Chuyen de NHUNG BAI TOAN LIEN QUAN DEN PT BAC HAI

Vôùi giaù trò naøo cuûa tham soá a thì phöông trình coù moät nghieäm baèng 3?2. Tính nghieäm coøn laïi...[r]

NHỮNG BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN PT BẬC HAI A-MỤC TIÊU:

HS:Nắm phương pháp giải toán liên quan đến pt bậc hai HS:Biết sai lầm cần tránh

HS:Biết vận dụng phương pháp vào giải toán.

B-THỜI LƯỢNG:7 tiết lý thuyết Luyện tập -1tiết kiểm tra Tiết 1,2:

I-BÀI TỐN 1: Biện luận theo m có nghiêm PT bậc hai ax2+bx +c = (a 0)(1)  PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Xet heä số a có hai khả năng:

a) Trường hợp a = với giá trị m

Giả sử a = <=> m = m0 ta có (1) trở thành PT bậc bx + c =0 Ta biên luận tiếp

b) Trường hợp a

Lập biệt số Δ = b2 –4ac Δ ’ = b’2 –ac

Biện luận théo trường hơp : Δ > ; Δ = ; Δ < Sau tóm tắt phần biên luận

II BÀI TỐN 2: Tìm ĐK tham số để pt có nghiệm:  Có hai khả xẩy :

a) a = 0, b b) a , Δ≥0

III BÀI TỐN 3: Tìm ĐK tham số để PT có nghiệm phân biệt: {a ≠Δ

>0

IV BÀI TỐN 4:Tìm ĐK tham số để PT có nghiệm: {a=0

b ≠0V{

a≠0

Δ=0 V BÀI TỐN 5:

1) Điều kiên hai nghiệm dấu

Δ≥0; P>0

2) Điều kiện để hai nghiêm điều dương:

{ P=Δ≥c0

a>0 S=−b

a>0

3) Điều kiện để hai nghiêm điều âm:

{ P=Δ≥c0

a>0 S=−b

a<0

3) Điều kiện để hai nghiêm trái dấu: P< a c trái dấu

VI-BÀI TỐN TÌM ĐK để PT có nghiêm x = x1 tìm nghiệm kia:  Ta thay x = x1 vào (1) Giải tìm m

 Hoặc dựa vào S ;P tìm m

¿ ¿ ¿ ¿ 1αx¿1+βx2=γ2x¿12+x

22=k3x¿

12+x

22≥h¿ ¿4 ¿ x1

+

x2

=n¿ ¿5¿x13+x

23=t¿

 PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Điều kiên chung : Δ≥0 Theo Định lý Vi et ta coù : {

x1+x2=−b

a x1.x2=c

a

a)Trường hợp : αx1+βx2=γ(3) Ta giải HPT {

x1+x2=−b

a αx1+βx2=γ

=> x1 ;x2 Thay giá trị x1x2 vào

x1x2 = ca giải tìm giá trị tham số

b)Trường hợp :x12+x22 = k <=> (x1+x2)2 –2x1x2 = k Thay tổng tích giải tìm giá trị thamsố m c) Trường hợp : x12+x22 h <=> (x1+x2)2 –2x1x2 h Giải BPT tìm m

Một số ví dụ minh hoạ :

Ví dụ :Biện luận theo m có nghiệm PT x2 –4x +m = (1) Trước hết ta tính Δ = b2 –4ac = = 4-m

a) Neáu 4-m > pt có hai nghiệm phân biệt b) Nếu 4-m = PT có nghiệm kép

c) Nếu 4- m <0 PT vô nghiệm Ví dụ 2: Cho PT x2- 3x –m =

a) Tìm m để PT có nghiệm

b) Tìm m để pT có nghiệm –2 tìm nghiệm cịn lại HD: Δ = b2 –4ac = +4m

a) Đẻ PT có nghiệm 9+ 4m

b) PT có nghiêm –2 Do (-)2 +3(-2) – m = <=> Giải PTb tìm giá trị m Ví dụ 3: Xác định m để PT x2 –(m+5) x – m + = có hai nghiêm x1 x2 thõa mãn:

a) Nghiệm lớn nghiệm đơn vị b) 2x1+ 3x2 = 13

HD:Tính Δ = m2 +14m +1

PT có hai nghiệm <=> m2 +14m +1 Giải BPT xác định m a) Giả sử x1 > x2 ta có Hệ thức;

