giảng dạy số phức ở trường phổ thông

SỞ GD-ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT YÊN PHONG S Ố - SÁNG KI ẾN ĐĂNG KÍ CẤP NGÀNH GIẢNG DẠY SỐ PHỨC Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Tác giả SKKN: NGUYỄN VĂN XÁ Chức vụ: Giáo viên Đơn vị cơng tác: Tổ Tốn - Trường THPT n Phong ốs Bộ mơn (Chun ngành): Tốn N PHONG, THÁNG 12 N ĂM 2014 MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: CƠ SỞ KHOA HỌC Chương 2: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ 11 Chương 3: NHỮNG GIẢI PHÁP C Ụ THỂ 12 Các phép toán trênập stố phức 12 Biểu diễn hình học số phức … 17 Giải phương trình ậtp số phức ………………… 20 Dạng lượng giác ủca số phức 23 Chương 4: KẾT QUẢ KIỂM CHỨNG 27 KẾT LUẬN 28 TÀI LI ỆU THAM KHẢO 30 NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ C ỦA HĐKH 31 MỞ ĐẦU MỤC ĐÍCH CỦA SÁNG KI ẾN Xét trênậtp số thực ℝ phương trình bậc có nghi ệm, phương trình bậc hai có bi ệt thức D ³ có hai nghi ệm (phân bi ệt trùng nhau), có nh ững phương trình bậc hai đơn giản, chẳng hạn x + = , lại vô nghi ệm Năm 1545 nhà toán học G.Cardano (1501- 1576) người Italia gi ải vấn đề nghiệm phương trình x + = cách đưa vào kí hi ệu −1 để biểu diễn nghiệm phương trình này, d ĩ nhiên −1 ∉ ℝ Tiếp theo đó, ơng kí hi ệu nghiệm 2 phương trình x = −b ( b ∈ ℝ \ (x − a trình a+b −1 (a ,b ∈ ℝ) khơng có th Năm 1572, cơng trình có tên Bologn Italia R.Bombelli (1526-1573) định n cácđại lượng ảo Ông xem ng ười sáng ạto nên lí thuyết ốs ảo, c ũng ng ười thấy lợi ích việc đem số ảo vào tốn học cơng c ụ hữu ích Nhà toán học Pháp D’Alembert (1717-1783) vào năm 1746 đưa dạng tổng quát ủca số phức, đồng thời chấp nhận nguyên lí ồtn n nghiệm phương trình đa thức bậc n Nhà tốn học Thụy Sĩ L Euler (1707-1783) đề xuất kí hiệu " " để bậc hai −1 gọi đơn vị ảo (imaginary unit number), đến năm 1801 nhà toán học Đức C.F.Gauss (1777-1855) dùng l ại kí hiệu Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong ốs – B ắc Ninh ng ười ửs dụng thuật ngữ số phức để cácđại lượng ảo Tuy nhiên kí hiệu i = −1 gây r ất nhiều tranh cãi nghi ngờ giới toán học Nhà bác học I.Newton (1643-1727) người Anh ng ười không th ừa nhận số ảo Đẳng thức đáng ngờ i = −1 phá vỡ quan hệ thứ tự quen thuộc trênℝ Người có cơng lao bi ến số phức từ số giả tưởng với tính chất bí hiểm i = −1 thành m ột số có th ật nhà bác học Ireland W.R.Hamilton (1805-1865) Năm 1837, Hamilton xây d ựng lí thuyết số phức cách chặt chẽ theo phương pháp tiênđề để từ s ố phức trở thành m ột số quen thuộc với người làm toán số truyền thống Càng ngày ng ười ta th số phức có vai trị vơ quan trọng toán học khoa h ọc - kĩ thuật Nhiều nhà toán học tiếng Euler, Gauss, G.F.B.Riemann (1826-1866), A.L.Cauchy (17891857), K.T.W Weierstrass (1815-1897) nhi ều nhà tốn học khácở kỉ XX có nh ững đóng góp to l ớn cho phát triển lí thuyết số phức giải tích phức Giải tích phức, đặc biệt lí thuy ết ánh xạ bảo giác, có nhi ều ứng dụng khí Nó