BDT lien quan den nghiem va he so cua PT

MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN NGHIỆM VÀ HỆ SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH Bất đẳng thức (BĐT) phương trình hai phần trung tâm đại số Việc sử dụng BĐT để giải phương trình đề cập nhiều tài liệu toán phổ thơng, viết trình bày việc chứng minh BĐT liên quan đến nghiệm hệ số phương trình đa thức ẩn Loại tốn thường xuất kỳ thi học sinh giỏi gây khơng khó khăn cho học sinh A Kiến thức bổ trợ Định lí Viet cho phương trình bậc 3: Cho phương trình ax  bx  cx  d  (1) a  0 có nghiệm x1 , x , x Khi đó: b   x1  x  x   a  c   x1 x  x x3  x1 x  a  d   x1 x x3   a  Chứng minh Đặt Px   ax  bx  cx  d x1 , x , x nghiệm phương trình (1) suy ra: P  x   a x  x1  x  x  x  x3    a x   x1  x  x3 x   x1 x  x x3  x1 x3 x  x1 x x   ax  a x1  x  x3 x   x1 x  x x3  x3 x1 x  ax1 x x Từ suy điều phải chứng minh Định lí Viet cho phương trình bậc 4: Cho phương trình ax  bx  cx  dx  e  a  0 có nghiệm x1 , x , x3 , x Khi đó: b   x1  x  x3  x   a  x x  x x  x x  x x  x x  x x  c 4  a  d x x x  x x x  x x x  x x x   4  a  e  x1 x x x  a  Việc chứng minh định lí xin dành cho cho bạn đọc B Các toán a  b  f  x   0, x   Bài toán Xét tam thức bậc hai f x   ax  bx  c thỏa mãn  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  abc ab Giải f  x   , x    a    b  4ac   c  b2  4a Do b  a  nên: P abc  ba  b2 2 2 4a  4a  4ab  b  9a  6a b  a   b  a  ba 4ab  a  4ab  a  ab 9a  6at  t 4at (với t  b  a  ) 9a  t 9a t     3 4at 4at Pmin  b2 c  3  b  c  4a  4a t  b  a  3a  Ghi chú: tìm giá trị nhỏ P cách chia tử mẫu cho b a b đưa tìm giá trị nhỏ hàm theo biến u  Bài tốn Cho phương trình x  x  ax  b  có ba nghiệm không âm Chứng minh 8a  3b  72 Phân tích BĐT cần chứng minh quan hệ hệ số phương trình nên ta nghĩ đến định lí Viet để biểu thị vế trái qua nghiệm phương trình cho Giải Gọi  ,  ,        ba nghiệm phương trình cho Theo định lí Viet ta có:              a   b  Ta có:  3            8a  3b  8       3  8       8  3   8 6     8  3      8 6     8  3      8 6     8  3  6   2 3   2  72   72 ,   0;2 Dấu ' ' ' ' xảy        Khi đó: a  12, b  Bài toán Chứng minh x nghiệm phương trình x  ax  bx  c  x 02   a  b  c Giải   x 02  : BĐT cần chứng minh x 02  : Ta có: x03  ax 02  bx  c   x03   ax02  bx  c Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:  x   ax  bx0  c    a 2 b c x 06  x  x 1  a  b  c x0     2   x06 x02    a2  b2  c2 x0   x 08    a  b  c (1) x0  Ta chứng minh: x02  x08  x 06  (2) Thật vậy: (2)  x08  x02  x08   x 02  (đúng)  BĐT (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Bài toán Cho phương trình x  ax  bx  cx   có nghiệm thực Chứng minh a  b  c  Giải Gọi x nghiệm phương trình, suy x0  x 04  ax 03  bx 02  cx    ax03  bx 02  cx0  1  x 04  Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: 1  x   ax 2  bx02  cx Ta chứng minh: 2 1  x  2  a b c    a x x x  (1) x 06  x04  x02 1  x    b  c x06  x04  x02  (2) Thật vậy: (2)  31  t   4t  t  t  , với t  x02    t  1 3t  2t   (3) BĐT (3)  BĐT (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh  t  x   b c a Dấu ' ' ' ' xẩy      x0 x0 x0  2 a  b  c   Bài toán Chứng minh phương trình x  ax  bx  ax   có nghiệm a  b  Giải Gọi x