hướng dẫn học sinh giải một số bài toỏn về đại số tổ hợp

Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Phần MỞ ĐẦU MỤC ĐÍCH CỦA SÁNG KIẾN Đại số tổ hợp ngành toán học rời rạc, nghiên cứu cấu hình kết hợp phần tử tập hữu hạn phần tử Các cấu hình hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp, phần tử tập hợp Nó có liên quan đến nhiều lĩnh vực khác toán học, đại số, lí thuyết xác suất, lí thuyết ergod (ergodic theory) hình học, đến ngành ứng dụng khoa học máy tính vật lí thống kê Đại số tổ hợp liên quan đến khía cạnh giải vấn đề lẫn xây dựng sở lí thuyết, nhiều phương pháp lí thuyết vững mạnh xây dựng, tập trung vào cuối kỉ 20 Một mảng lâu đời đại số tổ hợp lí thuyết đồ thị Trong khoa học máy tính, đại số tổ hợp dùng nhiều để ước lượng số phần tử hp Trong chơng trình Đại số Giải tích lớp 11, chủ đề Đại số tổ hợp nội dung quan träng, cã rÊt nhiỊu nh÷ng tht ng÷, kÝ hiệu, khái niệm, dạng toán khó Trong kì thi Tốt nghiệp THPT thi Tuyển sinh Đại học trớc đây, nh kì thi THPT Quốc gia này, nội dung liên quan tới Đại số tổ hợp đợc ý mức độ định Với kì thi học sinh giỏi, nội dung lại xuất dạng câu hỏi khó Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Thực tế cho thấy không học sinh khó khăn việc nhận diện đợc khái niệm toán học, nhầm số khái niệm, nh chỉnh hợp với tổ hợp, nhầm lẫn việc áp dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân Các học sinh đội tuyển học sinh giỏi gặp vớng mắc giải toán thuộc chủ đề Nhằm giúp học sinh khắc phục đợc nhợc điểm nêu trên, từ đạt đợc kết cao giải toán Đại số tổ hợp nói riêng đạt kết cao trình học tập nói chung, chọn đề tài Hng dn hc sinh giải số toán đại số tổ hợp” TÍNH MỚI VÀ ƯU ĐIỂM NỔI BẬT CỦA SÁNG KIẾN - Nêu rõ khái niệm, tính chất, cơng thức tính Đại số tổ hợp trình bày SGK hành, phân tích giúp học sinh tránh nhầm lẫn khái niệm, công thức - Phân loại dạng toán Đại số tổ hợp chương trình THPT (cơ bản) thành dạng, nêu bật phương pháp giải cho dạng, có ví dụ minh họa cụ thể, giúp học sinh nắm phương pháp biết cách vận dụng - Xây dựng hệ thống tập tổng hợp để học sinh ôn luyện nhằm củng cố kiến thức phương pháp Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số ểNG GểP CA SNG KIN Đề tài nghiên cứu số vấn đề liên quan đến nội dung Đại số tổ hợp đợc trình bày Chơng - Tổ hợp Xác suất, sỏch giỏo khoa (SGK) Đại số Giải tích 11, bc Trung hc Ph thụng (THPT), nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn rút kinh nghiệm trình giảng dạy, đồng thời nghiên cứu chủ đề để đề xuất vấn đề thuộc phơng pháp hớng dẫn học sinh giải toán tổ hợp Đề tài đà góp phần: - Trang bị cho học sinh kiến thức Đại số tổ hợp - Rèn luyện kỹ làm toán Đại số tổ hợp - Đóng góp tài liệu tham khảo cho giáo viên trình giảng dạy nội dung Đại số tổ hợp Phn NI DUNG Chng 1: KHÁI QUÁT THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Nguyễn Văn Xá – THPT n Phong số Qua tìm hiểu, tơi nhận thấy việc dạy học nội dung Đại số tổ hợp có số điều đáng bàn sau 1) Giáo