c ũng sử dụng lí thuyết số giải tích Ngày gi ải tích phức nghiên cứu nhiều với ứng dụng động lực phức fractal Ứng dụng quan trọng khác giải tích phức lí thuyết dây Ở Việt Nam, nhiều nhà khoa h ọc có nh ững đóng góp quan trọng nghiên cứu gi ảng dạy giải tích phức Đối với chương trình tốn học phổ thông, s ố phức đưa vào cuối lớp 12 Số phức m ột khái niệm mới, việc làm quen, s dụng ứng dụng số phức vào gi ải tốnđối với học sinh cịn g ặp nhiều khó kh ăn Xuất phát ừt việc tìm hiểu lịch sử phát triển lí thuyết số phức Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong ốs – B ắc Ninh giải tích phức, hiểu tầm quan trọng số phức toán học khoa học - kĩ thuật, xuất phát ừt thực trạng dạy - học nội dung số phức thời gian qua Trường THPT Yên Phong ốs 2, để giúp thân em học sinh định hình tốt dạng toán thường gặp số phức m ột số ứng dụng sơ cấp số phức, đặc biệt dạng toán xuất gần cácđề thi TN THPT, thi ĐH-CĐ, thi HSG, cácđề thi thử cácđịa phương, … m ạnh dạn lựa chọn đề tài “ Giảng dạy số phức trường phổ thông ” Thông qua vi ệc phân d ạng số dạng toán thường gặp số phức, giáo viên có nhìn tồn ệdin sâu s ắc chủ đề số phức chương trình tốn phổ thơng, ch ọn lựa phương án ốtt cho gi ảng mình, giúp học sinh làm quen v ới số phức, rèn kĩ giải toán số phức ứng dụng số phức giải số toán sơ cấp đơn giản, phát triển tư logic cho học sinh, đồng thời nâng cao ch ất lượng học tập học sinh, tạo hứng thú học tập mơn tốn, phát huy tính tích ựcc, tự giác, sángạot học sinh, góp ph ần đổi phương pháp nâng cao chất lượng dạy - học mơn tốn nói chung ch ủ đề số phức nói riêng ĐĨNG GĨP C ỦA SÁNG KI ẾN Góp ph ần nâng cao nh ận thức k ĩ cho người dạy người học nội dung số phức, làm rõ m ột số tính chất số phức, phân số dạng toán thường gặp số phức, bước đầu tiếp cận số ứng dụng số phức giải toánđại số, lượng giác hình học Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong ốs – B ắc Ninh CHƯƠNG CƠ SỞ KHOA HỌC CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Khái niệm số phức Một số phức m ột biểu thức dạng z = a+bi, a b số thực s ố i thỏa mãn i2=-1, i gọi đơn vị ảo, a gọi ph ần thực, b gọi ph ần ảo số phức Cách viết z = a+bi gọi dạng đại số số phức Tập hợp ốs phức kí hiệu ℂ Mỗi số thực a coi m ột số phức với phần ảo 0, z = a + 0.i ∈ℂ Do đó, có th ể xem ℝ m ột tập ℂ Số phức có ph ần thực gọi s ố ảo (số ảo) Đơn vị ảo i m ột số ảo, số = + 0i vừa s ố thực vừa s ố ảo Hai số phức z = a + bi (a ,b ∈ ℝ ) , z '= a '+ b i' (a b', ∈' ℝ) gọi b ằng nhau, vi ết z = z ', a = a ',b = b ' Với a,b ∈ ℝ, số phức z = a + bi tương ứng với ch ỉ điểm M (a;b) mặt tọa độ Oxy Ta gọi M (a;b) bi ểu diễn hình học số phức z = a + bi Những số thực có bi ểu diễn hình học điểm thuộc trục Ox, số ảo có bi ểu diễn hình học điểm thuộc trục Oy Vì trục Ox cịn gọi trục thực, trục Oy gọi trục ảo Mặt phẳng Oxy gọi mặt phẳng phức Ta để ý r ằng mặt phẳng Oxy M (a;b) OM = (a;b) Giả sử cácđiểm M , N bi ểu diễn hình học số