H¬íng dÉn chÊm thi chän häc sinh giái líp 9 THCS huyÖn Th¹ch ThÊt n¨m häc 20142015 ================ m«n: to¸n Bài 1 (5 điểm): a ĐKXĐ: . (0,5điểm) P = (1điểm) ...= (0,75 điểm) ....= . (0,75điểm)
UBND huyện Thạch Thất Phòng giáo dục đào tạo Híng dÉn chÊm thi chän häc sinh giái líp THCS huyện Thạch Thất năm học 2014-2015 ================ môn: toán Bài (5 điểm): a/ ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ P = (0,5điểm) ( )( : = = b/ P = ⇔ c/ P = ( )( x -1 + ) ( x +1 x +1 x - x +1 )( x x −5 x + + ( x +2 )( : x +7 )(x+ )( x -1 : ) ( x +1 x +1 ( ) x+ )( ) x −1 − x x +1 ) x +1 x +1 ) (1điểm) (0,75 điểm) x -1 x+ x +1 x +1 2 = ⇔ x + = ⇔ x = 16 x +1 (0,75điểm) (1 điểm) có giá trị nguyên ⇔ x + ước x +1 (0,25điểm) Vì x ≥ ⇔ x + ≥ ⇔ x + nhận giá trị 1; ⇔x = x = ( không t/m ĐK) Vậy P nguyên với x = (0,25điểm) (0,5điểm) Bài 2(4im): 1/ Vì x, y, z khác không thoả mãn xy + yz + zx =0 1 + + =0 x y z xy zx yz 1 1 Nªn M = + + = xyz + + ÷ z y x y z x 1 xyz + + − x + y + z ( ) = ÷ x y z xyz 2 (−1) = xyz =2 =xyz 0 − xyz xyz ⇒ 1 + + + x + xy + y + yz + z + zx z xz + + = z + xz + xyz xz + xyz + xyz + z + zx (0,5điểm) (0,5điểm) (0,5điểm) (0,5điểm) 2/ S = (1điểm) = z xz + + z + xz + xz + + z + z + zx = z + zx + = (đpcm) z + zx + (0,5điểm) (0,5điểm) Bài (4 điểm): 1/ Ta có : M = a3 + b3 + ab = (a + b)(a2 + b2 – ab) +ab Vì a + b = ⇒ b = ( – a ) Nên M = a2 + b2 – ab +ab = a2 + b2 = a2 + ( – a)2 =2(a- 1 ) + ≥ 2 (0,5điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,5điểm) Suy ra: M đạt giá trị nhỏ 1 a = b = 2 (0,25điểm) 2/ a+ b − x b+ c− x c + a− x 4x + 1+ + 1+ + 1= − c a b a+ b + c a + b + c − x a+ b + c − x a + b + c − x 4(a + b + c) − 4x ⇔ + + = c a b a+ b + c 1 4(a + b + c − x) ⇔ (a + b + c − x)( + + ) = a b c a+ b + c 1 ⇔ (a + b + c − x)( + + − )= a b c a+ b + c 1 + + − ≠0 a b c a+ b + c Suy ra: x = a + b+ c Lập luận (1,25điểm) (0,5điểm) (0,25điểm) Bài (5 điểm): A E K 0,5điểm F B I H C a) AEHF hcn ⇒ EF = AH Mà AH2 = BH.CH = 81 ⇒ EF = AH = b) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng, ta có: AH2 = AE.AB ; AH2 = AF.AC ⇒ AE.AB = AF.AC 0,75 điểm 0,75 điểm c) AEHF hcn ⇒ AE = HF ; EF = AH ⇒ ∆ AEF = ∆ FHA · µ (cùng phụ với FHC · · · ⇒ AEF , mà AHF ) =C = AHF · µ ⇒ AEF =C µ +B µ = 900 ; AEF · · · µ Mặt khác: C + EAK = 900 ⇒ EAK =B Do ∆ AIB cân I ⇒ IB = IA Chứng minh tương tự, ta có: IA = IC Suy IB = IC Vậy I trung diểm BC SΔABC =4 d) SΔABC = 2SAEHF = 4SΔAEF ⇒ SΔAEF điểm S S BC Mặt khác: ΔABC ΔAEF (g - g) ⇒ ΔABC = ÷ =4 SΔAEF EF BC ⇒ = ⇒ EF = BC , mà AH = EF EF ⇒ AH = BC hay AH = AI ≤ Vì AH AI , AH = AI ⇔ H ≡ I Khi ΔABC vng cân e) Gọi p chu vi ΔABC Ta có: p = AB + BC + CA ΔCAH (g - g) ⇒ ΔABH AB AH BH AB+AH+BH 30 = = = = = (1) CA CH AH CA+CH+AH 40 ΔCBA (g - g) ΔABH AB AH BH AB+AH+BH 30 (2) = = = = ⇒ CB CA BA CB+CA+BA p Từ (1) đặt: AB = 3k ; AC = 4k ⇒ BC = 5k AB , thay vào (2) ta được: 30 = ⇒ ⇒ p = 50 = p CB điểm S S Bài 5( điểm) (0,25điểm) im Vẽ hình Gi N l trung im BH Đường MN cắt BC E Trong tam giác AHB đoạn MN đường trung bình nên: MN song song với AB MN nửa AB (0,5®iĨm) Từ MN song song với AB suy ra: MN vuông góc BC, N trực tâm tam giác BMC (0,25®iĨm) Theo giả thiết, CK song song AB CK nửa CD nên nửa AB (0,25®iĨm) Vậy ta có MN song song CK, suy MNCK hình bình hành, MK song song NC V ì N trực tâm tam giác CBM nên BM vng góc NC (0,5®iĨm) Vậy BK vng góc MK (0,25®iĨm) HÕt ( Học sinh có cách giải khác cho điểm tương đương, điểm toàn làm tròn đến 0,25điểm) ... · µ (cùng phụ với FHC · · · ⇒ AEF , mà AHF ) =C = AHF · µ ⇒ AEF =C µ +B µ = 90 0 ; AEF · · · µ Mặt khác: C + EAK = 90 0 ⇒ EAK =B Do ∆ AIB cân I ⇒ IB = IA Chứng minh tương tự, ta có: IA = IC Suy