Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Mét sè øng dơng cđa biểu thức liên hợp
t
Biểu thức liên hợp có nhiều ứng dụng giải tốn nh: ứng dụng giải phơng trình, bất phơng trình hệ phơng trình tính giới hạn …Đặc biệt có số tốn ứng dụng biểu thức liên hợp giải đợc, cho cách giải toán ngắn gọn so với cách giải khác Qua theo dõi qua đề thi học sinh giỏi, đề thi đại học thấy lớp tập ứng dụng phơng pháp tơng đối nhiều
Thực tế trực tiếp giảng dạy thấy, hầu hết em học sinh yếu việc nhận dạng toán định hớng toán để áp dụng phơng pháp
Vì vậy, tơi chọn đề tài này, với cách trình bày đa ví dụ có tính rèn luyện kỉ phát triển t để phần giúp em nắm đợc phơng pháp để áp dụng vào giải tốn có liên quan
I >øng dụng giải phơng trình
B i1à Giải phương trình : 3(2+√x −2)=2x+√x+6 (1) (§Ị thi ĐH Kỹ thuật quân năm 2000)
Hớng dẫn giải : Điều kiÖn xác định : x ≥2
Phương trình (1) ⇔3√x −2−√x+6=2(x −3)
⇔8(x −3)=2(x −3)(3√x −2+√x+6) ⇔
x=3
¿
3√x −2+√x+6=4
¿ ¿ ¿ ¿¿¿
¿
Giải phương trình : 3√x −2+√x+6=4 đựơc nghiệm x=11−√45
2
VËy phương trình (1) có hai nghiÖm phân biệt x=3 ; x=11−√45
2
NhËn xÐt:1>Do nhËn thÊy : √x+6¿
2=8(x −3)
3√x −2¿2−¿ ¿
nên ta nhân biểu thức liên hợp để làm xuất nhân tử chung (x-3)
2> Bài toán tổng quát (1): ax+mbx+n=k[(a −b)x+m− n] Víi a , b , k , m, n∈R❑
B i 2à Giải phương trình : √x −2+√4− x=2x2−5x −1 (2)
(Đề đăng báo toán học tuổi trẻ) Hớng dn gii :
iu kịên xỏc nh : 2≤ x ≤4
(2)Phương trình (2) ⇔√x −2−1+√4− x −1=2x2−5x −3
⇔ x −3 √x −2+1+
3− x
√4− x+1=(2x+1)(x −3) (x −3)(
√4− x+1+2x+1−
√x −2+1)=0 (∗) Do 2≤ x ≤4 nªn
√4− x+1+2x+1>1≥ √x −2+1 Do (*) ⇔x=3
VËy Phương trình (2) cã nghiƯm nhÊt x=3
NhËn xÐt:
1> Do nhận thấy đợc nghiệm x=3 phơng trình , nên ta ứng dụng biểu thức liên hợp để làm xuất nhân t chung
2> Bài toán tổng quát (2) : √x −m+√n − x=(n −m)x2−(n
2−m2
2 −√ n −m
2 )x −( m+n
2 −2)√ n −m
2 Víi m+2≤ n
B i3:à Giải phương tr×nh : √1−sinx sinx =
2 sinx+sin2x
1+sin2x (3) (§Ị thi häc sinh giái líp 11 TÜnh nghƯ An)
Hưíng dẫn giải : Điều kiƯn xác định : 0<sinx ≤1
Phương trình (3) ⇔√1−sinx sinx =1+
