Đại số đại cương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM TÀI LIỆU GIẢNG DẠY ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG Tác giả biên soạn: ThS HOÀNG HUY SƠN AN GIANG, THÁNG NĂM 2011 TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM TÀI LIỆU GIẢNG DẠY ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG BAN GIÁM HIỆU LÃNH ĐẠO ĐƠN VỊ TÁC GIẢ BIÊN SOẠN ThS Hoàng Huy Sơn Năm 2011 LỜI NÓI ĐẦU Tài liệu “Đại số đại cƣơng” đƣợc viết nhằm phục vụ sinh viên chuyên ngành Toán Khoa Sƣ phạm trƣờng Đại học An Giang Nội dung tài liệu đƣợc trình bày chƣơng Chƣơng I trình bày kiến thức sở nửa nhóm nhóm Để giảm bớt khó khăn cho sinh viên họ đƣợc làm quen với cấu trúc đại số trừu tƣợng, cố gắng đƣa vào nhiều ví dụ cần thiết tính ứng dụng khái niệm nhóm giúp ngƣời học hiểu sâu vấn đề lý thuyết Hầu hết ví dụ đƣợc trình bày cách chi tiết xem nhƣ trình bày mẫu để sinh viên làm quen với cách trình bày giải mơn học Chƣơng II trình bày vấn đề vành, trƣờng Một số kết đƣợc trình bày mức độ tổng quát với dụng ý yêu cầu ngƣời học phải biết cách vận dụng kiến thức có chƣơng I Chƣơng III chƣơng IV nói lớp vành có vai trị quan trọng đại số vành đa thức lớp vành có tính nhân tử hóa thuật tốn Ơclit vành vành Ơclit Chƣơng V giới thiệu ứng dụng lý thuyết vành vào đa thức trƣờng số Để tài liệu có số trang vừa phải, chúng tơi khơng trình bày lại kiến thức đại số nhƣ tập hợp, ánh xạ, quan hệ hai ngơi kết liên quan đến tính chất số học tập số nguyên, vấn đề sinh viên đƣợc học học phần trƣớc Tài liệu có phần tập cho theo tiết Hệ thống tập tƣơng đối phong phú từ dễ đến khó Việc giải tập cần thiết để ngƣời học có sở kiểm tra mức độ nắm bắt vấn đề hiểu sâu lý thuyết Tài liệu đƣợc hình thành dựa sở chúng tơi có đƣợc từ thực tế giảng dạy nhiều năm cho sinh viên ngành Toán Khoa Sƣ phạm trƣờng Đại học An Giang Khi viết tài liệu chúng tơi có tham khảo số tài liệu tên tác giả Hoàng Xuân Sính; Nguyễn Tiến Quang; Mỵ Vinh Quang số tác giả khác đƣợc liệt kê trang cuối tài liệu Nhân dịp tỏ lịng biết ơn tác giả nói Chúng tơi hy vọng tài liệu giúp ích cho sinh viên họ học nghiên cứu Đại số Chắc chắn tài liệu cịn có nhiều thiếu sót, chúng tơi mong nhận đƣợc nhiều góp ý bạn đồng nghiệp sinh viên tài liệu đƣợc hoàn chỉnh An Giang, tháng 05 năm 2011 Tác giả MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƢƠNG I NỬA NHĨM VÀ NHĨM §1 NỬA NHĨM Phép tốn hai ngơi Nửa nhóm BÀI TẬP §2 NHĨM Nhóm Nhóm Nhóm xyclic, cấp phần tử Nhóm chuẩn tắc Nhóm thƣơng Đồng cấu nhóm BÀI TẬP CHƢƠNG II VÀNH VÀ TRƢỜNG §1 VÀNH VÀ MIỀN NGUYÊN Vành Miền nguyên Vành Iđêan Vành thƣơng Đồng cấu vành Đặc số vành BÀI TẬP §2 TRƢỜNG Trƣờng Trƣờng Trƣờng thƣơng miền nguyên Iđêan nguyên tố iđêan tối đại BÀI TẬP CHƢƠNG III VÀNH ĐA THỨC §1 VÀNH ĐA THỨC MỘT ẨN Vành đa thức ẩn Bậc đa thức Phép chia với dƣ Nghiệm đa thức Phần tử đại số, phần tử siêu việt Cơng thức Viet BÀI TẬP §2 VÀNH ĐA THỨC NHIỀU ẨN Vành đa thức nhiều ẩn Bậc Trang 4 10 11 11 17 21 25 29 31 39 47 47 47 52 53 54 58 60 64 65 70 70 71 73 75 78 81 81 81 83 84 87 90 91 92 95 95 96 Đa thức đối xứng Ứng dụng đa thức đối xứng BÀI TẬP CHƢƠNG IV VÀNH CHÍNH VÀ VÀNH ƠCLIT §1 VÀNH CHÍNH Tính chất số