nghiệm phương trình cho, suy x0  Ta có: x 04  ax 03  bx 02  ax    x 02   1  a x    b  x0  x0        x0    a x    b   x0  x0    Đặt t  x0  1  x0   Ta có:  t  x0  x0 x0 x0 t  at  b    at  b   t Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: t 2 2  a b   at  b   a 2 t  Ta chứng minh: 2 t 1    b2 t 1  t 2 (1)  2  t 1 Thật vậy: (2)  t  45t    (2) (3) BĐT (3) với t mà t   BĐT (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh   a  2b  Dấu ' ' ' xẩy   a  2b a  b   Bài tốn Cho phương trình x  ax  bx  cx   có hệ số a, b, c khơng âm b c Biết phương trình có nghiệm thực Chứng minh a    Giải b c Đặt Px   x  ax  bx  cx  Ta có P2  8a  4b  2c  17  8 a     17  4 Gọi  x1 , x , x3 , x bốn nghiệm phương trình cho Do a, b, c không âm nên nghiệp phương trình số âm, suy x1 , x , x3 , x  Ta có: Px   x  x1 x  x x  x3 x  x  P 2  2  x1 2  x 2  x3 2  x   1   x1 1   x 1   x3 1   x   3.3 x1 3.3 x 3.3 x3 3.3 x  81.3 x1 x x3 x  81 Do đó: b c  8 a     17  81 4  a b c  8 a  c  b  Dấu ' ' ' ' xẩy  x1  x  x  x  Khi đó:  Bài toán Xét số thực a, b cho phương trình ax  x  bx   có ba nghiệm thực dương (các nghiệm nhau) Tìm giá trị nhỏ biểu 5a  3ab  thức P  a b  a  Gải Gọi  ,  ,  ba nghiệm dương phương trình cho Theo định lí Viet ta có               a b a (1) (2) Vì  ,  ,  dương nên a, b dương Ta có:      2  3      Nên từ (1) (2) suy 3b  ab a 3a a Áp dụng BĐT Cơsi ta có:       3.3  1  3.3   a  a a 3  Xét hàm số Pb   P ' b   5a  3ab  theo biến số b , với b   0;  a b  a   3a   2a   1  1 với b  ; hàm số P  b  nghịch biến     0;   a b  a   3a   3a  Do đó:       5a  P  P    3a  a  3a (3)  5a  1  Xét hàm số f a   , với a   0;  a  3a  3  f ' a    15a  14a    a 3a     , a   0;   3    Hàm số f a  nghịch biến  0;  Do  3 f a     5a   f    a  3a 3 3   Từ (3) (4) suy ra: P  12  a  Dấu ' ' ' ' xảy   3 Khi       b   (4) C Bài tập luyện tập Bài Cho phương trình x  ax  b  có nghiệm thực lớn Chứng minh a  b  Bài Cho phương trình ax  bx  c  có nghiệm x1 , x2 x1 x  0 Và phương trình cy  by  a  có nghiệm y1 , y Chứng minh x12  y12  x 22  y 22  Bài Chứng minh phương trình x  px  q  có nghiệm p  27 q  Bài Cho phương trình ax  bx  cx  d  có ba nghiệm thực phân biệt lập thành cấp số nhân Chứng minh b  max ac;3ac Bài Chứng minh phương trình x  ax  bx  cx  d  có nghiệm thực x x02   a  b  c  d Bài Cho phương trình x  ax  bx  ax   có nghiệm thực Chứng minh a  b    Bài Chứng minh a, b số thực cho phương trình x  ax  x  bx   có nghiệm thực a  b  Bài 8* Xét số thực dương a, b, c, d cho phương trình ax  ax  bx  cx  d  Có bốn nghiệm thực thuộc khoảng  0;  (các nghiệm nhau)  2 Chứng minh 21a  164c  80b  320d Bài 9* Cho phương trình ax  bx  cx  d  có ba nghiệm thực dương d  Chứng minh 2b  9a d  abc  ... a b đưa tìm giá trị nhỏ hàm theo biến u  Bài toán Cho phương trình x  x  ax  b  có ba nghiệm khơng âm Chứng minh 8a  3b  72 Phân tích BĐT cần chứng minh quan hệ hệ số phương trình nên... vế trái qua nghiệm phương trình cho Giải Gọi  ,  ,        ba nghiệm phương trình cho Theo định lí Viet ta có:              a   b  Ta có:  3        ... trị nhỏ biểu 5a  3ab  thức P  a b  a  Gải Gọi  ,  ,  ba nghiệm dương phương trình cho Theo định lí Viet ta có               a b a (1) (2) Vì  ,  ,  dương nên a,