phức z z ' z = z ' ch ỉ OM = ON Giả sử số phức z = a + bi (a ,b ∈ ℝ) có bi ểu diễn hình học điểm Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong ốs – B ắc Ninh M ( a ; b) mặt phẳng Oxy M (a ; − b ), M (− a; −b) điểm đối xứng với M qua trục hoành qua g ốc tọa độ Gọi z1 , z2 số phức có bi ểu diễn hình học M , M tương ứng Ta gọi z1 s ố phức liên hợp z, kí hiệu z , gọi z2 s ố đối số phức z, kí hiệu −z Như (a + bi ) = a - bi - (a + bi ) = (- a ) + (-b )i, với a ,b ∈ ℝ Ta dễ dàng ki ểm tra z = z − (− z ) = z Độ dài c vectơ OM = (a;b) gọi mô đun số phức z = a + bi (a ,b Î ℝ), kí hi ệu z Như a + bi = a + b 2 (a, b Ỵℝ) Với z ∈ℂ ta có z = z = - z ³ 0, đẳng thức xảy z = 1.2 Một số phép toán trênℂ 1.2.1 Phép cộng a) Tổng hai số phức Tổng hai số phức z = a + bi (a,b Î ℝ ) , z '= a '+ b i' (a b', Ỵ' ℝ) s ố phức z + z '= (a + a ')+ (b + b ')i Nếu hai số phức z, z ' có bi ểu diễn hình học điểm M , N mặt phẳng Oxy, điểm T bi ểu diễn hình học số phức z + z ' ch ỉ OM + ON = OT Phép tốn tìmổtng hai số phức gọi phép cộng số phức b) Tính chất phép cộng số phức Phép cộng số phức có tính chất sau đây, t ương tự phép cộng ốs thực · Tính chất kết hợp (z + z ') + z ''= z + (z +' z )''",z z , z',Ỵ''ℂ Nhờ đó, ta có th ể viết z + z '+ z ' để tổng (z + z ') + z '' · Tính chất giao hốnz + z '= z '+ z ,∀z ∈ℂ · Cộng với (phần tử trung hòa c phép cộng) z + = + z = z, ∀z ∈ℂ Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong ốs – B ắc Ninh • Với z ∈ℂ, số đối −z tồn nhất, · z + z ' ≤ z + z ' ,∀z ,z ∈' ℂ · z + z ' = z + z ',∀z ,z ∈' ℂ z + ( − z) = 1.2.2 Phép trừ a) Hiệu hai số phức Hiệu hai số phức z z ' t z với −z ', tức z − z '= z + (−z ') Nếu z = a + bi ( a,b ∈ ℝ , z '= a '+ b i' (a b', ∈' ℝ) ) z − z '= (a − a ')+ (b − b ')i Nếu hai số phức z, z ' có bi ểu diễn hình học điểm M,N mặt phẳng Oxy, điểm H bi ểu diễn hình học số phức z − z ' ch ỉ O − = OH ON M Phép toán tìm hiệu hai số phức gọi phép trừ số phức b) Tính chất phép trừ số phức Phép trừ số phức có tính chất sau đây, t ương tự phép trừ ốs thực · z − (z '+ z '')= (z − z )'− z '',∀z z , z',∈''ℂ · z − (z '− z '')= (z − z )'+ z ∀'',z z , z',∈''ℂ · z − = z,0 − z =−z, z − z = 0, ∀z ∈ℂ · z − z '= z − z ',∀z ,z ∈' ℂ 1.2.3 Phép nhân a) Tích hai số phức Tích hai số phức z = a + bi (a,b ∈ ℝ ) , z '= a '+ b i' (a b', ∈' ℝ) số phức zz '= (aa '− bb ')+ ab( +' a b' i ) Phép toán tìm tích ủca hai số phức gọi phép nhân s ố phức b) Tính chất phép nhân số phức · Tính chất giao hốnzz '= z 'z ,∀z ,z ∈' ℂ Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong ốs – B ắc Ninh • Tính chất kết hợp z ( z 'z '') = ( zz )'z z',∈''ℂ ( zz '',∀z z , Để tích ') z ' ta có th ể viết zz 'z '' Với n s ố nguyên dương, với số n phức z, để tích z z z ta viết z · Nhân v ới (phần tử đơn vị phép nhân) z = 1.z = z ,∀z ∈ℂ • Tính chất phân ph ối z • · zz '= z = z z ,∀z ∈ℂ • zz ' = z z ' ,∀z ,z ∈' ℂ Do z · z n n = z ,∀z ∈ ℂ, ∀n ∈ ℕ* i n = 1,i n − = i, i n − = −1,i