học vành Vành BÀI TẬP §2 VÀNH ƠCLIT BÀI TẬP CHƢƠNG V ĐA THỨC TRÊN CÁC TRƢỜNG SỐ §1 ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ THỰC VÀ PHỨC Trƣờng số phức Đa thức với hệ số thực Phƣơng trình bậc bậc BÀI TẬP §2 ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ HỮU TỈ Nghiệm hữu tỉ Đa thức bất khả quy trƣờng số hữu tỉ BÀI TẬP 100 108 110 112 112 112 115 122 124 133 135 135 135 138 139 148 150 150 155 161 TÀI LIỆU THAM KHẢO 162 CHƢƠNG I NỬA NHÓM VÀ NHÓM §1 NỬA NHĨM Phép tốn hai ngơi Định nghĩa Một phép tốn hai ngơi tập hợp X ánh xạ T : X X X (x ,y ) T (x ,y ) Nhƣ vậy, phép toán hai quy tắc cho tƣơng ứng cặp phần tử x ,y X với phần tử T (x ,y ) X Phần tử T (x ,y ) đƣợc gọi hợp thành x y phép toán T Thay cho cách viết T (x ,y ) ta viết xT y , ký hiệu T ta cịn dùng kí hiệu khác nhƣ +, ·, , x y đọc x cộng y kết gọi tổng x y x y đƣợc đọc x nhân y kết gọi tích x y Đối với tích x y , ngƣời ta thƣờng quy ƣớc viết gọn lại xy Nếu tập hợp X đƣợc trang bị phép tốn hai ngơi ta gọi X nhóm Ví dụ a) Phép cộng phép nhân thông thƣờng số phép tốn hai ngơi tập hợp , , , , Phép trừ phép tốn hai ngơi tập , , , , nhƣng phép trừ khơng phải phép tốn hai ngơi tập , chẳng hạn khơng thuộc Phép chia khơng phải phép tốn hai ngơi tập , , , phép chia cho không xác định Tuy nhiên, phép chia phép tốn hai ngơi tập * \ , * \ , * \ b) Phép mũ hóa tập hợp số tự nhiên khác T : * a ,b * * aT b a b phép tốn hai ngơi c) Phép lấy ƣớc chung lớn phép toán hai tập hợp chung nhỏ phép tốn hai ngơi tập hợp * * Phép lấy bội d) Kí hiệu Hom (X , X ) tập hợp ánh xạ từ tập hợp X khác rỗng đến Khi tích ánh xạ phép tốn hai ngơi Hom (X , X ) e) Tích có hƣớng hai véc tơ Hình học giải tích phép tốn hai ngơi tập hợp véc tơ có gốc O khơng gian ba chiều f) Kí hiệu M n ( ) tập hợp ma trận vuông cấp n với phần tử số thực Khi tích ma trận phép tốn hai ngơi M n ( ) g) Phép giao hợp tập hợp phép tốn hai ngơi tập hợp p(X ) phận tập hợp X Định nghĩa Một tập A X đƣợc gọi ổn định phép tốn hai ngơi T X với x ,y A xT y A Nếu phép tốn T ổn định A T :A A A x ,y xT y ánh xạ, phép tốn A Phép toán tập A đƣợc gọi phép toán cảm sinh phép tốn T X Ví dụ a) Phép cộng phép cộng , phép cộng cảm sinh b) Phép trừ sinh phép toán c) Trên ổn định tập không ổn định tập , phép trừ khơng cảm xét phép toán a b a b ab Phép toán ổn định tập S 0;1 Thật vậy, a b ab a (1 b) b Ta có, với a ,b S , a (1 b) b b b Vậy, a b a b ab S với a ,b S Định nghĩa Phép tốn hai ngơi T tập hợp X đƣợc gọi có tính chất kết hợp với x ,y , z X xT y T z xT yT z đƣợc gọi có tính chất giao hoán với x ,y xT y X yT x Ví dụ a) Phép cộng phép nhân số tập hợp , , , , có tính chất kết hợp giao hoán Phép trừ tập hợp , , , phép chia tập * , * , * khơng có tính chất kết hợp khơng có tính chất giao hốn b) Phép mũ hóa tập hợp * khơng có tính chất kết hợp giao hoán c) Phép lấy ƣớc chung lớn nhất, phép lấy bội chung nhỏ tập hợp chất kết hợp giao hốn * có tính d) Phép nhân ánh xạ tập hợp Hom (X , X ) có tính chất kết hợp nhƣng khơng có tính chất giao hốn (nếu tập X có nhiều phần tử) e) Phép nhân ma trận tập hợp M n ( ) có tính chất kết hợp nhƣng khơng có tính chất giao hốn f) Tích có hƣớng véc tơ Hình học giải tích