Huong dan cham Toan Chuyen Hung Yen

[r]

Sở giáo dục & đào tạo Hng n

-Híng dÉn chÊm thi tun sinh

Vào lớp 10 thpt chuyên năm học 2008 2009 Môn thi: Toán (dành cho lớp chuyên Toán, Tin)

Ngày thi: 20 tháng năm 2008.

-(Híng dÉn gåm 04 trang)

I Híng dÉn chung

1) Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần nh hớng dẫn qui định.

2) Việc chi tiết hố thang điểm có so với thang điểm hớng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm, không chia nhỏ dới 0,25đ đợc thống thực hiện hội ng chm thi.

3) Điểm toàn không làm tròn.

II- Đáp án thang điểm

Bài (1,5 điểm) Điểm

Với k số nguyên dơng ta có

2

k 2 2

(k 1) k 1

a

k (k 1) k (k 1)

 

  

 

0,5

Thay lần lợt k = 1; 2; 3; ; 2008 ta đợc

2008 2 2 2 2

1 1 1 1

S

1 2 2007 2008 2008 2009

        0,5

2

2

1 2009 4036080

4036081

1 2009 2009



   

0,5

Bµi (2,0 điểm) Điểm

1) Đặt

yx 4 Ta có hệ phơng trình:

2

x y

y x

  

 

 

 

0,25

Trừ vế với vế phơng trình ta đợc: 2

(x  y ) (x y)0  (xy)(x y 1) 0

0,25

Nếu xy0, giải ta đợc

1 17

x

2

 

 0,25

Nếu x y 1 0, giải ta đợc

1 13

x

2

 

VËy tËp nghiÖm phơng trình là:

1 17 13

S ;

2

   

 

 

 

 

0,25

2) Hệ phơng trình cho tơng đơng với: 0,25

Trang 1

9xy 3x 3y 10 (3x 1)(3y 1) 10

9yz 3y 3z 40 (3y 1)(3z 1) 40

9zx 3z 3x 16 (3z 1)(3x 1) 16

      

 

 

       

 

        

 

Nhân vế với vế phơng trình hệ ta đợc:

2 2

(3x 1) (3y 1) (3z 1)   6400

 (3x 1)(3y 1)(3z 1)   80

0,25

Nếu (3x 1)(3y 1)(3z 1)   80 Giải đợc (x;y;z)(1;2;3) 0,25

Nếu (3x 1)(3y 1)(3z 1)   80 Giải đợc

1

(x;y;z) ; ;

3 3

  

 

 

 

0,25

Bµi (2 điểm) Điểm

Gọi

3

f(x)ax bx cxd (a0; a, b, c, d lµ số nguyên)

f(x) nhận nghiệm

     

3

a 3 b 3 c 3 d0

 a 45 29 2   b 11 2  c 3 2  d  45a 11b 3cd  29a6bc 0

0,50

NÕu 29a6b c th×

45a 11b 3c d

29a 6b c

  



 .

Điều vô lí số vô tỉ

45a 11b 3c d 29a 6b c

  

  số hữu tỉ

0,50

Do vËy 45a 11b 3c d vµ 29a6b c (1) 0,25

Ta cã:        

3

f 3 a 3 b 3 c 3 d

a 45 29 2   b 11 2  c 3 2d

45a 11b 3cd  29a6bc 0 (theo (1)) Chøng tá 3 lµ mét nghiƯm cđa f(x)

0,25

Bài (1 điểm) Điểm

H H' M

N P Q J E K F

D G

I A

B C

1) Gọi G J tiếp điểm AB, AC với đờng tròn (I) Đặt BC = a; CA = b; AB = c, ta có a  b c 2p

Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AGAJ, BGBD, CDCJ

AG AJ AB BG AC CJ

AB BD AC CD b c a

     

      

2AG a b c 2a AG AJ p a

         (1)

T¬ng tù, ta cã BD  p b CH p b (2)

0,5

Gäi H' lµ giao cđa AK víi BC Tõ EF // BC ta cã:

AE EK KF AF

AB BH ' CH ' AC (3)

L¹i cã EK = EG, KF = FJ nªn

AG EK EK KF AJ KF

AB BH ' CH ' AC

 

  

AG EK EK EK KF AJ KF KF

AB BH ' BH ' CH ' CH ' AC

   

   

 

AG AJ

AB BH ' AC CH ' AB BH ' CH ' AC

     

 

AB BC CH ' AC CH '

    

2CH ' AB BC AC CH ' p b CH

        (theo (2)).

Từ suy H trùng H' hay A,K,H thẳng hàng

1,0

2) Tõ (3) ta cã:

EF AE EG FJ AF AE EG AF FJ AG AJ

BC AB BH CH AC AB BH CH AC AB AC BC

   

     

    

hay

EF 2(p a) a(p a)

EF

a 2p p

 

  

T¬ng tù ta cã:

b(p b) MN

p

 

;

c(p c) PQ

p

 

0,75

Do vËy

2 2

a b c

EF MN PQ 2p

p

 

   

(3) Ta ln có bất đẳng thức:

0,75

2 2 2

2 2 2

2 2 2

(a b) (c b) (a c) 2(a b c ) 2ab 2ac 2bc

3(a b c ) a b c 2ab 2ac 2bc

3(a b c ) (a b c) 4p (4)

           

        

      

( dấu xảy a=b=c  Tam giác ABC đều.)

Tõ (3) vµ (4) ta cã:

4p 2p

EF MN PQ 2p

3

Vậy giá trị lớn nhÊt cđa EF + MN + PQ lµ

2p

3 tam giác ABC đều.

Bµi (1,5 điểm) Điểm

1) Ta có: (x y)2  0 (xy)2 4xy Suy víi x > y >

1

xy (xy) vµ

1

xy xy (*).

0,25

áp dụng (*) ta đợc:

2 2 2 2

2 1 3 3.4

ab a b 2 ab2ab a b 2 (ab) 2aba b

0,25

Mµ a + b =

VËy 2

2

14

ab a b  0,25

2) Sau lần thực theo yêu cầu toán số dấu

bng gim số dấu trừ đợc giữ nguyên giảm dấu 0,25 - Nh tính chẵn lẻ số dấu trừ không thay đổi

- Sau 4016 lần xoá bảng lại 2008 + 2009 - 4016 = (dấu) Mặt khác, lúc đầu có 2009 dấu trừ (là số lẻ) nên dấu lại bảng dấu trừ

0,5

- HÕt