viên số hạn chế kiến thức toán cao cấp liên quan đại số đại cương, nhìn tổng quan cho chủ đề chưa thực đầy đủ, điều dẫn tới việc áp dụng kiến thức Đại số tổ hợp vào giải tốn có phần hạn chế, có lúc thiếu linh hoạt, tinh tế 2) Đây chủ đề mà lượng kiến thức đưa vào bậc THPT dừng mức độ định (trong dạng tốn đơi lại địi hỏi số phân tích phức tạp), dễ gây tâm lí chủ quan giáo viên lẫn học sinh Chính tâm lí chủ quan dẫn tới sai lầm đáng tiếc Có nhiều nội dung dễ bị nhầm lẫn với nhau, hoán vị chỉnh hợp, tổ hợp chỉnh hợp, quy tắc cộng quy tắc nhân, điều gây khó khăn cho học sinh q trình học tập Bên cạnh toán bản, xuất nhiều toán với lối tư kĩ thuật phức tạp (chẳng hạn kì thi học sinh giỏi), khiến giáo viên gặp khơng khó khăn giải tốn giảng dạy, hướng dẫn 3) Việc hình thành kĩ áp dụng cho học sinh công việc phải tiến hành thường xuyên, liên tục, tỉ mỉ, thận trọng Tuy nhiên số giáo viên chưa trọng việc bồi dưỡng kĩ trình bày, bồi dưỡng mảng kiến thức liên quan tới tập hợp số, liên quan tới mệnh đề, thống kê từ lớp 10, dẫn tới tạo độ ỳ lớn học sinh lên lớp 11 (và lớp 12) Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 4) Nhiều học sinh học tập cách thụ động, trông chờ thầy cô cung cấp kiến thức, làm theo mẫu sẵn, thiếu tính sáng tạo Chương 2: MỘT SỐ GIẢI PHÁP CHỦ YẾU Trong chương này, tơi trình bày sơ lược cở sở lí thuyết chuyên đề “Đại số tổ hợp” dựa theo chương trình SGK hành, phân chia dạng toán cụ thể để giúp học sinh hiểu vận dụng tốt kiến thức Trong chương này, đề cập tới số tốn liên quan tới đạo hàm, tích phân, số phức để giáo viên tham khảo Khi trình bày cho học sinh lớp 11, nội dung tạm lược bớt LÍ THUYẾT CƠ BẢN 1 Hai quy tắc đếm Với tập A gồm hữu hạn phần tử, ta kí hiệu n( A) số phần tử A Dễ thấy n(∅) = A ⊂ B ≤ n( A) ≤ n( B) ( A, B gồm hữu hạn phần tử) Cho hai tập hợp A, B Ta định nghĩa tích A B tập A × B xác định A × B = { ( a, b ) a ∈ A, b ∈ B} Nói chung, A × B ≠ B × A Nếu B = A A × A kí hiệu A2 Chẳng hạn ¡ = { ( x, y ) x ∈ ¡ , y ∈ ¡ } 1.1.1 Quy tắc cộng Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Cho A B hai tập hợp có hữu hạn phần tử a) Quy tắc cộng n( A ∪ B ) = n( A) + n( B), với A ∩ B = ∅ b) Quy tắc cộng mở rộng n( A ∪ B ) = n( A) + n( B ) − n( A ∩ B ) c) Chú ý Quy tắc cộng phát biểu sau: “Một cơng việc hồn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m + n cách thực hiện.” Quy tắc cộng quy tắc cộng mở rộng phát biểu cho trường hợp có nhiều tập hợp hữu hạn phần tử Chẳng hạn, với tập A, B, C có hữu hạn phần tử, ta có n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n( B ) + n(C ) − n( A ∩ B ) − n( A ∩ C ) − n( B ∩ C ) + n( A ∩ B ∩ C ) 1.1.2 Quy tắc nhân Cho A B hai tập hợp có hữu hạn phần tử Ta có n( A × B ) = n( B × A) = n( A).n( B ) Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Quy tắc nhân phát biểu sau: “Một cơng việc hồn thành hai hành động Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai cơng việc có m.n cách thực hiện.” Tương tự với quy