khơng có tính chất kết hợp khơng có tính chất giao hốn Sau ta đƣa khái niệm phần tử đặc biệt phép toán Định nghĩa Một phần tử e X đƣợc gọi đơn vị trái (đơn vị phải) phép tốn hai ngơi T X với x X eT x x xT e x Nếu e vừa đơn vị phải vừa đơn vị trái e gọi đơn vị phần tử trung hịa phép tốn hai ngơi Ví dụ a) Số phần tử đơn vị phép cộng, số phần tử đơn vị phép nhân tập hợp số Số đơn vị mà đơn vị phải phép mũ hóa * b) Số đơn vị phép lấy bội chung nhỏ tập hợp * c) Phép nhân ánh xạ tập Hom (X , X ) có đơn vị ánh xạ đồng id X d) Phép nhân ma trận tập M n ( ) có đơn vị ma trận đơn vị I n e) Tích có hƣớng hai véc tơ khơng có đơn vị trái khơng có đơn vị phải Định lí Nếu e đơn vị trái e đơn vị phải phép tốn hai ngơi T X e1 e Chứng minh Do e đơn vị trái nên e1T x x với x với x X Vậy, ta có e e1T e e1 X Do e đơn vị phải nên xT e Hệ Một phép toán hai ngơi tập hợp có nhiều phần tử trung hòa Định nghĩa Cho T phép tốn hai ngơi X có phần tử trung hòa e Phần tử x X (x X ) gọi phần tử đối xứng trái (đối xứng phải) x x T x e (xT x e ) x Phần tử x gọi phần tử đối xứng x x vừa phần tử đối xứng trái vừa phần tử đối xứng phải x , tức là: x T x xT x e Nếu x có phần tử đối xứng x gọi phần tử khả đối xứng Định lý Nếu phép toán T X kết hợp, x phần tử đối xứng trái x , x phần tử đối xứng phải x x x Chứng minh Theo giả thiết ta có x Vậy, x x T e x T (xT x ) (x T x )T x eT x x x Hệ Nếu phép tốn T X kết hợp phần tử đối xứng phần tử (nếu có) Ví dụ a) Trên , , , b) Trên * , * , với phép cộng, phần tử x có phần tử đối xứng x * với phép nhân, phần tử x có phần tử đối xứng x c) Trên tập hợp Hom (X , X ) với phép toán nhân ánh xạ, phần tử f khả đối xứng f song ánh Phần tử đối xứng f ánh xạ ngƣợc f f d) Nếu e phần tử trung hịa phép tốn T X e khả đối xứng phần tử đối xứng e Từ sau, lý luận tổng quát ta kí hiệu hợp thành x y xy , trừ số trƣờng hợp mà bắt buộc ta phải dùng kí hiệu khác Nửa nhóm Định nghĩa Cho tập hợp X với phép tốn hai ngơi đƣợc xác định X đƣợc gọi nửa nhóm phép tốn có tính chất kết hợp Nếu phép tốn X có phần tử trung hịa X đƣợc gọi vị nhóm Nếu phép tốn có tính chất giao hốn X đƣợc gọi nửa nhóm giao hốn hay nửa nhóm abel Thuật ngữ abel đƣợc đặt theo tên nhà Toán học lỗi lạc ngƣời Na uy, Niels Abel (1802 1829) Ví dụ a) Các tập hợp , , , , với phép toán cộng phép nhân thơng thƣờng vị nhóm abel Các tập hợp * , * , * khơng lập thành nửa nhóm với phép chia phép chia khơng có tính chất kết hợp b) Tập hợp M n ( ) với phép nhân ma trận vị nhóm khơng giao hoán Cũng nhƣ vậy, tập hợp Hom (X , X ) với phép nhân ánh xạ vị nhóm khơng giao hốn X có nhiều phần tử c) Cho tập hợp X Trên X xét phép toán T xác định nhƣ sau: Với x ,y xT y x Khi X với phép tốn T nửa nhóm Thật vậy, x ,y , z X ta có (xT y )T z xT z x ;xT (yT z ) xT y X x xT (yT z ) Vậy, phép tốn T X có tính chất kết hợp Suy (xT y )T z Nếu X có nhiều phần tử nửa nhóm X khơng giao hoán Thật vậy, giả sử x ,y X , x y , ta có: xT y x ;yT x y , tức xT y yT x Dễ thấy y X phần tử trung hòa bên phải Thật vậy, x X ta có xT y x nên y phần tử trung hòa bên phải Nếu X có nhiều phần tử X khơng có phần tử trung hịa bên trái Thật vậy, y X chọn x X , x y Khi đó, yT x x nên y khơng phải phần