Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức , ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau.. Chú ý.[r]
(1)Ôn tập bất đẳng thức 1 Khái niệm bất đẳng thức
Các mệnh đề dạng " " " " gọi bất đẳng thức. 2 Bất đẳng thức hệ bất đẳng thức tương đương
Nếu mệnh đề đúng ta nói bất đẳng thức là bất đẳng thức hệ của bất đẳng thức .
Ta viết .
Chẳng hạn, ta biết
(tính chất bắc cầu)
tùy ý (tính chất cộng hai vế bất đẳng thức với số) Nếu bất đẳng thức là hệ bất đẳng thức và ngược lại ta nói hai bất đẳng thức tương đương với
Ta viết
3 Tính chất bất đẳng thức
Như để chứng minh bất đẳng thức ta cần chứng minh
Tổng quát hơn, so sánh hai số, hai biểu thức chứng minh bất đẳng thức, ta sử dụng tính chất bất đẳng thức tóm tắt bảng sau
Chú ý
Ta gặp mệnh đề dạng Các mệnh đề dạng gọi bất đẳng thức Để phân biệt ta gọi bất đẳng thức không ngặt gọi bất đẳng thức dạng bất đẳng thức ngặt Các tính chất nêu bảng cho bất đẳng thức không ngặt
II Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (bất đẳng thức cơ-si)
(2)Định lí
Trung bình nhân hai số không âm nhỏ trung bình cộng chúng. , (1)
Đẳng thức xảy
Chứng minh
Ta có
Vậy
Đẳng thức xảy , tức 2 Các hệ quả
Hệ 1
Tổng số dương với nghịch đảo lớn 2.
Hệ 2
Nếu x, y dương có tổng khơng đổi tích lớn khi khi .
Chứng minh Đặt Áp dụng bất đẳng thứcCơ-si ta có
,
Đẳng thức xảy
Vậy tích đạt giá trị lớn
Ý NGHĨA HÌNH HỌC
(3)
Hệ 3
Nếu cùng dương có tích khơng đổi tổng nhỏ khi khi
.
Ý NGHĨA HÌNH HỌC
Trong tất hình chữ nhật có diện tích hình vng có chu vi nhỏ (h.27).
III Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đốiTừ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có tính chất cho bảng sau
Ví dụ. Cho Chứng minh
Chuyên đề bổ sung:
Chuyên đề hệ thức bất đẳng thức lượng giác tam giác Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu
Phương pháp tam thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức MỘT KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT CÓ ĐIỀU KIỆN
bất đẳng thức Schur
(4)bất đẳng thức becnuli
Chọn điểm rơi Bất Đẳng Thức Cô-Si BẤT ĐẲNG THỨC SVACXƠ VÀ ỨNG DỤNG Các phương pháp biến đổi chứng minh BĐT
Kỹ thuật chọn điểm rơi toán BĐT cực trị
bất đẳng thức becnuli
Tác giả: ngoduykhanh đưa lên lúc: 21:03:25 Ngày 01-02-2008
bất đẳng thức Bernoulli bất đẳng thức cho phép tính gần lũy thừa + x
Bất đẳng thức phát biểu sau:
với số nguyên r ≥ với số thực x > −1 Nếu số mũ r chẵn, bất đẳng thức với số thực x Bất đẳng thức trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt sau:
với số nguyên r ≥ với số thực x ≥ −1 với x ≠
Bất đẳng thức Bernoulli thường dùng việc chứng minh bất đẳng thức khác Bản thân chứng minh phương pháp quy nạp toán học:
Chứng minh:
Khi r=0, bất đẳng thức trở thành tức mà rõ ràng
Bây giả sử bất đẳng thức với r=k: Cần chứng minh:
Thật vậy, (vì theo giả
(5)(vì )
=> Bất đẳng thức với r=k+1
Theo nguyên lý quy nạp, suy bất đẳng thức với Số mũ r tổng qt hố thành số thực sau: x > −1,
với r ≤ or r ≥ 1,
với ≤ r ≤
Có thể chứng minh bất đẳng thức tổng qt hố nói cách so sánh đạo hàm
Một lần nữa, bất đẳng thức trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt x ≥ -1 ≤ r thuộc tập số tự nhiên
Các bất đẳng thức liên quan
Bất đẳng thức ước lượng lũy thừa bậc r + x theo chiều khác Với số thực x bất kỳ, r > 0, có
(6)I.Các hệ thức lượng giác:
(7)III.Bất đẳng thức sở:
Định nghĩa
Nhị thức có giá trị dấu với hệ số lấy giá trị khoảng trái dấu với hệ số lấy giá trị khoảng . Chứng minh Ta có