tắc cơng, quy tắc nhân phát biểu cho nhiều tập hợp hữu hạn phần tử Tiếp theo, trình bày khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp cơng thức tính số hốn vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp Giáo viên cần dành thời lượng phù hợp để phân tích kĩ, giúp học sinh hiểu rõ phân biệt ba khái niệm trên, tránh nhầm lẫn giải toán 1.2 Hoán vị 1.2.1 Hoán vị thẳng Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ∈ ¥ ) Mỗi cách xếp thứ tự n phần tử gọi hoán vị n phần tử tập A (hoặc hoán vị tập A ) Gọi Pn số hoán vị tập có n phần tử, ta có Pn = n.(n − 1) 2.1 = 1.2.3 n = n ! (quy ước 0! = ) Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Với n người ( n ∈ ¥ ), có n ! cách xếp n người thành hàng ngang (hoặc hàng dọc) 1.2.2 Hốn vị vịng Cho n phần tử ( n ∈ ¥ * ) Có (n − 1)! cách xếp n phần tử thành vòng tròn 1.3 Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ∈ ¥ ) Mỗi cách lấy k phần tử từ A ( k ∈ ¥ , k ≤ n ) xếp k phần tử theo thứ tự định gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A (hoặc chỉnh hợp chập k tập A ) Số chỉnh hợp chập k n phần tử kí hiệu Ank tính theo cơng thức Ank = n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) = n! (lưu ý An0 = Ann = Pn = n ! ) (n − k )! Như vậy, ta coi hốn vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử 1.4 Tổ hợp 10 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ∈ ¥ ) Mỗi tập gồm k ( k ∈ ¥ , k ≤ n ) phần tử tập A gọi tổ hợp chập k n phần tử tập A (hoặc tổ hợp chập k tập A ) Số tổ hợp chập k n phần tử kí hiệu Cnk tính theo cơng thức Ank n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) n! C = = = k! 1.2.3 k k !(n − k )! k n Ta nhận thấy rằng: 1) Cn0 = Cnn = 1, Cn1 = n 2) Cnn− k = Cnk 3) Cnk = Cnk−1 + Cnk−−11 4) Ank = k !Cnk 5) Các số Pn , Ank , Cnk (k , n ∈ ¥ ; k ≤ n) số nguyên dương 1.5 Công thức nhị thức Niutơn ( a + b) n = Cn0 a n + Cn1 a n −1b + Cn2 a n −2b + + Cnk a n −k b k + + Cnn −1ab n −1 + Cnnb n n = ∑ Cnk a n −k b k (coi a = b = 1) k =0 Trong khai triển trên, số hạng tổng quát có dạng Tk +1 = Cnk a n −k b k 11 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Các hệ số khai triển xác định theo tam giác Pascal sau 1 1 1 3 1 1 10 10 1 15 20 15 1 1 1 3 1 1 10 10 1 15 20 15 1.6 Phương pháp làm trội Để tính tổng có dạng Sn = Sn = n ∑ uk , ta phân tích uk = vk − vk +1, k = 1, 2, , n, k =1 n ∑ uk = k =1 n ∑ (vk − vk +1) = v1 − +1 k =1 n Để tính tích có dạng Sn = ∏ uk ≠ 0, ta phân tích uk = k =1 n vk v = v +1 k =1 k +1 Sn = ∏ 1.7 Tổng hệ số đa thức Ta xét đa thức bậc n ( n ∈ ¥ * ) với hệ số thực 12 vk , k = 1, 2, , n, vk +1 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Như • ak+1 20 − k > 1⇔ > 1⇔ k < hay k = 0,1,2,3,4,5 Dẫn tới a6 > > a1 > a0 ak 2k + • ak+1 20 − k = 1⇔ = 1⇔ k = Dẫn tới a6 = a7 ak 2k + • ak+1 20 − k < 1⇔ < 1⇔ k > hay k = 7,8, ,19 Dẫn tới a7 > > a19 > a20 ak 2k + Từ suy ra, hệ số có giá trị lớn f (x) a6 = a7 = 635043840 (ứng với x5 x7 x ) Để tìm hệ số có giá trị nhỏ nhất, ta phải so sánh a0 a20 Ta có 20 20 a0 = C20 = 220 = 1048576, a20 = C20 = Vậy hệ số có giá trị nhỏ f (x) a20 = (ứng với x40 ) MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài Từ thành phố A thành phố B có đường Từ thành phố B thành phố C có đường Từ thành phố C thành phố D có đường Hỏi có cách từ A tới D qua B, qua C lần ? Bài Có số nguyên dương ước 20152 đồng thời bội 2015 ? 