Phương pháp toán lý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM TÀI LIỆU GIẢNG DẠY: PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ BIÊN SOẠN: HỒ XUÂN HUY AN GIANG, 05- 2010 Lời nói đầu Phương pháp Tốn Lý LỜI NĨI ĐẦU Phương pháp toán học dùng vật lý học đại đa dạng bao gồm khối lượng kiến thức như: hàm thực, hàm biến phức, phương trình vi phân, phép biến đổi tích phân, đại số tuyến tính, phương trình đạo hàm riêng,… Các tài liệu giảng dạy cho ngành: vật lý, toán ngành kỹ thuật,…trong phương trình tốn lý phân loại theo dạng phương trình đạo hàm riêng : phương trình Hyperbolic, phương trình Parabolic, phương trình Elliptic Tài liệu trình bày nội dung: khái niệm trường vơ hướng trường vectơ, tốn tử vi phân, định lý tích phân, phương trình đạo hàm riêng cấp hai, dạng phương trình tốn lý bản, dạng biễu diễn chuỗi Fourier, phương trình truyền sóng, phương trình dao động màng, phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace, phương pháp hàm Green, phép biến đổi Laplace, hàm đặc biệt, đa thức, Trong chương, ngồi phần lí thuyết, tài liệu cịn trọng đến dạng tốn Tài liệu biên soạn quan điểm cho sinh viên tự nghiên cứu Khi lên lớp, sinh viên giảng viên hệ thống lại kiến thức cốt lõi, giải đáp thắc mắc khai thác thêm tập mẫu, giúp sinh viên tự đọc, lĩnh hội dễ dàng Để đo lường chiếm lĩnh tri thức, cuối chương có tập đáp số Nội dung tài liệu giảng dạy cho sinh viên hệ Đại học ngành Sư phạm Vật lý Tác giả có nhiều cố gắng trình biên soạn cho nội dung kiến thức mang tính khoa học thực tiễn, nhiên khơng tránh khỏi thiếu sót Tài liệu có sử dụng số nội dung sách mục “tài liệu tham khảo”.Tác giả mong nhận nhiều ý kiến đóng góp đọc giả để tài liệu hoàn thiện Tác giả Giới thiệu học phần Phương pháp Toán Lý PHẦN I: GIỚI THIỆU HỌC PHẦN Giới thiệu chung Vật lý học cách tổng quát khoa học nghiên cứu "vật chất" "sự tương tác".Đây ngành khoa học tự nhiên nghiên cứu dạng vận động tổng quát giới vật chất để nắm qui luật, định luật chất vận động vật chất giới tự nhiên Con người hiểu biết điều để tìm cách chinh phục giới tự nhiên bắt phục vụ người Đối tượng nghiên cứu vật lý bao gồm vật chất, lượng, không gian thời gian Vật lý có quan hệ mật thiết với toán học Các lý thuyết vật lý bất biến biểu diễn dạng quan hệ toán học, xuất toán học thuyết vật lý thường phức tạp ngành khoa học khác Sự khác biệt vật lý tốn học chỗ, vật lý ln gắn liền với giới tự nhiên, toán học lại biểu diễn mơ hình trừu tượng độc lập với giới tự nhiên Tuy vậy, khác biệt lúc rõ ràng Thực tế có ngành nghiên cứu thuộc lĩnh vực trung gian toán học vật lý, Tốn vật lý - ngành khoa học phát triển cấu trúc toán học để phục vụ cho lý thuyết vật lý Do vậy, học phần Phương pháp Toán lý sở để sinh viên học tốt môn khoa học tự nhiên khác hoá học, sinh học, học lý thuyết, sức bền vật liệu, điện kỹ thuật, kỹ thuật điện tử -viễn thông, kỹ thuật nhiệt… Mục tiêu 2.1 Kiến thức Học phần nhằm cung cấp cho sinh viên số kiến thức phương trình đạo hàm riêng Nội dung trọng tâm học phần dành để nghiên cứu số toán (bài toán biên, toán hỗn hợp,…) gắn với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp II Các kiến thức tốn học: Giải tích véc tơ, số phức, đạo hàm riêng, loại tích phân áp dụng toán vật lý Trình bày tổng quan phương trình vật lý –toán từ dạng tổng quát đến dạng phương trình cụ thể: phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace, điều kiện phụ cho dạng phương trình Phương pháp hàm Green,Lý thuyết thặng dư phép biến đổi Laplace để giải số toán mạch điện 2.2 Kỹ Sinh viên nắm vững phương pháp giải toán (bài tốn biên, tốn hỗn hợp,…) phương trình vật lý toán, nhằm áp dụng vào giải vấn đề thực tế vật lý kỹ thuật.Vận dụng phương trình cho tốn vật lý bản, ứng dụng nhiều vật lý đại Ứng dụng kiến thức tốn học có sử dụng vật lý, phép biến đổi đặc biệt để giải tốn có điều kiện phụ Sinh viên nhận dạng phương trình đặc biệt để áp dụng phương pháp giải tốn thích hợp Giới thiệu học phần Phương pháp Toán Lý 2.3 Thái độ Hình thành cho sinh viên có thái độ học tập tích cực, tự lực giải tập vật lý, làm sở để học tốt học phần vật lý Tạo sở để học tốt nghiên cứu ngành kỹ thuật sở chuyên ngành Rèn luyện phương pháp suy luận khoa học, tư logich, phương pháp nghiên cứu toán ứng dụng Có ý thức kỷ luật tác phong sư phạm, có tinh thần làm việc theo nhóm, có ý thức tập thể cao Góp phần xây dựng giới quan khoa học tác phong khoa học cần thiết cho tương lai Phương pháp nghiên cứu Để học tốt học phần này, sinh viên cần : 3.1.Thu thập nghiên cứu tài liệu sau: - Đặng Đình Ang, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Phép biến đổi tích phân, NXB Giáo dục, 2001 - Đậu Thế Cấp, Hàm biến phức - lí tuyết ứng dụng, NXB Giáo dục, 1999 - Nguyễn Minh Chương, Hà Tiếu Ngoạn, Nguyễn Minh Trí, Lê Quang Trung, Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo dục, 2000 - Nguyễn Ngọc Giao, Phép tính tốn tử, ĐHTH TP.HCM, 1996 - Vũ Gia Tê, Tốn cao cấp A3, Học viện Cơng nghệ bưu viễn thơng, 2006 - Nguyễn Nhật Khanh, Các giảng phương trình Vật lí – tốn, NXB ĐHQG TP.HCM, 2003 - Phan Quốc Khánh, Toán chuyên đề, NXB ĐHQG TP.HCM, 2000 - Bùi Tuấn Khang, Giáo trình toán chuyên đề, Đại học Đà Nẵng, 2004 - Đỗ Đình Thanh, Phương pháp tốn lí, NXB Giáo dục, 1987 - Vũ Văn Thanh, Nguyễn Nhật Khanh, Phương trình đạo hàm riêng Vật lí, NXB ĐHQG TP.HCM, 2002 - Phan Huy Thiện, Phương pháp tốn lí, NXB Giáo dục,2006 3.2 Đặt mục tiêu, thời hạn nghiên cứu - Đặt mục mục tiêu thời hạn cho thân, cố gắng thực chúng Cùng với lịch học, lịch hướng dẫn giảng Lịch học mô tả tuần học (tự học) kỳ học đánh dấu số lượng công việc cần làm Lưu ý ngày sinh viên phải nộp luận, kiểm tra, liên hệ với giảng viên thi kết thúc học phần - Xây dựng mục tiêu chương trình chi tiết Tính tốn thời lượng thời gian nghiên cứu để “Tiết kiệm thời gian” Giới thiệu học phần Phương pháp Toán Lý 3.3 Nghiên cứu nắm kiến thức đề cốt lõi Sinh viên nên đọc qua sách hướng dẫn học tập trước nghiên cứu giảng môn học tài liệu tham khảo khác Nên nhớ việc học thông qua đọc tài liệu việc đơn giản so với việc truy cập mạng Internet hay sử dụng hình thức học tập khác Sử dụng bút quang để đánh dấu đề mục nội dung, công thức quan trọng tài liệu 3.4 Tham gia đầy đủ buổi hướng dẫn học tập Thông qua buổi hướng dẫn học tập này, giảng