Với nên dấu với hệ số
Với nên trái dấu với hệ số Các kết thể qua bảng sau
(8)Khi nhị thức có giá trị khơng ta nói số nghiệm nhị thức
Nghiệm nhị thức chia trục số thành hai khoảng (h.28) Minh họa đồ thị
3 Áp dụng
Ví dụ 1 Xét dấu nhị thức với tham số cho
Giải Nếu
Nếu nhị thức bậc có nghiệm
Ta có bảng xét dấu nhị thức hai trường hợp sau II Xét dấu tích, thương nhị thức bậc nhất
Giả sử tích nhị thức bậc Áp dụng định lý dấu nhị thức bậc xét dấu nhân tử Lập bảng xét dấu chung cho tất nhị thức bậc nhât có mặt ta suy dấu Trường hợp thương xét tương tự
Ví dụ 2. Xét dấu biểu thức
Giải
khơng xác định Các nhị thức có nghiệm viết theo thứ tự tăng Các nghiệm chia khoảng thành bốn khoảng, khoảng nhị thức xét có dấu hồn tồn xác định
Từ bảng xét dấu ta thấy
(9)
không xác định (trong bảng ký hiệu ||) III Áp dụng vào giải bất phương trình
Giải bất phương trình thực chất xét xem biểu thức nhận giá trị dương với giá trị (do biết nhận giá trị âm với giá trị , làm ta nói xét dấu biểu thức
1 Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn mẫu thức
Ví dụ 3 Giải bất phương trình
Giải Ta biến đổi tương đươngbất phương trình cho
Xét biểu thức
Ta suy nghiệm bất phương trình cho
2 Bất phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối
Một cách giải bất phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối sử dụng định nghĩa để khử dấu giá trị tuyệt đối Ta thường phải xét bất phương trình nhiều khoảng (nửa khoảng, đoạn) khác biểu thức nằm dấu giá trị tuyệt đối có dấu xác định
Ví dụ 4. Giải bất phương trình
Giải
Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có
(10)Do ta xét bất phương trình hai khoảng
a) Với ta có hệ bất phương trình
hay
Hệ có nghiệm
b) Với ta có hệ bất phương trình
hay
Hệ có nghiệm
Tổng hợp lại tập nghiệm bất phương trình cho tập hai khoảng
Kết luận Bất phương trình cho có nghiệm
Bằng cách áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối ta dễ dàng giải bất phương trình
dạng với cho
Ta có
(a > 0)
Tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai biểu thức có dạng , trong là hệ số .
2 Dấu tam thức bậc hai
(11)Định lí
Cho
Nếu thì ln dấu với hệ số .
Nếu thì ln dấu với hệ số , trừ .
Nếu thì cùng dấu với hệ số hoặc , trái dấu với hệ số khi trong nghiệm .
Chú ý Trong định lí trên, thay biệt thức biệt thức thu gọn
Minh họa hình học
3 Áp dụng
Ví dụ 1.
a) Xét dấu tam thức
b) Lập bảng xét dấutam thức Giải
a) có hệ số nên
b) có hai nghiệm phân biệt
Ta có bảng xét dấu sau:
Tương tự tích, thương nhị thức bậc nhất, ta xét dấu tích, thương tam thức bậc hai
Ví dụ Xét dấu biểu thức
(12)
1 Bất phương trình bậc 2
Bất phương trình bậc ẩn là bất phương trình dạng (hoặc
), là số thực cho, .
2 Giải bất phương trình bậc hai
Giải bất phương trình bậc hai thực chất tìm khoảng mà dấu với hệ số (khi ) hay trái dấu với hệ số (khi )
Ví dụ Giải bất phương trình sau: a) ; b) ; c) ; d)
Giảia) Tam thức có
Do tập nghiệm bất phương trình b) Tam thức có nghiệm
Vậy bất phương trình có tập nghiệm khoảng c) Tam thức có nghiệm
Vậy tập nghiệm bất phương trình
d) Tam thức có hệ số
có nghiệm kép với
(13)Ví dụ 4Tìm giá trị tham số để phương trình sau có nghiệm trái dấu
Giải Phương trình bậc có hai nghiệm trái dấu hệ số trái dấu, tức phải thỏa mãn điều kiện sau
Vì tam thức có nghiệm hệ số dương nên
p ngoduykhanh ng phương pháp quy nạp toán lượng giác Phương trình bậc 2