tử trung hòa bên trái y d) Trên tập * số phức khác không ta xét phép toán a b a b với a ,b Khi * với phép tốn Thật vậy, với a ,b,c * nhƣ sau: nửa nhóm * , ta có (a b) c (a b ) c (a b ) c a (b c ) a (b c ) a b c Suy (a b) c a (b c ) Vậy phép toán * a bc a bc có tính chất kết hợp Ta xét xem phép tốn có phần tử đơn vị không Giả sử e phần tử * , e đơn vị phải * với a ta có a e a e a Nhƣ vậy, đơn vị phải phép tốn tất số phức có mơ đun Bây e đơn vị trái e a * a Điều khơng thể xảy Vậy, phép tốn dễ thấy phép tốn khơng có tính chất giao hốn ea a với khơng có đơn vị Chúng ta Định nghĩa Cho X nửa nhóm, x , x , , x n phần tử X Ta gọi tích ba phần tử x , x , x kí hiệu x 1x 2x xác định nhƣ sau: x 1x 2x (x 1x )x x (x 2x ) Một cách tổng quát tích n phần tử x , x , , x n x 1x x n (x 1x x n )x n , với n g x x a m b, a 0, m Từ suy f x g x có khơng q hai nghiệm chung 1.3 Tìm nghiệm phức đa thức f x x2 8x Phân tích đa thức f x thành tích đa thức bất khả quy với hệ số thực 1.4 Trong vành x chứng minh đa thức f x chia hết cho đa thức g x nghiệm g x nghiệm f x nghiệm bội cấp k g x nghiệm bội cấp không bé k f x Trong tập từ 1.5 đến 1.17 đây, đa thức cho xét vành x 1.5 Chứng minh đa thức f x g x x x 3k x 3l x 3n chia hết cho đa thức x với k ,l , n số tự nhiên 1.6 Khi đa thức f x x 3n x 3p với m , n , p số tự nhiên, chia 1.7 Khi đa thức f (x ) x 3m hết cho đa thức g (x ) x x 1? x 3n x 3p với m , n , p số tự nhiên, chia 1.8 Tìm điều kiện để đa thức f x x 2m hết cho đa thức g x thức g x x 3m x x 1? x với m số tự nhiên, chia hết cho đa x x 1.9 Chứng minh đa thức f x g x xm k x k Với k ,ai , i x ka1 x ka2 x kak k chia hết cho đa thức 1, 2, , k số tự nhiên khác không 1.10 Với giá trị m thuộc tập hợp số tự nhiên đa thức m f x x x m chia hết cho đa thức g (x ) x x 1? 1.11 Với giá trị m thuộc tập hợp số tự nhiên đa thức m f x x x m chia hết cho đa thức g (x ) x x 1? 1.12 Với giá trị m thuộc tập hợp số tự nhiên đa thức f (x ) chia hết cho đa thức g(x ) 148 x2 x ? x m xm 1.13 Tìm điều kiện để đa thức f x g(x ) x m xm 1, m thuộc chia hết cho đa thức x2 x 1.14 Các đa thức f (x ) hết cho đa thức g(x ) m x x2 x xm F (x ) x m xm 1, m thuộc , có chia không? 1.15 Chứng minh đa thức f x n , n thuộc , chia hết cho x , chia hết cho đa thức x n 1.16 Chứng minh đa thức f x n chia hết cho x a x n an k k chia hết cho đa thức với a số thực khác 0, n k số tự nhiên 1.17 Chứng minh đa thức F x f1 x xf x chia hết cho đa thức x x f1 x f x chia hết cho đa thức x 1.18 Giải phƣơng trình bậc ba sau a) x 9x 18x 28 b) x x c) x 18x 15 d) x 3x 6x 1.19 Giải phƣơng trình a) x 3x x 4x b) x 4x 3x 2x c) x 2x 8x 2x d) x 6x 6x e) x 2ix 2ix §2 ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ HỮU TỈ Nghiệm hữu tỉ Cho f (x ) an x n an 1x n thể viết f (x ) dƣới dạng a1x a ,an f (x ) b (bn x n bn 1x n 0, đa thức với hệ số hữu tỉ, ta có b1x b0 ) b 1g(x ) b mẫu số chung phân số , i g(x ) bn x n bn 1x n 0, , n b1x b0 149 đa thức với hệ số nguyên Khi nghiệm g(x ) nghiệm f (x ) Vậy việc tìm nghiệm đa thức với hệ số hữu tỉ đƣợc đƣa tìm nghiệm đa thức với hệ số nguyên Mặt khác bn nhân g(x ) với bnn ta đƣợc bnn 1g(x ) (bn x )n bn (bn x )n Đặt y n bb (bn x ) b0bnn