2sinx −1 1+sin2x
x=π 6+k2π
¿
x=5π +k2π
¿ ¿ ¿ ¿
¿
⇔√1−sinx −√sinx √sinx =
2 sinx −1 1+sin2x
⇔ 1−2 sinx
(√1−sinx+√sinx)√sinx=
2sinx −1 1+sin2x
⇔(2sinx −1)( 1+sin2x+
1
(√1−sinx+√sinx)√sinx)=0 ⇔sinx=1
2⇔
¿
VËy phương trình (3) cã hai hä nghiÖm : x=π
6+k2π ; x= 5π
(3)NhËn xÐt:
1>Bài tốn (3) giải theo phơng pháp đánh giá hai vế Thật : Đặt sinx=y , điều kiện 0<y ≤1
Khi phương trỡnh (3) trở thành : √1− yy =2y+y
2
1+y2 =1+ 2y −1
1+y2 (*) NhËn thấy y=1
2 nghiệm phơng trình (*) Với 0<y<1
2 1-y>y>0 2y-1<0 suy √
1− y
y >1>1+
2y −1
1+y2 nên (*) vô
nghiệm với 0<y<1 Với
2<y 1 01 y<y và2y-1>0 suy √ 1− y
y <1<1+
2y 1
1+y2 nên (*) vô nghiệm với
2<y 1
2> Bài toán tổng quát bµi (3) : √m −ny
py =
y2
+(n+p)y
y2+m2 víi m ,n , p lµ
số thực dơng
B i4à Giải phương tr×nh : √39−2x+√5 2x−1=22x+1+3 2x−5 (4) (Đề thi học sinh giỏi lớp 11 Tĩnh Quảng Bình)
Hớng dn gii : Đặt 2x
=y phơng trình (4) trở thành : 9 y+5y 1=2y2+3y 1 (*) Điều kiÖn xác định : y ≥15
Nhận thấy phơmg trình(*) có nghiệm y=1 Phơng trình(*) ⇔3
√9− y −2+√5y −1−2=2y2+3y −5
9− y¿2 ¿
+2 √39− y+4
¿
+5(y −1)
√5y −1+2=(y −1)(2y+5)
¿ ¿
3
√¿ ¿
⇔1− y
¿
Do y ≥1 nªn
3
√9− y+1¿2+3
¿ ¿
2y+5+1
¿
(4)Do (**) ⇔y=1 (Thoả mãn điều kiện y ≥1
5 ) Víi y=1 ta cã 2x=1x=0
Vậy phơng trình (4) có nghiệm nhÊt x=0
Nhận xét:Phơmg trình(*) giải theo phơng pháp đánh giá Thật :
Với y>1⇒√39− y<2<√5y −1 , đó
3
√9− y+√5y −1<2√5y −1<5y −1<5y −1+2y(y −1)=2y2+3y −1 nªn (*) v«
nghiƯm
Víi
5≤ y<1⇒
3
√9− y>2>√5y −1 đó
√9− y+√5y −1>2√5y −1>5y −1>5y −1+2y(y −1)=2y2+3y 1 nên (*) vô
nghiệm
VËy y=1 lµ nghiƯm nhÊt cđa (*).
Bài5 Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H Cho biÕt
HA=1;HB= √2 ;HC ¿√5 TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC.
Hướng dẫn giải : Gọi O tâm đờng tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC AO cắt (O) Tại K Suy KC AC
Do BH AC nªn KC | | BH
Tơng tự : BK || CH Do BHCK hình bình hành Nên BC HK cắt trung điểm M BC Trong tam giác AHK , MO đờng trung bình Nên MO=
2 AH AH2+BC2 = 4MO2 +4BM2 = 4BO2 = 4R2 (R bán kính đờng trịn (o) )
Chøng minh t¬ng tù ta cã BH2 +AC2 = 4R2.