{ x2− x1=1(1)

x1+x2=m+5(2)

x1x2=−m+6(3) ¿(I) Giaûi HPT tìm m

b) Giải Tương tự câu a Ví dụ 4:

Cho PT x2 +ax +a+7 = 0(1) Tìm tất giá trị m cho pt có hai nghiệm thõa mãn hệ thức x12+x22 = 10

HD: Δ = a2-4a –28 PT có hai nghiệm <=> a2-4a –28 Biến đổi x12+x22 = 10 <=> (x1+x2)2 –2x1x2 = 10

Thay tổng tích giải PT tìm m Ví dụ 5:

Cho PT x2+ax +1 = Tìm giá trị a để PT có hai nghiệm thoã mãn (x1

x2)

2 +(x2

x1)

Tiết 3,4,5,6,7 LUYỆN TẬP:

Bài 1: (TN 1996)

1 Viết bảng tóm tắc cơng thức nghiệm phương trình bậc hai:

0

ax bx c  (a0) Giải phương trình:

a/ 2y 3211y19 0 b/ 4t2 12t 9 0

  

Bài 2: (TN 2001)

Cho phương trình bậc hai: x2 2(m1)x m 2 3m0 với m tham số. Giải phương trình với m =

2 Với giá trị m phương trình cho có nghiệm

Bài 3: (TS 10 - 1993)

Cho phương trình : x2(1 m x m)  0 (1) với m tham số.

1 Giải phương trình (1) với m =

2 Xác định m để phương trình (1) có nghiệm -2

3 Chứng minh phương trình (1) ln ln có nghiệm với m

Baøi 4: (TS 10 - 1996)

Cho phương trình : mx2(m1)x 3(m1) 0 (1) với m tham số.

1 Giải phương trình (1) m =

2 Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép

3 Giả sử phương trình (1) có nghiệm khác x1 x2 Chứng minh rằng:

1 1

3

x x  .

Bài 5*: (TS 10 Trường chun Nguyễn Du - 1996)

1 Giải phương trình sau: 2

1 1

9 20 11 30 13 42 18

x  x x  x x  x  Tìm nghiệm nguyên phương trình sau:

2

2

2 2

2 2

x x x x x x x x

   

 

   

HD:

1) Tập xác định D R \4; 5; 6; 7   

   

   

   

2

2

2

9 20

11 30

13 42

x x x x

x x x x

x x x x

    

    

    

Biến đổi phương trình:

1 1 1 1

4 5 6 18

x  x x  x x  x  , từ có cách giải phương trình đưa đến nghiệm x13;x2.

2) Tập xác định D R

Đặt tx22x 2 x12 1 1,t Z , ta coù

2

1

3

5

t t t

t t t

 

 

  



 

 , ta loại nghiệm

3

t

Với

2 0;

t  x x

Baøi 6: (TS 10 THPT Chuyeân ban - 1997)

1 Giải phương trình (1) m =

2 Chứng minh phương trình (1) ln ln có hai nghiệm phân biệt với m

3 Tìm m để có tam giác vng cạnh huyền 14 hai cạnh góc vng có độ dài x1 x2 hai nghiệm (1)

HD: Với 3) ý điều kiện

1

1

1

0

0,

0

x x x x

x x

  

   





Bài 7*: (TS 10 Chuyên Tóan - Tin (vòng 1)_ ĐHTH Tp Hồ Chí Minh - 1996_1997)

Giải phương trình: x 24x 34 1

HD: Phương trình: x a 4x b 4 M , ta đặt

a b t x 

, đưa dạng mt n 4mt n 4 M , biến đổi dạng phương trình trùng phương theo t

Một số phương trình tham khảo:

   

 

4

4

4 256

1 97

x x

x x

   

  

Baøi 8*: (TS 10 Chuyên Tóan - Tin (vòng 2)_ ĐHTH Tp Hồ Chí Minh - 1996_1997)

Gọi a, b hai nghiệm phương trình: x2px 1 0; c, d hai nghiệm phương trình:

2 1 0

y qy  Chứng minh hệ thức: a c a d b c b d            p q 2.

