Đang tải... (xem toàn văn)
a/ BÊt cø hai häc sinh nµo ngåi c¹nh nhau hoÆc ®èi diÖn nhau còng kh¸c trêng víi nhau.. b/ BÊt cø hai häc sinh nµo ngåi ®èi diÖn nhau còng kh¸c trêng víi nhau.[r]
(1)đại số tổ hợp
I/ Các toán vận dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân ;định nghĩa hoán vị, chỉnh hợp, tổ hp
1.1 Các toán chọn số:
*Phơng ph¸p:
Gọi số cần tìm có n-chữ số có dạng a a a a1 k n Trong chữ số ak(vị trí thứ k ) có m-cách chọn (k =1,2, ,n) Vì chữ số chọn đồng thời nên dùng quy tắc nhân ta có số số chọn đợc
Chó ý:
+ Chữ số phải chọn a1 0.
+ Trờng hợp chữ số chọn đợc đôi khác + Trờng hợp số chữ số đợc chọn lặp lại số lần
+ Trong số điều kiện ta phải chia trờng hợp cụ thể để tìm số số Khi ta dùng quy tắc cộng để gộp trờng hợp lại
+ Có thể dùng phơng pháp loại trừ để tìm số số
+ Cã thĨ dùng công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp mét sè trêng hỵp
Phơng pháp ý đợc thể ví dụ sau:
* Ví dụ 1:Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6 lập đợc:
a/ Bao nhiªu số tự nhiên gồm chữ số khác b/ Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số kh¸c
c/ Bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác phải có mặt số
* Ví dụ 2: Với chữ số 0,1,2,3,4,5 lập đợc số tự nhiên thoả: a/ Gồm chữ số từ số
b/ Gồm chữ số chữ số có mặt lần cịn chữ số khác có mặt lần
* Ví dụ 3: Với chữ số 1,2,3,4,5 lập đợc số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, có hai chữ số khơng đứng cạnh
* Ví dụ 4:Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập đợc số gồm chữ số khác cho :
a/ Số chia hết cho
b/ Trong chữ số có mặt chữ số c/ Nhỏ 600000
* VÝ dụ 5: Xét hoán vị chữ số 1,2,3,4,5,6 Tính tổng S tất số tạo thành hoán vị
* Vớ d 6: Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 lập đợc số gồm chữ số khác tổng chữ số đầu nhỏ tổng chữ số cuối đơn vị
Bµi tËp
* Bài 1: Từ chữ số 1,2,5,6,7,8 lập đợc số gồm chữ số khác từ chữ số cho:
a/ Số tạo thành số chẵn
b/ Số tạo thành mặt chữ số c/ Số tạo thành phải có mặt chữ số d/ Số tạo thành nhỏ 278
*Bài 2: Cho chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7
a/ Cã bao nhiªu sè tù nhiªn gåm chữ số khác b/ Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác
(2)*Bµi 3: Cho tËp A1, 2,3, 4,5,6,7,8
a/ Có tập X A thoả điều kiện chứa không chứa
b/ Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác lấy từ tập A không bắt ®Çu bëi sè 123
*Bài 4: Cho tập A0,1, 2,3, 4,5,6,7 lập đợc số gồm chữ số khác lấy từ tập A cho:
a/ Số tạo thành số chẵn
b/ Một chữ số phải b»ng
*Bài 5: Xét số gồm chữ số, có chữ số chữ số cịn lại chọn từ 2,3,4,5 Hỏi có số nh
a/ chữ số xếp kề b/ Các chữ số đợc xp tu ý
*Bài 6: Cho chữ sè 0,2,4,5,6,8,9
a/ Cã bao nhiªu sè cã chữ số khác lập từ số
b/ Có số có chữ số khác nhau, thiết phải có chữ số
*Bài 7: Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập đợc số gồm chữ số a a a1 thoả điều kiện chữ số a3 số chẵn , a7 không chia hết cho 5, chữ số a ;a ;a4 6 đôi khác
*Bài 8: Với chữ số 0,1,2,3,4,5 ta lập đợc số :
a/ Gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần b/ Gồm chữ số khác chữ số đứng cạnh chữ số
*Bài 9: Ta viết số có chữ số chữ số 1,2,3,4,5 Trong số đợc viết có chữ số đợc xuất lần chữ số lại xuất lần Hỏi có số nh
* Bài 10: Cho chữ số 1,2,3,4,5,6,7 Xét tập E gồm chữ số khác viết từ chữ số cho Chứng minh tổng S tất số tập E chia hết cho
1.2 Các toán chọn đối tợng thc t:
*Phơng pháp:
Ta xét hai dạng toán sau đây:
Dng 1 :Tỡm số cách chọn đối tợng thoả điều kiện cho trớc.