Đặt HD = x (0<x< √2 ) (D chân đờng cao hạ từ A xuống BC ) Vẽ BE AC (E AC ) Ta có sin∠HBD= x
√2=sin∠HAE=HE Vậỵ HE= x Ta lại có BD= 2 x2 , DC=
√5− x2 , AE= √1−x2
2 , EC= √5− x2
2
(5)√1−x
2
2 +√5− x2
2 ¿
2
¿
⇔2√(2− x2)(5− x2
)=x2+√(2− x2)(10− x2)
¿
⇔2(√(2− x2)(5− x2
)−2)=x2−1+√(2− x2)(10− x2)−3
¿
√2− x2+√5− x2¿2=2+¿ ¿
1+¿
Do x2
<2 nªn
¿
11− x2>0,1− x2>1
√(2− x2)(10− x2)+3>√(2− x2)(5− x2)+2>1
¿{
¿
Do 12−2x
2
√(2− x2)(5− x2)+2=
11− x2
√(2− x2)(5− x2)+2+
1− x2 √(2− x2
)(5− x2)>¿ > 11− x
2
√(2− x2)(10− x2)+3−
1 √(2− x2)(5− x2
)+2>¿ > 11− x
2
√(2− x2)(10− x2)−1 V©y (*) ⇔x2
=1⇔x=1 (v× (0<x< √2 ) Suy BD=1, DC=2, AD=AH+HD=2 DiƯn tÝch tam gi¸c ABC b»ng : S=1
2AD BC=3 (§VDT)
II >øng dơng giải bất phơng trình.
B i 6 Giải bÊt phương tr×nh : 2√2
√x+1+√x ≤√x+9 (6) Hưíng dẫn giải :
Điều kiƯn xác định : x ≥0
(6)⇔ 2√2
√x+1≤√x+9−√x⇔
2√2 √x+1≤
9 √x+9+√x
⇔√8(x+9)+√8x ≤9(∗)
áp dụng bất đẳng thức B.N.A cho hai cặp số (√x+9,√8x) (√8,1) ta đợc :
√8(x+9)+√8x ≤√(8+1)(x+9+8x)=9√x+1 DÊu b»ng xÈy : √x+9
√8 =√8x⇔√x+9=8√x⇔x= Suy (*) với x không âm
Vậy tập nghiệm bất phơng trình (6) x ≥0
B i 7à Giải bÊt phương tr×nh : √3 x2−23
√x −(x −4)√x −7≤3x −28 (7) Hưíng dẫn giải :
(6)(7)⇔
√x(√x −3 2)−(x −4)(√x −7−1)≤4(x −8)
⇔
3
√x(x −8)
3 √x2
+2√3 x+4
−(x −4)(x −8)
√x −7+1 −4(x −8)≤0 ⇔(8− x)(4+ x −4
√x −7+1−
3
√x
3
√x2+2√3 x+4
)≤0(∗)
Víi x ≥7 ta cã :
3
√x
3 √x2+23
√x+4=
3
√x+34 √x+2
≤
33
√3
√x.34 √x.2
=1
6 < 4+ x −4 √x −7+1
Suy 4+ x −7 √x −7+1−
3
√x
3
√x2+2√3x+4
>0 , (∗)⇔8− x ≤0⇔x ≥8 Vậy tập nghiệm bất phơng trình (7) x ≥8
B i 8à Giải bÊt phng trình : x2
4x+3+x25x+42x26x+5 (8) (Đề thi ĐH ngoại thơng năm 2001)
Hớng dn gii : Điều kiÖn xác định:
