Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học 2007-2008 Hớng dẫn chấm và biểu điểm đề chính thức
Môn: toán lớp 9 - bảng B
Gọi số cần tìm là abc (a, b, c ẻ N; a, b, c Ê 9, a ạ 0) (1)
Theo bài ra ta có:
100a 10b c 11 (2)
a b c 11 (3)
c chẵn (4)
0,5
Từ (2) , (3) ị 101a + 11b + 2c 11 ị 2(a + c) 11
mà 1 Ê a+ c Ê 18 và (2; 11) = 1 ị a + c = 11 0,5
do c chẵn và a + c = 11 ị (a; c) = (9; 2), (7;4), (5; 6), (3; 8)
Đặt X = 3 7 50 3 7 50 ị X3 = 14 – 3X 0.5
ị X3 + 3X – 4 = 0 ị (X-2)(X2 + 2X + 7) = 0 0.5
Nên: 3 7 50 3 7 50 =2 hay 3 3
7 50 7 50 là số tự nhiên 0.5
Điều kiện xác định: {x Ê -1 hoặc
1 x 4
}
Đặt
2 2
4x 5x 1 a, (a 0)
2 x x 1 b, (b 0)
4x 4x 4 b
0.5
ị a 2 – b2 = a - b ị (a-b)(a+b-1) =0 Do b = 4x2 4x ị 4 b 3
Từ a – b =0 ị 9x – 3 = 0 ị
1 x 3
0.5
Với
1 x
3
thoả mãn bài ra, nên nghiệm phơng trình là:
1 x 3
0.5
Từ phơng trình xy – 2x – 3y = -6 ị (x - 3)(y – 2) =0
Thay x = 3 vào các phơng trình đầu và phơng trình thứ 2 của hệ ta đợc
2 2
ị 2
ị y z 2
Với y + z =-2 mà yz = -8 ị y=2 hoặc y =-4 (loại)
Với y + z =2 mà yz = -8 ị y 4
do đó x = 3
0.5
Trang 2VËy nghiÖm cña hÖ phu¬ng tr×nh lµ: (x,y,z) = (3, 4, -2) 0.5
Víi x, y lµ 2 sè bÊt kú ta lu«n cã (x + y)2 £ 2(x2 + y2) 0.5
Nªn a, b 0 vµ a2 + b2 =1 Þ (a+b)2 £ 2 Þ a+b £ 2 (dÊu = khi a=b=
1
MÆt kh¸c (a+b)2 = a2 + b2 +2ab = 1+ 2ab Þ a + b 1 0.5
XÐt P2 = 2 + 2(a +b) +2 1 2(a b) 4ab
do a+b £ 2, ab £
1
2 (a2 + b2) Þ ab £
1 2
0.5
Nªn P2 £ 2+ 2 2+2 1 2 2 2 Þ P2 £ 2+ 2 2+2 (1 2)2
Þ P £ 2 1 2 dÊu = xÈy ra khi a =b =
1
2
VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P lµ 2 1 2
0.5
MÆt kh¸c ta còng cã a + b 1 vµ ab 0 nªn P2 2 + 2 + 2 1 2
Þ P2 4 + 2 3
0,5
Þ P 1 + 3, dÊu “=” x¶y ra khi ( a = 0, b = 1) hoÆc ( a = 1, b = 0) VËy gi¸
XÐt tÝch
(x – 1) (y - 1)(z – 1) = xyz – xy – yz – zx + x + y + z –1
= x + y + z -
x y z
0,5