* Ví dụ 1: Có bơng hồng vàng, hồng trắng hồng đỏ ( hoa xem nh đôi khác nhau) ngời ta muốn chọn bó hoa gồm bơng
a/ Có cách chọn bơng hoa đợc chọn tuỳ ý b/ Có cách chọn cho có bơng màu đỏ
c/ Có cách chọn cho có bơng hồng vàng bơng hồng đỏ
* Ví dụ 2: Một khiêu vũ có 10 nam nữ, ngời ta chọn có thứ tự nam nữ để ghép thành cặp Hỏi có cách chọn
* Ví dụ 3: Một lớp học có 30 học sinh có cán lớp.ần chọn em 30 học sinh trực tuần cho em đợc chọn ln có cán lớp Hỏi có cách chọn
* Ví dụ 4:Một trờng tiểu học có 50 học sinh tiên tiến, có cạp anh em sinh đôi Ng-ời ta cần chọn học sinh 50 học sinh dự hội trại cấp thành phố cho khơng có cặp anh em sinh đơi đợc chọn Hỏi có cách chọn
* Ví dụ 5:Trong mơn học, giáo viên có 30 câu hỏi khác gồm câu khó , 10 câu trung bình 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đợc đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu (khó, trung bình dễ) đồng thời số câu dễ khơng
* Ví dụ 6: Trong mặt phẳng cho đa giác H có 20 cạnh Xét tam giác có đỉnh đợc lấy từ đỉnh H
(3)b/ Có tam giác có cạnh cạnh H c/ Có tam giác có cạnh cạnh H d/ Có tam giác khơng có cạnh cạnh H
Dạng 2:Xếp vị trí đối tợng thoả điều kiện cho trớc.
* Ví dụ 7: Có cách xếp bạn A,B,C,D,E vào ghế dài cho a/ Bạn C ngồi
b/ Bạn A E ngồi hai đầu ghế
* Ví dụ 8: Trong phòng học có dÃy bàn dài, dÃy có chỗ ngồi Ngời ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm nam nữ Hỏi có cách xếp nếu:
a/ Các học sinh ngåi tuú ý
b/ C¸c häc sinh nam ngồi bàn nữ ngồi bàn
* Ví dụ 9: Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn nớc : Việt Nam ngời, Lào ngời, Thái Lan ngời Trung Quốc ngời Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho thành viên cho ngời quốc tịch ngåi gÇn
* Ví dụ 10: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm ghế Ngời ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trờng A học sinh trờng B vào bàn nói Hỏi có cách xếp trờng hợp sau:
a/ Bất hai học sinh ngồi cạnh đối diện khác trờng với
b/ Bất hai học sinh ngồi đối diện khác trờng với
1.3 Một số toán tổ hợp thường gặp:
Loại Chọn phần tử từ tập
Ví dụ 1: Tổ có 10 học sinh, tổ hai có học sinh Hỏi có nhiêu cách chọn nhóm gồm học sinh cho tổ có học sinh
Lời giải:
Giả sử ta chọn k học sinh tổ 8-k học sinh từ tổ Vì tổ có học sinh nên 2 k
Số cách chọn k học sinh 10 học sinh là: 10 k
C ứng với cách chọn ta có số cách
chọn 8-k học sinh tổ
8 k C
Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn học sinh là: 10
k C x
9 k C
Cho k giá trị 2,3,4,5,6 ta có số cách chọn là: : S=
2 10
C
C .+ 4 10 10 10 10
C C C C C C C C
Ví dụ 2: Người ta sử dụng loại sách gồm sách tốn, vật lý, hóa học Mỗi loại gồm sách khác Có cách chọn sách cho loại có
Lời giải:
Số cách chọn 19
7 19
C
Các cách chọn không đủ ba loại sách là: Chọn số 11 lý hóa là:
7 11
C
2 Chọn 13 sách hóa toán là:
7 13
C
3 Chọn 14 sách toán lý là:
7 14
C
4 Chon sách toán là:
7
(4)Vì cách chọn khơng có sách LÝ sách Hóa thuộc hai phép chọn khơng có sách lý khơng có sách hóa nên số cachs chọn là:
7 19
C - 11
C - 13
C - 14
C +
C = 44918 cách chọn.