x ≤1
¿
x ≥5
¿ ¿ ¿ ¿
NhËn thÊy x=1 lµ mét nghiƯm cđa (8)
XÐt x<1
¿
x ≥5
¿ ¿ ¿ ¿
Khi đó:
(8)⇔(x −1)(
2
√x2−4x+3+√x2−6x+5+
1
√x2−5x+4+√x2−6x+5 )≥0 ⇔x −1≥0⇔x ≥1
Đối chiếu điều kiện ta đợc tập nghiệm bất phơng trình x=1
¿
x ≥5
¿
Nhận xét :Bài toán tổng quát cđa bµi (8): x − n
√(x − n)(x − m+1)+√(x −n)(x − m)≥2√¿(x −m −1)¿
(7)B i 9à Giải hÖ phương tr×nh :
¿
√x2+21=√y −1+y2
√y2+21=√x −1+x2
¿{
¿
(9)
(§Ị thi OLYMPIC 30 th¸ng 4.) Hưíng dẫn giải :
Điều kiÖn xác định :
¿
x ≥1 y ≥1
¿{
¿
NhËn thÊy
¿
x=1 y=1
¿{
¿
kh«ng phải nghiệm (9)
(9)x2+21y2+21=y 1+y2x 1 x2 ⇔ x2− y2
√x2+21+√y2+21
+ x − y
√x −1+√y −1+x
2
− y2=0
⇔(x − y)( x+y
√x2+21+√y2+21+
1
√x −1+√y −1+x+y)=0 ⇔x=y
VËy hÖ (9) ⇔
¿
x=y
√x2+21=√y −1+y2 ⇔
¿x=y
√x2+21=
√x −1+x2(∗)
¿{
¿
(∗)⇔√x2+21−5=
√x −1−1+x2−4
⇔ x2−4
√x2+21+5=
x −2 √x −1+1+x
2
−4
⇔(x −2)(
√x −1+1+(x+2)(1−
√x2
+21+5 ))=0 ⇔x=2
VËy hÖ (9) cã nghiÖm nhÊt (2;2)
B i 10 à Giải hƯ phương tr×nh:
¿
√x+4+√x −4=2√y2−16+2y −12 √y+4+√y −4=2√x2−16+2x −12
¿{
¿
(8)Hưíng dẫn giải: Điều kiÖn xác định
¿
x ≥4 y ≥4
¿{
¿
NhËn thÊy
¿
x=4 y=4
¿{
¿
nghiệm (10)
(10)x+4+x −4−√y+4−√y −4=2√y2−16+2y −2√x2−16−2x
⇔ x − y
√x+4+√y+4+
x − y
√x −4+√y −4=
2(y2− x2)
√x2−16+√y2−16+2(y − x) ⇔(x − y)( 2(x+y)
√x2−16+
√y2−16+
1
√x −4+√y −4+
1
√x+4+√y+4+2)=0 ⇔x=y
V©y:
¿
(10)⇔ x=y
√x+4+√x −4=2√y2−16+2y −12
¿
⇔
¿x=y
√x+4+√x −4=2√x2−16+2x −12(∗)
¿
{
¿
¿
(∗)⇔√x+4−3+√x −4−1=2(√x2−16−3+x −5) ⇔ x −5
2(√x+4+3)+
x −5
2(√x −4+1)=x −5+
x2−25 √x2−16+3
⇔(x −5)(1+ x+5
√x2−16+3−
1
2(√x+4+3)−
1
2(√x −4+1))=0(**)
¿
Vì x 4 nên:
1+ x+5
√x2−16+3>1>
1 6+
1 2≥
1
2(√x+4+3)+
1 2(√x −4+1)
Do (**) ⇔ x=5
(9)IV >øng dông tÝnh giíi h¹n.