viên giúp sinh viên nắm nội dung tổng thể môn học giải đáp thắc mắc; đồng thời sinh viên trao đổi, thảo luận sinh viên khác lớp Thời gian bố trí cho buổi hướng dẫn khơng nhiều, đừng bỏ qua buổi hướng dẫn lên kế hoạch Chủ động liên hệ với bạn học giảng viên 3.5 Tự ghi chép lại phần Nếu đọc khơng khó cho việc ghi nhớ Việc ghi chép hoạt động tái kiến thức, kinh nghiệm cho thấy giúp ích nhiều cho việc hình thành thói quen tự học tư nghiên cứu 3.6.Trả lời câu hỏi ôn tập sau chương Cuối chương, sinh viên cần tự trả lời tất câu hỏi Hãy cố gắng vạch ý trả lời chính, bước phát triển thành câu trả lời hồn thiện Đối với tập, sinh viên nên tự giải trước tham khảo hướng dẫn, đáp án Đừng ngại ngần việc liên hệ với bạn học giảng viên để nhận trợ giúp Chương I: Các phép toán Phương pháp Toán Lý PHẦN II: KIẾN THỨC TOÁN HỌC CƠ BẢN CHƯƠNG I: CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN Trong vật lý, đặc biệt kỹ thuật thường gặp khái niệm trường: Trường nhiệt độ, từ trường, điện trường, Khái niệm trường toán học tổng quát hoá trường hợp cụ thể Chẳng hạn: mặt mức, gradient, đặc trưng trường vector Cần nắm vững phương pháp tính tích phân xác định mơ tả miền xác định hàm nhiều biến, tốn tử -phương trình trị riêng, chuỗi Fuorier, tích phân Fuorier, Hầu hết toán kỹ thuật liên quan đến trường vector liên quan đến tích phân đường, tích phân mặt: tính cơng lực, tính thơng lượng trường Tính tích phân đường dẫn đến tính tích phân xác định, tính tích phân mặt dẫn đến tính tích phân bội hai, lần yêu cầu người học phải có kĩ tính tích phân xác định ý nghĩa vật lí đại lượng Sử dụng tốt cơng cụ tốn học để làm tăng khả ứng dụng, chẳng hạn tính khối lượng vật thể hai chiều, ba chiều, từ tính khối tâm, mơ men qn tính vật thể §1 TRƯỜNG VƠ HƯỚNG VÀ TRƯỜNG VECTOR Trường vơ hướng 1.1.Mặt mức Cho trường vô hướng u(x,y,z),với (x,y,z) ∈ Ω Các điểm (x,y,z) ∈ Ω thỏa mãn phương trình: u( x, y,z ) = C, C số (1.1) gọi mặt mức trường vô hướng ứng với giá trị C Rõ ràng mặt mức khác (ứng với giá trị C khác nhau) khơng giao nhau, miền Ω bị phủ kín mặt mức Nếu Ω ⊂ R ta có khái niệm đường mức (đường đẳng trị) cho phương trình: u( x, y ) = C Chẳng hạn điện tích q đặt gốc tọa độ gây nên trường điện u( x, y,z ) = q x2 + y + z Khi đó, mặt mức có phương trình: q x2 + y + z 2 ⎛q⎞ hay x + y + z = ⎜ ⎟ = R Đó mặt cầu đồng tâm O ⎝C ⎠ 2 1.2.Gradient Cho trường vô hướng u(x,y,z), (x,y,z) ∈ Ω u(x,y,z) hàm khả vi Ω ⎛ ∂u ∂u ∂u ⎞ , , ⎟ , ( x, y,z ) ∈ Ω ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ Khi grad u( x, y,z ) = ⎜ Vậy trường vô hướng u(x,y,z) sinh trường vector grad u (1.2) =C Chương I: Các phép tốn Phương pháp Tốn Lý Từ tính chất phép tính đạo hàm, ta suy tính chất sau Gradient: + grad( λu ) = λgradu, λ số + grad( u + v ) = gradu + gradv + grad u = ( vgradu − ugradv ) , v ≠ v v2 + gradf ( u ) = f '( u )gradu Trường vectơ r Miền Ω ⊂ R xác định trường vector F( x, y,z ) tồn điểm M ( x, y,z ) ∈ Ω xác định đại lượng vector: r r r r F( x, y,z ) = P( x, y,z )i + Q( x, y,z ) j + R( x, y,z )k = ( P,Q,R ) Chẳng hạn từ trường trường vector Vậy đặc trưng trường vector hàm vector Một trường vector xác định biết ba thành phần vector đặc trưng cho trường đó: P( x, y,z ),Q( x, y,z ),R( x, y,z ) , tức biết ba trường vô hướng uuuur r Ta dùng kí hiệu: r = ( x, y,z ) thay cho OM , M có tọa độ (x,y,z), r r dr = ( dx,dy,dz ) , dS = ( dydz,dzdx,dxdy) Các đặc trưng trường vector: 2.1.