n bn x , ta đƣợc đa thức theo biến y bnn 1g(x ) y n bn 1y n n bb b0bnn n y h (y ) y0 nghiệm g(x ) bn Nếu y nghiệm h (y ) x Từ lập luận ta thấy việc tìm nghiệm đa thức với hệ số hữu tỉ đƣợc đƣa việc tìm nghiệm đa thức với hệ số nguyên có hệ số cao Định lý sau cho phép ta tìm nghiệm hữu tỉ đa thức với hệ số nguyên Định lý Cho đa thức f (x ) x n an 1x n a1x a0 với hệ số nguyên có hệ số cao Khi nghiệm hữu tỷ f (x ) a) số nguyên b) ƣớc hệ số tự a Chứng minh a với a ,b b a) Giả sử f( ) a b n an a b (a ,b) 1, nghiệm hữu tỷ f (x ) Khi ,b n a b a1 a0 hay a n an 1a n 1b +…+ a1abn a 0bn hay b(an 1a n a1abn a0bn ) a n Từ b chia hết a n Nhƣng a b nguyên tố nhau, nên áp dụng liên tiếp Hệ Bổ đề 3, Chƣơng 4, §1,2 ta đƣợc b chia hết a Bởi b số Vậy, nguyên b) Ta có f( ) n ( n an n 1 a1 a0 a1 ) a0 hay 150 an n Điều kéo theo ƣớc a Nhƣ nghiệm nguyên f (x ), có, phải ƣớc số hạng tự a Vì vậy, muốn tìm nghiệm nguyên f (x ) ta việc xét ƣớc a , sau thử xem ƣớc có nghiệm f (x ) hay không Để giảm bớt số lần kiểm tra, ngƣời ta đƣa vào nhận xét sau Giả sử phân tích nghiệm nguyên f (x ), f (x ) chia hết cho x f (x ) (x , ta có )q(x ) Theo sơ đồ Hooc ne q(x ) đa thức với hệ số nguyên, q(1) q( 1) số nguyên, từ f (1) f ( 1) khác Vì trƣớc hết ta tính f (1) f ( 1) để xem có nghiệm f (x ) khơng, sau ta xét ƣớc a cho f (1) f ( 1) để xem chúng có phải nghiệm f (x ) khơng Ví dụ a) Tìm nghiệm hữu tỉ đa thức x 2x f x 6x 3x 42x 48 Nghiệm hữu tỉ có f (x ) ƣớc 48 Ta có f (1) 78 0, f Tập hợp ƣớc 48 Các ƣớc 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 48 thỏa điều kiện f f , 1 2, Thử sơ đồ Hoocne Vậy, 6 15 42 36 24 48 ta có 84 151 f x Nghiệm hữu tỉ f x x x x4 6x 9x 24 b) Tìm nghiệm hữu tỉ đa thức x 8x f x 20x 20x 19x 12 Trƣớc hết f (x ) có tổng hệ số nên nhận làm nghiệm Chia f (x ) cho x ta đƣợc f (x ) (x 1)g(x ), với g (x ) x 7x 13x 7x 12 Ta nhận xét g( ) với nên g(x ) nghiệm âm Vì xét ƣớc dƣơng số hạng tự do: 1, 2,3, 4,6,12 Ta có g(1) 12, g( 1) 40 Chỉ có số thỏa điều kiện g (1) g( 1) nên chúng nghiệm g(x ) Thử sơ đồ Hoocne 13 12 4 1 (x 1)(x 3(x Vậy, ta có f (x ) 4)(x 1) Các nghiệm hữu tỉ f x 1,3,4 c) Tìm nghiệm hữu tỉ đa thức f (x ) 4x 7x 5x Nhân đa thức f (x ) với ta đƣợc f (x ) 16x y4 7.4x 5.4x 7y 10y (2x ) 4, với y Ta tìm nghiệm hữu tỉ g (y ) y Ta có g( 1) nên y g (y ) Nhân tử y 152 2y 7(2x ) 10(2x ) 2x 7y 10y nghiệm g(y ) Chia g(y ) cho y 1, ta đƣợc (y 1)(y y 6y khơng có nghiệm hữu tỉ 4) (y 1) (y 2y 4) Vậy, g(y ) có nghiệm hữu tỉ y nghiệm kép x nghiệm kép f (x ) có nghiệm hữu tỉ Trong ví dụ c), cách đặt ẩn ta đƣa đa thức f (x ) 4x 7x 5x có hệ số cao khác đa thức g(y ) có hệ số tìm nghiệm hữu tỉ g(y ) theo Định lý Định lý sau cho cách tìm nghiệm hữu tỉ đa thức với hệ số nguyên có hệ số cao khác Định lý Giả sử an x n an 1x n p , với p,q q nguyên tố nhau, nghiệm đa thức an với hệ số nguyên Khi a) p ƣớc hệ số tự a q ƣớc hệ số cao a n b) p mq ƣớc f (m ), với m nguyên Đặc biệt p q ƣớc f (1), p q ƣớc f ( 1) Chứng minh a) Giả sử p , với p,q q ,q 0,(p,q) 1, nghiệm đa thức an x n f x an 1x n a1x a ,an với hệ số nguyên Ta chứng minh q an p a Do p nghiệm f x nên ta có q p f q Suy an pn an 1pn 1q Hay an pn q an 1p n an p q n a1pqn