n−1 = −i,∀n ∈ ℕ* 1.2.4 Phép chia cho số phức khác Số nghịch đảo số phức z khác số z −1 = z z2 Thương z' phép chia số phức z ' cho số phức z ¹ tích c z ' với số phức nghịch đảo z , tức z'= z z' ta việc nhân c ả tử số m ẫu số với số phức liên hợp mẫu z Dễ thấy, với mi z , z 'ẻ ,z 0,ta cú 1.2.5 Căn bậc n số phức z 'z z2 11) Tìm số acgumen − 12)Tìm số 13)Tìm ph Bài Giải phương trình 1) z − (3 − i ) z − (2 − i ) z + 16 − 2i = 2) z3 − (2 − 3i ) z2 + (1 − 2i ) z + 9i = 3) z4 − z3 + 6z2 − 6z − 16 = Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong ốs – B ắc Ninh DẠNG LƯỢNG GIÁC C ỦA SỐ PHỨC VD9 Cho số phức z thỏa mãn HD Từ z + z 2013 = cos Vậy P = 2cos 2013 π = 2cos671π = −2 VD10 Chứng minh a) cos π b) cos π + cos 3π − cos + cos 2π 5π = + cos 3π = HD a) Đặt z = cos Mặt khác π 3π + cos cos Vì z7 + = nênz10 = −z3 z8 = −z , suy Do cos π b) Xét phương trình bậc −1 = cos π + i.sin π x + 1= 0⇔ r ( cos7 ϕ + i.sin7ϕ ) = cos π + i.sinπ Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong ốs – B ắc Ninh nênr = lí Vièt, phương trình thực nghiệm b ằng Do cos Û cos 777 Û cos π π + cos − cos 3π 2π + cos + cos 5π −1=0 3π = VD11 Tính tổng ( a ¹ 2k π ,k Ỵ ℤ ) S1 = sin a + sin 2a + + sin HD Đặt z = cos a + i sin a ta có S + iS1 = z + z + + z Ta có sin = sin Nên Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong ốs – B ắc Ninh + S = ( cos a + i sin a ) sin = sin Mặt khác S + iS1 = [cos a + cos2a + + cos na ] + i[sin a + sin 2a + + sin na] Vậy sin S1 = Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong ốs – B ắc Ninh BÀI T ẬP THAM KHẢO Bài Chứng minh công th ức sin 5ϕ = 16sin ϕ − 20sin ϕ + 5sin ϕ (1), cos5ϕ = 16 cos ϕ − 20 cos ϕ + 5cos ϕ ( ) Bài Cho a, b, c số thực cho cos a + cos b + cos c = sin a + sin b + sin c = Chứng minh Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong ốs – B ắc Ninh CHƯƠNG KẾT QUẢ KIỂM CHỨNG Sau rèn luyện hệ thống kiến thức trên, emọhc sinh hiểu rõ h ơn số tính chất phép toánố sphức, giống nhau, điểm khác phép toánố sphức với phép toánố s thực, linh hoạt việc dùng kiến thức số phức để giải tốn, góp phn bi dng nim đam mê, yêu thích môn toán cho hc sinh, lực t kỹ giải toán học sinh đợc nâng lờn, học sinh giỏi Học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức có k giải toán tơng tự, sở học sinh giải đợc toán tổng hợp Đối với kiểm tra em trình bày chặt chẽ logic, kết cao, với kết nh sau Năm Lớp học 2012 2013 2013 2014 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong ốs – B ắc Ninh KẾT LUẬN Qua đề tài này, nh 1) ận thấy Đây ch ủ đề học sinh, giáo viên nên cóướbc chuẩn bị tốt kiến thức, phương pháp tâm cho riêng mình, hướng dẫn học sinh tiếp cận với kiến thức cách ựt nhiên, nhẹ nhàng 2) Các kiến thức lựa chọn để cung cấp cho học sinh cần giáo viên cân nhắc kĩ lưỡng, vào n ội dung chương trình, chuẩn kiến thức - kĩ năng, vào ph ạm vi cácđề thi ĐH - CĐ thi HSG, c ăn vào đối tượng học sinh Gi¸o viên nờn hớng dẫn học sinh