42 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Bài Từ chữ số 0,1, 2,3, lập số nguyên dương nhỏ 1000 có chữ số phân biệt ? Bài Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số nguyên dương a) Có chữ số, mà chữ số hàng trăm lớn chữ số hàng chục, chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị ? b) Có chữ số, có chữ số giống ? c) Chia hết cho có chữ số đơi phân biệt ? d) Có chữ số phân biệt, thiết phải có mặt chữ số ? Bài Có số nguyên dương có chữ số mà chữ số cách chữ số giống ? Bài Một tổ có học sinh nam học sinh nữ Cơ giáo cần chọn nhóm gồm học sinh từ tổ Hỏi có cách chọn cho học sinh chọn a) Có nam nữ ? b) Có học sinh nữ ? c) Có nhiều học sinh nữ ? d) Có học sinh nữ ? e) Số học sinh nữ số học sinh nam ? 43 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Bài Có số tự nhiên lớn 4000 có chữ số lập từ A = { 1,3,5,7} a) Các chữ số đôi phân biệt ? b) Các chữ số không thiết phân biệt ? c) Các chữ số đơi phân biệt ln có mặt chữ số ? Xét câu hỏi tương tự thay A = { 1,3,5,7} B = { 0,1,3,5,7,8} Bài Thầy giáo cần phát sách khác cho học sinh, cho học sinh sách (lưu ý sách phát hết) Hỏi thầy giáo có cách thực ? Bài Từ chữ số 1, 2, lập số nguyên dương có chữ số cho ba chữ số có mặt ? Bài 10 Có cách cắm hết bơng hoa khác vào lọ hoa khác nhau, trường hợp sau a) Một lọ cắm bông, lọ cắm bơng lọ cịn lại cắm ? b) Mỗi lọ cắm bơng ? Bài 11 Có m cơng việc khác giao hết cho n người, người giao cơng việc cơng việc giao cho người Hỏi có cách phân cơng, biết n ∈ ¥ *, n ≤ m ≤ n + ? 44 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Bài 12 Một giải đấu thể thao có 45 vận động viên tham gia Ban tổ chức có phương án để trao huy chương vàng cho vận động viên có thành tích tốt nhất, trao huy chương bạc cho vận động viên có thành tích thứ nhì, trao huy chương đồng cho vận động viên có thành tích thứ ba, biết khơng có vận động viên nhận nhiều huy chương ? Bài 13 Chứng minh a) Cnk = Cnk−1 + Cnk−−11 ; ∀k , n ∈ ¥ , k ≤ n − b) Cn2+ m = Cn2 + Cm2 + nm; ∀n, m ∈ ¥ ; n, m ≥ c) Cnm+ k Cmk + k = Cnm + k Cmm+ k = Cnk Cnm−k = Cnm Cnk− m ; ∀k , m, n ∈ ¥ , n ≥ m + k d) Cnk+1 = n +1 Cnk ; ∀n, k ∈ ¥ , k ≤ n n − k +1 e) Ank = Ank−1 + k Ank−−11; ∀k , n ∈ ¥ *, k ≤ n f) Cnk + 3Cnk −1 + 3Cnk − + Cnk −3 = Cnk+3 ; ∀k , n ∈ ¥ ,3 ≤ k ≤ n n −1 n g) Pn = + ∑ k Pk , ∀n ∈ ¥ * h) i) 2Ann−1 + 2Ann−2 = 3Pn, n∈ ¥ ,n ≥ n−2 j) 8Cn + An = k =1 ∑ (C k =0 Bài 14 Chứng minh đẳng thức 45 ) = C2nn , n ∈ ¥ * k n 5Pn , n∈ ¥ ,n ≥ (n − 2)! Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số m (−1) k (−1) k k C = Cmk ; ∀n, m ∈ ¥ ∑ ∑ n k =0 m + k + k =0 n + k + n a) Cn1 Cn2 Cn3 (−1) n Cnn (2n)!! 