HD: p dụng định lý Víét ta có hệ

1

a b p c d q ab

cd

  



  

    

 , sử dụng để biến đổi VT VP

Bài 9: (TS 10 Chuyên Tóan, Nguyễn Du 1997_1998)

Giải phương trình: 4x4 2x3 8x2 3x 9 0

    

HD: Nhẩm nghiệm, thực phép chia đa thức sử dụng sơ đồ HOÓC NE để biến đổi vế dạng phương trình tích

Bài 10: (TS 10 THPT 2003_2004)

Cho phương trình: x2 6 2x kx  4 0  1 Giải phương trình k = -1

2 Tìm số nguyên k nhỏ cho phương trình (1) vô nghiệm

Bài 11: (TS 10 mơn: Tóan chun, Trường chun Nguyễn Du 2003_2004)

Cho phương trình: x2px q 0 (ẩn x) Gọi x

1, x2 nghiệm phương trình

1 Xác định hệ số p, q biết x1, x2 thỏa: x1 x2 5 3 35

x  x 

2 Đặt

n n

n

S x x Chứng minh rằng: Sn1 pSn qSn1 0 với n1,n N Giả sử x1, x2 số nguyên p + q = 198 Tìm x1, x2

Bài giải:

1 Vì x x1, nghiệm phương trình nên ta có :

 

       

1 2

1 1

1 1 1

1 2

2

2 2 2

0

0

0

n

n n n n n n

n

x x px q x px q

x x p x x q x x x px q x x px q



   



   

   

 

       

 

     

 

 

 *

1

n n n

S  pS qS 

    , với n N*

2 Theo định lý Víet ta coù

1

1

x x p x x q

  

 

 , kết hợp với giả thiết ta tìm

1

p q

  

 

3 Ta có p q x x  2 x1x2 198 x11 x21199  * Bài tốn quy việc tìm nghiệm nguyên x x1, phương trình (*) Do 199 số nguyên tố nên:

  1 1

2 2

1 199 199 200

*

1 1 1 198

x x x x

x x x x

     

   

       

      

   

Bài tập tương tự: Gọi x x1, nghiệm phương trình

 1

2 0

ax bx c 

Đặt

n n

n

S x x , với n1, 2,

1 Chứng minh aSn2bSn1cSn 0  *

2 p dụng tính

6

1 5

2

A     

   

HD: Đặt

1

1 2

1

1

1

1

2

x x x

x x x

   

   





 



  

  

 Vậy x x1, nghiệm phương trình

 2

1

x   x

Aùp duïng (*) cho (2) ta coù A18

Bài 12*: (Thi chọn Học sinh giỏi Thành phố BMT mơn tóan lớp -1996_1997)

Giải phương trình: 3x2 6x 7 5x210x14 2  x x HD: Dùng phương pháp đánh giá vế phương trình

   

   

   

2

2

2

2

2

3

5 10 14

4 5

x x x

x x x

x x x

     

     

      Từ (1), (2) (3) ta có VT VP  5 x1 Bài tập tương tự: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm:

 * 6 11 6 13 4 5 3 2

x  x  x  x  x  x   .

HD: VT  x 32 2 x 32 4 4x 22 1 2 3    Từ

   

 

2

2

3

*

2

2

x x

x x

    



   

 

 



 , hệ phương trình vô nghiệm, nên (*) vô nghiệm

Bài 13**: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak mơn Tóan lớp -1996_1997)

Biết rằng, tích nghiệm phương trình x2 ax 1 0

   với nghiệm phương trình

1

x bx  nghiệm phương trình x2cx 1 Chứng minh rằng: a2 b2 c2 abc 4

   

Bài 14: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak mơn Tóan lớp -2000_2001) Cho phương trình a1x2 2a1x a  0 với a tham số.

1 Tìm điều kiện tham số a để phương trình có hai nghiệm phân biệt

3 Với giá trị tham số a phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức:

 2

4 x x 7x x .