B i 11à TÝnh giíi h¹n sau : A= lim x→0
n
√1+ax−1 x (víi n∈N❑
;a∈R❑ )
Hưíng dẫn giải :
A=
1+ax¿n −1 ¿
1+ax¿n −2 ¿ √¿ x¿ lim x→0 n
√1+ax−1 x =limx→0
1+ax−1
¿
A
1+ax¿n −1 ¿
1+ax¿n −2 ¿
√¿ ¿ ¿lim
x →0
a
¿
VËy : A= lim x→0
n
√1+ax−1
x =
a n
B i 12à TÝnh giíi h¹n sau : A= lim x→0
m
√1+ax−√n1+bx
p
√1+ax−q√1+bx
(víi m ,n , p , q∈N❑ ;
a , b∈R❑
;aq≠bp ) Hưíng dẫn giải:
A= lim x→0
m
√1+ax−n √1+bx p
√1+ax−q
√1+bx=limx→0
m
√1+ax−1
x −
n
√1+bx−1 x p
√1+ax−1
x −
q
√1+qx−1 x = a m− b n a p− b q (áp dụng kết 10 )
B i 13à TÝnh giíi h¹n sau : A= lim x→0
m
√1+ax √n1+bx−1 p
√1+ax √q1+bx−1 (víi m ,n , p , q∈N❑ ;
a , b∈R❑ )
Hưíng dẫn giải : A=lim
x →0
m
√1+ax (n
√1+bx−1)+m
√1+ax−1 p
√1+ax (q
√1+bx−1)+p
√1+ax−1=limx →0
m
√1+ax (√n1+bx−1)
x +
m
√1+ax−1 x p
√1+ax (q
√1+bx−1)
x +
p
√1+ax−1 x = b n+ a m b q+ a p
(10)Tư sè thªm ,bít cho m
√1+ax , mÈu sè thªm, bít cho √p1+ax
B i 14à TÝnh giíi h¹n sau : A=lim x →0
1−cosx√cos 2x.√3cos 3x x2
Hưíng dẫn giải :
¿
A=lim x →0
1−cosx√cos 2x.√3cos 3x x2 =limx→0(
1−cosx
x2 +cosx
1−√cos 2x
x2 +cosx√cos 2x
1−√3cos 3x x2 )
¿
A=lim
x →0(
2sin2x
x2 +
cosx(1−cos2x) x2(1+√cos 2x) +
cosx√cos 2x(1−cos3x) x2(1+√3cos3x+❑√cos23x)
)
x 2¿
2
¿
3x ¿
2
(¿) ¿
sin2 x
¿
A=lim x →0¿
A=1 2+1+
3 2=3
Nhận xét :Cách giải tử số thêm , bít cho cosx vµ cosx√cos 2x
KÕt luận kiến nghị.
Phng phỏp gii tốn đa dạng phong phú, nhng em nhớ ph-ơng pháp có tính u việt riêng Vì em nên học hỏi nhiều phph-ơng pháp, điều sẻ giúp cho em nhiều việc định hớng tìm cách giải ngắn gọn cho tốn
Ngồi ứng dụng trên, em mở rộng thêm sang lớp tập tích phân, lớp tập chứng minh bất đẳng thức
để giúp em rèn luyện phơng pháp này, em làm tập sau
Bµi tËp t lun
Giải phơng trình sau :
1> √x2+15− √x2
+9=3x −2 (§Ị thi §H Bách khoa năm 2001)
2> 2x2+16x+18+x21=2x+4
3> √sinx −1+3
√2−sinx=1
4> √2x+1+√2x −3=√x+3+√x −1
5> sinx sin xcosx cos x (§Ị thi häc sinh giái líp 11 Tĩnh Hà Tĩnh) Giải bất phơng trình sau :
1> x21 x x3 (§Ị thi OLYMPIC 30 th¸ng 4.)
(11)3>
2
9
2 ( 1)
x
x
x
(§Ị thi §H Vinh năm 1998) 4> 4(x1)2 (2x10)(1 ) x
Giải hệ phơng trình sau:
1> 2008 2008 2009
1
2
x y y x
x y
2> Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm :
2
4
x y m
y x m
(§Ị thi häc sinh giái líp 10 Tĩnh Hà Tĩnh) Tính giối hạn sau:
1>
3
2 20
lim
9
x
x x
x
2>
2005 2006 2006 2007
lim
x
x x
x x
(§Ị thi häc sinh giái líp 11 TÜnh Hµ TÜnh) 3> xlim ( x x x x)
4>
3
1
(1 )(1 )(1 ) (1 ) lim
(1 )
n n
x
x x x x
x
( n nguyên dơng ) 5>
1 cos lim
1 cos
x
x x
(Đề thi ĐH Lâm nghiệp năm 2001) 6>
3
2
lim
x
x x
x
(12)