a1pqn an 1 p q a0qn a 0qn n a1 p q a0 0 (*) , từ q chia hết an pn Vì p q nguyên tố nên p q n nguyên tố nhau, ta phải có q an Mặt khác từ (*) ta suy p an p n an 1p n 2q a1qn a 0qn Do p chia hết a 0qn Cũng lập luận nhƣ ta đƣợc p a b) Phân tích f x theo lũy thừa x m sơ đồ Hoocne ta đƣợc 153 n f x an x m bn x m nguyên m nguyên Ta có f m f p q Tức g b0 Do p m q n b1 x m g (x m ) Các hệ số b0 ,b1 , b0 ,bn p p nghiệm f x nên thay x ta đƣợc q q p mq q g p mq nghiệm g(x m ) q Theo câu a) ta có p mq phải ƣớc b0 ƣớc f m Trong trƣờng hợp m p q ƣớc f , m Ví dụ Tìm nghiệm hữu tỉ đa thức f x Theo Định lý 2, phân số tối giản f x 10x 81x 90x 102x Các giá trị p p q 80x p q ƣớc f 10x 81x 90x 102x 80x 21 nghiệm đa thức 21, p | 21 q |10 1, 3, 7, 21 Các giá trị q 1,2,5,10 Ngồi p ,q phải thỏa mãn điều kiện p q | f p q | f Ta có f 3; 7; 21; 24, f 1 384 Ta lần lƣợt xét phân số 1 3 7 21 21 21 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 5 5 10 10 10 10 Sau loại giá trị không thỏa mãn điều kiện p q |f 24, p q | f 384, ta đƣợc giá trị nghiệm f x 7; ; Thử sơ đồ Hoocne 154 10 81 90 102 80 10 11 13 11 21 1 10 10 10 10 0 Đa thức 10x 10 vô nghiệm hữu tỉ Vậy, f x có ba nghiệm hữu tỉ 7, , Đa thức bất khả qui trƣờng số hữu tỉ Trong §1 ta mơ tả đƣợc tất đa thức bất khả quy trƣờng số thực phức x x , việc xem xét đa thức có bất khả quy hay khơng Nếu nhƣ vành x , công việc phức tạp Các đa thức việc đơn giản vành x vơ nghiêm bậc hai bậc ba vành bất khả quy Đối với đa thức bậc lớn ba khơng có nghiệm hữu tỉ nhƣng bất khả quy Chẳng hạn đa thức f (x ) x 2x vô nghiệm nhƣng có ƣớc thực 2 2 x 1, f (x ) x 2x (x 1) Trong mục đƣa vài điều kiện đủ để nhận biết đa thức bất khả quy Trƣớc tiên ta đƣa số khái niệm cần thiết Định nghĩa (Đa thức nguyên bản) Một đa thức với hệ số nguyên f (x ) nguyên hệ số có ƣớc chung lớn [ x ] đƣợc gọi Nhận xét Mỗi đa thức f (x ) [ x ] viết đƣợc dƣới dạng tích phân a số tối giản đa thức nguyên f (x ) = f (x ) b Bổ đề Gauss Tích hai đa thức nguyên nguyên Chứng minh Giả sử f x a a1x am x m g x b0 b1x bn x n hai đa thức nguyên Ta cần chứng minh với số nguyên tố p tùy ý, hệ số đa thức tích f x g x không chia hết cho p Ta thấy hệ số f x g x không chia hết cho p f x , g x hai đa thức nguyên 155 Giả sử a , ,ar ,bo ,bs chia hết cho p cịn ar bs khơng chia hết cho p Xét cr s hệ số đa thức tích f x g x cr ar 1bs s arbs ar 1bs ar 1bs ar 1bs p số nguyên tố Do cr Ví dụ f x x2 s chia hết cho p nhƣng arbs không chia hết cho p khơng chia hết cho p 2, g x 20x hai đa thức nguyên đa thức tích f x g x = 20x 7x 40x 14 đa thức ngun số 20, 7, 40, 14 khơng có ƣớc chung khác ngồi Định lý Giả sử f (x ) x , bậc n Khi f (x ) bất khả quy x f (x ) đa thức nguyên f (x ) bất khả quy x Chứng minh ) Giả sử f (x ) khả quy x Khi f (x ) g(x )h (x ) với g (x ), h (x ) x deg g(x ) n ,deg h (x ) n Ta viết g(x ) h (x ) dƣới dạng a * g (x ), h (x ) b g(x ) c * h (x ) d a ,b,c ,d số nguyên, (a,b) 1,(c,d ) g * (x ), h * (x ) đa thức nguyên Do ta có f (x ) r * g (x )h * (x ) s Với r , s số nguyên (r ,s ) Chú ý f (x ) x nên s phải ƣớc hệ tử g * (x )h * (x ) Theo Bổ đề rg * (x )h * (x ) Điều Gauss, g * (x )h * (x ) đa thức nguyên nên s Vậy f (x ) x