Bài 15: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak mơn Tóan lớp -1998_1999) Cho phương trình ẩn x: a1x2 2a b x  b1 0  1

1 Với giá trị a (1) phương trình bậc hai Giải phương trình (1) a ; b 1 .

3 Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với giá trị a b

Bài 16: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp -1999_2000) Cho phương trình x2mx m 1 0  1

1 Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm

2 Gọi x x1, nghiệm phương trình (1), tìm giá trị lớn của:

 

1 2

1 2

2

2

x x P

x x x x

 

  

Bài 17: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp huyện mơn Tóan lớp -2000_2001) Cho phương trình (a, b tham số): ax2ab1x b 0

1 Chứng minh phương trình ln có nghiệm

2 Tìm giá trị a, b để phương trình có nghiệm kép là:

1 2. Bài 18: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak mơn Tóan lớp -2001_2002)

1 Với giá trị a nghiệm phương trình x2 x a1a 0 trái dấu? Giải phương trình x2px35 0 , biết tổng bình phương hai nghiệm 74.

Bài 19: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak mơn Tóan lớp -2002_2003) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình:  

2 4 3 3 0

x  m x m  m  , m tham số. Xác định m cho x12x22 6

2 Chứng minh rằng:

2

1

1

121

1

1

mx mx x x

   

  .

Bài 20: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak mơn Tóan lớp -2003_2004)

Giả sử a, b, c khác đôi c0 Chứng minh phương trình x2ax bc 0  1

và phương trình x2bx ca 0  2 có nghiệm chung nghiệm khác phương trình thỏa mãn phương trình x2cx ab 0  3 .

HD: (Sử dụng định lý Viét)

Gọi x0 nghiệm chung (1) (2), ta có

   

2

0

2

0

0

x ax bc x bx ca

   

 

  



 , trừ (4) cho (5) vế theo vế ta a b x  c a b    x0c gt , nghiệm chung (1) (2) x0 c Gọi x1 x2 nghiệm khác (1) (2), theo định lý Víet ta có

2

0 1

2

0 2

0

0

x x bc x b b ab bc b bc ab x x ca x a a ab ca a ca ab

 

       

   

  

   

          

   Hay a b nghiệm (3) Đây laø

Bài 21: Chứng minh phương trình x2p x q1  10  1

 2

2

x p x q  có nghiệm chung q1 q22 p1 p2 q p2 1 q p1 2 0  *

HD: Hệ phương trình có nghiệm chung hệ sau có nghiệm

   

1

1 2

2

0

x p x q x p x q

   

 

  



 có nghiệm

Đặt y x 2, ta có heä

1

2

0

y p x q y p x q

  

 

  



 Nếu p1p2: Giải hệ phương trình ta có nghiệm

2

1

1 2

q q x

p p q p p q y

p p

 



 

 

  

 

 Do y x

Suy

2 2

1 2

q p p q q q p p p p

 

 

 

    , khai triển biến đổi ta có (*).

 Nếu p1 p2 ta có hệ

1

1

p x y q p x y q

  



 

 Hệ có nghiệm q1 q2, rõ ràng (*) Vậy (*) chứng minh

Bài tập điều kiên có nghiệm chung:

Xác định m để hai phương trình sau có nghiệm chung:

 

   

1

2

2

2 1

x mx m mx m x

   

   

HD:

Nếu x0 nghiệm chung

 

   

2

0

2

0

2

2 1

x mx m mx m x

    

 

   



 , dễ thấy x0 0 (từ (2))

Nhân x0 vào (1) cộng với (2) vế theo vế

0 0

x    x  , thay x0 vào (1) (2) rút ra

2

m

Bài 22: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện mơn Tóan lớp -2003_2004) Giải phương trình x3 3x2 13x 15 0

    (HD: x1 x3 x 5 0)

Bài 23: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện mơn Tóan lớp -2003_2004)

1. Giải phương trình: 2x24x18 7x214x16 6  x2 2x (Xem giải 14 và

14’).