2.4.6 (2n) + − + + = = , n ∈ ¥ * b) − 2n + (2n + 1)!! 1.3.5 (2n + 1) n (−1) n−1 , với n ∈ ¥ *, S n = ∑ c) ∑ (−1) S n − k C = n k =1 k k =0 n −1 k k n 1 2n+1 − n + C + C + + C = , n ∈ ¥ * d) n n n n +1 n +1 1 1 1 e) Cn1 − Cn2 + Cn3 − + (−1) n −1 Cnn = + + + + , n ∈ ¥ * n n Bài 15 Chứng minh bất đẳng thức a) C k −2 n− + 16 + k > k ; ∀k , n ∈ ¥ , ≤ k ≤ n − k −1 C n − Cn − C n b) 2n + 3n + 4n ≥ 7n2 − n + 3, ∀n∈ ¥ Bài 16 Giải phương trình tập số nguyên dương a) Cn0 + 2Cn1 + 3Cn2 + + (n + 1)Cnn = 6144 b) 2.1.Cn2 + 3.2.Cn3 + + n( n − 1).Cnn = 1344 c) C20n + C22n.32 + + C22nn−2.32n−2 + C22nn.32n = 2147516416 46 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 48 50 Bài 17 Tính giá trị biểu thức F = C50 − 3C50 + 32C50 − + 324C50 − 325C50 Bài 18 Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 1) Cxy+1 : Cxy+1 : Cxy−1 = 6: 5: 2) Px+5 ≤ 60.Axy++32 (x − y)! 3) Cxx+−21 + Cxx+2 > Ax 4) Cx4 + Cx5 = 3Cx6+1 5) C4x − C5x = C6x n x   Bài 19 Tìm x biết khai triển  2log(10−3 ) + 2(x−2)log3 ÷ viết theo lũy  ÷   thừa giảm dần biểu thức bậc hai hệ số thứ 21, hệ số thứ 2, 3, số hạng thứ 1, 3, cấp số cộng Bài 20 a) Tìm số hạng chứa x29y8 khai triển (x3 − xy)15 b) Tìm số hạng có hệ số lớn nhỏ khai triển (2x + 1)19 47 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số c) Tìm hệ số số hạng chứa x4 khai triển (1− 3x)n biết An2 + Cn2 = 315 d) Tìm hệ số số hạng chứa x3 5n−2 3  f (x) = x  2x + ÷ x  3n+3   +  x+ ÷ x  , x > 0, biết An2Cnn−1 = 48 n 26 e) Tìm hệ số số hạng chứa x   khai triển  + x7 ÷ , x ≠ 0, biết x  C21n+1 + C22n+1 + + C2nn+1 = 220 − f) Tìm hệ số số hạng chứa x10y7z3 khai triển ( x − 2y + 3z) 20 g) Tìm hệ số x5 khai khai triển thành đa thức f (x) = (2x + 1)4 + (x − 1)(x − 2)5 + (2x2 − 1)(x + 3)6 Tính tổng tất hệ số tương ứng với x bậc lẻ f (x) h) Tìm số hạng có hệ số lớn số hạng có hệ số nhỏ khai triển f ( x) = (3 − x) n , biết tổng tất hệ số số hạng bậc chẵn (gồm số hạng tự do) f ( x) 4882813 48 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Chương 3: KẾT QUẢ KIỂM CHỨNG Trong chơng Tổ hợp Xác suất Đại số tổ hợp lâu đợc xem dạng toán khó, khái niệm khó nhớ, khó phân biệt Với quy tắc cộng thực tế học sinh đà làm quen từ lớp dới Bản chất toán học quy tắc cộng công thức tính số phần tử hai tập hợp hữu hạn không giao Nếu A B hai tập hợp hữu hạn phần tử chung n ( A B ) = n ( A ) + n ( B ) Tuy nhiên quy tắc cộng SGK đợc trình bày dới dạng mô tả: Giả sử có công việc đợc thực theo phơng án A phơng án B Có n cách thực theo phơng án A m cách thực theo phơng án B Khi công việc đợc thực theo n + m cách Quy tắc đơn giản nhng không nắm vững học sinh dễ mắc sai lầm Đối với giáo viên, phần Đại số tổ hợp, nói chung, khó dạy Do vấn đề dạy học chủ đề Đại số tổ hợp cần đợc nghiên cứu rèn luyện cho học sinh nắm vững chất 49 Nguyn Vn Xỏ THPT Yờn Phong s khái niệm: hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp phân biệt khái niệm với Nắm vững kí