Loại 2: Sắp xếp vật từ họ vật.
Ví dụ 3: Có viên bi xanh giống viên bi trắng giống ba viên bi đỏ đơi khác Có cách xếp chúng vào 12 ô theo hàng ngang cho có viên bi
Lời giải:
Nếu tất 12 viên bi khác có 12! Cách xếp Nhưng bi xanh giống hệt viên bi trắng giống hệt nên hoạn vị chúng cho cách xếp 12 viên bi nên số cách xếp cân tìm là:
12!
166320
5!.4!
Ví dụ 4: Có cách xếp vị trí học sinh nam học sinh nữ quanh bàn trịn cho khơng có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau.(Hai cách xếp khác vị trí thứ tự coi một)
Lời giải:
Giả sử xếp chô học sinh nam Vì ba học sinh nữ khơng ngồi cạnh nên họ chọn vị trí xen kẽ với học sinh nam Vậy số cách chọn cho học sinh nữ là:
3
A .
Vì hai cách xếp vị trí cho người bàn trịn thứ tự coi nên ta chọn trước vị trí cho học sinh nam số hốn vị học sinh nam cịn lại 4! Vậy số cách chọn là:
3
5.4! 1440
A
Loại 3: Phân chia vật từ họ vật:
Ví dụ 5: Có cách chia 100 đồ vật giống cho học sinh mà học sinh đồ vật
Lời giải:
Giả sử có 100 đồ vật xếp nằm ngang, chúng có 99 khe hở Đặt cách vạch vào 99 khoảng trống ta cách chia 100 đồ vật thành phần cho phần có đồ vật.Mà tổng số đồ vật 100 Vậy số cách là:
3 99
C
Ví dụ 6: Có cách chia đồ vật đôi khác cho ba người cho có người đồ vật người cịn lại người có đồ vật
Lời giải:
Có ba cách chọn cho người được hai đồ vật lại hai người đồ vật Mỗi cách chọn ta có:
1 Số cách chọn đồ vật cho người hai đồ vật :
C sau số cách chọn
3 đồ vật lại là:
3
C lại đồ vật cho người thứ
2 Theo quy tắc nhân ta có : 3
C
C =1680
Chú ý số học sinh quan niệm nhầm
3
C
C 3!
6
C
C Trường hợp nhầm coi
vai trị người đò vật đồ vật nhau, trường hợp nhầm coi vai trị của 2 người đò vật khác nhau.
(5)* Bµi 1: Mét líp häc cã 40 học sinh gồm 25 nam 15 nữ Có cách chọn học sinh cho :
a/ Số học sinh nam nữ tuỳ ý b/ Phải có nam nữ
c/ Phải có nữ
d/ Số học sinh nam không vợt
* Bài 2: Mét líp häc cã 40 häc sinh cÇn cư ban c¸n sù gåm líp tr ëng, lớp phó uỷ viên Hỏi có c¸ch lËp ban c¸n sù líp
* Bài 3: Gia đình ơng A có 11 ngời bạn có cặp vợ chồng ơng muốn mời ngời đến dự tiệc, có cặp vợ chồng đợc mời khơng đợc mời Hỏi ơng A có cách mời
* Bài45:Một đội niên tình nguyện có 15 ngời, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh mền núi , cho tỉnh có nam nữ
* Bài 5: Đội tuyển học sinh giỏi trờng gồm 18 em, có học sinh khối 12, học sinh khối 11 học sinh khối 10 Hỏi có cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có em đợc chọn
* Bài 6: Cho hai đờng thẳng song song Trên đờng thứ có 10 điểm phân biệt đờng thẳng thứ hai có 20 điểm phân biệt Có tam giác đợc tạo điểm cho
* Bài 7: Cho đa giác A A A (n 2, n1 2n )nội tiếp đờng tròn tâm O Biết số các tam giác có đỉnh 2n điểm A ;A ; ;A1 2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A ;A ; ;A1 2n Hãy tìm n.