2. Cho phương trình: 2x22m1x m 1 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, thõa mãn: 3x1 4x2 11

Bài 24: Chứng minh phương trình x2mx n 0  1 có nghiệm, phương trình:

 2

2 ( 1)2 0

x a mx n a

a a

 

     

  có nghiệm

HD: Với (1) có nghiệm ta có  m2 4m0  3 .

Kết hợp với (3) (2) có  

2 2

2 4 1 4 0

m a n a a m m

a a a

     

             

      Vậy (2) có

Bài 25: Chứng minh phương trình bậc hai: x2p x q1  0 x2p x q2  0 có hệ số thỏa mãn điều kiện p p1 22q1q2 phương trình có nghiệm

HD:  1 p12 ,q1  2 p22 4q2    1 p12p22 4q1q2  1 Từ p p1 2q1q2  4q1q22p p1 2,

nên  1     1 p12p22 2p p1 2p1 p22 0 Do số  1; 2 khơng âm nên phương trình có nghiệm

Bài 26*: Chứng minh phương trình bậc hai sau có nghiệm:

     

2

2

2

2

2

2

ax bx c bx cx a cx ax b

  

  

   (HD:      

2 2

1

1

0

2 a b b c c a 

           

  )

Baøi 27*: Cho a, b số cho

 1

1 1

2

b c  .Chứng minh phương trình sau

đây có nghiệm: x2bx c 0  2 , x2cx b 0  3 HD: Từ (1) suy ra:

      2   2  2

1

2 , 4

bc b c     b  c  c  b b c  b c b c  bc b c 

Do phương trình có nghiệm

Bài 28*: Phương trình ax2bx c 0  1 có nghiệm dương x1 chứng minh rằng phương trình cx2bx a 0  2 có nghiệm dương x2 x1x2 2.

HD: (Chú ý thứ tự hệ phương trình). Giả sử x1 0 nghiệm (1), ta có

2

1

ax bx  c , chia veá phương trình cho 12

1

x

ta

2

1 1

1 1

0

a b c c b a

x x x x

       

            

        , nghóa (2) nhận

1

x x

 

làm nghiệm

Khi 1 1

1

2 2

x x x x

x x

     

Bài 29: Giả sử phương trình ax2bx c 0  1 có nghiệm dương x x1, 2 Chứng minh phương trình cx2bx a 0  2 có nghiệm dương x x3, Chứng minh

 * 4

x x x x  HD: Chia vế phương trình (1) cho x12

2

x , ta coù:

2

1

2

2

1

0

1

0

c b a

x x

c b a

x x

                 

    

  

    

   

 , nghóa (2) nhận

1

x

1

x làm nghiệm dương x x3, Aùp dụng bất đẳng thức Côsi cho nghiệm x x x x1, , ,2 ta có kết

Bài 30: Cho phương trình bậc hai: x2 mx m 1 0

   

1 Chứng tỏ phương trình có nghiệm x x1, với m, tính nghiệm kép (nếu có) phương trình giá trị m tương ứng

a/ Chứng minh A m2 8m 8    b/ Tìm m cho A8

c/ Tìm giá trị nhỏ A giá trị m tương ứng

Bài 31 : ** Giải phương trình sau:

1 2x2  3x1 2  x25x1 9x2  1 x1 x 3 x5 x7 297  2

3 4x5 x6 x10 x12 3x2 0  3 x32x22 2x2 0  4

5 2x33x2 0  5

6      

4

1

x  x 

7  

 7

1 1 2005

1 1

1.3 2.4 3.5 x x 2006

 

     

     

       



       

8

 8

4

2

2

1

x x

x x

x

x x

 

 

 



 

 9

1 1 1 1

2

xx x x x x x x

10

       

       

 

2

10

2

1995 1995 1996 1996 19

49

1995 1995 1996 1996

x x x x

x x x x

     



     

HD: 1) Rõ ràng x0 không thỏa (1)

Neân  

2

2 1

1 x x x x 2x 2x

x x x x

       

          

    Ñaët

1

2

t x x

  

, ta có phương trình  

2

8 9

9

t t t t t

t

         

  ,

2)        

2 2 27

2 21 297 16 297 16 297

11

t

x x x x t t t t

t

 

              

  Với t x2 4x 5

   Giải tiếp

3)          