hiệu: Ank số chỉnh hợp chập k n chỉnh hợp chập k n phần tử, C nk số tổ hợp chập k n tổ hợp chập k n phần tử, Pn số hoán vị n phần tử Cần rèn cho học sinh kỹ giải toán đếm số tổ hợp ,chỉnh hợp, toán hoán vị thẳng, hoán vị vòng, toán đếm số số thoả mÃn tính chất hình thành từ tập với mức độ phổ thông, bản, theo yêu cầu sát với thực tiễn Sau rèn luyện hệ thống kiến thức trên, với việc phân chia dạng tốn hợp lí, em học sinh hiểu rõ số nội dung Đại số tổ hợp, giống nhau, điểm khác khái niệm, vận dụng linh hoạt tính chất, góp phần bồi dưỡng niềm ®am mê, yêu thích môn toán cho hc sinh, lực t kỹ giải toán học sinh đợc nâng lờn, học sinh giỏi Học sinh dƠ dµng tiÕp thu kiÕn thøc vµ cã kĩ giải toán tơng tự, sở học sinh giải đợc toán tổng hợp Đối với kiểm tra em trình bày chặt chẽ logic, kết cao, với kết nh sau 50 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong s Năm học 2014 2015 2015 - 2016 Lớp Sĩ Số học sinh đạt điểm xi số 10 11A5 48 11 10 12 11A11 32 15 11A1 45 10 7 11A4 41 1 15 15 11A8 44 13 13 2 Phần KẾT LUẬN 51 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Qua đề tài này, nhận thấy: 1) Đây chủ đề học sinh, giáo viên nên có bước chuẩn bị tốt kiến thức, phương pháp tâm cho riêng mình, hướng dẫn học sinh tiếp cận với kiến thức cách tự nhiên, nhẹ nhàng 2) Các kiến thức lựa chọn để cung cấp cho học sinh cần giáo viên cân nhắc kĩ lưỡng, vào nội dung chương trình, chuẩn kiến thức - kĩ năng, vào phạm vi kiến thức thi THPT Quốc gia thi HSG, vào đối tượng học sinh Giáo viên nờn hớng dẫn học sinh giải toán cách phân loại dạng toán, t ú học sinh nâng cao đợc khả t tính sáng tạo giải toán, đồng thời làm cho học sinh hiểu rõ đợc vai trò ý nghĩa phơng pháp Khụng nờn la chn cỏc q khó gặp, gây q tải cho học sinh, không nên đề cập tới vấn đề đơn giản để tránh nhàm chán tránh thái độ chủ quan học sinh 3) Giáo viên nên hướng dẫn khích lệ học sinh phương pháp tự học, tự đọc tài liệu tham khảo, tạo cho học sinh nhận thức rõ động lực học tập mình, nâng cao tự giác, sáng tạo học tập, có việc học tập có nhiều tiến Hiện nay, sách tham khảo chủ đề nhiều, giáo viên tạo phong trào tự học, tự đọc tài liệu tham khảo học sinh việc giảng dạy vừa đỡ vất vả hơn, lại vừa mang lại hiệu cao 52 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 4) Ngay từ lớp 10, giáo viên nên hình thành cho học sinh phương pháp áp dụng kiến thức tập hợp, tập hợp số, kiến thức mệnh đề để giải tốn, từ hình thành cho học sinh hiểu biết sâu hơn, hệ thống, chủ động tự nhiên Trong đề tài tơi trình bày nội dung trọng tâm Đại số tổ hợp chương trình toán THPT, dạng toán Đại số tổ hợp thường gặp kì thi THPT Quốc gia, thi HSG, đưa giải pháp hợp lí để giải dạng tốn đó, phân tích số sai lầm học sinh mắc phải, nhiều ví dụ minh họa trình bày nhiều cách giải khác nhau, hệ thống tập tổng hợp chọn lọc kĩ có chất lượng Từ góp phần tích cực vào nâng cao hiệu dạy học chủ đề Đại số tổ hợp Phần nội dung sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh Tơi kiến nghị cấp quản lí, tổ chun môn quan tâm tới nội dung Đại số tổ hợp chương trình phổ thơng, có đạo kịp thời để nội dung giảng dạy học tập cách hiệu nhất, bước vận dụng kiến thức Đại số tổ hợp vào giải vấn đề khác toán học khoa học nói chung Tơi đề nghị thư viện nhà trường bổ sung thêm tài liệu tham khảo chủ đề để phục vụ tốt nhu cầu tham khảo giáo viên học sinh Tơi kính mong đồng nghiệp cho ý kiến góp ý, phê bình đề tài này, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy, để nội dung mà đề tài đề cập đến thực hiệu thời gian tới Tôi chân thành cảm ơn giúp đỡ BGH, đồng nghiệp em học sinh suốt q trình tơi giảng dạy trường q trình hồn thiện đề tài 53 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số Tác giả Nguyễn Văn Xá Phần PHỤ LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số [1] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Bộ SGK, SBT, SGV Toán 10, 11, 12, ban bản, NXB Giáo dục Việt Nam, 2013 [2] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Bộ SGK, SBT, SGV Toán 10, 11, 12, ban KHTN, NXB Giáo dục Việt Nam, 2013 [3] Bộ Giáo dục Đào tạo, Tài liệu hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ năng, NXB Giáo dục Việt Nam, 2013 [4] Nguyễn Thế Thạch (chủ biên), Đổi phương pháp dạy học ví dụ minh họa, Tốn 10, 11, 12, NXB Giáo dục Việt Nam, 2012 [5] Nguyễn Trọng Tuấn, Đặng Phúc Thanh, Rèn luyện giải toán Đại số Giải tích 11, Nhà xuất Giáo dục, 2007 [6] Võ Anh Dũng (tổng chủ biên), Giải tốn Giải tích 11, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2009 [7] Đồn Quỳnh (chủ biên), Dỗn Minh Cường, Nguyễn Khắc Minh, Phạm Đức Tài, Hướng dẫn ôn tập kì thi THPT Quốc gia năm học 2014-2015, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2015 [8] Phạm Khắc Ban, Nguyễn Xn Bình, Dỗn Minh Cường, Nguyễn Khắc Minh, Nguyễn Đức Nghị, Phạm Minh Phương, Bộ đề mơn Tốn chuẩn bị cho kì thi THPT Quốc gia, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2015 55 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số [9] Nguyễn Thành Anh, Phạm Khắc Ban, Dỗn Minh Cường, Nguyễn Minh Phương, Hồng Việt, Ơn tập mơn Tốn chuẩn bị cho kì thi THPT Quốc gia, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2015 [10] Đề thi TN THPT, ĐH-CĐ, thi THPT Quốc gia thi HSG năm [11] Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, NXB Giáo dục Việt Nam [12] Tài liệu Internet 56 ... đứng cạnh 2.3 Một số tốn chỉnh hợp Ví dụ Một lớp có 41 học sinh Có cách chọn học sinh, học sinh làm lớp trưởng, học sinh làm bí thư, học sinh làm cờ đỏ ? Lời giải Mỗi cách chọn học sinh để phân... cách chữ số giống ? Bài Một tổ có học sinh nam học sinh nữ Cô giáo cần chọn nhóm gồm học sinh từ tổ Hỏi có cách chọn cho học sinh chọn a) Có nam nữ ? b) Có học sinh nữ ? c) Có nhiều học sinh nữ... vấn đề thuộc phơng pháp hớng dẫn học sinh giải toán tổ hợp Đề tài đà góp phần: - Trang bị cho học sinh kiến thức Đại số tổ hợp - Rèn luyện kỹ làm toán Đại số tổ hợp - Đóng góp tài liệu tham khảo