép biến đổi Laplace, phương pháp đưa dạng tắc, phương pháp đốn nghiệm, phương pháp. .. pháp: tương tự phương pháp ứng dụng phép biến đổi Laplace Phương pháp hàm Green Xét dạng tổng quát phương trình vi phân khơng nhất: 49 Phương trình vật lý – toán Phương pháp Toán Lý $ ( x , y , z... Phương pháp hàm Green ,Lý thuyết thặng dư phép biến đổi Laplace để giải số toán mạch điện 2.2 Kỹ Sinh viên nắm vững phương pháp giải toán (bài toán biên, toán hỗn hợp,…) phương trình vật lý tốn,