2

2 60 17 60 16

3 x x 12 x x 10 3x 4.x x x x

x x

   

            

 

1

60 60

4 17 16 4

3

t

x x t t t t

x x

t

  

   

                  

     

 (với

60 16

t x x

  

4) Đưa phương trình tích      

3 2 2 23 2 2 2 2 0,

x  x x   x x   x  

 

5) Đặt ẩn phụ

     2

2

2 2

2

2

y x

y x y y

y

x



 

 

          



  

 6) Khai triển rút gọn

4

x  x  x  x  , chia vế cho x2 đặt

1

t x x

 

, ta đưa phương trình t2 4t 0  t 2 3 x 1 3 3 .

7) Vì: 1.3 ; 2.4 ; 3.5 ; ; (      x x1) 1 x12

 

1 1 1

1 1

1.3 2.4 3.5 2

x

x x x

  

     

             

 

       

Neân  

1 2005

7 2004

2 2006

x

x x



   



8) Điều kiện x1 Ta có 1 1 1 1 1

x x

x x VT x

x      x       

   

Neân  8  x 1 4  x4

9) Taäp xác định: D R \ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7        

Nhóm hợp lý phân thức ta được: 2 2

2 7 7

7 10 7 12

x x x x

x x x x x x x x

   

  

      

2 7 1 1

10 12

x

y y y y

 

      

  

  , với y x 27x, phương trình

7

2

2

x   x ,

2

1 1

0 18 90

6 10 12 22 120 y y

y y y y y x y y

   

          

   

     

    , phương trình vô

nghiệm

10) Đặt x1995y,

   

   

2

2

2

5

1 19 4 4 15 0

3 49

1

2

y y y y y

y y

y y y y y

  

   

      

     

 .

Vậy nghiệm phương trình (10)

3994 3996

2

x

x

      

Bài 32: Định m để phương trình: m 2x2 2m1x m  0 m2 có nghiệm x x1, thiết lập hệ thức nghiệm độc lập m

Bài 33: Cho phương trình x2 2m1x m 2 3m 4

1 Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x x1, thõa mãn hệ thức

1

1

x x  .

2 Tìm hệt thức liên hệ x x1, mà không phụ thuộc vào m

Bài 34: Cho phương trình: x2 mx m 2 0

    Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, cho 2

1

Bài 35: Cho phương trình x2 2x 0  có nghiệm x x1, Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức:

2

1 2 3 2

3

4

x x x x A

x x x x

 



 (ÑS

7 8)

Bài 36**: Cho tam thức bậc hai f x ax2bx c  1 a0 Biết f x x  2 vô nghiệm Chứng minh phương trình af2 x bf x  c  * vơ nghiệm

HD: Vì (2) vơ nghiệm nên  x R f x,   x  x R f x,  x

* Neáu  x R f x,     x x R f f x,     f x    x x R f f x,    x

   

2 ,

x R af x bf x c x

      , hay (*) vô nghiệm.

* Tương tự với trường hợp cịn lại ta có (*) vơ nghiệm Vậy (*) vơ nghiệm

Bài 37*:

1 Chứng minh phương trình x4 x 0  1 , có nghiệm dương x0 x0  78 Chứng minh phương trình x3 3x 0  2 , có nghiệm dương x0

5 36

x  .

3 Chứng minh phương trình x2 ax b 0

   có nghiệm x0 Chứng minh

 

2 2 *

0

x  a b

HD:

1 Ta có x04 x0 2 2.x0  x08 8x0 x0 78 (Aùp dụng bất đẳng thức Côsi, dấu bất đẳng thức khơng xảy x0 2, khơng thỏa (1)

2 Ta có x03 3x0 3 9.x0  x06 36x0  x05 36 (Aùp dụng bất đẳng thức Côsi, dấu bất đẳng thức không xảy x0 3, khơng thỏa (2)

3 Ta có x02ax0   b x02 ax b  x04 ax0b2 Aùp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:

 2   2  2   2

0 0 1

a b x   ax b x  a b x   ax b 

2

2 2

0

2

1

1

1

x

a b x x a b

x



        

 Vaäy x02  1 a2b2