Đường dòng Cho trường vector: r r r r F( x, y,z ) = P( x, y,z )i + Q( x, y,z ) j + R( x, y,z )k , ( x, y,z ) ∈ Ω r Đường cong C ⊂ Ω gọi đường dòng trường vector F( M ) r điểm đường cong C mà tiếp tuyến với C có phương với F( M ) Chẳng hạn đường sức từ trường điện trường đường dịng Nếu đường dịng có phương trình: ⎧ x = x( t ) ⎪ ⎨ y = y( t ) ⎪ z = z( t ) ⎩ r P,Q,R thành phần F ta có hệ thức: x '(t ) y '(t ) z '(t ) = = P (x , y , z ) Q (x , y , z ) R (x , y , z ) (1.3) r Gọi (1.3) hệ phương trình vi phân họ đường dịng trường vector F( x , y ,z ) Chương I: Các phép toán Phương pháp Toán Lý r Chẳng hạn điện tích q đặt gốc tọa độ tạo điện trường E , theo định luật Culomb thì: ⎛ r qrr ⎜ qx qy qz E = =⎜ , , 3 r ⎜ ( x + y + z )2 (x + y + z )2 (x + y + z )2 ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Khi đó, hệ phương trình vi phân họ đường dịng là: dx dy dz = = x y z 2.2.Thông lượng trường vector r Thông lượng trường vector F ( x , y , z ) qua mặt cong định hướng S xác định công thức: rr r r Φ = ∫∫ F ndS = ∫∫ ( Pdydz + Qdzdx + Rdxdy ) = ∫∫ FdS (1.4) S S S r Trong n = (cosα , cosβ , cosγ ) vector đơn vị vector pháp tuyến mặt ur S định hướng; P,Q,R thành phần vector F 2.3.Dive (Divergence) r Ta gọi độ phân kì hay gọi tắt div trừơng vector F ( x , y , z ) điểm r M(x,y,z) đại lượng vô hướng, kí hiệu divF ( x , y , z ) , xác định công thức: r ∂P ∂Q ∂R divF ( x , y , z ) = + + (1.5) ∂x ∂y ∂z r r Vậy trường vector F sinh trường vô hướng div F Nếu miền V ⊂ Ω có biên S cơng thức Gauss – Ostrogradski có dạng: rr r (1.6) ∫∫ F ndS = ∫∫∫ divF (x , y , z )dxdydz S V r Nghĩa thông lượng trường vector F qua phía ngồi mặt S bao miền V tổng độ phân kì tất điểm miền V trường vector r Theo ý nghĩa học tích phân bội ba, suy divF ( x , y , z ) mật độ thông lượng điểm M(x,y,z) trường Từ ý nghĩa vật lí trường vận tốc, ta thấy thơng lượng trường vận tốc qua mặt kín S phía ngồi hiệu lượng vật chất từ chảy từ chảy vào qua S (chẳng hạn lượng nước) Nếu thông lượng Φ > , từ ý nghĩa vật lí, từ tính chất tích phân ta thấy miền V bao bọcr S phải có điểm nguồn Chính r ta gọi M điểm nguồn trường div F ( M ) > , ngược lại div F ( M ) < M điểm hút Chương I: Các phép tốn 2.4.Hồn lưu Phương pháp Tốn Lý r Cho trường vector F = ( P ,Q , R ) , vector xốy định theo cơng thức: r i r ⎛ ∂R ∂Q ⎞ r ⎛ ∂P ∂R ⎞ r ⎛ ∂Q ∂P ⎞ r ∂ rotF = ⎜ − − − ⎟i + ⎜ ⎟k = ⎟ j +⎜ ∂x ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ P r trường, kí hiệu rotF , xác r j r k ∂ ∂y Q ∂ ∂z R (1.7) r r Vậy trường vector F sinh trường vector rotF Giả sử có mặt cong S trường định hướng biên đường L trơn khúc Khi đó, cơng thức Stokes có dạng: r r rr r r Fd r = rotF ndS = rotF (1.8) ∫ ∫∫ ∫∫ dS L S S r Nghĩa hoàn lưu trường vector F dọc theo chu tuyến L mặt cong S thơng lượng vector xoáy qua mặt cong S trường r r r Từ ý nghĩa học, ta thấy ∫ Fd