*Bài : Một tổ gồm học sinh A,B,C,D,E,F đợc xếp vào chỗ ngồi đợc ghi số thứ tự bàn dài Tìm số cách xếp học sinh cho:
a/ A vµ B ngồi học sinh lại b/ A B không ngồi cạnh
*Bi : Một học sinh có 12 sách đơi khác có sách mơn tốn, mơn văn, mơn anh văn Hỏi có cách xếp tất sách lên kệ dài , sách đợc xếp kề môn học xếp kề
* Bài 10: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm ghế Ngời ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trờng A học sinh trờng B vào bàn nói Hỏi có cách xếp trờng hợp sau:
a/ Bất hai học sinh ngồi cạnh đối diện khác trờng với
b/ Bất hai học sinh ngồi đối diện khác trờng với II/ Nhị thức Newton ng dng:
2.1 Tính tổng hữu hạn:
* Phơng pháp:Từ công thức khai triển
0 1 2
0
( )n n n n n n n k n k .k
n n n n n
k
a b C a C a b C a b C b C a b
Ta biến đổi nh sau:
+ Thay cụ thể a,b số nguyên + Giả sử
n
S a b
vµ
n
S a b
( víi a,b lµ sè nguyên cụ thể) Ta tính đ-ợc tổng A S 1S ; B S2 1 S2.
+ Có thể thay cụ thể a,b số nguyên với số mũ 2n,3n, + Thay b x ta có biểu thức
n
a x F(x)
(6)+ Thay b bëi x ta cã biÓu thøc n
a x F(x)
Có thể tích phân xác định hai vế theo cận ta thu đợc tổng tơng ứng
* VÝ dụ 1:Tìm tổng sau: 1/
0 1 2 2 n n
n n n n
A = C + 2C + C + + C 2/
17 0 1 16 1 2 15 2 3 14 3 17 17
17 17 17 17 17
B = C - C + C - C + - C 3/
0 1 2 n-1 n
n n n n n
C = 1.C + 2C + 3C + + nC + (n + 1)C
(1) 4/
1 3 2n-1 2n 2n 2n
D = C + C + + C . 5/
0 1 n-1
n n n
E = nC + (n - 1)C + + C
6/ a/ TÝnh
2
n
(x 1) dx
b/ TÝnh
0 n
n n n n
1 1
S C C C C
2 n
.
* VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: 1/
n-2 0 1 n-2
n n n
n(n - 1)2 = n(n - 1)C + (n - 1)(n - 2)C + + 2C 2/
0 2 1 2 n 2 n
n n n 2n
(C ) + (C ) + + (C ) = C
Bài tập
1/ Tìm tổng sau:
1 2 2 3 3 n n n
n n n n
A = - 2C + C - C + + (-1) C
n 0 n-2 2 n-4 4 n
n n n n
B = C + 2 C + 2 C + + C 2/ Chøng minh:
0 2005 2004
2005 2005 2005 2005
C 2C 3C 2006C 2 2007 3/ T×m sè n cho:
1 2 3 n n n n n n n
C 2.2C x 3.2 C 4.2 C (2n 1)2 C 2005
4/
2
n 0
a/ I = (1 - x) dx.
0 n 1 3 2 n+1 n
n n n
1 1 1 1
b/ CMR : C - .2 C + .2 C + + (-1) 2 = 1 + (-1)
2 3 n + 1 n + 1
5/
1
2 n 0
a/ I = x(1 - x ) dx
0 1 2 n n
n n n n
1 1 1 1 1
b/ CMR : C - C + .C + + (-1) C =
2 4 6 2n + 2 2(n + 1)
2.2 Các PT,BPT, HPT chứa công thức nhị thức Newton:
*Ví dụ 1: Giải phơng trình sau:
1/
2
x x
2A 50 A 2/ x x x
4
1 1
C C C
*VÝ dơ 2: T×m k cho c¸c sè
k k k 7 C ;C ;C
(7)*Ví dụ 3: Giải bất phơng trình sau: 1/
4
n n n
C C A 0, n
4
2/
3 n
n n
A 2C 9n
*VÝ dô 4: Giải hệ phơng trình sau:
1/
y y x x y y x x
2A 5C 90
5A 2C 80
2/
y y y x x x
C : C : C : :
Bµi tËp *Bµi 1:
1/
2
x x x x
P A 72 6(A 2P ) 2/ x x x
5
1 14
C C C
3/
2 2 n n n n
C 2C 2C C 149 4/ C1x 6Cx2 6Cx3 9x2 14x
*Bài 2:Giải bất phơng tr×nh sau:
1/
x x
x
C
A 14P 2/
4 x x x
5
C C A
4
3/
2 x x x
1
A A C 10
2 x 4/ C22x C2x4 C 2x2x 22003
*Bài 3: Giải PT hệ PT sau:
1/
y y x x
y y x x
C C
4C 5C
2/
m m m n n n
C : C : C : :
2.3 C¸c sè hạng khai triển nhị thức Newton: Trong phần ta xét hai dạng nh sau:
+ Tìm số hạng thứ k - khai triển n x y
biết số điều kiện n vài phần tử khai triển
+ T×m n - cđa khai triÓn n x y
khi biết số điều kiện vài số hạng khai triển
* VÝ dơ 1: Cho ®a thøc :
9 10 14
P(x) 1 x x x
có dạng khai triển
2 14
0 14
P(x) a a x a x a x
H·y tÝnh hƯ sè cđa x9
* VÝ dơ 2: Cho khai triÓn :
5
2 15
0 15
1 x x x a a x a x a x a/ TÝnh hÖ sè a10.