giải toán cách phân loại dạng toán số phức ứng dụng, t ú học sinh nâng cao đợc khả t tính sáng tạo giải toán, đồng thời làm cho học sinh hiểu rõ đợc vai trò ý nghĩa phơng pháp Khụng nờn la chọn vấn đề q khó gặp, gây s ự ảti cho học sinh, không nên đề cập tới vấn đề đơn giản để tránh nhàm chán tránh tháiđộ chủ quan học sinh 3) Giáo viên nênướhng dẫn khích l ệ học sinh phương pháp ựt học, tự đọc tài li ệu tham khảo, tạo cho học sinh nhận thức rõ động lực học tập mình, nâng cao s ự tự giác, ựs sáng ạto học tập, có nh việc học tập có nhi ều tiến Hiện nay, sách tham khảo chủ đề r ất nhiều, giáo viênạot phong trào t ự học, tự đọc tài liệu tham khảo học sinh việc giảng dạy vừa đỡ vất vả hơn, lại vừa mang lại hiệu cao 4) Ngay từ lớp 10, giáo viên nên hình thành choọ ch sinh phương pháp ápụdng kiến thức tập hợp, tập hợp số để giải toán, ừt d ần dần hình thành cho h ọc sinh hiểu biết sâu h ơn hệ thông s ố, giúp Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong ốs – B ắc Ninh cho học sinh lĩnh hội kiến thức số phức cách hệ thống, chủ động t ự nhiên Tôi chân thành c ảm ơn giúp đỡ BGH, cácđồng nghiệp em học sinh suốt q trình tơi giảng dạy trường q trình hồn thiện đề tài Tác giả NGUYỄN VĂN XÁ Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong ốs – B ắc Ninh TÀI LI ỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên),Bộ SGK, SBT, SGV Toán 10, 11, 12, ban bản, NXB Giáo dục Việt Nam, 2013 [2] Đoàn Qu ỳnh (tổng chủ biên),Bộ SGK, SBT, SGV Toán 10, 11, 12, ban KHTN, NXB Giáo dục Việt Nam, 2013 [3] Bộ Giáo dục Đào t ạo, Tài li ệu hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ năng, NXB Giáo dục Việt Nam, 2013 [4] Nguyễn Thế Thạch (chủ biên),Đổi phương pháp dạy học nh ững ví dụ minh họa, Tốn 10, 11, 12, NXB Giáo dục Việt Nam, 2012 [5] Trần Thành Minh, Tr ần Đức Huyên, Nguyễn Văn Minh, Giải toán Nguyên hàm - Tích phân Số phức 12, NXB Giáo dục Việt Nam, 1999 [6] Võ Anh D ũng (chủ biên),Giải tốn Ngun hàm - Tích phân S ố phức 12, NXB Giáo dục Việt Nam, 2011 [7] Đề thi TN THPT, ĐH-CĐ thi HSG năm [8] Tạp chí Tốn học Tu ổi trẻ, NXB Giáo dục Việt Nam [9] Tài li ệu trêninternet Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong ốs – B ắc Ninh NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ C ỦA HĐKH Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong ốs – B ắc Ninh ... chọn đề tài “ Giảng dạy số phức trường phổ thông ” Thông qua vi ệc phân d ạng số dạng toán thường gặp số phức, giáo viên có nhìn tồn ệdin sâu s ắc chủ đề số phức chương trình tốn phổ thơng, ch... cho số phức khác Số nghịch đảo số phức z khác số z −1 = z z2 Thương z' phép chia số phức z ' cho số phức z ¹ tích c z ' với số phức nghịch đảo z , tức z'= z z' ta việc nhân c ả tử số m ẫu số. .. với số phức liên hợp mẫu z Dễ thấy, với z , z 'ẻ ,z 0,ta cú 1.2.5 Cn bc n số phức z 'z z2 Số phức w gọi m ột bậc n (n Ỵ ℤ, n ³ 2) số phức z n w = z Mỗi số phức z ¹ ln có n bậc n ( n Ỵℤ, n ³ ) số