r công trường lực F ( x , y , z ) di L chuyển dọc theo L ur r r r Rota trường vector F = Pi + Q j + Rk cho ta trường vector mới, có giá trị hồn tồn xác định điểm Xét dịng nước chảy công sinh dọc đường cong kín ∫ ( f x dx + f y dy + f z dz) = cơng sinh "thuận L chiều" với dòng nước trái dấu theo đường cong ngược chiều dịng nước r trong, khơng có "xốy" (rotF = 0) Do đó, từ cơng thức Stokes, ta thấy hồn lưu theo chu tuyến kín L đặc trưng cho tính xốy trường mặt S có chu tuyến L, nói cách khác tính chất “xốy” trường theo chu tuyến Do đó, r r rotF ≠ ta nói M điểm xoáy trường, ngược lại rotF = ta nói M điểm khơng xốy Toán tử Hamilton 3.1 Vectơ tượng trưng ur ∂ r ∂ r ∂ r ∇= i + j+ k, ∂x ∂y ∂z (1.9) ∂ ∂ ∂ , tương ứng phép lấy đạo hàm theo biến tương ứng x,y ∂x ∂y ∂z z gọi toán tử Hamilton với 3.2.Tác động toán tử Hamilton lần nhận trường grad, div rot nói mục sau 10 Chương I: Các phép toán Phương pháp Toán Lý ur - Tích vectơ ∇ với trường vơ hướng u trường vectơ grad u ur ∂ r ∂ r ∂ r ∂u r ∂u r ∂u r (1.10) j + k )u = i+ j+ k ∇u = ( i + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z r r - Tích vơ hướng vec tơ ∇ với trường vec tơ F trường vec tơ div F r r r ∂X ∂Y ∂Z r ∂ r ∂ r ∂ r (1.11) j+ k )(X i +Y j + Zk ) = ∇F = ( i + + + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ur r r - Tích có hướng vec tơ ∇ với trường vec tơ F trường vec tơ rot F ur r r r r ∂ r ∂ r ∂ r j + k ) × ( Xi + Yj + Zk ) ∇× F = ( i + ∂x ∂y ∂z (1.12) ⎛ ∂Z ∂Y ⎞ r ⎛ ∂X ∂Z ⎞ r ⎛ ∂Y ∂X ⎞ r =⎜ − − − ⎟k ⎟i + ⎜ ⎟ j +⎜ ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ 3.3.Tác động toán tử Hamilton hai lần nhận toán tử vi phân cấp hai - Với trường vô hướng (D ,u ) thuộc lớp C ur ∂u r ∂u r ∂u r ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u div(∇u ) = div( i + j + k) = + + = Δu ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂2 ∂2 ∂2 + + gọi toán tử Laplace ∂x ∂y ∂z ur ur ur Vậy : Δu = div( grad u ) = ∇(∇u ) = (∇) u r - Với trường vec tơ (D , F ) thuộc lớp C Toán tử Δ = (1.13) r ⎡⎛ ∂Z ∂Y ⎞ r ⎛ ∂X ∂Z ⎞ r ⎛ ∂Y ∂X ⎞ r ⎤ div (rot F ) = div ⎢⎜ − − − ⎟i + ⎜ ⎟k ⎥ = ⎟ j +⎜ ∂z ⎠ ∂x ⎠ ∂y ⎠ ⎦ ⎝ ∂z ⎝ ∂x ⎣⎝ ∂y r ur ur r Vậy: div(rot F ) = ∇(∇ × F ) = r - Với trường vec tơ (D , F ) thuộc lớp C r ⎡⎛ ∂Z ∂Y ⎞ r ⎛ ∂X ∂Z ⎞ r ⎛ ∂Y ∂X ⎞ r ⎤ − − − rot (rot F ) = rot ⎢⎜ ⎟k ⎥ ⎟i + ⎜ ⎟ j +⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y z z x x y ⎝ ⎠ ⎠ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎣ uur r r Vậy: rot (rot F ) = grad (div F ) − ΔF Một số trường đặc biệt 4.1.Trường 11 (1.14) (1.15) ... số phương pháp để tìm nghiệm phương trình vật lý – toán: phương pháp biến thiên tham số, phương pháp sử dụng phép biến đổi Laplace, phương pháp đưa dạng tắc, phương pháp đốn nghiệm, phương pháp. .. pháp: tương tự phương pháp ứng dụng phép biến đổi Laplace Phương pháp hàm Green Xét dạng tổng quát phương trình vi phân khơng nhất: 49 Phương trình vật lý – toán Phương pháp Toán Lý $ ( x , y , z... Phương pháp hàm Green ,Lý thuyết thặng dư phép biến đổi Laplace để giải số toán mạch điện 2.2 Kỹ Sinh viên nắm vững phương pháp giải toán (bài toán biên, toán hỗn hợp,…) phương trình vật lý tốn,