b/ TÝnh tỉng T a 0a1a2 a 15 vµ S a 0 a1a2 a 15
* VÝ dơ 3: Gi¶ sư
n 2 n
0 n
1 2x a a x a x a x
BiÕt r»ng
0 n
a a a a 729
(8)* Ví dụ 4: Xác định n để khai triển nhị thức n x 2
hạng tử thứ 11 số hạng có hệ sè lín nhÊt
* VÝ dơ 5: Cho biÕt hƯ sè cđa sè h¹ng thø khai triĨn
n x x x
x
36 HÃy
tìm số hạng thứ
* Ví dụ 6: Tìm hạng tử khai triển
9 3
lµ mét sè nguyªn
* VÝ dơ 7: Cho khai triÓn :
6
n
4 n 2
4
Tìm n cho hạng tử thứ cđa khai triĨn b»ng 240
* VÝ dơ 8: Trong khai triĨn nhÞ thøc
n 28 15 x x x
T×m hạng tử không chứa x, biết
n n n
n n n
C C C 79
* VÝ dơ 9: Cho khai triĨn nhÞ thøc:
n n n n n
x x x x
x x x x
0 n n
3 3
2 2
n n n n
2 C C 2 C 2 C
(với n nguyên dơng) Biết khai triển
3
n n
C 5C số hạng thứ t 20n HÃy tìm n x
* Ví dụ 10: Tìm giá trị x cho h¹ng tư thø t khai triĨn cđa
1 lg x 12
x x
lµ 200.
Bµi tËp
* Bµi 1: Cho khai triĨn :
100 2 100
0 100
x 2 a a x a x a x a/ TÝnh hÖ sè a97.
b/ TÝnh tæng S a 12a2 100a 100.
* Bµi 2: Cho khai triĨn :
2004
2 4008
0 4008
1 x x a a x a x a x a/ TÝnh hƯ sè cđa x4
b/ Chøng minh r»ng
4008
0 4008
a 2a 4a 2 a
chia hÕt cho 2401
* Bµi 3: Cho ®a thøc :
12 2 12
0 12
1 2x a a x a x a x T×m max a ;a ; ;a 12 .
* Bài 4: Tìm hệ số khai triển x8trong khai triĨn cđa nhÞ thøc
(9)*Bài 5: Tìm hệ số khai triển cđa x7trong khai triĨn cđa nhÞ thøc 2n 3x
Trong n số nguyên dơng thoả mãn:
1 2n
2n 2n 2n 2n
C C C C 1024
.
*Bµi 6: Cho khai triĨn nhÞ thøc
n n
2
x 1 x 2
a3n 3 hệ số x3n 3 Tìm n để
3n
a 26n.
*Bài 7: Giả sử n số nguyên dơng
n 2 n
0 n
1 x a a x a x a x
Biết tồn số k nguyên 1 k n 1 cho
k k k
a a a
2 24
H·y tÝnh n
* Bài 8: Tìm hạng tử đứng khai triển
10
1 x x
.
* Bài 9: Tìm hệ số x8 khai triĨn nhÞ thøc Newton cđa
n
x x
, biÕt r»ng n n
n n
C C 7(n 3)
* Bµi 10: Cho biÕt tỉng tÊt hệ số khai triển nhị thức
3n
2 2nx
2nx
b»ng 64.
Tìm hạng tử không chứa x
* Bài 11: Tìm giá trị x cho khai triĨn cđa
m x
x 1
2
tæng các
hạng tử thứ thứ 135 tổng hệ số ba hạng tử cuối 22
* Bµi 12: Cho khai triĨn :
m
x x
4
2
4.2
gọi T ,T3 5 hạng tử thứ vµ thø cđa khai triĨn vµ
3 m m C ;C
hệ số hạng tử thứ t thứ hai
T×m x cho
m m
3
lg 3C lgC 9T T 240