Mặt khác f (x ) đa thức nguyên mâu thuẫn với f (x ) bất khả quy trái lại f (x ) có phân tích thực f (x ) af * (x ), a ƣớc chung lớn hệ số f (x ), f * (x ) đa thức nguyên Điều trái với f (x ) bất khả quy x ) Giả sử f (x ) đa thức nguyên bản, bất khả quy bất khả quy x Giả sử f (x ) g(x )h (x ) với g (x ), h (x ) 156 x Ta chứng minh f (x ) x x nên đa thức g(x ), h (x ) (chẳng Khi đó, f (x ) bất khả quy x , tức g(x ) a hạn g(x )) phải khả nghịch Mặt khác f (x ) đa thức nguyên nên a Vậy, f (x ) bất khả quy x Từ Định lý ta có hệ sau Hệ Nếu f x đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn f x không bất khả quy hệ số nguyên x f x phân tích đƣợc thành tích đa thức bậc khác với Tiêu chuẩn Aidenstainơ (F.Eisenstein (1823 1852) Nhà Toán học ngƣời Đức) Giả sử f x a a1x an x n (n 1) đa thức với hệ số nguyên, giả sử có số nguyên tố p cho p không chia hết hệ số cao a n , nhƣng p chia hết hệ số lại p không chia hết hạng tử tự a Thế đa thức f x bất khả quy x Chứng minh Giả sử f x có ƣớc thật thể viết dƣới dạng f x Ta có a0 x Theo Hệ Định lý 3, f x có g x h x , g x b0 b1x br x r , bi ,0 r n h x c c1x cs x s , ci ,0 s n b0c a1 bc b0c1 ……………… ak bkc bk 1c1 b0ck …………… an brcs Theo giả thiết p chia hết a b0c nên p chia hết b0 p chia hết c (do p nguyên tố) Giả sử p chia hết b0 , p khơng chia hết c , p chia hết a b0c , mâu thuẫn với giả thiết p chia hết hệ số g(x ), p chia hết an brcs , trái với giả thiết Vậy, giả sử bm hệ số g(x ) không chia hết cho p Xét hệ tử ak bkc bk 1c1 b0ck 157 ak ,bk , ,b0 chia hết cho p Vậy, bkc phải chia hết cho p Do p số nguyên tố nên ta suy bk c phải chia hết cho p Điều mâu thuẫn với giả thiết bk c Ví dụ Dùng tiêu chuẩn Aidenstainơ, chứng minh đa thức sau bất khả quy x a) Đa thức f x x4 Vậy, f x bất khả quy b) Đa thức x n px n thỏa mãn tiêu chuẩn Aidenstainơ với p 4x 6x 12x x px n p với p số nguyên tố tùy ý, bất khả quy x 8x 12x c) f x Đặt y 6x x x Ta biểu diễn f x theo y x sơ đồ Hoocne 12 1 1 1 1 1 Từ sơ đồ ta đƣợc g y Với p y4 4y 6y 2y 2 g y thỏa tiêu chuẩn Aidenstainơ, g y bất khả quy Từ suy f x bất khả quy x x (Xem Bài tập 1.11 Chƣơng IV) Tiêu chuẩn Aidenstainơ có hiệu việc kiểm tra tính bất khả quy đa x Tuy nhiên nhiều trƣờng hợp áp dụng tiêu chuẩn thức x Do ngƣời ta đƣa phƣơng pháp khác để kiểm tra cho đa thức tính bất khả quy đa thức Dƣới phƣơng pháp đƣợc gọi phƣơng pháp thu gọn đa thức theo mô đun số nguyên tố p , gọi tiêu chuẩn bất khả quy thu gọn Tiêu chuẩn bất khả qui rút gọn 158 Giả sử f (x ) a0 an x n (n 1) đa thức với hệ số nguyên giả sử tồn số nguyên tố p cho hệ số cao an không chia hết cho p đa thức f (x ) a a n x n bất khả qui trƣờng p p x Khi f (x ) bất khả qui x Chứng minh x x Khi f (x ) g(x )h (x ) với g (x ), h (x ) Giả sử f (x ) khả quy deg g(x ) 0,deg h (x ) Vì p khơng ƣớc an nên p không ƣớc hệ tử cao g(x ) h (x ) Ta nhận thấy deg g (x ) Trong p p deg g (x ),deg h (x ) deg h (x ) x , f (x ) g (x )h (x ) với deg g (x ) 0,deg h (x ) Do f (x ) khả quy x , điều mâu thuẫn Vậy, f (x ) bất khả quy x Ví dụ Dùng tiêu chuẩn bất khả qui rút gọn, chứng minh đa thức sau bất khả quy x 7x 6x a) f (x ) Trong 9x 23 1x 1x x ta có f (x ) f (x ) đa thức bậc f (0) f (1) f (x ) đa thức bất khả quy đa thức bất khả quy b) f (x ) Xét 7x 2 nên khơng có nghiệm Vì x Theo tiêu chuẩn bất khả qui rút gọn f (x ) x 7x 14x 6x x ta có f (x ) 1x 1x đa thức bất khả quy Giả sử ngƣợc lại f (x ) không bất khả quy x Khi f (x ) khơng có nghiệm nên phân tích f (x ) thành tích nhân tử khơng có nhân tử bậc Vậy ta phải có f (x ) 1x 1x (1x ax 1)(1x bx 1) Thế x vào hai vế ta đƣợc ab , hay a b Thay a b vào đẳng thức ta gặp mâu thuẫn Vậy, f (x ) bất khả quy x f (x ) bất khả quy x BÀI TẬP 2.1 Tìm nghiệm hữu tỉ đa thức 159 a) x 6x 15x 14 b) 2x 3x 6x c) x 6x 11x x 18x 20x d) x 2x 48 6x 3x 42x 2.2 Chứng minh đa thức f x với hệ số ngun khơng có nghiệm ngun f f số lẻ 2.3 Giả sử p x đa thức với hệ số nguyên p x Chứng minh x , p x | f x g x bất khả quy p x | f x x p x |g x x , chứng minh đa thức, khác khác 1, viết 2.4 Trong vành dƣới dạng tích đa thức bất khả quy 2.5 Dùng tiêu chuẩn Aidenstainơ để chứng minh đa thức sau đa thức bất khả x quy a) x x 2x b) x p xp Hướng dẫn: Đặt x x với p số nguyên tố y 2.6 Dùng tiêu chuẩn bất khả quy rút gọn để chứng minh đa thức sau đa thức bất khả x quy a) 3x 6x 7x 13 b) 3x 8x 13x 11 c) 5x 7x 4x d) x 8x 3x 4x 2.7 Tìm điều kiện cần đủ để đa thức x 2.8 Giả sử f x x a1 x a x an Chứng minh f x bất khả quy px q bất khả quy 1, với a i số nguyên phân biệt x x , chứng minh đa thức f x 2.9 Trong vành nhiên khác 0, đa thức bất khả quy x 3n 2x n , với n số tự 2.10 Chứng minh đa thức f (x ) ax bx c với a ,b,c tỉ ba số a ,b,c chẵn 160 x ,a 0, có nghiệm hữu 2.11 Cho đa thức f (x ) ax bx cx d x với ad số lẻ bc số chẵn Chứng minh f (x ) có nghiệm khơng hữu tỉ 2.12 Chứng minh với số nguyên n p (x ) xn n! xn x2 (n 1)! 2! 1, đa thức x 1! khơng có nghiệm hữu tỉ 2.13 Chứng minh f (x ) x 3x 2x đa thức bất khả quy 2.14 Chứng minh đa thức có số chẵn hệ số khác khơng x có nhân tử 1x x 2.15 Tìm tất đa thức bất khả quy có bậc nhỏ 161 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bùi Huy Hiền 2005 Bài tập đại số đại cƣơng Hà Nội: NXB Giáo dục Nguyễn Hữu Việt Hƣng 1999 Đại số đại cƣơng Hà Nội: NXB Giáo dục Hoàng Kỳ – Vũ Tuấn 1978 Bài tập toán cao cấp Hà Nội: NXB Giáo dục Ngô Thúc Lanh 1986 Đại số số học, tập Hà Nội: NXB Giáo dục Nguyễn Tiến Quang 2008 Đại số đại cƣơng Hà Nội: NXB Giáo dục Mỵ Vinh Quang 1999 Đại số đại cƣơng TP Hồ Chí Minh: Chi nhánh NXB Giáo dục Hồng Xn Sính 1997 Đại số đại cƣơng Hà Nội: NXB Giáo dục S Lang Algebra, Columbia University, New York (Phần I dịch tiếng Việt) Hà Nội: NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp 1974 162 ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM TÀI LIỆU GIẢNG DẠY ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG BAN GIÁM HIỆU LÃNH ĐẠO ĐƠN VỊ TÁC GIẢ BIÊN SOẠN ThS Hoàng Huy Sơn Năm 2011 LỜI NÓI ĐẦU Tài liệu ? ?Đại số đại cƣơng”... đa thức trƣờng số Để tài liệu có số trang vừa phải, chúng tơi khơng trình bày lại kiến thức đại số nhƣ tập hợp, ánh xạ, quan hệ hai ngơi kết liên quan đến tính chất số học tập số nguyên, vấn... Hãy tìm nhóm thƣơng của: a) Nhóm cộng số nguyên bội nhóm số nguyên bội 15 b) Nhóm cộng số nguyên bội nhóm số nguyên bội 24 c) Nhóm nhân số thực khác nhóm số thực dƣơng 2.32 Cho G nhóm hữu hạn